α-Zerfall - User web pages on web

Kernphysik I
Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne:
α-Zerfall
Wiederholung letzte Stunde: Zerfallsgesetz
Beobachtet man eine Probe über eine gewisse Zeit, sinkt ihre Aktivität A(t),
weil die Zahl der Kerne N(t) kontinuierlich abnimmt. Einen quantitativen
Zusammenhang bekommt man aus - dN/dt = N λ
Die Lösung dieser DGL lautet:
N (t ) = N 0e − λt = A(t ) / λ
Dabei ist N0 die Zahl der Kerne bei t = 0.
Messen kann man λ bei bekanntem N (quasi konstant) über A oder, bei
kurzlebigen Isotopen, über die Zeitfunktion von A(t).
Als Einheit der Aktivität verwendet man das Becquerel Bq:
1 Bq = 1 Zerfall / s
α-Zerfall
Beim α-Zerfall wird ein α -Teilchen vom radioaktiven Kern emittiert.
Ordnungszahl (Atomzahl) wird um zwei (vier) Einheiten reduziert.
Energiedifferenz der Atommassen:
Q = M(Z,A) - M(Z - 2,A - 4) - M(4He)
= B(Z - 2;A - 4) + Bα(28,3 MeV) - B(Z;A):
Der Q-Wert einer Reaktion oder eines Zerfalles ist die verfügbare Energie,
die sich unter den beteiligten Teilchen als kinetische Energie aufteilt.
Hier ist Q also die kinetische Energie
des α 's und die Rückstossenergie des
Tochterkernes. Da Mutter- und Tochter
feste Massen haben sind α 's monoenergetisch. Kinetischen Energien von
einigen MeV (4 -10 MeV).
Aufnahme der Ionisationsdichte in einer
Nebelkammer. Spuren aus einer kollimierten
α -Quelle (214Po -> 210Pb + α). Die konstante
Länge der Spuren zeigt, dass die α 's
monoenergetisch sind (Q= 7.7 MeV).
α-Zerfall
Protonen und Neutronen sind auch in schweren Kernen mit bis zu 7 MeV gebunden,
und können daher nicht aus dem Kern entweichen. Die Emission eines gebundenen
Systems ist eher möglich, da zusätzlich Bindungsenergie zur Verfügung steht.
Von Bedeutung ist dies insbesondere für α-Teilchen, da sie eine außerordentlich große
Bindungsenergie von 7.1MeV/u haben.
Atomkerne besitzen eine Coulombbarriere, die ein sich im Kern formiertes Alphateilchen daran hindert, diesen zu verlassen. Das α-Teilchen müßte dazu eine potentielle
Energie besitzen, welche größer als das abstoßende Coulombpotential ist:
VCoul
2( Z − 2)e 2 2( Z − 2)αhc
=
=
r
r
Klassisch ist es für E < Vcoul unmöglich,
diese Barriere zu überwinden; quantenmechanisch besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit für das α-Teilchen, die Barriere
und damit den klassisch verbotenen Bereich
zu durchdringen. Tunneleffekt.
=> Tafel
Tunneleffekt Q.M. Wiederholung I
Quantenmechanik: Zeitunabhängige
Schrödingergleichung:
A
B
C
h2 ∂ 2
−
ψ ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = Eψ ( x )
2 m ∂x 2
2
Normierungsbedingung : ∫ dx ψ( x ) = 1
Für das positive Potenzial gibt es in der
klassischen Mechanik keine gebundenen
Zustände.
Betrachten nur Energien unterhalb der
Höhe der Barriere. In der klassischen
Physik wird ein Teilchen, das sich auf
die Barriere zubewegt, total reflektiert.
Es kann nicht in das Innere der Barriere
eindringen.
Quantenmechanik:
Allgemeiner Ansatz für Streulösungen
in Gebieten A,B,C:
L
Tunneleffekt Q.M. Wiederholung II
Betrachte Teilchen das von links einläuft und
dann reflektiert und transmittiert wird.
A
B
C
• Im Gebiet C also nur eine nach rechts
laufende Welle => γ-=0
• Normierung so, daß α+=1
L
Die Koeffizienten S und α- haben folgende
physikalische Bedeutung:
Betrachten den Teilchenstrom:
Für die ebenen Wellen in A und C gilt:
Die Wahrscheinlichkeiten für
Transmission und Reflexion:
Tunneleffekt Q.M. Wiederholung III
Betrachte Lösung in Bereichen A, B, C
A
B
C
L
Die Transmissionswahrscheinlichkeit
Wie vorher nur für B Substitution κ = i k
T(E) ist nicht Null. Die Teilchen können
und Untersuchung der Anschlußbedingungen also die Barriere durchdringen. Dies ist
Transmissionskoeffizienten T
ein spezifisch quantenphysikalischer
−
1
2
Effekt, der in der klassischen Physik
⎛
⎞
⎛
⎞
k
κ
2
0
T = ⎜1 + 14 ⎜⎜ + ⎟⎟ sinh κL ⎟
keine Entsprechung hat.
