Inhalt - Institut für Elektrische Energiewandlung

Universität
Stuttgart
Institut für Leistungselektronik
und Elektrische Antriebe
Abt. Elektrische Energiewandlung
Prof. Dr.-Ing. N. Parspour
Inhalt 3 Elektrische und magnetische Felder .............................................................................. 3-1 3.1 Das elektrische Feld ............................................................................................... 3-1 3.1.1 Kraftwirkung im elektrischen Feld .................................................................... 3-1 3.1.2 Kondensator ....................................................................................................... 3-1 3.1.3 Ströme und Spannungen am Kondensator ......................................................... 3-4 3.1.4 Laden und Entladen eines Kondensators ........................................................... 3-4 3.1.5 Schaltungen von Kondensatoren........................................................................ 3-9 3.2 Das magnetische Feld .......................................................................................... 3-10 3.2.1 Allgemeines ..................................................................................................... 3-10 3.2.2 Größen im magnetischen Feld ......................................................................... 3-10 3.2.3 Induktivität ....................................................................................................... 3-12 3.2.4 Ströme und Spannungen an der Induktivität.................................................... 3-13 3.2.5 Ein- und Ausschaltvorgänge an Induktivitäten ................................................ 3-14 3.2.6 Schaltungen von Induktivitäten ....................................................................... 3-18 3-1
3 Elektrische und magnetische Felder
3.1 Das elektrische Feld
3.1.1 Kraftwirkung im elektrischen Feld
Im ruhenden elektrischen Feld wird auf geladene Körper eine Kraft ausgeübt. Die Kraft hängt
dabei von der Größe der Ladung und vom Ort ab. Gleichnahmige Ladungen stoßen sich mit
der Kraft F in Richtung des Abstands ab, ungleichnahmige Ladungen ziehen sich mit der
Kraft F in Richtung des Abstands an.
Wenn nun eine der beiden Ladungen als Ursache des elektrischen Feldes gedeutet wird, kann
die Kraft auf die andere Ladung durch einen elektrischen Feldstärkevektor beschrieben
werden. Siehe bitte Kapitel 1.1.3.1 Formel (1.1):
F  QE
Durch Bewegung einer Ladung und Messung der Kraft wird das Feld bestimmt.
Das E-Feld hat an jeder Stelle des Raumes eine Richtung (Vektorfeld). Es wird durch
Feldlinien dargestellt (Richtung von + nach ). Elektrische Feldlinien haben ihren Ursprung
(Quelle) und ihr Ende (Senke) in elektrischen Ladungen. Aufgrund dieser Eigenschaft ist das
elektrostatische Feld ein Quellenfeld (siehe bitte Bild 1.1).
Komplexere Feldverläufe werden heute meist mit Hilfe von numerischer Feldberechnung
behandelt. Im Inneren idealer Leiter ist das E-Feld Null. Dies gilt auch für Hohlräume in
Leitern (Faraday’scher Käfig).
Dies hat einige praktische Auswirkungen:

Ein Auto ist ein Faraday’scher Käfig. Daher ist man im Fahrzeuginnern vor Blitzen
geschützt.

Die Funktion von Mobiltelefonen ist in Stahlbetonbauwerken meist eingeschränkt.
3.1.2 Kondensator
Ein Kondensator besteht aus zwei entgegengesetzt geladenen Leiteroberflächen, die
voneinander isoliert sind. Die Geometrie ist beliebig. Durch Anlegen einer Spannung werden
Ladungsträger an den Leiteroberflächen gespeichert. Mit Hilfe von Experimenten kann
nachgewiesen werden, dass die Ladung der Spannung proportional ist. Die
Proportionalitätskonstante wird Kapazität genannt:
Q  CU
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.1)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-2
Formelzeichen:
C
Einheit:
[C] = 1 F (Farad)
Das Schaltzeichen für einen Kondensator besteht aus zwei parallelen Linien.
C
Bild 3.1
Schaltzeichen für einen Kondensator
Die Größe der Kapazität ist nur von der Geometrie und dem Material abhängig. Am
einfachsten ist der Fall des Plattenkondensators zu betrachten. Dieser besteht aus zwei
leitenden Platten (Elektroden) der Fläche A, die sich im Abstand l gegenüberstehen.
Zwischen den Elektroden wird eine Spannung U angelegt.
Leiter
l
U

