Magnetohydrodynamik

∇ × B = µ0 j
11 Magnetohydrodynamik
also (unter Verwendung von (5.11))
j×B =
11.1 Grundgleichungen der Magnetohydrodynamik
Magnetohydrodynamik (MHD) ist die Hydrodynamik von magnetisierten
Flüssigkeiten oder Plasmen. Grundlagen der MHD sind die Hydrodynamik, die Elektrodynamik und die Plasmaphysik.
In einem magnetisierten Plasma wirken Lorenzkräfte qv × B auf die geladenen Teilchen. Die Bewegung der Teilchen quer zum Magnetfeld ist
eine Kreisbewegung, mit Larmor-Radius (oder Gyroradius) rL und Zyklotronfrequenz ω C
rL =
mv perp
ωC =
(11.1)
qB
qB
m
(11.2)
Wenn der Larmorradius sehr klein ist im Vergleich zur charakteristischen
Länge L des Systems, so erfolgt die Bewegung der einzelnen Teilchen
(im mitbewegten System) praktisch nur noch längs der Magnetfeldlinien.
Die Magnetohydrodynamik betrachtet langsam veränderliche Systeme
mit kleinen Gyroradien:
rL << L
,
1
ωC
<< T
(11.3)
∂v
+ ⋅ ρ (v ⋅ ∇) v = −∇p + j × B
∂t
1
µ0
 B2  1
 +
( B ⋅ ∇) B
 2µ 0  µ 0
(∇ × B) × B = −∇ 
(11.4)
j ist dabei elektrische Stromdichte, B die magnetische Induktion. Viskositätsterme können vernachlässigt werden, weil Transportprozesse quer
zum Magnetfeld durch die Gyration stark behindert sind und längs der
Feldlinien meist die Advektion dominiert. Gleichung (11.4) erhält man
durch Addition der separaten Bewegungsgleichungen für Ionen und Elektronen in einem (insgesamt neutralen) Plasma.
Die Stromdichte ist mit dem Magnetfeld verknüpft durch die AmpèreMaxwell-Gleichung (in der MHD-Näherung darf der Verschiebungsstrom
vernachlässigt werden)
88
(11.6)
damit erhalten wir die Impulsgleichung der MHD, aus welcher der
Strom mit Hilfe des Magnetfeldes eliminiert worden ist:
ρ
 B2  1
∂v
 +
+ ⋅ ρ ( v ⋅ ∇ ) v = −∇p − ∇ 
( B ⋅ ∇) B
∂t
 2µ 0  µ 0
(11.7)
Die Grösse B 2 (2µ 0 ) bezeichnet man als magnetischen Druck .
Die Feldgleichung für B erhalten wir aus dem Induktionsgesetz
∂B
= −∇ × E
∂t
(11.8)
aus der wir das elektrische Feld mit Hilfe des verallgemeinerten
Ohm’schen Gesetzes
j = σ (E + v × B)
(11.9)
eliminieren {Resultat aus der Plasmaphysik, vgl. Krall und Trivelpiece,
Kap. 3.5 (Magnetohydrodynamics). Man erhält diese Gleichung aus der
Differenz der Bewegungsgleichung für Ionen und Elektronen und den
Näherungen der MHD}. σ ist die elektrische Leitfähigkeit, im weiteren
betrachten wir sie als konstant.
Einsetzen von (11.9) in (11.8) liefert
∂B
1
= ∇ × (v × B) −
∇ × (∇ × B )
σµ 0
∂t
Die Impulsgleichung der MHD enthält einen zusätzlichen Term für die
Lorenzkraft:
ρ
(11.5)
(11.10)
Mit der Vektorindentität (5.14) wird die Gleichung für das Magnetfeld
schliesslich zu
∂B
1 2
= ∇ × (v × B ) +
∇B
∂t
σµ 0
(11.11)
Das Verhältnis der beiden Terme auf der rechten Seite ist bestimmt
durch die magnetische Reynoldszahl
Re M ≡ µ 0σUL
(11.12)
Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung bilden die Gleichungen (11.7)
und (11.11) ein System, das nur noch die Grössen u und B enthält (aber
nicht mehr j oder E).
89
Wir können (11.11) mit der Vektorbeziehung (5.13)
VA =
∇ × (a × b) = (∇ ⋅ b ) a − (∇ ⋅ a ) b − (a ⋅ ∇ ) b + (b ⋅ ∇ ) a
umformen zu
∂B
1 2
+ (v ⋅ ∇ ) B = (B ⋅ ∇ ) v − (∇ ⋅ v) B +
∇B
σµ 0
∂t
(11.13)
Formal ist diese Gleichung identisch mit der Vorticity-Gleichung (5.15).
Sie hat die Form einer Transportgleichung für das Magnetfeld. Für beliebig gute Leitfähigkeit (Re M →∞) beschreibt sie das im Plasma eingefrorene Feld („frozen-in field“), welches vom Plasma mitgeführt wird.
