Kreise – Winkel – Drehung

Kreise – Winkel – Drehung
1.) Der Kreis:
Aufgabe: Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: M(4/5) ; B(2/2) ; C(6/8) ; D(2/8) ; E(6/2)
9
C
D
8
Durchmesser (d)
7
6
4
Sehne (s)
M
5
Radius (r)
3
2
B
E
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a.) Zeichne einen Kreis
-1 um M, der durch den Punkt B verläuft.
b.) Zeichne folgende Strecken ein: MB ; DE und CE
MERKE:
1.) Der Kreis (k) ist eine Linie deren Punkte vom Kreismittelpunkt gleichweit entfernt sind.
2.) Die Strecke MB nennt man den Radius (r) des Kreises. Dieser Radius ist eine Strecke vom Mittelpunkt
(M) bis zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
Radien in unserer Zeichnung wären also auch: MC ; MD und ME .
3.) Die Strecke DE nennt man den Durchmesser (d) des Kreises. Dieser Durchmesser ist eine Strecke von
einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt (M) zu einem anderen Punkt der Kreislinie.
Durchmesser in unserer Zeichnung wäre also auch: BC .
4.) Der Durchmesser (d) eines Kreises ist immer doppelt so lang wie der Radius (r) des Kreises.
Der Radius (r) eines Kreises ist immer halb so lang wie der Durchmesser (d) des Kreises.
d = 2⋅r
r=
1
⋅d
2
5.) Die Strecke CE nennt man Sehne (s) des Kreises. Diese Sehne ist eine Strecke von einem Punkt der
Kreislinie zu einem beliebigen anderen Punkt der Kreislinie.
Sehnen in unserer Zeichnung wären also auch: CD ; BD ; BE ; DE ; BC
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Halbgerade – Winkel
Motivation:
Wie funktioniert eine Radaranlage? Der Sender sendet ständig einen Radarstrahl aus. Trifft er auf ein Hindernis, z.B. ein Flugzeug, so wird er zurückgeworfen und von der Antenne empfangen. Die vom Strahl getroffenen Punkte erscheinen dann auf einem kreisförmigen Bildschirm als leuchtende Punkte. Es lassen sich
darauf Lage und Entfernung der Flugzeuge erkennen.
Aufgabe:
Zeichne die Grundlagen dieses Bildschirms (Kreis und Halbgerade (Strahl)
h
Schenkel h
Scheitelpunkt S
g
Schenkel g
S
MERKE:
1.) Wenn der Radarstrahl (Halbgerade g) sich nach links (gegen den Uhrzeigersinn) bis zur Halbgeraden h
um den Punkt M dreht, so überstreicht er ein ganz bestimmtes Feld. Dieses Feld nennt man Winkelfeld
oder einfach Winkel.
2.) Der Punkt S heißt Scheitelpunkt des Winkels, die beiden Halbgeraden g und h nennt man die beiden
Schenkel des Winkels.
Dreht man die Halbgerade g mit dem Uhrzeigersinn bis zur Halbgeraden h, so erhält man ein anderes Winkelfeld und somit auch einen anderen Winkel.
Durch die beiden Halbgeraden g und h mit dem gemeinsamen Anfangspunkt S sind also immer zwei Winkel
festgelegt.
Statt einen Winkel zu färben, kann man ihn auch durch einen kleinen Kreisbogen und einen griechischen
Buchstaben kennzeichnen:
h
Die ersten 5 griechischen Buchstaben heißen:
α
Alpha
β
Beta
γ
Gamma
δ
Delta
ε
Epsilon
α
β S
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g
Beispiele:
Erkläre die Entstehung des Winkels γ und des Winkels δ
a.) Winkel γ durch Drehung der Halbgeraden a;
b.) Winkel γ durch Drehung der Halbgeraden b;
a
c.) Winkel δ durch Drehung der Halbgeraden a;
d.) Winkel δ durch Drehung der Halbgeraden b.
δ
γ
S
b
zu a.) Der Winkel γ entsteht durch eine Linksdrehung der Halbgeraden a bis zur Halbgeraden b.
zu b.) Der Winkel γ entsteht durch eine Rechtsdrehung der Halbgeraden b bis zur Halbgeraden a.
zu c.) Der Winkel δ entsteht durch eine Rechtsdrehung der Halbgeraden a bis zur Halbgeraden b.
zu b.) Der Winkel δ entsteht durch eine Linksdrehung der Halbgeraden b bis zur Halbgeraden a.
Die Bezeichnungen und Winkel in einem Dreieck:
Der Eckpunkt A ist Scheitelpunkt des Winkels α mit den beiden
Schenkeln b und c.
Der Eckpunkt B ist Scheitelpunkt des Winkels β mit den beiden
Schenkeln a und c.
Der Eckpunkt C ist Scheitelpunkt des Winkels γ mit den beiden
Schenkeln a und b.
C
γ
Seite a
a
b
β
α
A
Eckpunkt A
Die Seite a liegt immer gegenüber dem Eckpunkt A.
Die Seite b liegt immer gegenüber dem Eckpunkt B.
