7. Geometrische Flächen - Fakultät für Mathematik

Universität Regensburg
Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik
Dr. Günter Rothmeier
WS 2008/09
Private Vorlesungsaufzeichnungen
Kein Anspruch auf Vollständigkeit
und Fehlerfreiheit
51 722 Elementarmathematik (LH)
7.
Geometrische Flächen
7.1. Flächeninhalt ebener geometrischer Figuren
7.1.1. Zerlegungsgleichheit
Das nebenstehende Rechteck und das Parallelogramm sind jeweils in vier Teildreiecke zerlegt. Diese
sind paarweise zueinander kongruent und besitzen
somit gleichen Flächeninhalt.
Man bezeichnet das Rechteck und das Parallelogramm als zerlegungsgleiche Figuren.
Der Flächeninhalt der Gesamtfigur lässt sich jeweils
durch Addition der Flächeninhalte der Teilfiguren gewinnen. Also muss das Parallelogramm den gleichen Flächeninhalt haben wie das Rechteck.
Zerlegungsgleichheit und Flächeninhalt
Zwei Figuren heißen also zerlegungsgleich, wenn sie sich in paarweise kongruente Teilfiguren
zerlegen lassen. Somit haben zerlegungsgleiche Figuren gleichen Flächeninhalt.
Damit lässt sich die Berechnung des Flächeninhalts von Figuren, für die keine Berechnungsformel
bekannt ist, auf solche Figuren zurückführen, für die eine solche Formel bereits vorliegt.
7.1.2. Flächeninhalt des Parallelogramms
Wir vergleichen das Parallelogramm mit einem dazu zerlegungsgleichen Rechteck mit der gleichen Grundlinie
und der gleichen Höhe.
h
Um ein solches Rechteck zu finden, schneiden wir bei
dem Parallelogramm auf der einen Seite ein rechtwinkliges Dreieck ab und fügen es auf der anderen Seite dazu.
g
Die Teilfiguren sind paarweise kongruent. Also ist das Parallelogramm zu einem Rechteck mit derselben Grundlinie und derselben Höhe zerlegungsgleich.
F2’
F2
F1
≅
≅
F1
F2
Also gilt:
F1’
F1 ’
F2 ’
Das Parallelogramm ist zerlegungsgleich dem Rechteck
A Parallelogramm
=
A Rechteck
A Parallelogramm =
g·h
7.1.3. Der Flächeninhalt des Dreiecks
Jedes Dreieck lässt sich durch Spiegelung am
Mittelpunkt einer Seite zu einem Parallelogramm mit der gleichen Grundlinie und der
gleichen Höhe ergänzen.
Deshalb führen wir die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks auf die Berechnung des
Flächeninhalts eines Parallelogramms zurück.
C
A
h
A
M
g
B
Das Bilddreieck A’BC besitzt denselben Flächeninhalt wie das Urbild ABC. Also ist der Flächeninhalt des Dreiecks halb so groß wie der des Parallelogramms.
Flächeninhalt des Dreiecks:
1
ADreieck = 2 · g · h
Obige Überlegung ist unabhängig von der speziellen Wahl der Grundlinie. Sie gilt also für alle drei
Grundlinien und deren zugehörigen Höhen in gleicher Weise:
1
1
1
A Δ ABC = 2 · a · ha = 2 · b · hb = 2 · c · hc
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7.1.4. Flächeninhalt des Trapezes
7.4.1.1. Länge der Mittellinie
Die Länge der Mittellinie lässt sich aus den Längen der beiden Grundlinien berechnen. Es gelten
folgende Beziehungen:
r
s
I
m = g1 − (r + s)
g2
II
m = g2 + (r + s)
⇒
m
I + II: 2m = g1 + g2
Daraus folgt für die Länge der Mittellinie:
g1
r
s
1
2 · (g1 + g2)
m =
7.4.1.2. Flächeninhalt des Trapezes
Wir führen die Trapezfläche nach dem Prinzip der Zerlegungsgleichheit auf eine Rechtecksfläche
zurück.
F1 ≅
F2 ≅
F3 ≅
F3
F1
F1’
F2’
F3’
F1 ’
F2 ’
F3 ’
F2
Jedes Trapez ist inhaltsgleich einem Rechteck mit der gleichen Höhe
und der Mittellinie des Trapezes als Grundlinie.
