Formelsammlung Elektrotechnik Stand: 16. Juli 2001 Seite 3
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Formelsammlung Thema Magnetismus Magnetfeld in Leitern Magnetfeld in Spule Merkblatt Magnetismus Der Magnet Magnetischer Fluß Arten des Magneten Entmagnetisieren Magnetischer Fluß Magnetische Flußdichte Magnetische Durchflutung Magnetische Feldstärke Kräfte auf stromdurchflossenen Le. Tragkraft eines Magneten Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld (Motorprinzip) Induktion Induktion der Ruhe (Trafoprinzip) Selbstinduktion Spule (Induktivität) Stand: 16. Juli 2001 Elektrotechnik Bereiche Unterscheidung und Verlauf Zeichnung Zeichnung Wesen Vorkommen Ursache Wirkung Wertung Arten Aufbau Magnetfeld Leitfähigkeit für magnetische Kraftlinien Sättigung Magnetische Flußdichte Weicheisenmagnet Harteisenmagnet Stahlmagnet Erklärung Einheit und Erklärung Berechnung Berechnung Berechnung Zusammenhang Flußdichte – Feldstärke Magnetisierungskennlinie Hysteresekurve Zeichnung und Berechnung Zeichnung und Berechnung Linke-Hand-Regel UVW-Regel Berechnung Rechte-Hand-Regel UVW-Regel Berechnung Lenzsche Regel Zeichnung und Berechnung Spannungsübersetzungsverhältnis Stromübersetzungsverhältnis Widerstandsübersetzungsverhältnis Zeichnung und Berechnung Berechnung Energie / Arbeit im magnetischen Feld Reihenschaltung Parallelschaltung Ein- und Ausschalten einer Spule Berechnung der Zeitkonstante Berechnungen beim Einschaltvorgang Berechnungen beim Ausschaltvorgang Seite 3-2 3-2 3-2 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-4 3-4 3-4 3-4 3-5 3-5 3-5 3-6 3-6 3-7 3-7 3-7 3-8 3-8 3-8 3-8 3-9 3-9 3-9 3-10 3-10 3-11 3-12 3-12 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 Seite 3-1 Formelsammlung Elektrotechnik Grundlagen Magnetismus: Unterscheidung der Magnete in: - Dauermagnete (Permanentmagnete) - Elektromagnete - Erdmagnetfeld Die magnetischen Feldlinien treten am N-Pol senkrecht aus und am S-Pol wieder senkrecht ein. Im Inneren des Magneten verlaufen die magnetischen Feldlinien vom S-Pol zum N-Pol. Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Wird ein Leiter von einem Strom durchflossen, so baut sich um ihn kreisförmig ein Magnetfeld auf. • bedeutet: Strom fließt aus dem Leiter X bedeutet: Strom fließt in den Leiter Feldlinien in einer Spule: Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-2 Formelsammlung Stand: 16. Juli 2001 Elektrotechnik Seite 3-3 Formelsammlung Elektrotechnik Der magnetische Fluß Φ (phi): Einheit: [Φ ] = 1Vs = 1Wb Die Anzahl der magnetischen Feldlinien wir als sog. magnetischer Fluß Φ (phi) bez. Magnetische Flußdichte B: B= Φ A A= Φ B Φ = B• A [B] = Vs2 m = Wb =T m2 B = magnetische Flußdichte in T (Tesla) Φ = magnetischer Fluß in Wb A = Fläche in m2 Die magnetische Durchflutung Θ (theta): Θ= I•N I= Θ N N= Θ I Θ = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung) I = Strom in A N = Anzahl der Windungen der Spule Magnetische Feldstärke H: H= I•N lm lm = I•N H I= H= Θ lm lm = Θ H Θ = lm • H H = magnetische Feldstärke in H • lm N N= H • lm I [H ] = A m A m I = Strom in A N = Anzahl der