Die Seite c liegt immer gegenüber dem Eckpunkt C.
c
B
Winkel β
Aufgabe:
Notiere jeweils 2 Möglichkeiten wie die Winkel α, β, und γ in einem Dreieck durch die Drehung der Schenkel
a, b und c entstehen:
Winkel α:
Der Winkel α entsteht durch eine Linksdrehung des Schenkels c bis zum Schenkel b.
Der Winkel α entsteht durch eine Rechtsdrehung des Schenkels b bis zum Schenkel c.
Winkel β:
Der Winkel β entsteht durch eine Linksdrehung des Schenkels b bis zum Schenkel a.
Der Winkel β entsteht durch eine Rechtsdrehung des Schenkels a bis zum Schenkel b.
Winkel γ:
Der Winkel γ entsteht durch eine Linksdrehung des Schenkels a bis zum Schenkel b.
Der Winkel γ entsteht durch eine Rechtsdrehung des Schenkels b bis zum Schenkel c.
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Messen von Winkeln
Aufgabe:
Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und einem Radius r = 4,5 cm. Zeichne eine Halbgerade a mit
dem Anfangspunkt M waagerecht nach rechts ein. Zeichne dann eine Halbgerade b mit dem Anfangspunkt
M senkrecht nach oben ein.
b
Es entsteht ein Winkel von 90 Grad.
Dafür schreibt man abkürzend: 90°
Der ganze Kreis besteht aus 4 solcher 90°-Winkel, besitzt also eine
Gradzahl von 360°.
Der Ergänzungswinkel zu 90° beträgt also dann 270°.
90 °
M
a
270 °
Das Geodreieck besitzt zwei Einteilungen zum Winkelmessen:
1.) Eine äußere Skala (Einteilung) von 0° - 180° zum Messen der Winkel nach links (gegen den Uhrzeigersinn).
2.) Eine innere Skala (Einteilung) von 0° - 180° zum Messen der Winkel nach rechts (mit dem Uhrzeigersinn).
Äußere Skala
zum Messen
nach links
Innere Skala
zum Messen
nach rechts
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Aufgabe:
Zeichne einen beliebigen Winkel α mit dem Scheitelpunkt S und den beiden Schenkeln (Halbgeraden) a und
b in das Heft. Versuche die Größe des Winkels mit dem Geodreieck zu bestimmen.
Äußere Skala
zum Messen
nach links
b
α
S
a
b
Innere Skala
zum Messen
nach rechts
α
S
a
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Aufgabe:
Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC und gib alle Eckpunkte, Seiten und Winkel an. Messe dann die drei
Winkel des Dreiecks und notiere ihre Größen.
C
67 °
γ
70° + 43° + 67° = 180°
α + β + γ = 180°
a
b
43 °
70 °
α
β
c
A
B
MERKE:
Addiert man die drei Winkelgrößen in einem Dreieck, so erhält man die Winkelsumme 180°.
α + β + γ = 180°
Aufgabe:
Zeichne ein beliebiges Viereck ABCD und gib alle Eckpunkte, Seiten und Winkel an. Messe dann die vier
Winkel des Vierecks und notiere ihre Größen.
D
c
δ
84 °
γ
79° + 68° + 129° + 84° = 360°
α + β + γ + δ = 360°
C
129 °
d
b
79 °
68 °
α
A
a
β
B
MERKE:
Addiert man die vier Winkelgrößen in einem Viereck, so erhält man die Winkelsumme 360°.
α + β + γ + δ = 360°
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Einteilung der Winkel
Man teilt die Winkel nach Winkelgrößen wie folgt ein:
1.) Rechter Winkel:
α = 90°
2.) Gestreckter Winkel:
α = 180°
3.) Vollwinkel:
α = 360°
α
α
4.) Spitzer Winkel:
0° < α < 90°
α
5.) Stumpfer Winkel:
90° < α < 180°
6.) Überstumpfer Winkel:
180° < α < 360°
α
α
α
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Winkelmessung
1.) Bestimme mit Hilfe des Geodreiecks die Größe der Winkel α, β und γ:
α
β
α
α=
β=
α=
β=
β
α=
β=
α=
β=
αα
β
α
β
β
α
γ
β
γ
α
α=
β=
γ=
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α=
β=
γ=
2.) Bestimme mit Hilfe des Geodreiecks die Größe der Winkel in den folgenden Vielecken:
γ
δ
α=
β=
γ=
α
β
α=
β=
γ=
δ=
α
γ
α
γ
α=
β=
γ=
β
α7
α1
β
α1 =
α2 =
α3 =
α4 =
α5 =
α6 =
α7 =
δ
α2
α
α6
α4
α=
β=
γ=
δ=
γ
α3
α5
β
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Winkelmessung (Lösung)
1.) Bestimme mit Hilfe des Geodreiecks die Größe der Winkel α, β und γ:
α
β
α
α = 308°
β = 52°
α = 38°
β = 322°
β
α = 97°
β = 263°
α = 36°
β = 324°
αα
β
α
β
β
α
γ
β
γ
α
α = 60°
β = 230°
γ = 70°
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α = 112°
β = 99°
γ = 149°
2.) Bestimme mit Hilfe des Geodreiecks die Größe der Winkel in den folgenden Vielecken:
γ
δ
α = 67°
β = 34°
γ = 79°
α
β
α = 124°
β = 75°
γ = 84°
δ = 76°
α
γ
α
γ
α = 58°
β = 48°
γ = 74°
β
α7
α1
β
α1 = 136°
α2 = 96°
α3 = 51°
α4 = 285°
α5 = 102°
α6 = 134°
α7 = 96°
δ
α2
α
α = 115°
β = 66°
γ = 116°
δ = 64°
α6
α4
γ
α3
α5
β
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Zeichnen von Winkeln mit dem Geodreieck
Aufgabe:
Zeichne einen beliebigen Scheitelpunkt (S) und trage an ihn waagerecht die Halbgerade g an. Zeichne nun
eine Halbgerade h so an den Scheitelpunkt, dass sie mit der Halbgeraden g einen Winkel von 30° (150°,
200°, 320°) bildet.
