Blatt 7 – ¨Ubungen zur Physik IV SS 13 - Delta

Fakultät Physik, Technische Universität Dortmund
Prof. G. Hiller, Prof. T. Weis
Blatt 7 – Übungen zur Physik IV
SS 13
Abgabe bis Freitag, den 24. Mai 2013, 9:00 Uhr
Aufgabe 1: “Drehimpuls-Algebra, Teil 1” (6 Punkte)
Analog zum Fall der klassischen Mechanik, bei der der Drehimpuls eines Teilchens
dargestellt wird durch
~ = ~r × p~,
L
(1)
ergeben sich in der Quantenmechanik für die einzelnen Komponenten des Drehimpuls~ˆ
Operators L
Lx = ŷ p̂z − ẑ p̂y ,
Ly = ẑ p̂x − x̂p̂z ,
Lz = x̂p̂y − ŷ p̂x .
(2)
a) Rechnen Sie mithilfe der kanonischen Vertauschungsrelationen von Orts- und
Impulsoperatoren folgende Kommutatoren nach:
[Lz , x̂] = i~ŷ, [Lz , ŷ] = −i~x̂, [Lz , ẑ] = 0,
[Lz , p̂x ] = i~p̂y , [Lz , p̂y ] = −i~p̂x , [Lz , p̂x ] = 0.
b) Leiten Sie daraus [Lz , Lx ] = i~Ly her.
c) Berechnen Sie [Lz , r2 ] und [Lz , p2 ] (wobei r2 = x̂2 + ŷ 2 + ẑ 2 , bzw. p2 = p̂2x + p̂2y + p̂2z ).
2
p̂
+ V (|~r|), d.h. deren Potential
d) Zeigen Sie, dass Hamiltonians der Form Ĥ = 2m
V (|~r|) ausschließlich vom radialen Abstand |~r| abhängig ist, mit allen 3 Kompo~ˆ vertauschen (insbesondere sind Ĥ, L
~ 2 und Lz somit untereinander
nenten von L
kompatible Observablen).
Aufgabe 2: “Drehimpuls-Algebra, Teil 2” (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für alle i = x, y, z die Vertauschungsrelation
h
i
~2 = 0
Li , L
(3)
gilt.
Hinweis: Für Aufgabe 1 und 2 könnte die Kommutator-Rechenregel [A, BC] =
B[A, C] + [A, B]C nützlich sein.
Aufgabe 3: “α-Zerfall, Teil 1” (5 Punkte)
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P , dass ein α-Teilchen die CoulombBarriere eines Kerns (A, Z) durchtunnelt. Benutzen Sie dazu die in der Vorlesung
aus der WKB-Näherung hergeleitete Formel
Z x2
1p
κ(x)dx
mit
κ(x) =
2m(V (x) − Eα )
(4)
P ≈ exp −2
~
x1
und κ(x1 ) = κ(x2 ) = 0. Das auf das α-Teilchen wirkende Potential approximieren
Sie durch
(
2(Z−2)e2
für x > x1 = R0 (Kernradius)
4π0 x
(5)
V (x) =
0 für x < x1
b) Machen Sie sich plausibel, dass die Halbwertszeit t1/2 beim α-Zerfall durch
p
2Eα /mα
ln(2)
vα
t1/2 =
=
(6)
mit
n=
nP
2R0
2R0
abgeschätzt werden kann.
Zusatzaufgabe 4: “α-Zerfall, Teil 2” (5 Extra-Punkte)
Die Bearbeitung dieser Aufgabe ist nicht obligatorisch. Sie fordert einiges an Erfahrung im Umgang mit Größengleichungen In Bezug auf Größenordnungen und
Dimensionen. Bei Bearbeitung werden die erreichten Punkte aber angerechnet.
Leiten Sie aus den Ergebnissen der vorigen Aufgabe die folgende Beziehung
zwischen der Halbwertszeit (Jahre) beim α-Zerfall und der Energie des α-Teilchens
(MeV) her:
Z −2
log10 (t1/2 ) = C1 + C2 (Z − 2)2/3 + C3 √
Eα
(7)
Benutzen Sie mα ≈ 4mp ≈ 3.75 GeV/c2 , R0 ≈ 1.5A1/3 fm, A ≈ 2.5Z (für A ≈ 200).
2
Verwenden Sie Eα 2(Z−2)e
um eine geeignete Näherung zu machen. Vergleichen
4π0 R0
Sie Ihre Werte für die Konstanten in der angegebenen Beziehung mit den empirischen
Werten C1 = −28.9, C2 = −1.6 und C3 = 1.61.
Hinweis: Schwach (d.h. logarithmisch) von Z und Eα abhängige Beiträge zu log10 (t1/2 )
dürfen konstant gesetzt werden, mit den angenommenen Werten Eα = 5 MeV, A = 200
und Z entsprechend.
Webseite zur Vorlesung:
http://www.delta.tu-dortmund.de/cms/de/Studium/Vorlesungen/SS13-PhysikIV/index.html