Windungen der Spule lm = mittlere Feldlinienlänge in m Θ = magnetische Durchflutung in A (auch magnetische Spannung) Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-4 Formelsammlung Elektrotechnik Zusammenhang zwischen magnetischer Flußdichte B und Feldstärke H: B = µ0 • µr • H H= B µ0 • µr µr = µ0 = magnetische Feldkonstante 1,256 • 10 −6 B µ0 • H Vs ; µr = Permeabilitätszahl (bei Luft ≈ µr=1) Am Magnetisierungskennlinie: Hysteresekurve (-schleife): BR = Remanenz (= Restmagnetismus) HC = Koerzitivfeldstärke (=Ummagnetisierungsfeldstärke) Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-5 Formelsammlung Elektrotechnik Kräfte auf stromdurchflossene Leiter: Feldlinien laufen entgegengesetzt ⇒ Feldschwächung ⇒ Leiter ziehen sich an Feldlinien laufen gleich ⇒ Feldverstärkung ⇒ Leiter stoßen sich ab Die Bewegung der Leiter folgt immer zum schwächeren Feld hin. F= µ 0 • l • I1 • I 2 2 •π • r F= k • l • I1 • I 2 r k= r= µ 0 • l • I1 • I 2 2 •π • F r= k • l • I1 • I 2 F I2 = I2 = 2 •π • F • r µ 0 • l • I1 I1 = F •r k • l • I2 l= I1 = 2 •π • F • r µ0 • l • I2 l= µ0 2 •π F •r k • l • I1 F •r k • I 2 • I1 2 •π • F • r µ 0 • I 2 • I1 F = Kraft in N µ0 = magnetische Feldkonstante 1,256 • 10 −6 Vs Am l = wirksame Leiterlänge in m I1 ; I2 = Strom durch den jeweiligen Leiter in A r = Abstand der Leiter Tragkraft eines Magneten: A • BL 2 F = 2 µ • 0 A= F • 2 • µ0 2 BL BL = W = F •s F= W s s= F • 2 • µ0 A W F F = Kraft in N ; W = Hubarbeit des Magneten in Nm A = wirksame Ankeroberfläche BL = magnetische Flußdichte der Spule in T Vs µ0 = magnetische Feldkonstante 1,256 • 10 −6 Am s = Abstand von Anker und Magnet in m Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-6 Formelsammlung Elektrotechnik Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld (Motorprinzip): Der stromdurchflossene Leiter bildet mit seinem Magnetfeld und dem des Dauermagneten ein resultierendes Magnetfeld. Es entsteht eine Feldverstärkung und eine Feldschwächung. Der stromdurchflossene Leiter bewegt sich in Richtung Feldschwächung. Linke-Hand-Regel: Hält man die linke Hand so, dass die Feldlinien auf die Innenfläche der Hand auftreffen und die gestreckten Finger in Stromrichtung zeigen, dann gibt der abgespreizte Daumen die Richtung der Kraft F an. U-V-W-Regel (rechte Hand): Ursache: Strom I Vermittlung: Magnetfeld B Wirkung: Kraft F B= F = B • I •l • N [F ] = F I •l • N I= F B •l • N l= F B•I •N N= F B• I •l Ws Nm Vs • A•m = = =N 2 m m m F = Kraft in N B = Flußdichte in Vs Wb = =T m2 m2 I = Strom in A l = wirksame Leiterlänge in m N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-7 Formelsammlung Elektrotechnik Induktion (Generatorprinzip): Schneidet ein Leiter die Feldlinien eines Magnetfeldes, so wird in dem Leiter eine Spannung erzeugt (=induziert). Rechte-Hand-Regel: Treffen die Feldlinien auf die Innenfläche der Hand auf und zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung der Leiterbewegung, dann fließt der induzierte Strom in Richtung der ausgestreckten Finger. U-V-W-Regel (rechte Hand): Ursache: Kraft F (Bewegung v) Vermittlung: Magnetfeld B Wirkung: Strom I U