Welle-Teilchen- Dualismus - Henning

Welle-TeilchenDualismus
Einführung und die bekanntesten Interpretationen
Henning Janßen
Fach: Physik
Gymnasium Ulricianum Aurich
Facharbeit im Fach Physik
Name:
Henning Janßen
Kurs:
PH201
Betreuender Lehrer:
Hermann Stiehl
Abgabetermin:
05.11.2012
Jahrgang:
12 (2012/13)
Unterschrift des Schülers:
______________________
Bewertung:
_____ von 15 Punkten
Unterschrift der Lehrerkraft:
______________________
Gliederung
1. Einleitung................................................................................................................................. 1
2. Grundlagen .............................................................................................................................. 2
2.1. Klassische Theorie ............................................................................................................. 2
2.1.1. Teilchen ................................................................................................................... 2
2.1.2. Wellen ...................................................................................................................... 3
2.2. Quantentheorie .................................................................................................................. 4
2.2.1. Einführung ................................................................................................................ 4
2.2.2. Doppelspaltexperiment............................................................................................. 4
2.2.3. Superpositionsprinzip ............................................................................................... 5
2.2.4. Heisenberg’sche Unschärferelation .......................................................................... 5
2.2.5. Spin .......................................................................................................................... 6
2.2.6. Schrödingergleichung............................................................................................... 7
2.2.7. Symmetrien .............................................................................................................. 8
3. Kopenhagener Deutung .......................................................................................................... 9
3.1. Erklärung............................................................................................................................ 9
3.2. Kritik ................................................................................................................................. 10
3.2.1. Schrödingers Katze ................................................................................................ 11
4. Viele-Welten-Interpretation ................................................................................................... 11
4.1. Erklärung.......................................................................................................................... 11
4.2. Kritik ................................................................................................................................. 12
5. De-Broglie-Bohm-Theorie ..................................................................................................... 13
5.1. Erklärung.......................................................................................................................... 13
5.2. Kritik ................................................................................................................................. 14
6. Fazit........................................................................................................................................ 14
7. Quellen- und Abbildungsverzeichnis .................................................................................. 16
8. Anhang A: Begriffserklärungen ........................................................................................... 21
9. Anhang B: Beispielrechnung mit
und ∆ ........................................................................... 23
10. Schlusserklärung .................................................................................................................. 24
1. Einleitung
Die Quantenmechanik ist ein komplexes Thema, über das die Physiker sagen, man könne
es nicht verstehen. Dennoch möchte ich versuchen, Ihnen einen Überblick über die
Quantentheorie und deren wichtigsten bzw. bekanntesten Interpretationen zu geben.
Auf den folgenden Seiten werde ich zunächst auf die „klassische“ Theorie, in der Wellen
und Teilchen zwei verschiedene Dinge sind, eingehen und danach aufzeigen, dass die
kleinsten Objekte doch nicht entweder Welle oder Teilchen sind, sondern beides, aber
auch keines von beiden.
Anschließend möchte ich Ihnen drei Interpretationen näherbringen, die versuchen, doch
eine Erklärung für die quantentheoretischen Effekte zu finden, und Ihnen deren
Kritikpunkte aufzeigen.
Beim Lesen dieser Facharbeit werden Sie hin und wieder auf Formeln treffen, aber
grundsätzlich soll sie dazu dienen, die Zusammenhänge zu verstehen und nicht von einer
Flut an Formeln, Herleitungen und Rechnereien erschlagen zu werden.
Auch kann ich nicht jedes Detail erklären, da derartige Ausschweifungen den Rahmen
dieser Arbeit sprengen würden. Es wurden schon umfangreiche Bücher geschrieben, die
nur einen Teil der Quantenmechanik erfassen konnten. Trotzdem habe ich versucht, die
Zusammenhänge
schlüssig
und
logisch
zu
formulieren,
sodass
Ihnen
keine
Verständnisfragen begegnen, die den Lesefluss stören.
Sollten Sie eine Textestelle nicht beim ersten Lesen verstehen, denken Sie an Dr. Richard
P. Feynman, der einst sagte:
„Wenn jemand glaubt, er habe die Quantenmechanik verstanden, dann hat er sie nicht
verstanden!“
1
2. Grundlagen
2.1.