E
Leiter
Bild 3.2
Aufbau eines Plattenkondensators
Es zeigt sich, dass die Kapazität des Kondensators proportional der Fläche der Elektroden
und umgekehrt proportional zu ihrem Abstand ist.
C  
A
l
(3.2)
Die Proportionalitätskonstante  wird Dielektrizitätskonstante genannt. Bei unterschiedlichen
Isolatoren im Feld zwischen den Elektroden werden unterschiedliche Kapazitäten gemessen.
Daher ist  eine Materialkonstante. Sie wird meist als Produkt aus der absoluten
Dielektrizitätskonstante im Vakuum 0 und einer materialspezifischen relativen Dielektrizitätskonstante r angegeben:
  0  r
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.3)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-3
Dielektrikum
Dielektrizitätskonstante
r
Durchschlagsfeldstärke
ED [kVm-1]
Luft
1
3.000
Öl
2,2 ... 2,6
20.000
Wasser
80
unpolare Kunststoffe (PE,PTFE)
2 ... 2,5
40.000
polare Kunststoffe (PVC)
2,5 ... 6
15.000
Papier
4
Aluminiumoxid Al2O3
8 ... 9,5
Kondensatorkeramik ND
40 ... 60
10.000 ... 40.000
Kondensatorkeramik ND (BaTiO3)
1000 ... 4000
5.000
Tabelle 3.1
Dielektrizitätskonstante und Durchschlagfeldstärke wichtiger Dielektrika
Für Kondensatoren wurden verschiedene Bauformen entwickelt. Meist werden Wickel
(zylindrisch) oder Stapel (quaderförmig) verwendet.
Bild 3.3 a) Kondensator in Wickelbauweise b) Kondensator in Stapelbauweise
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-4
3.1.3 Ströme und Spannungen am Kondensator
Für die Pfeilung der Spannung und des Stromes am Kondensator wird folgende Zuordnung
angenommen (Verbraucherzählpfeilsystem):
uC
C
iC
Bild 3.4
Pfeilung des Stromes und der Spannung am Kondensator
Eine Änderung des Ladezustands eines Kondensators geht mit einer Spannungsänderung
einher.
q t   C  u t 
(3.4)
Bei einer zeitlichen Veränderung des Ladezustands fließt ein Strom im Kondensator:
it  
dqt 
du t 
 C
dt
dt
(3.5)
Die vorausgehende Gleichung ist das Grundgesetz für den Kondensator (Kondensatorgleichung).
An den Elektroden des Kondensators sammeln sich Ladungen. Im Dielektrikum selbst fließt
kein Strom.
Die Spannung am Kondensator kann sich nicht sprungförmig ändern, da dazu ein unendlicher
Strom notwendig wäre.
3.1.4 Laden und Entladen eines Kondensators
Um einen Kondensator auf eine Spannung U aufzuladen, muss er über einen in Reihe
geschalteten Widerstand an die Quelle angeschlossen werden.
Im folgenden Beispiel ist der Kondensator C für Zeiten t < 0 ungeladen. Zur Zeit t = 0 wird
der Schalter S geschlossen.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-5
S
t=0
U
R
uR
C
iC
uC
Bild 3.5
Ersatzschaltbild für den Ladevorgang
eines Kondensators
Die Maschenregel liefert:
U  u R (t)  u C (t)
(3.6)
Für den Widerstand R gilt das ohmsche Gesetz:
u R (t)  R  i C (t)
(3.7)
Der Kondensator folgt der Kondensatorgleichung:
i C (t)  C 
du C ( t )
dt
(3.8)
Einsetzen von (3.7) und (3.8) in (3.6) liefert die Differentialgleichung:
U  R C
du C ( t )
 u c (t)
dt
(3.9)
Neben der Differentialgleichung ist zur Lösung eine Randbedingung, d. h. ein fester Wert für
einen vorgegebenen Zeitpunkt, erforderlich: z. B. uC(0) = 0, da der Kondensator in unserem
Beispiel zum Einschaltzeitpunkt als ungeladen angenommen wurde.
Differentialgleichungen sind i. A. nicht geschlossen lösbar (s. Vorlesung Mathematik). In
vielen einfachen Fällen aus Natur- und Ingenieurwissenschaften existieren geschlossene
Lösungen. Hier führt der Ansatz über eine Exponentialfunktion zum Erfolg:
u C t    1  e

t

 0
du C t   1  
e

dt

t
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.10)
(3.11)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-6
Einsetzen der vorausgehenden Gleichungen in die Differentialgleichung ergibt:
t
t



