Tunneln durch einfache Potentialbarrieren und Alphazerfall Torben K

Hauptseminar Quantenmechanisches Tunneln
WS 2010/2011
Thema:
Tunneln durch einfache Potentialbarrieren und
Alphazerfall
Torben Kloss, Manuel Heinzmann
Gliederung
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Was ist tunneln?
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Tunneln durch ein beliebiges Potential
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Tunneln durch ein rechteckiges Potential
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Der Atomkern
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Instabile Kerne
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Zerfallsgesetz allgemein
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α-Zerfall
Was ist tunneln?
Der Tunneleffekt tritt nur in der QM auf
Klassisch kann ein Teilchen mit E < V die
Potentialbarriere nicht überwinden.
Quantenmechanisch ist dies durch die
Wellennatur der Teilchen und der Unbestimmtheit
des Ortes möglich.
Tunneln durch ein beliebiges
Potential
Das Maximum des Potentials soll größer als die Energie des Teilchens
sein.
Man unterteilt in 3 Bereiche:
x < -a als Bereiche 1, -a < x < a Bereich 2 und x > a als Bereich 3.
In allen 3 Bereichen muss die Schrödingergleichung erfüllt werden:
Im Bereich 1 ein findet man mit
Daraus folgt im Bereich 3 :
:
Die Linearkombination der beiden Lösungen liefert dann die Allgemeine Lösung:
Daraus kann man die Transformationsmatrix M ableiten:
mit
Wenn V(x) reell ist, ist, gilt:
ist auch eine Lösung der Schrödingergleichung.
Dann gilt:
Und somit auch
Damit ergibt sich M zu:
Außerdem gilt:
A und B' sind die Koeffizienten der einlaufenden Wellen,
also sind A' und B die Koeffizienten der auslaufenden Wellen.
Nun stellt man die Matrix auf, mit der sich die Koeffizienten der
auslaufenden Wellen aus den einlaufenden Wellen bestimmen lassen.
Durch die Transformationsmatrix erhält man:
Und somit :
Betrachtet man nun eine von links einlaufende Welle, dann ist A=1 und B'=0.
Dann ergibt sich ein Transmissionskoeffizient von
F hängt von der Energie des Teilchens und dem Potential ab und muss für jedes
Potential bestimmt werden.
Tunneln durch ein rechteckiges Potential
Die Lösungen der Schrödingergleichung für die 3 Bereiche ergeben folgende
Wellenfunktionen:
Die Transformationsmatrix erhält man nun durch die
Stetigkeitsbedinungen:
Damit ergibt sich die Transformationsmatrix zu:
Damit ergibt sich für den Transmissionskoeffizienten:
mit
Atomkern
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Atomkern besteht aus Protonen & Neutronen
(zusammen Nukleonen) → positiv geladen
●
Befindet sich im Zentrum des Atoms
●
Besitzt über 99,9% der gesamten Atommasse
●
Anzahl der Nukleonen heißt Massenzahl
Atomkern
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●
●
●
Atomsorte ist von der Anzahl der Protonen und
Neutronen abhängig
Ordnungszahl/Kernladungszahl Z ist die Anzahl
der Protonen im Kern
Atomsorten mit gleichem Z heißen Isotope
Schreibweise: X
A
Z
X..Atomsorte, A..Massenzahl,Z..Kernladungszahl
Atomkern
●
1
3
Kernradius: R =r ⋅A
−15
r
=1,3±0,1⋅10
m
leichte Kerne: 0
mittelschwer bis schwere Kerne:
K
0
−15
0,94⋅10
●
●
m≤r 0 ≤1,25⋅10
−15
m
Kerndurchmesser ist 105 mal kleiner als der
Atomdurchmesser
Kernvolumen ist 1015 mal kleiner als das
Atomvolumen
Instabile Kerne
●
●
Instabile Kerne können unter Aussendung von
Strahlung in andere Kerne übergehen
Drei Arten von Strahlung: α-/β-/γ-Strahlung
Zerfallskriterium:
Masse des Mutterkerns muss größer sein, als
die Massen der Zerfallsprodukte (notwendig)
→
●
Instabile Kerne
●
Zerfall kann Potentialbarrieren verhindert
werden
aus G.Gamow : Zur Quantentheorie des Atomkerns 1928
α-Zerfall
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Momentan sind über 200 α-aktive Kerne
bekannt
Haupsächlich schwere Kerne mit A>200 und
Z>82
Eigenschaften der α-Strahlung
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Ablenkung in magnetischen und elektrischen
Feldern
●
Große Ionisierungsfähigkeit
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Kurze Reichweite
●
Stellt Strom von Heliumkernen dar (
●
α-Teilchen trägt die Ladung +2e
)
Zerfallsgesetz
●
Betrachte N Teilchen
→ Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen ausgesendet wird ist für alle
Teilchen einer Sorte immer gleich groß
−d P
=
dt
●
Für die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit ergibt sich
dN
=−⋅N =−At
dt
●
Integration liefert
N t =N 0⋅exp − t 
Zerfallsgesetz
Zahl der instabilen Kerne N(t)
über die Zeit t und Aktivität A(t)
(aus W.Demtröder, Experimentalphysik 4)
Halbwertszeit t 1/ 2=⋅ln 2
1
mit = 
Zerfallsgesetz
Geiger-Nuttal-Regel (1911) (empirisch)
→
mit der Zerfallskonstanten λ und der Reichweite
der α-Teilchen in Luft R
3
2