Klassische Theorie
2.1.1. Teilchen
Klassische Teilchen sind durch das Bohr’sche Atommodell, basierend auf dem
Rutherford’schen Atommodell, und die Bohr’schen Postulate definiert.
Ernest Rutherford veröffentlichte 1911 sein Atommodell, in dem er ein Atom in zwei Teile,
den Atomkern und die Atomhülle, einteilt. Im Atomkern befinden sich Protonen und somit
die gesamte positive Ladung des Atoms. In der Atomhülle, die die gesamte negative
Ladung des Atoms beinhaltet, bewegen sich Elektronen auf einer Kreisbahn um den
Atomkern. Zudem befindet sich nahezu die gesamte Masse eines Atoms nach Rutherford
im Atomkern, welcher jedoch nur einen Bruchteil der Größe des ganzen Atoms darstellt.
Die Elektronen und Protonen des Rutherford’schen Atommodells kann man sich wie
Korpuskeln, also kleine Kügelchen vorstellen. Teilchen sind also massebehaftet.
Die Problematik des Rutherford’schen Atommodells liegt darin, dass eine Kreisbewegung
immer eine beschleunigte Bewegung ist. Für eine Kreisbewegung muss also
ununterbrochen Energie aufgewendet werden. Da die Energie eines Elektrons, welches
um den Atomkern kreist, endlich ist, müsste dies zusammen mit der Anziehung
ungleichnamiger Ladungen dazu führen, dass das Elektron in den Atomkern stürzt. Masse
wäre somit nicht stabil.
Dieses Problem griff Bohr 1913 auf und erweiterte das Rutherford’sche Atommodell um
die Annahme, dass Elektronen sich auf gewissen Bahnen, sogenannten diskreten
Bahnen, strahlungsfrei bewegen können. Das Energieniveau ändert sich nach dem
Bohr’schen Atommodell nur, wenn das Elektron die Bahn wechselt. 1
Das erste Bohr’sche Postulat besagt, dass „der Bahndrehimpuls
Vielfache von
=
=
[…] nur
“ 2 annimmt. Somit ist der Drehimpuls der Elektronen mit der Formel
zu berechnen, wobei n angibt, auf welcher Bahn sich das Elektron befindet.
Laut Bohrs zweitem Postulat gibt ein Elektron beim Wechsel von einer Bahn in eine Bahn
niedrigerer Energie ein Photon ab, bzw. nimmt beim Wechsel in eine Bahn höherer
Energie ein Photon auf. Die Energiedifferenz wird mit der Formel ℎ =
berechnet, wobei
das Energieniveau der Ausgangsbahn und
−
= Δ
das Energieniveau der
Zielbahn darstellt.
1
2
Vgl. Joachim Grehn und Joachim Krause: Metzler Physik, S. 408
Joachim Grehn und Joachim Krause: Metzler Physik, S. 408
2
2.1.2. Wellen
Eine Welle ist eine Transportation von Energie, ohne
Masse zu transportieren. Dies geschieht, indem ein
Oszillator durch Energiezufuhr zum Schwingen gebracht
wird. Dieser gibt seine Energie an einen weiteren,
gleichartigen, gekoppelten Oszillator weiter und regt
diesen zum Schwingen an. Fügt man dieser Kette von
Oszillatoren periodisch Energie zu, erhält man eine
Abb. 1: Oszillatoren regen sich
gegenseitig zu Schwingungen an
fortschreitende Welle.
Bei der Beobachtung einer Welle fällt auf, dass sich Oszillatorzustände bzw.
Schwingungsvorgänge wiederholen und der Verlauf der Welle einer Sinus-Funktion ähnelt.
Dieser Abschnitt wird als Periode bezeichnet, die Länge des Abschnitts nennt man
Wellenlänge
und die Zeit, die die Welle benötigt, um eine Periode zu durchlaufen, heißt
Periodendauer .
Die allgemeine Wellenfunktion in Abhängigkeit von Raum (1 Dimension) und Zeit lautet3:
,
= ∗ sin 2"
#
$
−
%
&
Neben diesen Oszillatorgebundenen Wellen gibt es noch elektromagnetische Wellen,
welche sich auch ohne Wellenträger ausbreiten. Auch sie haben eine Wellenlänge und
eine Periodendauer und gehorchen der Wellenfunktion.