h
150 °
h
30 °
S
g
S
g
320 °
200 °
g
S
g
S
h
h
Aufgabe:
Zeichne eine Strecke AB = 12 cm. Markiere immer im Abstand von 2 cm die Punkte C, D, E, F und G.
Zeichne nun in C einen Winkel von 120°, in D einen Winkel von 105°, in E einen Winkel von 90°, in F einen
Winkel von 75° und in G einen Winkel von 60°.
60 °
75 °
90 °
B
G
105 °
F
120 °
E
D
C
A
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Aufgabe:
Von einem Dreieck sind bekannt: AB = c = 7 cm ; α = 50° ; β = 40°. Zeichne das Dreieck und gib die Größe
von γ an.
Der Winkel γ ist 90° groß.
C
b
a
50 °
40 °
α
β
c
A
B
Aufgabe:
Von einem Dreieck sind bekannt: AB = c = 6 cm ; α = 120° ; β = 30°. Zeichne das Dreieck und gib die Größe von γ an.
C
Der Winkel γ ist 30° groß.
a
b
120 °
30 °
α
c
A
Aufgabe:
Zeichne ein Dreieck, bei dem alle drei Winkel gleich groß sind.
Vorüberlegung: 180° : 3 = 60° α, β und γ müssen also alle 60° groß sein!
C
γ
Ein Dreieck, bei dem alle Winkel gleich
groß sind, bezeichnet man als gleichseitiges Dreieck, da ja auch alle Seiten
gleich lang sein müssen.
60 °
b
60 °
60 °
α
β
c
A
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a
B
β
B
Aufgabe:
An eine Hauswand ist eine 10 Meter lange Leiter gelehnt,
die unten 2 Meter Abstand von der Hauswand besitzt.
Wie hoch reicht die Leiter?
Fertige eine Zeichnung an und gib ihren Maßstab an.
Die Leiter reicht 9,80 m hoch.
Der Maßstab beträgt 1 : 100
9,798 cm
78 °
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Winkel zeichnen mit dem Geodreieck
1.) Trage an die vorgegebenen Pfeile mit dem Scheitelpunkt (S) den angegebenen Winkel an:
(links) α = 55°
(rechts) β = 125°
S
S
S
S
(links) γ = 315°
(links)δ = 95°
2.) Trage an den vorgegebenen Pfeil mit dem Scheitelpunkt (S) nacheinander immer in der gleichen Richtung (links) die angegebenen Winkel an, wobei der neue Schenkel der Ausgangsschenkel für den
nächsten Winkel sein soll:
10°
78°
35°
50°
97°
S
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3.) Markiere auf der Strecke AB = 12 cm immer im Abstand von 2 cm die Punkte C, D, E, F und G. Zeichne
in C einen Winkel von 120°, in D einen Winkel von 105°, in E einen Winkel von 90°, in F einen Winkel
von 75° und in G einen Winkel von 60°. (Alle Winkel in Richtung links)
B
A
4.) Teile den gezeichneten Kreis mit Hilfe des Geodreiecks (Winkel!!!) in 9 gleich große Teile. Verbindet
man die Schnittpunkte der Schenkel der Winkel mit dem Kreis, so erhält man ein regelmäßiges 9-Eck.
5.) Zeichne wie in Aufgabe 4.) ein regelmäßiges 15-Eck. Überlege dazu, wie groß der entsprechende Winkel sein muss.
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Geradenspiegelung - Achsensymmetrie
Aufgabe:
Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem (14 x 14) ein:
A(5/12) ; B(4/10) ; C(4/8) ; D(0/7) ; E(0/5) ; F(4/4) ; G(4/3) ; H(2/2) ; K(2/1) ; L(5/1) ; R(5/0) ; S(5/13)
a.)
b.)
c.)
d.)
Verbinde nacheinander die Punkte von A bis L.
Zeichne eine Gerade durch R und S, nenne sie g.
Ergänze die Figur zu einer Gesamtfigur.
Bezeichne die neuen Punkte mit A’ ; B’ ; C’ usw. und gib ihre Koordinaten an.