Flächeninhalt des Trapezes:
1
ATrapez = m · h = 2 · (g1 + g2) · h
7.1.5. Flächeninhalt von Drachen und Raute
7.1.5.1. Flächeninhalt des symmetrischen Drachens
Ein symmetrischer Drachen ABCD wird durch seine Diagonale [AC] in zwei kongruente Dreiecke ABC und CDA mit
gemeinsamer Grundlinie [AC] zerlegt. Die Höhen [BS] und
[DS] sind gleich lang.
Grundlinie: AC = e
Also gilt:
Höhen:
ADrachen =
=
1
2
⋅e⋅
BS = DS =
D
f
2
S
A
f
2
AΔ ABC + AΔ CDA
f
2
+
1
2
⋅e⋅
f
2
=
1
2
⋅ e ⋅( 2f +
f
2
)
B
7.1.5.2. Flächeninhalt der Raute
Eine Raute kann als Spezialfall eines Parallelogramms und
eines symmetrischen Drachens angesehen werden. Man
kann deshalb, je nach Vorgabe, beide Formeln verwenden.
Mit AC= e, BD = f, AB = g und d(AB; CD) = h gilt:
Flächeninhalt der Raute: ARaute = g ⋅ h
ARaute = 21 ⋅ e ⋅f
C
e
f
2
D
C
e
S
f
A
B
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7.1.6. Übungsblatt: Flächenberechnung
Aufgabe 1
Zeichne die Figuren ins Heft und zeige, dass
die farbigen Flächen den gleichen Inhalt haben.
Aufgabe 2
Berechne die Breite eines 10 cm langen
Rechtecks, welches den gleichen Flächeninhalt hat wie ein Parallelogramm mit der
Grundlinie 15 cm und der Höhe 5 cm.
C
Aufgabe 3
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks erhält man auch aus nebenstehender
Zeichnung. Begründe!
D
F
E
M1
M2
A
B
Aufgabe 4
4 In einem Trapez mit den Grundlinien g1 und g2 und dem Flächeninhalt A ist h der Abstand der
Grundlinien. Berechne die fehlende Größe.
a) g1 = 80 cm
g2 = 0,5 m
A = 26 dm2
b) g2 = 15 cm
h = 7,5 dm
A = 0,75 m2
2
c) g1 = 2⋅g2 h =6,4 cm
A = 14,4 cm
Lösung
Aufgabe 1
Figuren ausschneiden und durch Umlegen die Zerlegungsgleichheit zeigen
Aufgabe 2
ARechteck = AParallelogramm
b ⋅ 10 cm = 15 cm ⋅ 5 cm b = 7,5 cm
Aufgabe 3
AABDF = AB ⋅ BD =
Aufgabe 4
a) 26 dm2 =
1
2
⋅ (8 dm + 5 dm) ⋅ h
⇔
h=
b) 75 dm2 =
1
2
⋅ (g1 + 1,5 dm) ⋅ 7,5 dm
⇔
g1 =
75 dm2 ⋅ 2
7,5 dm
⇔
g2 =
14,4 cm2 ⋅ 2
6,4 cm ⋅ 3
c) 14,4 cm2 =
1
2
1
2
⋅ g ⋅ h = ADreieck
⋅ (2 ⋅ g2 + g2) ⋅ 6,4 cm
26 dm2 ⋅ 2
13 dm
= 4 dm
− 1,5 dm = 18,5 dm
= 1,5 cm
g1 = 3 cm
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7.2. Winkelsätze am Kreis
7.2.1. Zusammenhang zwischen Randwinkel und Mittelpunktswinkel
Wir legen auf dem Kreis k einen Bogen AB fest sowie einen
Punkt C ∉ AB, und vergleichen den Randwinkel <) ACB über
p mit dem zugehörigen Mittelpunktswinkel <) AMB.
AB
Nach dem Außenwinkelsatz gilt:
μ1 = 2 ⋅ ϕ1
und μ2 = 2 ⋅ ϕ2
Daraus folgt:
μ
= μ1
+ μ2
⇔
μ
= 2 ⋅ ϕ1 + 2 ⋅ ϕ2
⇔
μ
= 2 ⋅ ( ϕ1 + ϕ2 )
⇔
μ
= 2⋅ϕ
ϕ =
1
2
μ
Für andere Lagen von C lässt sich dieser Zusammenhang in ähnlicher Weise zeigen.