i = −B • v • l • N B=− Ui v•l • N v=− Ui B•l • N l=− Ui B•v• N N =− Ui B•v•l [U i ] = Vs2 • m • m = V m s Ui = induzierte Spannung in V Vs Wb B = Flußdichte in 2 = 2 = T m m m v = Geschwindigkeit in s l = wirksame Leiterlänge in m N = Anzahl der Leiter im Magnetfeld Die induzierte Spannung Ui ist negativ, da sie nach der Lenzschen Regel so gerichtet ist, dass sie ihrer Ursache entgegenwirkt. Lenzsche Regel: Die induzierte Spannung Ui ist stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache (Kraft F) entgegenwirkt. Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-8 Formelsammlung Elektrotechnik Induktion der Ruhe (Trafoprinzip) Primärspule Sekundärspule Ändert sich der magnetische Fluss durch die Stromänderung I, so wird in der Sekundärspule während der Änderung eine Spannung Ui induziert. (Lenzsche Regel) Ui = − N • ∆Φ ∆t ∆t = − N • ∆Φ Ui N =− U i • ∆t ∆Φ ∆Φ = − U i • ∆t N Ui = induziert Spannung in V N = Anzahl der Windungen der Sekundärspule ∆ Φ = magnetischer Flußdifferenz in Wb ∆t = Zeitänderung in s Spannungsübersetzungsverhältnis: ü= u1 u2 u2 = u1 ü u1 = ü • u 2 u1 = Primärspannung in V u2 = Sekundärspannung in V ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo Stromübersetzungsverhältnis: ü= i2 i1 i1 = i2 ü i2 = ü • i1 i1 = Strom in der Primärspule in A i2 = Strom in der Sekundärspule in A ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo ü= N1 N2 N2 = N1 ü N1 = ü • N 2 N1 = Anzahl der Windungen auf der Primärspule N2 = Anzahl der Windungen auf der Sekundärspule Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-9 Formelsammlung Elektrotechnik Widerstandsübersetzung (-übertrager): R1 = ü 2 • R2 R1 ü2 R2 = ü= R1 R2 R1 = Widerstand der in der Quelle wirkt in Ω R2 = Widerstand im Sekundärkreis in Ω ü = Übersetzungsverhältnis des Trafo Selbstinduktion: v Ändert sich in einer Spule das Magnetfeld (∆I → ∆ Φ → ∆B), so wird in der Spule selbst eine Spannung induziert. ⇒Selbstinduktionsspannung Ui Ui = − L • ∆I ∆t ∆t = − L • ∆I Ui L=− U i • ∆t ∆I ∆I = − U i • ∆t L Ui = Selbstinduktionsspannung in V L = Induktivität in H ∆I = Stromänderung in A ∆t = Zeitänderung in s Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-10 Formelsammlung Elektrotechnik Induktivität: Herleitung: N • ∆Φ ∆I • N ; ∆Φ = ∆B • A ; ∆B = µ 0 • µ r • ∆H ; ∆H = ; ∆t lm N • µ 0 • µ r • ∆H • A N • µ 0 • µ r • ∆I • N • A N • ∆Φ N • ∆B • A = − = − = − = − ∆t ∆t ∆t ∆t • l m µ 0 • µ r • A • N • N • ∆I µ0 •µr •A ∆I L • ∆I = − = − •N 2 • = − ∆t ∆t l m • ∆t lm Ui = − Ui Ui L= µ0 • µr • A •N2 lm [L] = Vs • m 2 Am • m = lm = µ0 • µr • A •N2 L A= L • lm µ0 • µr • N 2 N= L • lm µ0 • µr • A Vs =H A L = Induktivität in H (Henry) µ0 = magnetische Feldkonstante 1,256 • 10 −6 µr = Permeabilitätszahl (bei Luft ≈ µr=1) A = Fläche in m2 lm = mittlere Feldlinienlänge in m N = Windungsanzahl Stand: 16. Juli 2001 Vs Am Seite 3-11 Formelsammlung Elektrotechnik Energie im magnetischen Feld: W= 1 •L•I2 2 L= 2 •W I2 I= 2 •W L W = Energie (=Arbeit) in Ws L = Induktivität in H U = Spannung in V 1 1 • 10-3 Wh = • 10-6 kWh = 0,278 • 10-6 kWh = 1J 3,6 3,6 1 kWh = 1 • 103 Wh = 3,6 • 103 