13
S
12
A
A'
11
10
B
B'
C
C'
9
8
D
D'
7
g
6
E'
E 5
4
F
F'
3
G
G'
2
H
1
K
1
-1
H'
K'
L L'
2
3
4 R5
6
7
8
9
10
11
Spiegelachse
oder
Symmetrieachse
MERKE:
1.) Die Figur (Flugzeug) heißt achsensymmetrisch zur Geraden g.
2.) Die Gerade g heißt Symmetrieachse (Spiegelachse) der Figur.
3.) Jeder Punkt auf der einen Seite der Symmetrieachse besitzt einen Symmetriepartner auf der anderen
Seite der Achse:
A A’ ; B B’ ; C C’ usw.
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Von welchen Figuren, Dingen und Sachen aus unserer Umwelt hätte man auch eine Hälfte zeichnen können, welche besitzen eine Symmetrieachse und sind somit achsensymmetrisch?
Welche großen deutschen Druckbuchstaben?
Welche Ziffern?
Welche geometrischen Figuren?
MERKE:
Alle Figuren, die eine Symmetrieachse besitzen und damit bei einer Spiegelung auf sich selbst abgebildet
werden, nennt man achsensymmetrisch.
Aufgabe:
Zeichne eine Gerade g, die nicht auf den Kästchenlinien deines Heftes verläuft. Zeichne nun ein beliebiges
Dreieck auf einer Seite der Geraden g so, dass kein Eckpunkt auf der Geraden liegt.
Spiegele nun das Dreieck an der Geraden g.
C
g
90 °
A
B
B'
90 °
C'
6,803 cm
90 °
6,803 cm
A'
Messe nun alle Winkel und Seitenlängen im ursprünglichen Dreieck ABC und im gespiegelten Dreieck
A’B’C’. Was stellst du fest?
MERKE:
Für eine Spiegelung gilt:
1.) Der Punkt A und sein Bildpunkt A’ liegen auf einer Senkrechten zur Symmetrieachse g.
2.) Der Punkt A und sein Bildpunkt A’ haben denselben Abstand von der Symmetrieachse g.
Außerdem gilt:
Bei einer Spiegelung an einer Geraden bleiben die Winkelgrößen und die Seitenlängen unverändert.
Eine Spiegelung an der Geraden g wird abgekürzt mit Sg (Spiegelung an g).
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Aufgabe:
Konstruiere ein Dreieck aus:
c = 7 cm ; α = 30° ; β = 100°
Zeichne nun eine Gerade g, die die Seite c im Punkt A unter einem Winkel von 20° schneidet.
Spiegele nun das Dreieck ABC an der Geraden g.
∢ABB '
∢ACC'
∢B'C'C
Messe danach folgende Winkel: ∢C' AC
100°
70°
40°
20°
C
40 °
b
a
100 °
A
c
B
A'
70 °
c'
g
b'
B'
a'
10 °
C'
Seite 19 von 39
Geradenspiegelung
Führe jeweils mit der angegebenen Figur eine Geradenspiegelung durch. Die dazu eventuell nötigen Hilfslinien sollen gestrichelt gezeichnet werden. Benenne die Eckpunkte der neuen Figur mit A‘, B‘, C‘, D‘ usw.
1.)
E
2.)
E
A
D
A
D
B
C
B
C
g
3.)
g
4.)
E
A
D
E
A
B
D
C
g
g
B
5.)
E
A
B
6.)
C
E
D
A
D
C
B
C
g
g
Die Spiegelung an einer Geraden g wird in der Mathematik abgekürzt mit:
Sg
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Spiegele die jeweilige Figur an der Geraden g und benenne die Spiegelpunkte mit A‘, B‘, C‘, D‘ usw.
1.)
2.)
g
g
B
B
A
A
C
C
3.)
4.)
g
g
B
B
A
A
C
5.) Konstruiere ein Dreieck aus: c = 6 cm ; α = 80° ; β = 40°
Zeichne nun eine Gerade g, die die Seite c im Punkt B unter einem Winkel von 30° schneidet.
Spiegele nun das Dreieck ABC an der Geraden g.
Messe danach folgende Winkel: ∢C'CB
∢ABA '
∢B ' A ' A
∢CC' A '
6.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein:
S(1/2) ; T(9/6) ; A(2,5/4) ; B(6/7) ; C(4/8,5)
a.) Zeichne die Gerade ST, nenne sie h.
b.) Zeichne das Dreieck ABC.
c.) Spiegele das Dreieck ABC an der Geraden h und bezeichne die Bildpunkte mit A’B’C’.
d.) Gib die Koordinaten von A’, B’, C’ an.
e.) Bestimme den Umfang von Dreieck ABC und den Umfang des Bilddreiecks A’B’C’.
Seite 21 von 39
C
Geradenspiegelung (Lösungen)
zu 5.)
C
20 °
60 °
A
g
B
B'
c
c'
60 °
A'
40 °
∢C'CB
20°
∢ABA '
60°
∢B ' A ' A
60°
C'
∢CC' A '
40°
zu 6.)
9
zu d.)
A’(3,5/2)
B’(8/3)
C’(8/0,5)
C
2,5 cm
8
4,743 cm
7
B
6
zu e.)