Nach der Entdeckung, dass elektromagnetische Wellen sich auch in einem Vakuum
ausbreiten, entstand die Theorie des Äthers. Der Äther sollte ein Stoff sein, der das ganze
Universum füllt, doch durch unzählige Experimente erwies sich diese These als falsch,
wodurch bewiesen wurde, dass elektromagnetische Wellen keinen Wellenträger
benötigen.
Bei Wellen unterscheidet man zwischen Transversalwellen und Longitudinalwellen.
Wellen,
die
sich
transversal
ausbreiten,
breiten
schwingen
orthogonal
zur
Ausbreitungsrichtung. Breitet sich eine Welle beispielsweise von links nach rechts aus,
schwingt sie zum Beispiel nach oben und unten. Transversalwellen kann man beobachten,
wenn man einen Stein in Wasser fallen lässt: Die Ausbreitungsrichtung der Welle ist in alle
Richtungen vom Stein weg, doch die beobachtete Schwingrichtung ist orthogonal dazu.
3
Formel: vgl. Unterrichtsmaterielen
3
Wellen, die sich longitudinal ausbreiten, schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung.
Breitet sich eine Welle beispielsweise von links nach rechts aus, schwingt sie auch nach
links und rechts. Ein sehr bekanntes Beispiel für Longitudinalwellen ist Newton’s Craddle
(auch Kugelpendel oder Newtonpendel). Hier schwingen die Kugeln von links nach rechts
und zurück und geben ihre Energie in dieselbe Richtung durch Zusammenstoßen mit der
nächsten Kugel weiter.
2.2.
Quantentheorie
2.2.1. Einführung
Die klassische Theorie reichte lange Zeit aus, um die Natur um uns herum zu verstehen.
Aber einige essentielle Fragen waren umstritten, wie zum Beispiel die Frage, ob Licht
wellen- oder teilchenförmig ist.
Isaac Newton war der Ansicht, Licht bestünde aus winzigen Korpuskeln. Doch Thomas
Young führte 1801 das Doppelspaltexperiment durch, jedoch ohne die Spalte zu
beobachten, und stellte ein Interferenzmuster fest. Die konnte nur erklärt werden, wenn
Licht eine elektromagnetische Welle ist.4
Zur vollständigen Beschreibung einer elektromagnetischen Welle musste man man
Abstand von der Annahme, dass zwei Dinge gleichzeitig passieren können, nehmen. Dies
formulierte Albert Einstein 1905 in seiner Speziellen Relativitätstheorie. Zehn Jahre später
entstand auch Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie, in der ihm der Einbau der
Gravitation gelang.5
Dies war der erste Schritt in die Richtung eines dualistischen Materiekonzepts. Auch wenn
Einstein Wellen und Teilchen noch getrennt betrachtete, führten seine Theorie zusammen
mit Max Plancks Überlegungen und der Einführung seines Wirkungsquantums die Welt
der Physik in die Richtung eines Dualismus von Wellen und Teilchen.
2.2.2. Das Doppelspaltexperiment
Beim
Doppelspaltexperiment
treffen
nacheinander
einzelne Photonen auf einen lichtempfindlichen Schirm
(z.B. einen Film eines Fotoapparates), nachdem sie den
Abb. 2: Doppelspaltexperiment
mit Interferenzmuster
4
5
Vgl. Claus Kiefer: Quantentheorie – Eine Einführung, S. 5
Vgl. Claus Kiefer: Quantentheorie – Eine Einführung, S. 4
4
Doppelspalt passiert haben.
Nach einer gewissen Zeit (abhängig vom zeitlichen Abstand des Auftreffens der Photonen)
ist auf dem Schirm ein deutliches Interferenzmuster zu erkennen.
Führt man diesen Versuch erneut durch und beobachtet, welchen der Spalte jedes Photon
passierte, verschwindet das Interferenzmuster.
2.2.3. Superpositionsprinzip
Durch die im Doppelspalt nachgewiesene Interferenzfähigkeit von mikroskopischen
Quanten, werden diese durch eine Wellenfunktion Ψ beschrieben, die den Zustand deren
Zustand angibt. Für einzelne Quanten ist diese Funktion auf einen „dreidimensionalen
Raum (und die Zeit) definiert.“ 6 Bei mehreren Quanten wird Ψ aus den Orten aller
Quanten zusammengesetzt; so besteht der Konfigurationsraum für zwei Quanten aus
sechs Dimensionen, für drei Quanten aus neun Dimensionen, etc.
