Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme Leseprobe

Leseprobe
Kirbs
Einführung in die Statik
und räumliche Kraftsysteme
TECHNISCHE MECHANIK
Studienbrief 2-050-0904
3. Auflage 2008
HDL
HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Impressum
Verfasser:
Prof. Dr.-Ing. Jörg Kirbs
Professor für Technische Mechanik / Festigkeitslehre
und FEM-Anwendung
im Fachbereich Maschinenbau an der Hochschule Merseburg
Der Studienbrief führt die beiden Studienbriefe „Einführung in die Statik“ (2-050-0901) und „Das räumliche Kraftsystem“ (2-050-0904) zusammen. Die Inhalte wurden auf der Grundlage des Curriculums für
das Studienfach „Technische Mechanik“ verfasst. Die Bestätigung des Curriculums erfolgte durch den
Fachausschuss „Grundständiges Fernstudium Wirtschaftsingenieurwesen“,
dem Professoren der folgenden Fachhochschulen angehörten:
HS Anhalt, FHTW Berlin, TFH Berlin, HTWK Leipzig, HS Magdeburg-Stendal, HS Merseburg, HS Mittweida,
FH Schmalkalden, FH Stralsund, TFH Wildau und WH Zwickau.
3. Auflage 2008
ISBN 978-3-86946-045-1
Redaktionsschluss: Mai 2008
Studienbrief 2-050-0904
© 2008 by Service-Agentur des Hochschulverbundes Distance Learning.
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Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Inhalt
Formelzeichen.................................................................................................................................................................................4
Einleitung..........................................................................................................................................................................................5
Literaturempfehlung.....................................................................................................................................................................5
1
Einführung in die Statik............................................................................................................................................6
1.1
Begriffe, Definitionen...............................................................................................................................................................................6
1.1.1
Die Kraft.........................................................................................................................................................................................................6
1.1.2
Der starre Körper........................................................................................................................................................................................8
1.1.3
Äquivalenz und Resultierende von Kräften.....................................................................................................................................8
1.1.4
Das Gleichgewicht.....................................................................................................................................................................................8
1.2
Lehrsätze der Statik...................................................................................................................................................................................9
1.2.1
Gleichgewichtssatz...................................................................................................................................................................................9
1.2.2
Reaktionssatz . ............................................................................................................................................................................................9
1.2.3
Verschiebungssatz.................................................................................................................................................................................. 10
1.2.4
Parallelogrammregel............................................................................................................................................................................. 10
1.3
Das Schnittprinzip...................................................................................................................................................................................11
2
Das zentrale räumliche Kraftsystem..................................................................................................................13
2.1
Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften ............................................................................................................................. 13
2.1.1
Graphische Lösung................................................................................................................................................................................. 13
2.1.2
Analytische Lösung................................................................................................................................................................................ 14
2.2
Kräftegleichgewicht............................................................................................................................................................................... 15
3
Das allgemeine räumliche Kraftsystem............................................................................................................17
3.1
Das Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes..................................................................................................................... 17
2.2
Gleichgewicht von Kräften und Momenten................................................................................................................................. 19
3.3
Berechnung von räumlichen Auflagerreaktionen...................................................................................................................... 22
3.4
Schnittgrößen des räumlichen Balkens.......................................................................................................................................... 24
3.5
Übungsaufgaben.................................................................................................................................................................................... 30
Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben.......................................................................................................................31
Literaturverzeichnis.................................................................................................................................................................... 33
HDL
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Formelzeichen
HDL
Bedeutung
Formelzeichen
Einheitenzeichen Physikalische Einheit
Längenabmessungen
a, b, c
mm
Millimeter
Betrag der Kraft bzw. Kraftvektor
F bzw. F
N
Newton
Komponenten einer Kraft
Fx , Fy , Fz
N
Resultierende von Kräften
FR
N
Stab- oder Seilkraft
Fs
N
eingeprägte Kraft
Fi
N
Statisches Moment
um den Bezugspunkt 0
M0
Nm
Komponenten des statischen
Momentes
M0x , M0y , M0z
Nm
Biegemomente
Mby , Mbz
Nm
Torsionsmoment
Mt
Längskraft
N
N
Querkräfte
Q y , Qz
N
Linienlast
q
N/mm
Newton/Millimeter
Ortsvektor
r
m
Meter
Projektion des Ortsvektors r
auf die ����������
x-y-Ebene
l = x2 + y2
m
Schnittpunkt i
Si
–
Winkelbezeichnungen
 , x , y , z ,  , 
° oder rad
Summe aller Kräfte
in der gekennzeichneten Richtung
"
x:
Summe aller Momente
in der gekennzeichneten Richtung
I
x:
Newtonmeter
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
17
Entsprechend der drei Achsrichtungen werden nun die Gleichgewichtsbedingungen formuliert:
Die Winkel α und β zwischen den Kräften und den Achsrichtungen
lassen sich hierbei leicht aus den geometrischen Verhältnissen in
Bild 1.2 ermitteln:
3x:
2F + FS3 · sin β = 0,
. z:
FS1 + FS2 · sin α = 0,
"y:
F + FS2 · cos α + FS3 · cos β = 0
(Die Richtung des zu bildenden Gleichgewichtes muss nicht mit der
positiven Achsrichtung übereinstimmen.).