7.2.2. Konstruktion des Fasskreisbogenpaares
n Berechne μ aus μ = 2 ⋅ ϕ
o Berechne α aus α = 90° − ϕ
p Konstruiere das gleichschenklige Δ ABM aus α und AB
p über [AB] mit Radius r = AM
q Zeichne den Kreisbogen BA
p
r Spiegle den Kreisbogen BA an AB.
B
M
M’
k’
k
A
7.2.3. Der Satz des Thales
Wählt man als Fasskreisbogen einen Halbkreis, so gilt:
μ = 180°
(gestreckter Winkel)
also gilt:
ϕ = 90°
Dieser Spezialfall des Umfangswinkelsatzes wird nach dem griechischen Mathematiker Thales von Milet als Satz des Thales bezeichnet.
7.2.4. Folgerungen
<) AP*B ist Außenwinkel im Dreieck Δ AP*P. Also
muss wegen des Außenwinkelsatzes gelten:
γ* = 90° + α*
⇒
γ* > 90°
<) APB ist Außenwinkel im Dreieck Δ APP'. Also
muss wegen des Außenwinkelsatzes gelten:
⇔
90° = γ’ + α’
γ’ = 90° − α’
⇒
γ’ < 90°
ϕ
μ
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7.2.5. Übungsblatt: Winkelsätze am Kreis
Aufgabe 1
1.0
1.1
1.2
Bei einer Filmvorführung ist der II.
Platz ausverkauft.
Fertige nach untenstehender Skizze
eine maßstabsgetreue Zeichnung
(1m
1cm). Zeichne für die
=^
Reihen 3, 4 und 5 auch die
Sitzplätze ein, wobei ein Platz 50 cm
breit sein soll.
Wie viele Filmbesucher auf dem II.
Platz sehen die Leinwand unter
einem Blickwinkel, der gleich (kleiner
als, größer als) 90° ist?
14 m
0,5 m
0,5 m
5m
1.
2.
3.
3m
II. Platz
4.
5.
6.
7.
Aufgabe 2
sind
die
2.0 Gegeben
A (3 | −6) und Bn (x | 3 − x) mit x ∈ Q
I .
Strecken
[ABn]
mit
2.1 Zeichne die Strecken [AB1],. . . , [AB5] für x ∈ {−3; 0; 2; 4; 6}.
2.2 Die Strecken [ABn] sind die Basen gleichschenklig - rechtwinkliger Dreiecke ABnCn.
Konstruiere für die in 5.1 gezeichneten Basen die Punkte C1, . . . , C5 und zeichne die
Dreiecke Δ AB1C1, . . . , Δ AB5C5.
2.3 Mit Mn werden die Mittelpunkte der Basen [ABn] bezeichnet. Was lässt sich über die Lage der
Punkte Mn und Cn aussagen?
Lösungen:
1
r=7m
Zu 9
> 90°
= 90°
< 90°
2.1 B1 (–3 | 6)
B2 (0 | 3)
B3 (2 | 1)
B4 (4 | –1)
B5 (6 | –3)
2.2 Zeichnung mit Geometrieprogramm
2.3 Die Punkte Mn liegen auf der Mittelsenkrechten zu [AB5], die Punkte Cn auf einer Parallelen zur x-Achse im Abstand 3 cm.
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7.3. Satzgruppe des Pythagoras
7.3.1. Der Höhensatz
Jedes rechtwinklige Dreieck wird durch die Höhe in zwei
rechtwinklige Teildreiecke zerlegt. Da diese in allen Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich:
Δ AHC ∼ Δ CHB
Man nennt [AH] und [BH] die zu b bzw. zu a gehörenden
Hypotenusenabschnitte.
Diese Strecken bzw. ihre Längen werden mit p bzw. q bezeichnet.
C
β α
b
AH ⋅ HB =
HC
2
⇔
q·p
h2
h·h
p·q
⇔
=
=
q
h
H
B
p
C
h
h
2
A
p
q H
B
p⋅q
q
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Höhe flächeninhaltsgleich
dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitt.
Höhensatz
7.3.2. Der Kathetensatz
In den Teildreiecken AHC und CHB treten Winkel mit den
Maßen α, β und 90° auf. Diese Winkelmaße hat aber auch
das Dreieck ABC.