Kann man ein System durch eine zwei Wellenfunktionen Ψ1 und Ψ2 beschreiben, so ist
deren Summe auch eine Wellenfunktion des Systems und kann dieses beschreiben. 7
Dabei stellt jede Kombination aus c1Ψ1 + c2Ψ2 einen möglichen Zustand dar.
Jedem System aus mehreren Quanten (Freiheitsgraden 8 ) kann nur eine gemeinsame
Wellenfunktion, also ein Zustand zugeordnet werden, da die Teilsysteme miteinander
verschränkt sind.
Hier findet sich ein wesentlicher Unterschied zur klassischen Theorie, da dort keine
Verschränkung möglich ist. Somit ist jedem Quantum je ein Zustand zugeordnet und nicht
ganzen Systemen. Ein klassisches Teilchen kann sich nicht an zwei Orten gleichzeitig
befinden.
Ohne Verschränkung lässt sich jedoch zum Beispiel das Wellenspektrum eines Atoms
(abgesehen von Wasserstoff) nicht korrekt berechnen.
2.2.4. Heisenberg’sche Unschärferelation
In der Quantentheorie hängt der Zustand eines Quantums oder Systems, im Gegensatz
zur klassischen Theorie, von Raum oder Impuls ab. Die Wellengleichung gibt dabei die
Wahrscheinlichkeit an, dass ein Quantum sich in einem bestimmten Zustand befindet.
6
Kiefer: Quantentheorie - eine Einführung, S.17
Kiefer: Quantentheorie - eine Einführung, S.17
8
Freiheitsgrad: s. Anhang A
7
5
Dieser Zustand lässt sich nicht genau bestimmen. Je genauer man den Ort eines
Quantums bestimmt, desto ungenauer wird sein Impuls. Diese Unschärfe unterliegt der
Bedingung ∆ ∗ ∆' ≥
ℏ
, wobei ∆
die Unschärfe des Raums, ∆' die Unschärfe des
Impulses und ℏ9 das Planck’sche Wirkungsquantum angibt.
Die Unschärferelation gilt auch für andere Zusammenhänge, wie Energie und Zeit.
∆ ∗∆ ≥
ℏ
zeigt, dass die Dauer und die Frequenz eines Signals nicht gleichzeitig
bestimmt werden können.
2.2.5. Spin
Der Spin ist der innere Drehimpuls eines Quantums und verbunden mit dem magnetischen
Moment10. Dieser ist auch bei strukturlosen Quanten wie Elektronen nachweisbar.
1922 führten Otto Stern und Walther Gerlach ein Experiment durch, welches die
Richtungsquantelung bewies.
Durch ein inhomogenes Magnetfeld wird ein Silberatomstrahl geschickt und dessen
Ablenkung wird beobachtet.
Nach der klassischen Theorie müsste der Atomstrahl durch die kontinuierliche Variation
der Richtung des magnetischen Moments im Atomstrahl eine kontinuierliche Ablenkung
erfahren. Die Beobachtung zeigte jedoch eine Aufspaltung in zwei Strahlen. Dies
bedeutet, dass es im Bezug auf das Magnetfeld exakt zwei Einstellmöglichkeiten der
magnetischen Momente gibt. Dies wird auch als Richtungsquantelung bezeichnet. Daraus
lässt sich schließen, dass das Elektron in der äußersten Schale Spin besitzt. Weiterhin
ℏ
ℏ
wurde festgestellt, dass dieser den Wert bzw. − hat.
Man unterscheidet zwischen Quanten mit halbzahligem und ganzzahligem Spin.
*
Quanten mit halbzahligem Spin werden als Spin- –Teilchen oder Fermionen (nach Enrico
Fermi) bezeichnet. Beispiele für diese sind Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos
und Quarks. Weist ein Quantum einen ganzzahligen Spin auf, ist es ein Boson (nach
Satyendra Nath Bose). Ganzzahligen Spin haben zum Beispiel Photonen.
Entscheidend für die Art des Quantums ist auch dessen Zusammenbau, bzw. die Anzahl
der Fermionen in diesem Quantum. Baryonen11, die aus drei (Anti-) Quarks bestehen sind
ebenfalls Fermionen, während Mesonen12 aus zwei Quarks Bosonen sind.