U  R  C  1  e   1  e    0

(3.12)
Die zeitabhängigen Terme müssen in der Summe Null ergeben, da U = const. ist.
t
0  R C
t

1  
 e  1  e     R  C

(3.13)
Der zeitunabhängige Term muss dann U ergeben:
U  0
(3.14)
Mit der Randbedingung folgt:
u C 0  0  U  1  e

0

 1   U
t



u C t   U  1  e RC 


(3.15)
(3.16)
Und mit Gleichung
du ( t )
i C (t)  C  C
dt
t
U 
i C t    e RC
R
(3.17)
Das Produkt RC ist charakteristisch für den zeitlichen Ablauf der Aufladung. Es hat die
Dimension einer Zeit und wird als Zeitkonstante des Stromkreises bezeichnet.
  R C
(3.18)
Der zeitliche Verlauf von Strom und Spannung beim Laden eines Kondensators sieht wie
folgt aus:
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-7
Werte für den berechneten Verlauf:
U = 10 V
R = 10 k
C = 200 µF
=2s
Bild 3.6
Zeitlicher Verlauf des Stromes und der Spannung am Kondensator während des
Ladevorganges
Eine genauere Betrachtung des Verhaltens zu bestimmten Zeitpunkten liefert die folgenden
Erkenntnisse:
Zeit
Kondensator wirkt wie
uC
iC
t0
„Kurzschluss“
u C 0  0
i C 0 
U
R
 1
u C   1    U
 e
i C  
U 1

R e
u C    U
i C    0
t 
t
„Leerlaufverhalten“
Tabelle 3.2 Verhalten des Kondensators zu bestimmten ausgezeichneten Zeitpunkten
Beim Entladen wird die Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator über einen
Schalter kurzgeschlossen.
Zur Zeit t < 0 ist der Kondensator auf die Spannung U aufgeladen. Zur Zeit t = 0 wird der
Schalter S geschlossen.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-8
S
R
t=0
uR
C
iC
uC
Bild 3.7
Ersatzschaltbild für den Entladevorgang eines
Kondensators
Wie beim Laden wird die Differentialgleichung des Systems aufgestellt:
0  R C
du C ( t )
 u c (t)
dt
(3.19)
Mit der Randbedingung: uC(0) = U folgt:
u C (t)  U  e

t
RC
Ue
t
i C (t)  

t

(3.20)
t
(3.21)
U  RC
U 
e
 e 
R
R
Der zeitliche Verlauf von Strom und Spannung beim Entladen eines Kondensators sieht wie
folgt aus:
Werte für den berechneten Verlauf:
U = 10 V
R = 10 k
C = 200 µF
=2s
Bild 3.8
Zeitlicher Verlauf des Stromes und der Spannung am Kondensator während des
Entladevorgangs (beachte: negative Werte der Stromachse!)
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-9
3.1.5 Schaltungen von Kondensatoren
Parallelschaltung: alle Kondensatoren haben dieselbe Spannung.
C1
U
Bild 3.9
C2
C
U
Ce
Parallelschaltung aus  Kondensatoren (links) und entsprechende Ersatzschaltung
mit der Ersatzkapazität Ce (rechts)
Q   Ck  U
(3.22)
k
Die Ersatzkapazität Ce berechnet sich als Summe der Einzelkapazitäten.
Ce 
Q
  Ck
U
k
(3.23)
Reihenschaltung: alle Kondensatoren haben dieselbe Ladung:
C1
C2
U
U
Ce
C
Bild 3.10
Reihenschaltung aus  Kondensatoren (links) und entsprechende Ersatzschaltung
mit der Ersatzkapazität Ce (rechts)
Q
Ck
(3.24)
1
U
1
 