5
u = 4,75 + 4,6 + 2,5
u = 11,85 cm
4
4,61 cm
A
B'
3
2
T
h
S
A'
1
C'
1
2
3
4
Seite 22 von 39
5
6
7
8
9
Die Verschiebung
Aufgabe:
Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: A(3/2) ; B(3/6) ; C(1/4)
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
Zeichne das Dreieck ABC.
Verschiebe das Dreieck ABC um 3 Einheiten (cm) nach rechts und 1 Einheit nach oben.
Notiere die Koordinaten des Dreiecks A’B’C’.
Verschiebe das Dreieck A’B’C’ um 1 Einheit nach rechts und um 3 Einheiten nach unten.
Notiere die Koordinaten von A’’B’’C’’.
zu c.)
A’(6/3) ; B’(6/7) ; C’(4/5)
zu e.)
A’’(7/0) ; B’’(7/4) ; C’’(5/2)
8
B'
7
B
6
5
C'
4C
2
B''
1
3
A'
2
A
3
C''
1
1
2
3
4
5
6
7A'' 8
-1
MERKE:
1.) Bei einer Verschiebung wird das Dreieck 1 auf das Dreieck 2 abgebildet.
2.) Der Verschiebungspfeil (grün) gibt die Richtung (wohin?) und die Länge (wie weit?) der Verschiebung
an.
3.) Alle Pfeile einer Verschiebung sind gleichlang und parallel.
4.) Bei einer Verschiebung ändern sich das Aussehen und die Größe der Figur nicht.
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Verschiebungen im Koordinatensystem
Verschiebe die dargestellten Figuren entsprechend ihrer Verschiebungspfeile. Benenne dann die Eckpunkte
der verschobenen Figuren mit A’, B’, C’ usw. und gib deren Koordinaten an. Zeichne alle Hilfslinien gestrichelt ein und färbe die neue Figur mit einer Farbe.
y
20
Z
19
18
17
v7
16
Y
X
W
15
V
14
v5
13
T
R
S 12
v6
M
N
11
10
U
Q
P
I
9
8
K
L
J
7
H
v4
6
v3
5
G
C
4
F
3
2
1
v1
v2
A
1
B
2
3
4
5
D
6
7
8
9
Seite 24 von 39
10
11
12
13
E
14
15
16
Verschiebungen im Koordinatensystem (Lösung)
y
Z'
20
Z
19
18
Y'
17
X'
v7
16
S'
15
Y
X
W
R'
V
14
P'
13
v5
R
S 12
Q'
W'
T
T'
10
Q
P
8 N'
M'
7
K
L
J
I'
H
v4
v3
C'
6
K'
4
C
L'
3
F'
A'
v1
A
1
F
G'
D'
v2
E'
B
2
3
4
5
H'
J'
G
B'
2
1
U'
I
9
5
v6
M
N
11
V'
U
D
6
7
8
9
10
11
12
13
-1
Koordinaten
der neuen Eckpunkte:
A’(4/3)
B’(8/3)
C’(5/6)
G’(14/3)
H’(15/5)
I’(14/7)
J’(13/5)
P’(3/13)
Q’(6/13)
R’(5/15)
S’(2/15)
D’(9/2)
E’(12/2)
F’(9/4)
K’(1/5)
L’(3/5)
M’(3/8)
N’(1/8)
T’(10/11)
U’(14/11)
V’(13/13)
W’(11/13)
Seite 25 von 39
X’(2/17)
Y’(4/17)
Z’(3/20)
E
14
15
16
Die Drehung
Aufgabe:
Zeichne einen Punkt M und einen Punkt P, der 4 cm entlang der Kästchenlinien über M liegt.
Drehe nun den Punkt P um den Punkt M um 90° nach links.
P
Der Punkt P wandert also auf einer
Kreisbahn (Zirkel benutzen) um den
Punkt M.
Der Punkt P muss in die angegebene
Richtung (hier links) wandern.
Er darf nur so lange auf der Kreisbahn
wandern, bis der Winkel (hier 90°) erreicht ist.
90 °
P'
M
MERKE:
Zu einer Drehung gehören die folgenden Schritte.
1.) Einzeichnen der Verbindungsstrecke vom Punkt M (Drehzentrum) zum Punkt P.
2.) Einzeichnen des Kreises um den Punkt M mit dem Radius r = MP in die angegebene Drehrichtung.
3.) Einzeichnen des Drehwinkels in die angegebene Drehrichtung.
Eine Drehung um den Punkt M um 90° nach links wird abgekürzt mit:
DM ; L90°
Aufgabe:
Zeichne einen Punkt M, einen Punkt R, der 4 cm unterhalb von M auf den Kästchenlinien liegt, und einen
Punkt T, der 3 cm links von M auf den Kästchenlinien liegt.
Führe nun folgende Drehungen durch:
a.) DM ; L60° und b.) DM ; R120°
c.) Wie weit sind die Punkte R’ und T’ nun voneinander entfernt?
d.) Messe den Winkel ∢T 'MR ' .
