Übungsblatt 5

T4p: Thermodynamik und Statistische Physik
Prof. Dr. H. Ruhl
Übungsblatt 5
15. November 2016
1. Adiabatengleichung
Als adiabatische Zustandssänderung bezeichnet man einen thermodynamischen Vorgang, bei dem ein System von einem Zustand in einen anderen
überführt wird, ohne Wärme mit seiner Umgebung auszutauschen (δQ = 0).
Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt damit für einen adiabatischen Prozess
dE = δA .
(1)
Für ein ideales Gas aus N Molekülen ist die innere Energie gegeben durch:
E(T ) =
f
N kB T
2
(2)
.
Hierbei ist f die Anzahl der Freiheitsgrade pro Molekül (z.B. Translation, Rotation und Schwingung), T die absolute Temperatur und kB die BoltzmannKonstante. Die Relation E = E(T ) bezeichnet man als kalorische Zustandsgleichung, wohingegen die Relation
pV = N kB T
(3)
als thermische Zustandsgleichung (eines idealen Gases) bezeichnet wird.
a) Zeigen Sie, dass für einen adiabatischen Prozess eines idealen Gases
T f /2 V = const. gilt. Setzen Sie dazu die kalorische und thermische
Zustandsgleichung in (1) ein und integrieren sie die resultierende Gleichung.
b) Zeigen Sie mit dem Ergebnis aus a), dass auch V
adiabatischen Prozess gilt.
f +2
f
p = const. für einen
2. Der Carnot-Prozess
Der Carnot-Prozess ist ein idealisierter Kreisprozess, bei dem ein ideales Gas
in einem ansonsten vollkommen wärmeisolierten Zylinder eingeschlossen ist,
wobei sich an der Oberseite ein verschiebbarer Stempel befindet. Weiterhin
sei die Unterseite des Kolbens, je nach Arbeitsschritt, ein heißes Wärmereservoir mit Temperatur TH , komplett isoliert so dass kein Wärmeaustausch
zwischen dem Gas und der Umgebung stattfinden kann oder ein kaltes Wärmereservoir mit Temperatur TK .
Die einzelnen Arbeitsschritte seien dabei reversibel, das heißt quasistatisch
(so langsam, dass das System eine Folge von Gleichgewichtszuständen durchläuft) und ohne Reibung:
A: Eine isotherme Expansion bei Kontakt mit dem heißen Wärmereservoir
mit Temperatur TH vom Volumen V1 nach V2 .
B: Eine adiabatische Expansion von TH auf TK und von V2 nach V3 .
C: Eine isotherme Kompression bei Kontakt mit dem kalten Wärmereservoir mit Temperatur TH vom Volumen V3 nach V4 .
D: Eine adiabatische Kompression von TK auf TH und von V4 auf V1 .
a) Zeichnen Sie das P − V −Diagramm für den Carnot-Prozess.
b) Berechnen Sie die in den jeweiligen Schritten am Gas verrichtete Arbeit.
Hinweis: Verwenden Sie für die adiabatischen Schritte die kalorische
Zustandsgleichung.
c) Berechnen Sie die abgegebene und aufgenommene Wärme.
d) Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen den Größen p, V und T
am Anfang und Ende jedes Teilschrittes. Zeigen Sie damit, dass
V3
V2
=
V4
V1
(4)
gilt.
e) Der Wirkungsgrad für eine Wärmekraftmaschine ist definiert als
η=
−A
abgegebene Arbeit
=
zugeführte Wärmemenge
Qzugeführt
.
(5)
Berechnen Sie ηCarnot für den Carnot-Prozess.
f ) Berechnen Sie ηStirling für den Stirling-Prozess von Blatt 4. Ist dieser
größer, kleiner oder gleich ηCarnot ?