Also gilt:
Δ AHC ∼
Δ CHB ∼
Δ ABC
AC : AH = AB : AC
CB : HB
= AB : CB
= AB ⋅ AH
BC
2
= AB ⋅ BH
=c⋅q
a2
AC
β
A
⇔
HC : HB
a
α
In ähnlichen Dreiecken stehen entsprechende
Seiten im gleichen Verhältnis:
AH : HC =
h
2
b2
Δ ABC
Kathetensatz
C
b2
b
b
A
q
H
B
c c⋅q
=c⋅p
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächeninhaltsgleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem an dieser Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt.
Mit Hilfe der beiden Flächensätze lassen sich in einem Dreieck, von dem außer dem rechten Winkel noch zwei Stücke bekannt sind, die anderen berechnen.
7.3.3. Der Satz des Pythagoras
Die beiden Figuren, mit denen der Kathetensatz
veranschaulicht wurde, können zu nebenstehender
Gesamtfigur zusammengesetzt werden.
I a2 = c · p
Kathetensatz
a2
C
b
a
2
a
b
b
A
q
⇔
p
c⋅q
c⋅p
c2
c
B
c
∧ II b2 = c · q
Kathetensatz
a2 + b2 = c · p + c · q
I + II
a2 + b2 = c · (p + q)
Distributivgesetz
⇔
a +b
⇔
a2 + b2 = c2
2
2
= c·c
p+q=c
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck
ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate
gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras kann bei Vorgabe
zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte
berechnet werden.
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7.3.4. Übungsblatt: Winkelsätze am Kreis
Aufgabe 1
1
Berechne x in Abhängigkeit vom Radius r.
a)
x
x
b)
c) d)
x
x
r
r
r
r
Aufgabe 2
2.0
Gegeben ist ein bei C rechtwinkliges Dreieck ABC mit AB = c = 8 cm.
2.1
2.2
2.3
2.4
Ferner gelte AC = x cm.
Welche Werte sind für x zulässig?
Stelle den Flächeninhalt A(x) des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von x dar.
Welchen Wert hat A für x = 5 cm?
Wie groß ist x, wenn das zugehörige Dreieck gleichschenkligrechtwinklig ist?
Aufgabe 3
3
Aufgabe 4
4.0
Ein Seil hängt von der Decke einer Halle frei nach unten. 60 cm
Seil liegen auf dem Boden. Um das Seil von der Decke bis zum
Boden
spannen
zu
können,
muss
man
3 m zur Seite gehen. Wie hoch ist die Halle?
Die Grundfläche einer 4,5 cm hohen, geraden Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF mit der
Seitenlänge a = 3 cm.
1
2
S
; ω = 450).
4.1
Zeichne ein Schrägbild (q =
4.2
4.3
Berechne die Länge einer Seitenkante.
Berechne den Inhalt der Oberfläche.
E
D
F
a
A
Aufgabe 5
5.0
5.1
5.2
5.3
Dem Quadrat ABCD ist ein Quadrat DEFG einbeschrieben.
Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABEF
in Abhängigkeit von a und b.
Das Trapez wird durch die eingetragenen Strecken in drei Dreiecke zerlegt. Berechne den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe dieser Dreiecke.
Weise durch Gleichsetzen der in 20.1 und 20.2
berechneten Terme die Gültigkeit des Satzes von
Pythagoras nach.
C
M
B
D
F
C
c
E
G
b
a
A
b
D
a
B
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Lösungen
Aufgabe 1
1
a) r – x = x
2
x ( 2 + 1) = r
2
b) ( 2r ) + (r – x)2 = ( 2r + x)2
c) (
r )2
2
2
2
+ x = (r – x)
2
2
2
d) r + (r + x) = (2r – x)
Aufgabe 2
2.1
2.2
+ r2 – 2rx + x2 =
2
2
1 r2
4
2
+ 2r + x2
2
+ x = r – 2rx + x
2
2
x = ( 2 – 1) r
x=
x=
2
r + r + 2rx + x = 4r – 4rx + x
x=
1
3
3
8
1
3
r
r
r
x ∈ ]0 ; 8[
2
BC = 64 – x2
A(x) =
1
2 ⋅ AC
2.3
A(5) =
1
2
2.4
AC = BC
z=
64 − x
BC =
⋅ BC
A(x) =
⋅ 5 ⋅ 64 − 5
2
1
2
⋅x⋅
2
2
64 − x cm2
A(x) = 15,61 cm2
x = z cm
64 − z
2
z2 = 64 – z2 2 x2 = 64
Aufgabe 3
3
Höhe der Halle:
Aufgabe 4
4.1
4.2
vgl. Zeichnung
s2 = h2 + a2
4.3
1 r2
4
1 r2
4
2
r
2 +1
x=
z = 5,66
x = 5,66 cm
xm
(x + 0,6)2 = x2 + 32
x = 7,2
Die Höhe der Halle beträgt 7,2 m, die Länge des Seils 7,8 m.