Seite 26 von 39
T'
120 °
M
T
60 °
R'
R
Aufgabe:
Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: M(6/6) ; A(6/11) ; B(4/6) ; C(6/2) ; D(9/6)
Führe folgende Drehungen durch:
a.) mit Punkt A: DM ; R110°
b.) mit Punkt B: DM ; L70°
c.) mit Punkt C: DM ; L40°
d.) mit Punkt D: DM ; L130°
e.) Wie lauten die ungefähren Koordinaten von A’, B’, C’ und D’?
f.) Wie lang ist die Strecke A 'B' und die Strecke C'D'
g.) Wie groß sind die folgenden Winkel: ∢DMA ' ; ∢BMC' ; ∢D'MB'
zu e.)
A’(10,7/4,3)
B’(5,3/4,2)
C’(8,6/2,9)
D’(4,2/8,3)
A
11
10
9
D'
8
130 °
zu f.)
110 °
7
A 'B' = 5,4 cm
C'D' = 7 cm
zu g.)
∢DMA ' = 20°
∢BMC' = 130°
∢D'MB' = 120°
6
M
B
70 °
5
4
D
40 °
A'
B'
3
C'
2
C
1
1
-1
2
3
4
Seite 27 von 39
5
6
7
8
9
10
11
Drehung eines Dreiecks
Aufgabe:
Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: M(5/5) ; A(4/7) ; B(7/7) ; C(5/9)
a.) Verbinde nacheinander die Punkte A, B, C zu einem Dreieck.
b.) Führe mit dem Dreieck ABC folgende Drehung durch: DM ; L150°
c.) Notiere die Koordinaten von A’, B’, C’.
zu c.)
A’(4,9/2,9) ; B’(2,2/4,3) ; C’(3/1,5)
C
9
8
A
7
B
6
150 °
5
M
B'
4
3
A'
2
C'
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
MERKE:
Bei der Drehung eines Dreiecks muss folgendes beachtet werden:
1.) Jeder Eckpunkt bewegt sich meistens auf einem eigenen Kreis 3 Eckpunkte, 3 Kreise.
2.) An jede Verbindungslinie vom Eckpunkt zum Drehpunkt muss der gleiche Drehwinkel (150°) angetragen
werden.
3.) Wo die Winkellinie den entsprechenden Kreis schneidet, findet man den jeweils gedrehten Eckpunkt.
4.) Verbindet man alle gedrehten Punkte miteinander, so erhält man das neue Dreieck A’B’C’.
5.) Das neue Dreieck muss die gleiche Form und die gleiche Größe besitzen wie das ursprüngliche Dreieck
ABC.
Aufgabe:
Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(4/2) ; B(6/2) ; C(6/6 )
a.) Verbinde nacheinander die Punkte A, B, C zu einem Dreieck.
b.) Führe mit dem Dreieck ABC folgende Drehung durch: DB ; L90°
c.) Notiere die Koordinaten von A’, B’, C’.
Seite 28 von 39
C
6
zu c.)
A’(6/0) ; B’(6/2) ; C’(2/2)
5
4
3
2
90 °
A
C'
B
1
1
2
3
4
5
A'
6
7
8
9
10
-1
-2
MERKE:
Eine Figur (Dreieck) lässt sich auch um einen Eckpunkt drehen. Dabei bleibt der Eckpunkt um den gedreht
wird fest (B), und die anderen Eckpunkte (A und C) wandern auf den entsprechenden Kreislinien um den
Drehpunkt (B)
Übungsaufgaben dazu:
1.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein:
M(5/5) ; A(7/4) ; B(10/5) ; C(7/6)
a.)
b.)
Verbinde die Punkte A, B, C zu einem Dreieck.
Führe mit dem Dreieck ABC folgende Drehung durch: DM ; L100°
c.)
Notiere die Koordinaten von A’, B’ und C’.
2.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein:
A(1/1) ; B(3/1) ; C(2/6)
a.)
b.)
Verbinde die Punkte A, B, C zu einem Dreieck.
Führe mit dem Dreieck ABC folgende Drehung durch: DC ; L120°
c.)
Notiere die Koordinaten von A’, B’ und C’.
Seite 29 von 39
zu 1.)
c.) A’(5,8/7,2)
B’(4,1/10)
C’(3,8/6,8)
B'
10
9
8
A'
7
100 °
C'
C
6
5
B
M
4
A
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
zu 2.)
c.) A’(6,8/7,8)
B’(5,8/9,4)
C’(2/6)
11
10
B'
9
8
A'
7
C
6
120 °
5
4
3
2
1
B
A
1
2
3
Seite 30 von 39
4
5
6
7
8
9
10
Die Punktsymmetrie
Aufgabe:
Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: M(6/6); A(6/8); B(8/10); C(6/12); D(4/10)
a.) Zeichne das Viereck ABCD.
b.) Führe mit dem Viereck ABCD folgende Drehung durch: DM ; L180°
c.) Bestimme die Koordinaten von A’, B’ und C’.
13
zu c.)
A’(6/4)
B’(4/2)
C’(6/0)
D’(8/2)
C
12
11
10
B
D
9
8
A
7
M
6
5
A'
4
3
2
B'
D'
1
1
2
3
4
5 C' 6
7
8
9
10
11
12
-1
MERKE:
Bei einer Drehung um 180° (Halbdrehung) spricht man auch von einer Punktsymmetrie (Punktspiegelung).