Ce Q
k Ck
(3.25)
U
k
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-10
3.2 Das magnetische Feld
3.2.1 Allgemeines
Neben den Kräften auf ruhende elektrische Ladungen wird eine zweite Art von Kräften auf
bewegte Ladungen beobachtet. Das verursachende Feld wird als magnetisches Feld
bezeichnet.
Magnetische Felder entstehen entweder durch elektrische Ströme oder durch Permanentmagnete. Die Wirkung von Permanentmagneten wird heute so erklärt, dass jedes um einen
Atomkern rotierende Elektron einen elektrischen Strom darstellt. In den meisten Materialien
kompensieren sich die Wirkungen der Elektronen nach außen. Bei Permanentmagneten
jedoch entsteht ein äußeres Feld, indem eine Überzahl von Elektronen in einer Ebene in der
gleichen Richtung rotiert. Die Anziehungskraft von Permanentmagneten auf Eisen gab dem
Magnetismus seinen Namen, da das Phänomen erstmals in der Antike in der magnetitreichen
Region Magnesia (Griechenland) beobachtet wurde.
3.2.2 Größen im magnetischen Feld
3.2.2.1.
Magnetische Feldstärke
Wenn ein Stabmagnet (z. B. eine Kompassnadel) in die Nähe eines langen stromdurchflossenen Leiters gebracht wird, kann folgendes beobachtet werden:

Eine Kraft stellt den Magneten immer so ein, dass seine Magnetisierung tangential zu
einem gedachten Kreis um den Leiter weist.

Die Kraft auf den Magneten ist proportional dem Strom I und umgekehrt proportional
dem Abstand des Magneten von der Mittellinie des Leiters.
Magnet
I
N
S
Bild 3.11
H
Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters und
Ausrichtung eines Stabmagneten im feldbehafteten
Raum
Für die Darstellung wird folgende Symbolik verwendet:
Kreuz: Strom fließt in die Zeichenebene hinein
Punkt: Strom fließt aus der Zeichenebene heraus
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-11
Aufgrund dieser Beobachtungen wird die magnetische Feldstärke H als Quotient aus dem
verursachenden Strom und der Länge der Feldlinie definiert:

H 
I
2r
(3.26)
Formelzeichen:

H
Einheit:

[ H ] = 1 Am-1

Die magnetische Feldstärke H ist eine vektorielle Größe. Bei einem langen geraden Leiter
verlaufen die Feldlinien kreisförmig um den Leiter. Das magnetische Feld weist geschlossene
Feldlinien auf. Anschaulich bilden die Feldlinien Wirbel um Gebiete mit elektrischem
Stromfluss. Das Magnetfeld wird daher auch als Wirbelfeld bezeichnet und weist im
Gegensatz zum elektrischen Feld keine Quellen auf.
Die Richtung der Feldlinien wird durch die „Korkenzieherregel“ festgelegt: Eine in Richtung
des Stromes eingedrehte Rechtsschraube gibt durch ihren Drehsinn die Richtung des
Magnetfeldes an.
3.2.2.2.
Magnetische Flussdichte
Die Einführung einer weiteren magnetischen Feldgröße ist erforderlich, weil Materialien
einen Einfluss auf das Verhalten des magnetischen Feldes haben. Z. B. verstärkt Eisen die
Kraftwirkung im magnetischen Feld.
Die zweite magnetische Feldgröße wird magnetische Induktion (oder magnetische Flussdichte)

B genannt. Sie ist, wie auch die magnetische Feldstärke, ein Vektor und steht parallel zur
magnetische Feldstärke.
Formelzeichen:

B
Einheit:

[ B ] = 1 Vsm-2 = 1 T (Tesla)
Manchmal wird noch die alte Einheit G (Gauß) angegeben: 1 T = 104 G
Wie auch beim elektrischen Feld sind die beiden magnetischen Feldgrößen über eine
Materialgleichung miteinander verknüpft.


B  H
(3.27)
Die Materialkonstante  wird Permeabilität genannt. Auch hier erfolgt praktischerweise eine
Aufteilung in die absolute Permeabilität im Vakuum 0 und in eine materialabhängige relative
Permeabilität r.
  0   r
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.28)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-12
Die absolute Permeabilität beträgt:
 0  4 107
Vs
Am
(3.29)
In Luft und den meisten anderen Materialien ist r ≈ 1. In den sogenannten weichmagnetischen
Materialien kann r erheblich größere Werte (100 ... 100.000) annehmen.
3.2.2.3.
Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluss  beschreibt die Summe der magnetischen Flussdichtenlinien, die
senkrecht durch eine Fläche treten.
In einem homogenen B-Feld gilt für eine ebene Fläche A:
 