s = x cm
x2 = 4,52 + 32
hs = z cm
x = 5,41
s = 9,01 cm s = DS wird im
2
hs2 = h2 + ( a2 3 )
2
z2 = 4,52 + ( 32 3 )
z = 5,20
As = y cm2
hs = 5,20 cm
As = 21 ⋅ a ⋅ hs
y = 21 ⋅ 3 ⋅ 5,20
As = 7,8 cm2
O = AG + 6 ⋅ AS
y = 7,8
O=6⋅
2
O = (6 ⋅
hs
3 + 6 ⋅ AS
a
4
4,52
4
3 + 6 ⋅ 7,8) cm2
O = 99,41 cm2
Aufgabe 5
5.1
ATrapez =
5.2
ATrapez =
5.3
1
2
1
2
1
2
⋅ (a + b) ⋅ (a + b) ATrapez =
⋅a ⋅ b +
1
2
⋅a ⋅ b +
⋅ (a + b)2 = ⋅a ⋅ b +
1
2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
c2
1
2
1
2
⋅ (a + b)2
c2 = ab +
1
2
c2
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7.4.
Die zentrische Streckung
7.4.1. Definition der zentrischen Streckung für k ∈ IR+
Z ist ein Punkt der Zeichenebene. Jedem Punkt P der Zeichenebene
IE wird nach folgender Vorschrift genau ein Bildpunkt P’ ∈ IE zugeordnet.
Q’
Für P ≠ Z gilt:
(1) P’ liegt auf der Halbgeraden [ZP
(2)
Q
P’
+
ZP' = k ⋅ ZP
mit k ∈ IR
I (in der Zeichnung k = 3)
P
Z
Für P = Z gilt: P’ = P
R
S
Die so festgelegte Abbildung heißt zentrische Streckung.
R’
Für k > 1 liegt eine Vergrößerung, für 0 < k < 1 eine Verkleinerung, für
k = 1 die Identität vor.
S’
Anmerkung: Für das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor
k sind auch andere Bezeichnungen möglich.
Vergrößerung
7.4.2. Geometrische Bedeutung von k
Aus ZP' = k ⋅ ZP folgt: k = ZP' : ZP
k =
Länge der Bildstrecke
Länge der Urstrecke
Original
Sprechweise: „k ist das Verhältnis von Bildstrecke zu Urstrecke“.
Verkleinerung
Dabei versteht man unter dem Verhältnis zweier Strecken das Verhältnis ihrer Längenmaßzahlen, die in gleichen Einheiten zu messen
sind.
7.4.3. Grundkonstruktionen zur zentrischen Streckung
7.4.3.1. Konstruktion von Bildpunkten
Gegeben: Urpunkt P, Zentrum Z und
= 94
Faktor k = m
n
Bildpunkt P’
Gesucht:
Auf einer beliebigen Hilfsgeraden h
durch Z trägt man von Z aus zwei
Strecken mit den Längen m bzw. n
LE an, Endpunkte Q bzw. R.
Die Parallele p zu RP durch Q
schneidet g = [ZP im Punkt P’.
g ∩ p = { P’ }
h
k=
9
4
Q
m
p
P
R
P
g
7.4.3.2. Konstruktion von Urpunkten
Gegeben: Zentrum Z, Bildpunkt P’ und
Faktor k =
Gesucht:
m
n
Auf einer beliebigen Hilfsgeraden h
durch Z trägt man von Z aus zwei
Strecken mit den Längen m bzw. n
LE an, Endpunkte Q und R.