Wir betrachten Schwingungen des Magnetfeldes in einem ruhenden
Plasma
(11.14)
Das konstante Magnetfeld B0 zeige in x-Richtung, die Schwingung sei
inkompressibel, das Plasma unendlich gut leitfähig, und es sei
p << B 2 /( 2µ 0 ) . Wir betrachten Schwingungen B1 in y- oder z-Richtung,
und schreiben die Impuls- und Induktionsgleichungen in der Form
∂v
1
=
(∇ × B) × B = 1 (∇ × B1 ) × B0
∂t µ 0 ρ
µ0 ρ
∂B
= ∇ × (v × B )
∂t
(11.21)
µ0 ρ
Alfvénwellen sind transversale Schwingungen des Magnetfeldes, für die
das Magnetfeld die rücktreibende Kraft bewirkt und die Plasma-Dichte
die Trägheit.
Für Plasmen mit endlicher Temperatur koppeln sich akustische und
Alfvénwellen, es entstehen die langsamen und schnellen magnetoakustischen Wellen.
Aus dem Verhältnis von Schallgeschwindigkeit, Alfvéngeschwindigkeit
und Strömungsgeschwindigkeit (bzw. thermischem, magnetischem und
dynamischem Druck) lassen sich weitere dimensionslose Zahlen definieren
11.2 Alfvén-Wellen
B = B 0 + B1 (x, t )
B0
β =
p
B02 (2µ 0 )
Ma A =
(11.15)
u
=
Va
ρu 2
B2 µ0
(Plasma-Beta)
(11.22)
(Alfvén- Machzahl)
(11.23)
Je nachdem, ob β und MaA grösser oder kleiner als 1 sind, dominiert
der dynamische, thermische oder magnetische Druck die Impulsbilanz
(bzw. kinetische, thermische oder magnetische Energie die Energiebilanz).
(11.16)
In Komponenten:
∂v y ,z
∂t
=
B0 ∂By ,z
µ 0 ρ ∂x
∂By ,z
∂v
= B0 y ,z
∂t
∂x
(11.17)
(11.18)
Ableiten nach x bzw. t liefert die Wellengleichung
∂ 2 B y ,z
∂t 2
=
2
B02 ∂ By ,z
µ 0 ρ ∂x 2
2
∂ 2B
2 ∂ B
−
V
=0
A
∂t 2
∂x 2
(11.19)
(11.20)
mit der Alfvéngeschwindigkeit
90
91
11.3 Magnetosphären
Weil in magnetisierten Plasmen die Teilchen an die Magnetfeldlinien
„gebunden“ sind, mischen sich magnetisierte Flüssigkeiten äusserst
schlecht. Wechselwirkungen zwischen magnetisierten Flüssigkeiten erzeugen also Gebilde mit scharfen Grenzflächen.
Der überwiegende Anteil der Materie im Kosmos besteht aus Plasma,
und fast alle diese Plasmen sind magnetisiert. Magnetosphären sind
deshalb verbreitete Phänomene. Die untenstehende Figur zeigt zum Abschluss einen Grössenvergleich zwischen den Magnetosphären der Planeten, einer Galaxie und eines Pulsars.
Typische Beispiele sind die Magnetosphären der Planeten (und anderer
Himmelskörper). Das Magnetfelder eines Planeten stellt für den Sonnenwind, ein voll ionisiertes Plasma, das mit Überschall (und ÜberAlfvéngeschwindigkeit) von der Sonne wegströmt, ein Hindernis dar. Der
Sonnenwind wird in einer Stossfront auf Unterschallgeschwindigkeit abgebremst. Er umströmt und deformiert das Magnetfeld des Planeten, dabei entsteht ein langer Magnetschweif („Magnetotail“). Die Magnetopause bildet die Grenze zwischen dem Sonnenwind und dem magnetosphärischen Plasma.
Der Abstand der Magnetopause auf der sonnenzugewandten Seite lässt
sich abschätzen aus dem Gleichgewicht zwischen dynamischem Druck
des Sonnenwindes und magnetischen Druck des planetaren Magnetfeldes:
ρv 2 =
B2
2µ 0
(11.24)
Nähert man das Feld durch das Dipolfeld
R 
B = B0  0 
 r 
3
(11.25)
so ergibt dies
1
 B02  6
 R0
r = 
2 
 2 µ 0 ρu 
(11.26)
Für die Erdmagnetosphäre, mit B0 ≈ 3x10-5 T, und einen Sonnenwind
mit u = 400 km/s und ρ ≈ 107 Protonen/m3 ergibt dies näherungsweise
r ≈ 7 RE
(11.27)
Nahe den Polen können energiereiche Teilchen des Sonnenwindes bis
in niedere Schichten eindringen, wo sie durch Wechselwirkung mit der
Atmosphäre die Aurora erzeugen (in ca. 60 – 1000 km Höhe).
92
(Figur aus Friedmann, Die Sonne)
93