Mit α = β = 45° ergibt sich für die drei unbekannten Stabkräfte:
FS1 = −F
FS2 = 2F
FS3 = −2 2F
3
Das allgemeine räumliche Kraftsystem
3.1
Das Moment einer Kraft
bezüglich eines Punktes
Genau wie beim ebenen Kraftsystem wird auch hier das statische Moment einer Kraft immer bezüglich eines Drehpunktes 0 definiert.
Dies soll am Beispiel von Bild 2.1 demonstriert werden:
z
F
γ
0
M0
r
γ
y
·
l
x
y
x
Bild 3.1
Statisches Moment der Kraft F bezüglich des Punktes 0
Das statische Moment ist genau wie die Kraft ein Vektor. Es ist definiert als
Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von Ortsvektor r und Kraft F .
M0 = r x F
Merksatz
(3.1)
HDL
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Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Damit ergibt sich der Betrag aus:
M0 = |r| · |F| · γ = F · l
(3.2a)
Die Richtung von M0 ist mit Gleichung (2.1) ebenfalls gegeben: M0 steht senkrecht auf der Ebene, die von r und F aufgespannt wird derart, dass r, F und M0
ein Rechtssystem bilden.
Zur Unterscheidung von der Kraft wird das Moment mit einem Doppelpfeil gekennzeichnet.
Merksatz
Zur Bestimmung der Drehrichtung wird die „Rechte-Hand-Regel“ genutzt:
Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung des Doppelpfeils, so geben
die übrigen Finger die Drehrichtung des Momentes an.
Hinweis:
Da im Weiteren nur der Betrag des Momentes von Interesse ist, soll
im folgenden Text auf die Vektordarstellung verzichtet werden.
Ähnlich wie die Kraft lässt sich auch das Moment in Komponenten zerlegen
(siehe Bild 2.2):
z
M0y
α
M0
0
y
α
l
M0x
x
Bild 3.2
F
x
y
Komponentenzerlegung des statischen Momentes M0
M20x = M0 · sin α = F · l · sin α = F · y
M0y = M0 · cos α = −F · l · cos α = −F · x
M0z = 0
(3.2b)
M0 = M0x 2 + M0y 2 + M0z 2 ������
Diese Komponenten können auch als Momente der Kraft bezüglich der Achsen
x, y und z gedeutet werden.
Im vorliegenden Fall ist M0z das Moment der Kraft F bezüglich der Achse z
gleich null.
HDL
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Es gilt allgemein: Schneidet eine Kraft F eine Achse oder verläuft ihre Wirkungslinie parallel zu dieser, so ist das Moment der Kraft bezüglich dieser
Achse gleich Null.
Merksatz
Bei Schwierigkeiten mit dem räumlichen Vorstellungsvermögen stellt die Anwendung dieses Satzes eine wesentliche Erleichterung zur Ermittlung der statischen Momente dar.
2.2
Gleichgewicht von Kräften und Momenten
Nach der Definition des statischen Momentes einer Kraft bezüglich eines
Punktes sind nun die Grundlagen gelegt, um die Gleichgewichtsbedingungen
des allgemeinen räumlichen Kraftsystems zu formulieren:
symbolisch:
n
∑F
ix
=0
5
x: = 0
i=1
n
∑F
iy
=0
" y: = 0
=0
- i=1
n
∑F
iz
i=1
n
∑M
z: = 0
i0x
=0
i0y
=0
Iy0: = 0
=0
z0: = 0
x0: = 0*
i=1
n
∑M
i=1
n
∑M
i0z
19
i=1
* Lies: Summe aller Momente um die x-Achse durch den Punkt 0 ist gleich 0.