Die Parallele p zu QP’ durch R
schneidet [ZP’ im Punkt P: ZP’ ∩ p =
{P}
Z
Q'
= 85
Q
Urpunkt P
n
Z
n
m
h
k = 85
p
P
P’
g
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7.4.3.3. Konstruktion des Streckungszentrums
Gegeben: Urpunkt P, Bildpunkt P’ und
= 35
Faktor k = m
n
Gesucht:
Q’
Q
k= 5
Streckungszentrum Z
3
m
n
Auf zwei Parallelen durch P und P’
trägt man Strecken der Längen m LE
und n LE an.
Z ist der Schnittpunkt der Verbindungslinien der Endpunkte:
PP’ ∩ QQ’ = { Z }
Z
P
P’
Q’
7.4.4. Die zentrische Streckung mit beliebigem Streckungsfaktor
7.4.4.1. Die zentrische Streckung mit k < 0
Man erhält die Bildpunkte einer zentrischen Streckung mit negativem Streckungsfaktor k, indem man
die Urpunkte erst durch die Punktspiegelung an Z
abbildet (k = −1) und deren Bildpunkte mit dem positiven Faktor |k| streckt.
P’
P*
P
+
7.4.4.2. Grundkonstruktion zur zentrischen Streckung mit k < 0
Gegeben: Streckungszentrum Z, Urpunkt P
Streckungsfaktor k = − m
= − 32
h
n
Gesucht:
+
Q
Z
P
Z
Z; | k|
l⎯⎯→ P* l⎯⎯⎯→ P’
Q
Q
p
Bildpunkt P’ bei der zentrischen StreZ; k
Lösung:
ckung P I⎯⎯⎯→ P’
1.
Man verbindet Z mit P
durch eine Gerade g.
2.
Auf einer beliebigen Hilfsgeraden h
durch Z trägt man von Z aus m bzw.
n Einheiten nach verschiedenen Seiten an (Endpunkte Q bzw. Q').
3.
Die Parallele p zu PQ durch Q'
schneidet ZP im Bildpunkt P’.
P’
P
Z
Q'
g
k = − 32
7.4.4.3. Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung für k ∈ IR \ {0}
Z; k
Zentrische Streckung:
P I ⎯⎯⎯→ P’
Bestimmungsstücke:
Abbildungsvorschrift:
Streckungszentrum Z, Streckungsfaktor k
P ≠ Z:
n
Der Bildpunkt liegt auf der Geraden ZP.
o
Seine Entfernung von Z ist das |k|-fache
der Entfernung von P zu Z: ZP' = | k | ⋅ ZP
p
P = Z:
P und P’ liegen
für k < 0 auf entgegen gesetzten
für k > 0 auf derselben Halbgeraden
von Z aus.
Das Zentrum wird auf sich selbst abgebildet.
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7.5.
Die Vierstreckensätze
Wir betrachten einen Winkel <) (s1; s2), dessen Schenkel von
einem Parallelenpaar (g; h) geschnitten werden.
Auf den Schenkeln des Winkels werden Strecken abgeschnitten, für die bestimmte Beziehungen gelten. Man fasst sie unter dem Namen „Vierstreckensatz“ zusammen.
D
B
g
ZC
ZD
= k und
ZB
h
Z
A
7.5.1. Der erste Vierstreckensatz
Man kann die Figur auch so deuten, dass die Gerade g vom
Scheitel Z aus zentrisch gestreckt wird auf die zu g parallele
Bildgerade h. Folglich gilt zum Beispiel:
ZA
s2
C
s1
ZC : ZA = ZD : ZB
= k, woraus folgt:
Auf diese Weise lassen sich eine Reihe weiterer Beziehungen herleiten, auch für negative Streckungsfaktoren.
B
A
Z
Z
A
C
C
D
ZC : ZA = ZD : ZB
Z
Z
B
D
ZC : ZA = ZD : ZB
B
A
C
D
ZA : AC = ZB : BD
B
A
C
D
ZC : AC = ZD : BD
Allgemein
Werden zwei durch Z verlaufende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich
zwei beliebige Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen.
7.5.2. Der zweite Vierstreckensatz
Auch die Parallelstrecken werden im Verhältnis k gestreckt. Dies gilt ebenso bei einer zentrischen
Streckung mit negativem Streckungsfaktor.
C
A
daraus folgt:
CD : AB = ZC : ZA
D
B
C
CD
ZC
= k und
=k
ZA
AB
Z
B
Z
D
A
Allgemein
Werden zwei durch Z verlaufende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die
Parallelstrecken zueinander wie die Entfernungen ihrer Endpunkte von Z auf derselben Geraden.