⎜
⎟
k
κ
⎝ 0
⎠
⎝
⎠
Aufenthaltswahrscheinlichkeit:
Für große Barrieren κL>>1 gilt:
1
sinh −1 ≈ exp( 2κL)
4
⎛ 2L
⎞
T ( E ) ≈ const ⋅ exp⎜ −
2m(V0 − E ) ⎟
⎝ h
⎠
⏐ Ψ(x) ⏐2
α-Zerfall und Tunneleffekt
Quantenmechanik: Tunnelwahrscheinlichkeit
läßt sich für ein endliches Kastenpotential
exakt berechnen:
⎛ 2L
⎞
T ( E ) = exp⎜ −
2m(V0 − E ) ⎟
⎝ h
⎠
Für einen allgemeinen Potenzialberg ist dies
nicht möglich.
Näherungsformel: Zwischen den klassischen
Umkehrpunkten wird das Potential in n kleine
Schwellen der Breite Δx zerlegt.
⎧⎪ x2 ⎛ 2
⎞ ⎫⎪
T ( E ) = ∏ Ti ( E ) = exp ⎨− ∫ dx ⎜
2m(V ( x ) − E ) ⎟ ⎬
h
⎠ ⎪⎭
⎪⎩ x1 ⎝
i =1
n
Annahmen:
- Exponentialfaktor ist wesentlich größer als
Eins
-WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin) Näherung
für kontinuierliche Potentialberge
L
α-Zerfall Zerfallswahrscheinlichkeit
Das α-Teilchen bewegt sich in einem mittleren
Potenzial V(r) im Tochterkern. Im Inneren des
Kern ist V0 konstant, außerhalb des Kernradius
R ist es ein reines Coulomb-Potenzial
Beispiel 238U (Vorgriff):
-V0 ~ -100 MeV R = ~ 10 fm
VC
L
Ansatz für die Zerfallswahrscheinlichkeit pro
Zeiteinheit λ:
λ=S·ω·P
• S Wahrscheinlichkeit daß sich bereits im
Kerninneren ein α-Teilchen gebildet hat
• ω Frequenz, mit der das Teilchen an die
Barriere stößt:
2V0 / M
1
v
ω= =
=
2R
Δt 2 R
• P ist die Penetrabilität, die Wahrscheinlichkeit
für einen Tunnelprozess.
Ri
Ra
V0
Bemerkung:
Das α-Teilchen kann im Kern auch
Bahndrehimpuls l tragen. Diesen
Vernachlässigen wir im folgenden,
d.h. es gilt nur für Zerfälle zwischen
Grundzuständen mit l=0.
α-Zerfall Zerfallswahrscheinlichkeit
P ist die Penetrabilität,
Wahrscheinlichkeit für
Tunnelprozess:
Nebenrechnung:
P = e − 2 G mit Gamow Faktor G
G ( Eα ) =
Ra
⎛1
dr
∫R ⎜⎝ h
i
2 Ze 2
mit V(R a ) = E α =
Ra
2
G ( Eα ) =
h
‚dicke‘ Barriere
Ra
2 Ze 2
2 m ∫ dr
−E
r
Ri
⎧
2m
2⎪
2 Ze ⎨ arccos
E
⎪⎩
R
E
beachte i = α
Ra Vc
2
=
h
Coulombpotential
⎞
2 m (V ( r ) − E ) ⎟
⎠
Ri
−
Ra
2
Ri
R
− i2
Ra Ra
für E α << Vc bzw. Ra >> Ri gilt
⎧⎪
⎨ arccos
⎪⎩
Ri
−
Ra
2
Ri
R
− i2
Ra Ra
⎫⎪ π
⎬≈ −
⎪⎭ 2
Ri
Ra
⎫⎪
⎬
⎪⎭
α-Zerfall Geiger-Nutall Gesetz
Für den Logarithmus der Zerfallskonstante gilt das Geiger-Nuttall’sche Gesetz:
Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Energie der α-Teilchen
ln λ = ln S - ln Δt - 2G(E α)
Z
Z
= b( Z ) − a
≈ −a
Eα
Eα
S - α-Formation
Δt - Frequenz des α im Kern
P - Gamow-faktor
τ=
1
λ
und
T1 / 2 =
ln 2
= ln 2 ⋅ τ
λ
Geiger-Nutall Gesetz
α-Zerfallsreihen
Kurze Halbwertszeit
α-Zerfallsreihen
Zerfall von 238U
Zusammenfassung
Weizsäcker Massenformel: Stabile, in der Natur vorkommende Kerne bilden
ein schmales Band in der N-Z-Ebene der Nuklidkarte.
Für sehr neutronenarme bzw. –reiche Kerne definiert die Bedingung Bn= 0 bzw.
Bp= 0 die sog. ´Abbruchkanten´.
Die Nuklide von Fe und Ni besitzen die höchste Bindungsenergie pro Nukleon.
Bedingung für einen Zweikörperzerfall: M(A,Z) > M(A-A´, Z-Z´)+M(A´,Z´)
α-Zerfall: Tunnelprozess durch die Coulombbarriere des Kernpotentials