(3.3)
Auch hier gibt es unendlich viele weitere Gleichgewichtsbedingungen, jedoch
sind immer nur genau sechs von diesen linear unabhängig.
Das bedeutet, dass nur sechs Unbekannte aus den räumlichen Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden können.
Ein freier starrer Körper hat im Raum sechs Freiheitsgrade (drei Verschiebungsund drei Verdrehfreiheitsgrade). Bei einem statisch bestimmten System treten
genau die sechs unbekannten Lagerkräfte auf, die aus dem Gleichgewicht ermittelt werden können.
Oftmals bietet es für die Ermittlung der Unbekannten rechentechnische Vorteile, ausschließlich Momentengleichgewichte um verschiedene Bezugspunkte
zu verwenden.
HDL
20
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Dies soll am folgenden Beispiel veranschaulicht werden:
Beispiel
B 3.1
Aufgabe: Bild 2.3 und 2.4 zeigen einen von sechs Stabstützen gestützten und durch drei Einzelkräfte belasteten Quader. Zur Ermittlung der unbekannten Stützkräfte könnten drei Kräftegleichgewichte und drei Momentengleichgewichte verwendet werden.
Dies führt auf ein Gleichungssystem von sechs Gleichungen mit
sechs Unbekannten, wobei in der Regel in jeder Gleichung mindestens zwei Unbekannte auftauchen.
C
F1
6
F3
F2
c
B
a
2 A
1 3
Bild 3.3
HDL
b
Räumlich gestützter Körper
5
4
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
z
y
Fs6
F1
C
x
F3
F2
c
B
Fs2
Fs1
Bild 3.4
Fs4
a
A
b
Fs3
Fs5
Schnittskizze zu Bild 2.3
Lösung: Durch geschickte Wahl der Gleichgewichte kann man aber
erreichen, dass in jeder Gleichung nur eine Unbekannte vorhanden
ist und sich der Rechenaufwand dadurch wesentlich reduziert.
Mögliche Gleichgewichtsbedingungen für diesen Fall sind:
xA:
zA:
zC:
xB:
HyB:
HyC:
Fs5 · b − F2 · c + F3 · b
=0
Fs4 · a − F1 · b
=0
Fs2 · a − F1 · b + F2 · a
=0
Fs3 · b + F2 · c
=0
Fs6 · c − Fs3 · a + F1 · c − F3 · a = 0
Fs1 · c − Fs3 · a − F3 · a
= 0.
HDL
21
22
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Wenn man das Gleichungssystem kontinuierlich von oben nach unten auflöst, steht in jeder Zeile nur eine Unbekannte und es ergeben sich folgende Lösungen:
c
Fs5 = F2 − F3
b
b
Fs4 = F1
a
b
Fs2 = F1 − F2
a
c
Fs3 = − F2
b
a
a
Fs6 = −F1 − F2 + F3
b
c
a
a
Fs1 = − F2 + F3
b
c
Mit Hilfe der drei Kräftegleichgewichte entlang der Achsen x, y, z besteht die Möglichkeit der Ergebniskontrolle.
3.3
Berechnung
von räumlichen Auflagerreaktionen
Neben der Stabstütze gibt es noch eine Vielzahl anderer räumlicher Lagertypen, von denen an dieser Stelle jedoch nur zwei genannt werden sollen: Dies
sind das räumliche feste Lager und die räumliche Einspannung.
Das Bild 2.5 zeigt eine symbolische Darstellung des räumlichen festen Lagers.
Dieses Lager kann Kräfte in allen drei Richtungen (x, y, z) aufnehmen, jedoch
bleibt damit die freie Verdrehbarkeit um alle drei Achsen unbehindert. Dieses
Lager wird als dreiwertiges Lager bezeichnet.
oder
Bild 3.5
Symbolische Darstellung des räumlichen festen Lagers
Die räumliche Einspannung (Bild 2.6) kann sowohl Kräfte als auch Momente
in allen drei Richtungen aufnehmen; somit sind alle Verschiebungen und Verdrehungen verhindert. Man spricht hierbei auch von einer sechswertigen Lagerung. Zur Berechnung der Auflagerreaktionen wird das betreffende System
von seiner Lagerung freigeschnitten und die möglichen Kräfte und Momente
werden an Stelle der Lagerung angetragen. Diese werden dann mit Hilfe der
Gleichgewichtsbedingungen ermittelt.
HDL
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Bild 3.6
Symbolische Darstellung der räumlichen Einspannung
B 3.2
Aufgabe: Für den in Bild 2.7 dargestellten eingespannten abgewinkelten Träger sind die Auflagerreaktionen zu ermitteln!