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7.6.
Ähnlichkeit von Figuren
7.6.1. Verknüpfung von zentrischen Streckungen mit Kongruenzabbildungen
Wir bilden Dreieck ABC zuerst durch eine zentrische
D
Streckung ab und dann das Bilddreieck A*B*C* weiter durch eine Drehung:
ϕ
B’
B*
D; ϕ
Δ ABC I⎯⎯
⎯→ Δ A*B*C* I⎯⎯
⎯→
Es gelten folgende Aussagen:
Z; k
C*
Δ A’B’C’
zentrische Streckung P I⎯⎯
⎯→ P*
(1) Ur- und Bildwinkel haben gleiches Maß.
(2) Bildstrecken haben die |k|-fache Länge der
Urstrecken.
D; ϕ
Drehung P* I⎯⎯
⎯→ P’
(1) Original- und Bildwinkel haben gleiches Maß.
(2) Original- und Bildstrecken haben gleiche Länge.
Z; k
B
A*
A’
C
A
C’
Z
7.6.2. Ähnlichkeit
Die Verknüpfung einer zentrischen Streckung mit einer Kongruenzabbildung bezeichnet man als
Ähnlichkeitsabbildung.
Zwei Figuren F1 und F2, die durch eine Ähnlichkeitsabbildung aufeinander abgebildet werden, heißen zueinander ähnlich. Man schreibt: F1 ∼ F2. Es gilt:
Ähnliche Figuren stimmen überein
1.
2.
in den Maßen entsprechender Winkel.
in den Verhältnissen entsprechender Seiten.
7.6.3. Ähnliche Dreiecke
Für zwei ähnliche Dreiecke ABC und A’B’C’ ergeben sich folgende Beziehungen:
a’ : b’
a’ : c’
b’ : c’
= a:b
= a:c
= b:c
α’
β’
γ’
=
=
=
B’
α
β
γ
a’
C’
Im Folgenden suchen wir Kennzeichen für die Ähnlichkeit von Dreiecken, die hinreichend sind, um die
Ähnlichkeit von Dreiecken zu garantieren. Wir bezeichnen sie als
Ähnlichkeitssätze. Zu jedem
Kongruenzsatz gibt es einen entsprechenden Ähnlichkeitssatz.
B
β
α
β’ = β
A
b’
a
γ
α’
b
A’
C
7.6.4.1. 1. Ähnlichkeitssatz
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Maßen zweier Winkel übereinstimmen.
∧
γ’
c
7.6.4. Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Nach dem Kongruenzsatz WSW sind zwei Dreiecke kongruent, wenn
sie in der Länge einer Seite und den Maßen der anliegenden Winkel
übereinstimmen. Bei der zentrischen Streckung bleiben die Winkelmaße erhalten. Durch zwei Winkel ist aber die Form eines Dreiecks bereits festgelegt.
α’ = α
β’
⇒
β’
a’
c’
C’ γ’
a
b
C
β
B
γ
Δ ABC ~ Δ A’B’C’
Ersetzt man in den Kongruenzsätzen SSS, SWS und SSWg „Längengleichheit“ von Seiten durch „Verhältnisgleichheit“, so erhält man die
weiteren Ähnlichkeitssätze.
B
’
c
b
α’
α
A = A’
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7.6.4.2. 2. Ähnlichkeitssatz
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Verhältnissen zweier
Seiten und im Maß des von ihnen eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.
a’ : c’ = a : c
∧
β’ = β
⇒
Δ ABC ~ Δ A’B’C’
7.6.4.3. 3. Ähnlichkeitssatz
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Verhältnissen der drei
Seiten übereinstimmen.
a’ : b’ = a : b
∧
a’ : c’ = a : c
⇒
Δ ABC ~ Δ A’B’C’
7.6.4.4. 4. Ähnlichkeitssatz
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Verhältnissen zweier
Seiten und im Maß des Gegenwinkels der größeren Seite übereinstimmen.
a’ : c’ = a : c
∧
α‘ = α ∧ a > c ⇒
Δ ABC ~ Δ A’B’C’
Für andere Seiten und Winkelbezeichnungen gilt Entsprechendes.
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7.6.5. Übungsblatt: Die zentrische Streckung
Aufgabe 1
1.0
1.1
1.2
1.4
Dreieck ABC wird durch zentrische Streckung auf Dreieck A'B'C' abgebildet.