Dreht man nämlich die ganze Zeichnung auf den Kopf, so entsteht das gleiche Bild.
Beispiele:
Folgende Buchstaben sind punktsymmetrisch:
H I
X S O N Z
Seite 31 von 39
Folgende Ziffern sind punktsymmetrisch:
8
0
Folgende geometrischen Figuren sind punktsymmetrisch:
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Kreis
Aufgabe:
Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(1/4); B(4/6); C(1/6); D(0/0); E(10/10); F(8/5)
a.) Zeichne das Dreieck ABC.
b.) Zeichne die Symmetrieachse DE.
c.) Zeichne den Symmetriepunkt F.
d.) Führe mit dem Dreieck ABC folgende Bewegung durch: SDE DF ; L180° DB '' ; L90° . Das bedeutet: Führe
mit dem Dreieck ABC zunächst eine Spiegelung an der Geraden DE durch, drehe dann das neue Dreieck
um den Punkt F um 180° nach links und drehe dann wieder das letzte Dreieck um den Punkt B’’ um 90°
nach links.
e.) Notiere die Koordinaten von A’’’, B’’’ und C’’’.
10
E
C''
9
A'''
8
A''
A’’’(7/8)
B’’’(10/6)
C’’’(7/6)
90 °
7
6C
B
C'''
B''
5
F
4A
B'
3
2
1
D
A'
1
2
3
4
C'
5
6
Seite 32 von 39
7
8
9
10
11
12
13
14
Drehsymmetrie
Aufgabe:
Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: M(6/6) ; A(8/5) ; B(11/6) ; C(8/7)
a.) Verbinde die Punkte ABC nacheinander zu einem Dreieck.
b.) Führe mit dem Dreieck ABC folgende Drehung durch: DM ; L90°
c.) Notiere die Koordinaten von A’, B’, C’.
d.) Führe mit dem Dreieck A’B’C’ folgende Drehung durch: DM ; L90°
e.) Notiere die Koordinaten von A’’, B’’, C’’.
f.) Führe mit dem Dreieck A’’B’’C’’ folgende Drehung durch: DM ; L90°
h.) Notiere die Koordinaten von A’’’, B’’’, C’’’.
zu c.)
11
A’(7/8) ; B’(6/11) ; C’(5/8)
10
zu e.)
9
A’’(4/7) ; B’’(1/6) ; C’’(4/5)
8
zu h.)
7
A’’’(5/4) ; B’’’(6/1) ; C’’’(7/4)
6B''
B'
A'
C'
C
A''
B
M
5
C''
4
A
C'''
A'''
3
2
1
B'''
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
MERKE:
1.) Durch das mehrmalige Drehen um 90° erhält man eine drehsymmetrische Figur.
2.) Drehsymmetrisch bedeutet: Dreht man eine Figur um einen bestimmten Drehwinkel und die Figur kommt
wieder mit sich selbst zur Deckung, so ist die Figur drehsymmetrisch.
3.) Unsere Gesamtfigur ist 4-fach drehsymmetrisch, da sie bei Drehungen um 90°, 180°, 270° und 360°
wieder mit sich selbst zur Deckung kommt.
Seite 33 von 39
Aufgabe:
Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(4/6) ; B(6/6) ; C(5/9)
a.) Verbinde die Punkte ABC nacheinander zu einem Dreieck.
b.) Führe mit dem Dreieck ABC folgende Drehung durch: D A ; L120°
c.) Notiere die Koordinaten von A’, B’, C’.
d.) Führe mit dem Dreieck A’B’C’ folgende Drehung durch: D A ; L120°
e.) Notiere die Koordinaten von A’’, B’’, C’’.
zu c.)
A’(4/6) ; B’(3/7,8) ; C’(0,9/5,4)
C
9
B'
8
zu e.)
A’’(4/6) ; B’’(3/4,2) ; C’’(6,1/3,8)
7
6
A
B
C'
5
4
B''
C''
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Diese Gesamtfigur ist 3-fach drehsymmetrisch, da sie bei einer Drehung um 120°, 240° und 360° wieder auf
sich selbst abgebildet wird.
Seite 34 von 39
Winkel, Spiegelung, Drehung
1.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(3/4) ; B(5/2) ; C(7/6) ; D(6/6) ; E(6/8) ; F(4/6)
a.) Führe mit allen Punkten folgende Drehung durch: D F,L 90° . Gib die Koordinaten der Bildpunkte an.
b.) Führe mit allen Punkten folgende Drehung durch: D D,R180 ° . Gib die Koordinaten der Bildpunkte an.
2.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(1/7) ; B(5/7) ; C(2/9) ; M(5/5)
a.) Zeichne das Dreieck ABC.
b.) Bestimme die Größe der Winkel α, β, γ.
c.) Führe mit dem Dreieck ABC folgende Drehung durch: DM,L60° . Gib die Koordinaten der Bildpunkte A’,
B’, C‘ an.
d.) Führe mit dem Dreieck A’B’C’ folgende Drehung durch: DM,L120° . Gib die Koordinaten der Bildpunkte
A‘‘, B‘‘, C‘‘ an.
e.) Führe mit dem Dreieck A’’B’’C’’ folgende Drehung durch: DM,L 45° . Gib die Koordinaten der Bildpunkte
A‘‘‘, B‘‘‘, C‘‘‘ an.