  B  A  cos B, A


(3.30)
Bild 3.12
Magnetischer Fluss durch die gerichtete Fläche A
Formelzeichen:

Einheit:
[] = 1 Vs = 1 Wb (Weber)
Manchmal wird noch die alte Einheit M (Maxwell) angegeben 1Vs ^= 108 M
3.2.3 Induktivität
Eine Induktivität (Spule) ist eine Anordnung von N-stromdurchflossenen Windungen, die so
angeordnet sind, dass die magnetischen Felder einzelner Windungen sich zu einem
größtmöglichen Gesamtfeld überlagern. Mit Hilfe von Experimenten kann nachgewiesen
werden, dass der Fluss  dem Strom I proportional ist. Die Proportionalitätskonstante wird
Induktivität genannt.
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-13
Bild 3.13
Magnetischer Fluss einer Stabspule
N  LI
(3.31)
iL
uL
L
Bild 3.14
Schaltsymbol der Induktivität L mit Strom- und Spannungszählpfeilen
Formelzeichen:
L
Einheit:
[L] = 1 H = 1 VsA-1m-1
Die Größe der Induktivität ist von der Geometrie und wicklungstragenden Material (Kern)
abhängig. Für eine Stabspule ist sie gegeben durch:
L  0  r  N 2 
A
l
(3.32)
 r : Permeabilitätszahl des Kerns
N: Anzahl der Windungen
A: Querschnittsfläche der Spule
l: Länge der Spule
3.2.4 Ströme und Spannungen an der Induktivität
Eine Änderung des Flusses in der Induktivität geht mit einer Stromänderung einher:
N  (t)  L  i(t)
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.33)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-14
Bei einer zeitlichen Änderung des Flusses liegt eine Spannung an den Anschlüssen der
Induktivität an:
u L (t)  L 
di L (t)
dt
(3.34)
Wobei nach dem Induktionsgesetz:
u L (t)  N 
d(t)
dt
3.2.5 Ein- und Ausschaltvorgänge an Induktivitäten
Ein Strom kann sich in einer Spule nicht sprungartig ändern, da dazu eine unendlich hohe
Spannung und somit Leistung notwendig wäre. Eine reale Spule besteht aus einer
Reihenschaltung einer idealen Spule und dem ohmschen Widerstand der Spule.
3.2.5.1.
Einschalten einer realen Spule
Im folgenden Beispiel ist die Spule L für t ≦ 0 stromlos. Zur Zeit t = 0 wird der Schalter S
geschlossen.
S
t=0
U
R
uR
iL
uL
L
Bild 3.15
Ersatzschaltbild zur Berechnung des Einschaltvorgangs
einer Induktivität L
Die Maschenregel liefert für t ≧ 0:
U  u R (t)  u L (t)
(3.35)
Für den Widerstand R gilt das ohmsche Gesetz:
u R (t)  R  i L (t)
(3.36)
Die Spule unterliegt der Selbstinduktion, d. h. es gilt das Grundgesetz.
u L (t)  L 
di L ( t )
dt
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.37)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-15
Einsetzen der vorausgegangenen Gleichungen liefert die Differentialgleichung zur Berechnung des Einschaltvorgangs der Spule:
U = i L (t)  R + L 
d i L (t)
dt
(3.38)
Mit der Randbedingung iL(0) = 0 (stromlose Spule zu Beginn) folgt die Lösung für den
zeitlichen Verlauf des Spulenstroms:
i L (t) =
t
R
 
 t 
U 
U 
 1  e L    1  e  
R 
 R 

(3.39)
Aus dem Ergebnis (3.39) folgt durch Einsetzen in (3.37) der zeitliche Verlauf der
Spulenspannung:
u L (t) = U  e
R
 t
L
Ue

t

(3.40)
Der Quotient L/R ist charakteristisch für den zeitlichen Ablauf des Stromaufbaus. Er hat die
Dimension einer Zeit und wird als Zeitkonstante  des Stromkreises bezeichnet.