A (–3,5 | –0,5)
B (–0,5 | 4)
C (–6,5 | 2,5)
A' (4 | 2) B' (2 | –1).
Zeichne Dreieck ABC sowie die Seite [A'B']. Konstruiere das Streckungszentrum Z und den
Punkt C'. Zeichne das Dreieck A'B'C'.
Bestimme den Streckungsfaktor k und die Koordinaten des Streckungszentrums Z.
[ Teilergebnis: k = – 32 ]
Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke ABC und A'B'C'.
Aufgabe 2
2.0 Die Strecke [AB] mit A (–3 | 4) und B (–2 | 7) wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum
Z1
(–6
|
9)
und
dem
Streckungsfaktor
k1 = 2,5 auf die Strecke [A'B'] abgebildet.
2.1 Zeichne die Strecke [AB] in ein Koordinatensystem ein und führe die Abbildung durch.
2.2 Aus
der
B' (4 | 4)
Zeichnung
ergibt
sich:
A'
(1,5
|
–3,5),
2.3 [AB] kann auch durch zentrische Streckung mit k2 = –2,5 auf [A'B'] abgebildet werden, mit
Z ;k
Z ;k
2 2
2 2
A I⎯⎯⎯⎯
→ B' und B I⎯⎯⎯⎯
→ A'.
Konstruiere das zugehörige Streckungszentrum Z2 im Koordinatensystem von 5.1.
2.4 Berechne die Koordinaten des Streckungszentrums Z2.
Aufgabe 3
3.0 Dreieck ABC mit A (0 | 2), B (2 | 0) und C (4 | 2) wird durch zentrische Streckung auf das Dreieck A'B'C' mit A' (–2 | 0) und B' (–1 | –1) abgebildet.
3.1 Konstruiere das Zentrum Z und Δ A'B'C'.
3.2 Ermittle den Streckungsfaktor k.
Aufgabe 4
4.0 Von einem Trapez ABCD kennt man die Grundlinien a = 6,6 cm, c = 3 cm, die Höhe
h = 3,5 cm sowie das Winkelmaß ß = 48°.
4.1 Konstruiere das Trapez ABCD.
4.2 Berechne seinen Flächeninhalt.
4.3 Verlängere die beiden Schenkel bis zum Schnittpunkt Z. Das Trapez wird vom Zentrum Z aus
so gestreckt, dass die Seite [CD] auf die Mittelparallele von ABCD abgebildet wird. Konstruiere das Bild A'B'C'D'.
4.4 Berechne den Streckungsfaktor k und damit möglichst einfach den Flächeninhalt des Trapezes A'B'C'D'.
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Lösungen
1.1 Siehe Zeichnung
1.2 k = – 32
Z (1 | 1)
1.3 AΔABC = 11,25 FE
AΔA’B’C‘ = 5 FE
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.2
Siehe Zeichnung
A‘ (1,5 | –3,5)
Siehe Zeichnung
Z2 (–1 | 4)
Siehe Zeichnung
⎛ 2 ⎞
AB = ⎜ ⎟
⎝ − 2⎠
B‘ (4 | 4)
⎛ 1⎞
A ' B' = ⎜ ⎟
⎝ − 1⎠
C‘ (0 | 0)
also k =
1
2
3.3
Z‘ (–4 | –2)
4.1
Man kann folgendermaßen vorgehen:
1.
[AB] mit AB = 6,6 cm antragen.
2.
Winkel mit β = 48° antragen in B an [BA antragen, freier Schenkel s.
3.
Parallele p zu AB im Abstand h = 3,5 cm zeichnen.
4.
Schnittpunkt von p und s ist C.
5.
Kreis k um C mit Radius r = 3 cm zeichnen.
6.
Der Kreis k schneidet p in D.
Zu 2
Es gibt bei 3. und 6. jeweils zwei Möglichkeiten, die
aber zu falsch orientierten Dreiecken führen.
A = 21 ⋅ (6,6 cm + 3 cm) ⋅ 3,5 cm = 16,8 cm2
4.2
4.3
vgl. Zeichgnung
4.4
Streckungsfaktor k = ZD ' = m
= 1,6A' = k2 ⋅ A
c
ZD
A' = 1,62 ⋅ 16,8 cm2 = 43 cm2
Zu 3
p
s
Zu 4