F3
A
b
a
F2
.
Bild 3.7
Beispiel
F1
.
c
Fest eingespannter abgewinkelter Träger
Lösung: Beim Freischneiden ist die Wahl des Richtungssinns der
Auflagerreaktionen willkürlich. Er muss nicht mit den positiven
Achsrichtungen übereinstimmen (vgl. Bild 2.8).
MAz
MAy
F3
FAz
FAy
.
FAx
b
a
MAx
.
F1
F2
c
z
y
x
Bild 3.8
23
Schnittskizze zu Bild 2.7
HDL
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Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Zur Ermittlung der unbekannten Kräfte und Momente an einer
Einspannung ist es rechentechnisch immer sinnvoll, die drei Kräftegleichgewichte in den Achsrichtungen und die drei Momentengleichgewichte um den Punkt der Einspannung zu verwenden.
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen:
"y:
5x:
- z:
HyA:
xA
zA:
F2 − FAy
=0
FAx + F3
=0
FAz − F1
=0
MAy + F1 · c
=0
MAx − F1 · a + F2 · b = 0
MAz − F3 · a − F2 · c = 0
Daraus ergeben sich folgende Auflagerreaktionen:
FAy = F2
FAx = − F3
FAz = F1
MAy = −F1 ⋅ c
MAx = F1 ⋅ a − F2 ⋅ b
MAz = F3 ⋅ a + F2 ⋅ c
3.4
Schnittgrößen des räumlichen Balkens
Im Zusammenhang mit dem ebenen Kraftsystem wurden in Kothe (2001b) die
Schnittgrößen des ebenen Balkens behandelt. Zu den dortigen drei Schnittgrößen – Längskraft N, Querkraft Q und Biegemoment M – kommen beim
räumlichen Balken noch drei weitere hinzu.
Bild 2.9 zeigt die Definition der Schnittgrößen des räumlich belasteten Balkens
am positiven und negativen Schnittufer.
Mbz
Mbz
N Mt Mt
Mby
N
x
y
Qy
Positives Schnittufer
HDL
Qy
z
Mby
Bild 3.9
Qz
Schnitt
Qz
Negatives Schnittufer
Definition der Schnittgrößen des räumlich belasteten Balkens (Index b für Biegung; Index t für Torsion)
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Hierzu sind mehrere Anmerkungen notwendig:
1. Die Schnittgrößen des ebenen Balkens sind in denen des räumlichen Balkens enthalten (wobei Q = Qz und M = Mby).
Im Unterschied zum ebenen Balken können jetzt zwei Querkräfte (Qy, Qz)
und zwei Biegemomente (Mby, Mbz) vorhanden sein.
2. Die Momente Mby und Mbz verursachen eine Biegung des Balkens um die ybzw. z-Achse; sie werden daher zusätzlich mit dem Index b (b von Biegung)
versehen.
Das Moment um die x-Achse verursacht eine Verdrehung um die Längsachse des Balkens. Diese Verdrehung wird als Torsion bezeichnet; deswegen
der Index t. Beim ebenen Balken ist diese Unterscheidung nicht notwendig,
da dort nur ein Moment vorhanden ist, das als Biegemoment wirkt.
3. Am positiven Schnittufer wirken alle Schnittgrößen in positiver Achsrichtung, mit einer Ausnahme: Das Biegemoment Mbz wirkt in negativer Achsrichtung.
Diese Ausnahmeregelung soll im Folgenden begründet werden:
Wenn man nur die x-z-Ebene betrachtet (Bild 2.10), erhält man die Schnittgrößen des ebenen Balkens.
Bild 3.10
Betrachtung der x-z-Ebene
Hierfür gilt die differentielle Beziehung (s. Kothe, 2001b):
dMby
Qz =
.
dx
Die Querkraft in z-Richtung Qz ist gleich der ersten Ableitung des Biegemomentes in y-Richtung nach der x-Koordinate.
Um diese Beziehung zwischen Querkraft und Biegemoment auch in der
x‑y‑Ebene wirksam werden zu lassen (Bild 2.11), muss das Biegemoment Mbz
in der angegebenen Richtung wirken.
HDL
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Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Bild 3.11
Betrachtung der x-y-Ebene
Hinweis: In vielen Lehrbüchern wird der Einfachheit halber jedoch auf diese
Ausnahmeregelung verzichtet, so dass alle Schnittgrößen am positiven
Schnittufer in positiver Achsrichtung wirken. Aus mechanischer Sicht ist
diese Vorgehensweise nicht sinnvoll!