kWs = 3,6 • 106 Ws = 3,6 • 106 J 1 Ws = 1 • 10-3 kWs = Reihenschaltung von Spulen: U g = U1 + U 2 + U 3 L g = L1 + L2 + L3 Parallelschaltung von Spulen: U = U1 = U 2 = U 3 1 1 1 1 = + + L g L1 L2 L3 für 2 Spulen gilt: Lg = L1 • L2 L1 + L2 Stand: 16. Juli 2001 L1 = L2 • Lg L2 − Lg L2 = L1 • Lg L1 − Lg Seite 3-12 Formelsammlung Elektrotechnik Ein- und Ausschalten einer Spule: Einschalten der Spule Ausschalten der Spule Spannung an der Spule: Spannung an der Spule: Spannung am Widerstand, Strom i: Spannung am Widerstand, Strom i: Nach 1τ fließt 63%, nach 2τ fließt 86%, nach 3τ fließt 95%, nach 4τ fließt 98% und nach 5τ fließt 100% von imax Durch die Gegeninduktion in der Spule liegt nach 1τ noch 37%, nach 2τ noch 14%, nach 3τ noch 5%, nach 4τ noch 2% von UR und nach 5τ keine Spannung mehr an. Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-13 Formelsammlung Elektrotechnik Zeitkonstante: τ= L R R= L τ L = R •τ R = Widerstand in Ω ; L = Induktivität in H; τ in s Nach 5 τ fließt der maximale Strom imax: imax = U0 R R= U0 imax U 0 = R • imax U0 = maximale Spannung an der Spule R = Widerstand in Ω imax = maximaler Strom Zu jedem Zeitpunkt gilt: U 0 = uR + uL Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-14 Formelsammlung Elektrotechnik Berechnung zum Einschaltvorgang der Spule: Spannung an der Spule: u L (t ) = U 0 • e − u L (t ) = U 0 • e t τ t•R − L u t = −τ • ln L U0 τ= u L • ln L U0 t= −R u L • ln L U0 R= −t −t u ln L U0 L= −t • R u ln L U0 Spannung um Widerstand: t − u R (t ) = U 0 • 1 − e τ t•R − u R (t ) = U 0 • 1 − e L (− t ) u t = −τ • ln1 − R U0 τ= u L • ln1 − R U0 t= −R u L • ln1 − R U0 R= −t u ln1 − R U0 L= −t • R u ln1 − R U0 Strom: i (t ) = i max i t = −τ • ln1 − i max t•R − L i L • ln1 − i max t= −R t − τ • 1 − e i (t ) = imax • 1 − e τ= (− t ) i ln1 − imax i L • ln1 − i max R= −t L= −t •R i ln1 − imax tE = 5 •τ U0 = Maximale Spannung an der Spule in V uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A t = Zeitpunkt in s τ = Zeitkonstante in s R = Widerstand in Ω L = Induktivität in H tE = Zeit bis nahezu der maximale Strom fließt Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-15 Formelsammlung Elektrotechnik Berechnung zum Ausschaltvorgang der Spule: Spannung der Spule: u L (t ) = −U 0 • e u L (t ) = −U 0 • e − t τ t •R − L τ= u L • ln L −U0 t= −R u L • ln L −U0 R= −t Spannung um Widerstand: u R (t ) = U 0 • e − u R (t ) = U 0 • e t τ t•R − L i (t ) = imax • e i (t ) = imax • e t τ t •R − L u ln L − U0 L=− −t •R u ln L −U0 (− t ) u t = −τ • ln R U0 τ= u L • ln R U0 t= −R u L • ln R U0 R= −t i t = −τ • ln imax τ= i L • ln imax t= −R i L • ln imax R= −t Strom: − (− t ) u t = −τ • ln L −U0 u ln R U0 L=− −t•R u ln R U0 (− t ) i ln imax L=− −t • R i ln imax t A = 5 •τ U0 = Maximale Spannung an der Spule in V uL(t) = Spannung an der Spule zum Zeitpunkt t in V uR(t) = Spannung am Widerstand zum Zeitpunkt t in V i(t) = Strom zum Zeitpunkt t in A t = Zeitpunkt in s τ = Zeitkonstante in s R = Widerstand in Ω L = Induktivität in H tA = Zeit bis der Gegeninduktionsspanung der Spule abgeklungen ist Stand: 16. Juli 2001 Seite 3-16
