Fusion and fission

Fusion and fission
Liquid drop model: most stable nuclei around mass A~60
large energy release due to disintegration (fission) of one
Heavy nucleus into two nuclei. Also the fusion of two light
nuclei into one medium-mass nucleus releases energy.
Spontaneous fission
Spontaneous fission, liquid drop model (energy balance)
Expect spontaneous fission if
Assum
and
Liquid drop model:
Q = asA
2/3
− a sA
2/3
1
− a sA
2
2/3
2
2
1
1/ 3
1
2
2
1/ 3
2
Z
Z
Z
+ a c 1/ 3 − a c
− ac
A
A
A
Spaltung
Condition for maximised energy release:
2
∂Q
2
2
Z
5 2/3 5 2/3
2/3
−1 / 3
−1 / 3
= a s A ( − y1 + y 2 ) + a c 1 / 3 ( − y1 + y 2 )
∂y1
3
3
A
3
3
d.h.
symmetric fission
more energy released in chemical reaction
fission and deformation
fission and deformation
Z2
> 47
A
is only a rough indicator based on
classical reasoning for spherical
shapes of charged drops!!!
spontaneous fission
Th, Z=90
Pu, Z=94
Cf, Z=98
No, Z=102
Fission barrier
Deformation condition alone not sufficient. Fission process
requires an intermediate state of the nucleus. Here the surface
energy is increased, but the Coulomb energy is not reduced
sufficiently to allow fission. At the scission point the Coulomb
energy takes over and the two fragments separate.
Fission barrier
fission
separation
α-decay reminder
Das α-Teilchen bewegt sich in einem mittleren
Potenzial V(r) im Tochterkern. Im Inneren des
Kern ist V0 konstant, außerhalb des Kernradius
R ist es ein reines Coulomb-Potenzial
Beispiel 238U:
-V0 ~ -100 MeV R = ~ 10 fm
VC
L
Ansatz für die Zerfallswahrscheinlichkeit pro
Zeiteinheit λ:
λ=S·ω·P
• S Wahrscheinlichkeit daß sich bereits im
Kerninneren ein α-Teilchen gebildet hat
• ω Frequenz, mit der das Teilchen an die
Barriere stößt:
2V0 / M
1
v
ω=
=
=
∆t 2 R
2R
• P ist die Penetrabilität, die Wahrscheinlichkeit
für einen Tunnelprozess.
Ri
Ra
V0
Bemerkung:
Das α-Teilchen kann im Kern auch
Bahndrehimpuls l tragen. Diesen
Vernachlässigen wir im folgenden,
d.h. es gilt nur für Zerfälle zwischen
Grundzuständen mit l=0.
α-Zerfall und Tunneleffekt
Quantenmechanik: Tunnelwahrscheinlichkeit
läßt sich für ein endliches Kastenpotential
exakt berechnen:
 2L

T ( E ) = exp −
2m(V0 − E ) 
 h

Für einen allgemeinen Potenzialberg ist dies
nicht möglich.
Näherungsformel: Zwischen den klassischen
Umkehrpunkten wird das Potential in n kleine
Schwellen der Breite ∆x zerlegt.
 x2  2
 
T ( E ) = ∏ Ti ( E ) = exp − ∫ dx 
2m(V ( x ) − E )  
h
 
 x1 
i =1
n
Annahmen:
- Exponentialfaktor ist wesentlich größer als
Eins
-WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) Näherung
für kontinuierliche Potentialberge
L
α-Zerfall Zerfallswahrscheinlichkeit
P ist die Penetrabilität,
Wahrscheinlichkeit für
Tunnelprozess:
P = e − 2 G mit Gamow Faktor G
G(Eα ) =
Ra
1
dr
∫R  h
i

2m(V(r) − E) 

2 Ze 2
mit V(R a ) = E α =
Ra
2
G(Eα ) =
h
2
=
h
Ra
2 Ze 2
2 m ∫ dr
−E
r
Ri

2m
2
2 Ze  arccos
E

Ri
−
Ra
Grobe Abschätzung für die Unterschiede in Penetrabilität wg
Massenunterschied zwischen alpha-Zerfall und Spaltung A~115-130:
Pα/Pfis~106
2
Ri Ri
−
R a R a2