Am Beispiel des Abschnittes 2.3 (Bild 2.7) soll nun die Berechnung der Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken demonstriert werden.
Beispiel
B 3.3
Aufgabe: Berechnung der Schnittgrößen am räumlich belasteten
Balken (s. Bild 2.7).
Lösung: Zunächst wird der abgewinkelte Träger in drei Bereiche
eingeteilt (Zur Definition der Bereiche, siehe Kothe, 2001b.).
Für jeden dieser Bereiche wird ein (lokales) Koordinatensystem definiert und ein gedanklicher Schnitt durchgeführt (Bild 2.12 ff.).
Bild 3.12
Definition der (lokalen) Koordinatensysteme der Bereiche 1 bis 3
Die Achsen xi sollen grundsätzlich in Richtung der Balkenachsen
eingeführt werden. Die übrigen Achsen sind beliebig. Dabei ist es
unerheblich, ob das System beginnend mit der Einspannung oder
vom freien Ende aus abgearbeitet wird.
Es sollte jedoch darauf geachtet werden, dass die einzelnen x‑Koor­
dinaten nicht gegenläufig zueinander definiert werden!
Oft beginnt man bei einem eingespannten Balkensystem am freien
Ende, da in diesem Falle zur Schnittgrößenberechnung die vorherige Auflagerberechnung nicht notwendig ist.
HDL
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Die Berechnung der Schnittgrößen in den Bereichen 1 bis 3 erfolgt
nun mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen:
Bild 3.13
Bereich 1 (0 ≤ x1 ≤ c)
Bereich 1: 0 ≤ x1 ≤ c
5
:
N1
=0
Mt1
=0
. :
Qy1 + F1
= 0;
S1:
Mby + F2 · x1 = 0
S1:
Qy1 = −F1
Mby1(x1 = 0) = 0
Mby1(x1 = c) = ��
−F2 · c
" :
HS1:
Qz1 + F2
= 0;
Qz1 = −F2
Mbz1 + F1 · x1 = 0
Mbz1(x1 = 0) = 0
Mbz1(x1 = c) = −F1 · c
HDL
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28
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Bild 3.14
Bereich 2 (0 ≤ x2 ≤ b)
Bereich 2: 0 ≤ x2 ≤ b
-
: N2 − F1
S2: Mt2 −
���F2 · c = 0;
Mt2 = F2 · c
!
H
5
: Qy2 − F2
Qy2 = F2
= 0;
= 0;
S2: Mby2 + F1 · c = 0;
: Qz2
=0
S2: Mbz2 − F2 · x2= 0
Mbz2 (x2 = 0) = 0
Mbz2 (x2 = b) = F2 · b
HDL
N2 = F1
Mby2 = −F1 · c
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Bild 3.15
Bereich 3 (0 ≤ x3 ≤ a)
Bereich 3: 0 ≤ x3 ≤ a
! :
H S3 :
. :
S3:
N3 − F2
= 0; N3
= F2
Mt3 + F1 · c
= 0; Mt3 = −F1 · c
Qy3 + F1
= 0; Qy3 = −F1
Mby3 + F3 · x3 + F2 · c = 0
Mby3 (x3 = 0)
= ��
−F2 · c
Mby3(x3 = a)
= −F3 · a − F2 · c
5
Qz3 + F3
= 0; Qz3 = −F
��3
S3:
Mbz3 − F2 · b + F1 · x3 = 0
Mbz3(x3 = 0)
= F2 · b
Mbz(x3 = a)
= F2 · b −
���F1 · a
Auf die graphische Darstellung der Schnittgrößen, wie im ebenen
Fall, soll hier wegen der Unübersichtlichkeit verzichtet werden.
Sind einzelne Bereiche des Trägersystems durch eine Linienlast belastet, gelten
für die Linienlast in y-Richtung, Qy und Mbz einerseits sowie für die Linienlast in
z-Richtung, Qz und Mby andererseits die gleichen Zusammenhänge wie beim
ebenen Fall (vgl. Kothe, 2001a).
Das bedeutet im Einzelnen (Kothe, 2001b):
dQ y
dQ z
= −qy (x ) und
= −qz (x )
dx
dx
dMbz
= Qy
dx
dMby
dx
= Qz
Diese Zusammenhänge können wieder zur Bestimmung der Querkraft- und Momentenverläufe genutzt werden.
HDL
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