3.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(6/7); B(8/7); C(7/10); E(10/8); F(3/1); M(7/5).
a.) Zeichne das Dreieck ABC.
b.) Zeichne die Gerade durch die Punkte E und F, nenne sie g.
c.) Führe folgende Abbildung durch: DM,R 180° Sg . (Das bedeutet: Führe mit dem Dreieck ABC die entsprechende Drehung durch und spiegele dann das gedrehte Dreieck an der Geraden g.)
d.) Notiere die Koordinaten von A‘‘, B‘‘, C‘‘.
4.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(1/2); B(2/1); C(4/3); D(3/4); E(0/5); F(10/5);
M(4/5).
a.) Zeichne das Viereck ABCD.
b.) Zeichne die Gerade durch die Punkte E und F, nenne sie h.
c.) Führe folgende Abbildung durch: Sh DM,L 270° .
d.) Notiere die Koordinaten von A‘‘, B‘‘, C‘‘, D‘‘.
5.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(1/6) ; B(3/4) ; C(4/5) ; D(2/7) ; M(4,5/3,5).
a.) Zeichne das Viereck ABCD.
b.) Drehe das Viereck ABCD um den Punkt M mit einem Drehwinkel von 90° nach links.
c.) Drehe das ursprüngliche Viereck ABCD um den Punkt M mit einem Drehwinkel von 180° nach links.
d.) Drehe das ursprüngliche Viereck ABCD um den Punkt M mit einem Drehwinkel von 270° nach links.
e.) Notiere jeweils die Koordinaten der neuen Vierecke.
6.) Zeichne an die unten angegebenen Halbgeraden jeweils einen Winkel mit der angegebenen Größe ein:
a.) 50° (links)
b.) 110° (links)
Seite 35 von 39
c.) 225° (links)
7.) Zeichne mit Hilfe des dargestellten Kreises
a.) ein regelmäßiges Fünfeck.
b.) ein regelmäßiges Achteck.
A
A
8.) Bestimme die Größe der Winkel in den folgenden Figuren:
γ
α1
α5
δ
α1 =
α2 =
α3 =
α4 =
α5 =
α2
α=
β=
γ=
δ=
Summe:
α4
Summe:
α
α3
β
9.) Übertrage die folgenden Dreiecke in das Heft. Beginne mit der Seite c:
b
a
a=
b=
a=
5 cm
40°
65°
a
5,5 cm
110°
6 cm
Bestimme durch Messen die Längen der Seiten a und b.
Seite 36 von 39
Winkel, Spiegelung, Drehung (Lösungen)
zu 1.)
zu a.)
10
A’(6/5)
B’(8/7)
C’(4/9)
D’(4/8)
E’(2/8)
C'
9
E
E'
8
D'
7
B'
6
F
C
D
5
A'
4
A
3
2
B
1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
zu 1.)
zu b.)
10
A’(9/8)
B’(7/10)
C’(5/6)
E’(6/4)
F’(8/6)
9
B'
E
8
A'
7
6
C'
F
D
F'
C
5
4
A
E'
3
2
B
1
1
2
3
-1
Seite 37 von 39
4
5
6
7
8
9
10
zu 2.)
zu b.)
10
α = 63°
β = 34°
γ = 83°
C
9
83 °
8
zu c.)
34 °
7A
A’(1,2/2,5)
B’(3,2/6)
C’(0/4,5)
6
B
A'''
B'
63 °
60 °
5
zu d.)
C'
A’’(9/3)
B’’(5/3)
C’’(8/1)
C'''
4
B'''
3
120 °
A'
2
zu e.)
45 °
M
A''
B''
1
A’’’(9,2/6,3)
B’’’(6,3/3,6)
C’’’(9,9/4,2)
-1
C''
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
zu 3.)
11
C
10
zu d.)
A’(8/3)
B’(6/3)
C’(7/0)
A’’(5/6)
B’’(5/4)
C’’(2/5)
9
8
E
A
7
g
B
A''
6
5
C''
M
4
B''
3
A'
B'
2
1
F
C'
1
2
3
4
-1
Seite 38 von 39
5
6
7
8
9
10
zu 4.)
zu d.)
10
A’(1/8)
B’(2/9)
C’(4/7)
D’(3/6)
B'
9
8 A'
A''
C'
7
A’’(7/8)
B’’(8/7)
C’’(6/5)
D’’(5/6)
6
B''
D''
D'
5
E
M
C''
F
h
D
4
3
C
2A
1
-1
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zu 5.)
zu e.)
A’(2/0)
B’(4/2)
C’(3/3)
D’(1/1)
A’’(8/1)
B’’(6/3)
C’’(5/2)
D’’(7/0)
A’’’(7/7)
B’’’(5/5)
C’’’(6/4)
D’’’(8/6)
8
D
7
6
A'''
A
D'''
C B'''
5
4
B
3
C'
C'''
M
2
1
B'
B''
C''
A''
D'
1
A'2
-1
Seite 39 von 39
3
4
5
6
7D'' 8
9