Mit R ~E folgt
→
mit
a=
−A
B
und
b=
1
B
Zerfallsgesetz
●
●
●
A und B sind für alle Elemente einer Zerfallsreihe gleich
Durch Messung der Reichweite fand man heraus, dass die α-Teilchen
eine niedrigere Energie besitzen, als sie benötigen würden um das
Kernpotential klassisch zu verlassen
Erklärung im Gamow-Modell
Gamow-Modell
●
●
Idee: Im Kern bildet sich spontan ein α-Teilchen
Freiwerdende Bindungsenergie regt den Kern
an
●
Teilchen durchtunnelt die Coulomb-Barriere
●
Ansatz zur Berechnung der Zerfallskonstanten
= 0⋅T 
wobei T  die Tunnelwahrscheinlichkeit und 0
die reduzierte Zerfallskonstante darstellen
Gamow-Modell
●
Weiter gilt
0= ⋅S
S ist die Rate, mit der das α-Teilchen im Kern
auf den Potentialberg stößt.
  ist die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein α-
Teilchen bildet
Berechnung der
Tunnelwahrscheinlichkeit
●
Kastenpotential der Höhe U und Breite d
WKB-Näherung:
→
●
−2d
T ≈exp 
⋅ 2m U −E 
ℏ
Genauer Potentialverlauf unbekannt
→
allgemeines Potential
ra
−2
T ≈exp 
 2mV  r −E dr =exp−G
ℏ ∫
r
i
Exponent heißt Gamow-Faktor
Potentialverlauf
●
Annahme: Potentialberg hat die
Form eines Coulomb-Potentials
(verändert aus W.Demtröder, Experimentalphysik 3)
Berechnung der
Tunnelwahrscheinlichkeit
●
Coulomb-Barriere
2
Z Z e
V  r =
4 0 r
●
Analytische Lösung des Integrals
 
2
ri
ri
ri
2 2m Z Z  e
G= ⋅
⋅arccos
−
[1− ]
ℏ
E 4 0
ra
ra
ra

●
Somit folgt für die Geiger-Nuttal-Regel
ln =ln  0−G=const 1−
const 2 Z
E
Gamow-Modell
Experimentelle
Bestätigung des
Gamow-Modells
(aus W.Demtröder: Experimentalphysik 4)
Gamow-Modell
Gamow: Geradengleichung
ln =Const 1Const 2⋅E
Experimenteller Wert:
Const 2,exp=1,02⋅10
7
Theoretisch berechneter Wert:
Const 2,theor =0,7⋅10
aus G.Gamow : Zur Quantentheorie des Atomkerns 1928
7
Beispiele
Beispielwerte für verschiedene
Alpha-Strahler
(aus W.Demtröder: Experimentalphysik 4)
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit
Quellen
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http://www.fkp.unierlangen.de/mitarbeiter/schneider/ExPhys2_SS08/Kernphysik1.pdf
(14.12.2010)
●
https://lp.uni-goettingen.de/get/text/4942 (14.12.2010)
●
Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 3, 3. Auflage, Springer Verlag
●
Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 4, 3. Auflage, Springer Verlag
●
http://hep.uni-freiburg.de/Lehre/ex5ss07/KernTeilchen.pdf (14.12.2010)
●
●
●
http://homepage.univie.ac.at/harry.friedmann/Download/Kernphysik/KP_Kap
10.pdf (14.12.2010)
G.Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkerns (1928, Göttingen)
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe: Quantenmechanik Band 1, 4. Auflage,
de Gruyter Verlag