L
R
[] = Vs/A. = Vs.A/V.A = s
(3.41)
Bild 3.16 zeigt die zeitlichen Verläufe der Spulenspannung und des Spulenstroms für t ≧ 0.
Werte für den berechneten Verlauf:
U = 10 V
R = 0,5
L=1H
=2s
Bild 3.16 Zeitliche Verläufe des Spulenstroms und der Spulenspannung beim Einschaltvorgang der Induktivität für t ≧ 0
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-16
Auch hier lassen sich für bestimmte ausgezeichnete Zeitpunkte einige wichtige
Feststellungen über die Wirkungsweise der Spule zusammenfassen:
Zeit
Spule wirkt wie
uL(t)
iL(t)
t0
„Leerlauf“
u L 0   U
i L 0   0
1
u L    U
e
i L  
U  1
 1  
R  e
i C   
U
R
t
t
u L    0
„Kurzschluss“
Tabelle 3.3 Verhalten der Spule zu bestimmten ausgezeichneten Zeitpunkten
3.2.5.2.
Ausschalten einer realen Spule
Mit dem in Bild 3.17 dargestellten Ersatzschaltbild kann der Ausschaltvorgang einer Spule
untersucht werden.
R
t=0 S
1
S2
U
t=0
uR
iL
uL
L
Bild 3.17
Ersatzschaltbild zur Berechnung des Ausschaltvorgangs einer Spule
Der Schalter S1 sei lange Zeit geschlossen gewesen, sodass der stationäre Zustand vorliegt,
d. h. in der Spule fließt der stationäre Spulenstrom. Dieser kann mit Gleichung (3.39)
berechnet werden, indem man den Grenzwert für t   berechnet. Es ergibt sich für den
Spulenstrom zum Zeitpunkt Null (Anfangsbedingung) der Betrachtung des Ausschaltvorgangs:
i L 0 
U
R
(3.42)
Nun soll der Strom in der Spule abgeschaltet werden. Dazu wird in einem Gedankenexperiment zunächst S1 geöffnet. Es gilt:
u L (t) = L 
d i L (t)
dt
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.43)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-17
Da der Strom nun keine Möglichkeit mehr hat um weiterfließen zu können, müsste die
Spannung an der Spule unendlich werden, da diL(t)/dt im Ausschaltzeitpunkt unendlich groß
würde. In realen Anwendungen würde dies zum elektrischen Durchschlag des Schalters und
zur Ausbildung eines Lichtbogens, der die Energie der Spule aufnimmt, führen. Damit dies
nicht passieren kann, wird zum Zeitpunkt t = 0 zeitgleich zum Öffnen des Schalters S1 der
Schalter S2 geschlossen. Damit kann der Strom im „kurzgeschlossenen“ Kreis weiterfließen.
Die zugehörige Differentialgleichung lautet:
0 = i L (t)  R + L 
d i L (t)
dt
(3.44)
Mit der obigen Anfangsbedingung (3.42) für den Strom ergibt sich der zeitliche Verlauf für
den Strom und die Spannung an der Spule für den Ausschaltvorgang zu:
t
R
U  L t U  
e
 e
i L (t) =
R
R
u L (t) =  U  e

(3.45)
t

(3.46)
Im nachfolgenden Bild 3.18 sind die zeitlichen Verläufe von Strom und Spannung für den
Ausschaltvorgang der Spule dargestellt.
Werte für den berechneten Verlauf:
U = 10 V
R = 0,5
L=1H
=2s
Bild 3.18 Zeitliche Verläufe des Spulenstroms und der Spulenspannung beim Ausschaltvorgang für t ≧ 0. (Beachte negative Werte auf der Spannungsachse)
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder
3-18
3.2.6 Schaltungen von Induktivitäten
Parallelschaltung:
L1
U
L2
Lv
U
Le
Bild 3.19 Parallelschaltung aus v Induktivitäten (links) und entsprechende Ersatzschaltung
mit der Ersatzinduktivität Le (rechts)
1
1
1
1
 
 ... 
Le L1 L 2
Lv
1
1

Le
k Lk
(3.47)
Reihenschaltung:
L1
L2
U
U
Le
Lv
Bild 3.20 Reihenschaltung aus v Induktivitäten (links) und entsprechende Ersatzschaltung
mit der Ersatzinduktivität Le (rechts)
Le  L1  L 2  ...  L v
Le   Lk
k
Einführung in die Elektrotechnik Teil II
(3.48)
Kapitel 3: Elektrische und magnetische Felder