9
ℏ = ≈ 1,05 × 10012 34; ℎ ≈ 6,63 × 10012 34
Magnetisches Moment: s. Anhang A
11
Baryon: s. Anhang A
10
6
Es kann sich maximal ein Fermion in einem gegebenen Zustand befinden, wobei der
Zustand hier durch den Ort, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird, und den Spin
definiert. Bosonen können in beliebiger Anzahl in einem beliebigen Zustand sein.
Die Wellenfunktion des Spins Ψs befindet sich nicht im klassischen Konfigurationsraum,
sondern im Spinraum.
2.2.6. Schrödingergleichung
Um ein Quanten mit einer Wellengleichung beschreiben zu können, muss diese
bestimmen
Anforderungen
genügen.
So
muss
zum
Beispiel
die
gesamte
Wahrscheinlichkeit, dass ein Quanten irgendwo zu finden ist, eins betragen und diesen
Wert auch behalten.
1926 stellte Erwin Schrödinger die berühmte Schrödingergleichung auf, welche diesen
Anforderungen genügt.
Die Schrödingergleichung beschreibt eine Materiewelle eines einzelnen freien Teilchens.13
Hierbei
wird
zwischen
der
zeitunabhängigen
und
der
zeitabhängigen
Schrödingergleichung unterschieden.
Die zeitunabhängige Gleichung lautet:
9 :
8
, ;, < = :
, ;, <
Mit ihr kann jedes Problem, bei dem die wirkende Kraft nicht von der Zeit abhängig ist,
gelöst werden.
9 ist der Hamilton-Operator, welcher in der allgemeinen Form als 8
9 =−
8
ℏ
>? + V
∇
definiert ist14. Der erste Teil errechnet die Bewegungsenergie des Teilchens. B gibt die
potentielle Energie des Systems an, in dem sich das Teilchen befindet.
Auf der anderen Seite der Gleichung steht mit
die gesamte Energie des Systems.
Die vollständige zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet also:
−
ℏ
>? + B:
∇
2
, ;, < = :
, ;, <
Verändert sich die wirkende Kraft in Abhängigkeit von der Zeit, muss die Wellengleichung
: um dem Parameter erweitert werden. Zudem ersetzt man
D
durch Cℏ D#, wodurch die
Wellengleichung : nach der Zeit abgeleitet wird.
Die vollständige zeitabhängige Schrödingergleichung lautet somit:
12
Meson: s. Anhang A
Freies Teilchen: s. Anhang A
14
∇ (Nabla) und ∆ (Laplace-Operator): s. Anhang A
13
7
−
Die
Lösungen
der
ℏ
>? + B:
∇
2
Gleichung
, ;, <,
geben
= −Cℏ
nach
E: , ;, <,
E
der
Kopenhagener
Interpretation
Wahrscheinlichkeiten an, wo sich ein Quantenelement befindet.
Löst man die Schrödingergleichung für ein Elektron, das in sich in einem Atom befindet,
erhält man eine Menge an Lösungen, die den Atomorbitalen entspricht.
2.2.7. Symmetrien
„Wenn man sich über Symmetrien unterhalten will, ist es […]
wichtig, neben der Art der Symmetrie auch immer das
‚Bezugssystem‘ auszuzeichnen.“
entlang
seines
Körpers
15
So ist ein Schmetterling
Achsensymmetrisch,
jedoch
nicht
punktsymmetrisch zur Spitze seines rechten Fühlers.
Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Symmetrie: Es gibt
Abb. 3: Ein Schmetterling ist
entlang seines Körpers
Achsensymmetrisch
diskrete und kontinuierliche Symmetrie.
Diskrete Symmetrien zeichnen sich dadurch aus, dass sie eine endliche Symmetriegruppe
besitzen. Dies bedeutet, dass die Anzahl der neuen Möglichkeiten begrenzt ist. Nimmt
man beispielsweise die linke Hälfte des Schmetterlings und spiegelt sie an einer Achse,
erhält man die andere Hälfte. Spiegelt man diese auch wieder an dieser Achse, erhält man
wieder die Ausgangshälfte. Zu den diskreten Symmetrien zählen Achsensymmetrie und
Punktsymmetrie.
Eine unendliche Symmetriegruppe besitzen hingegen kontinuierliche Symmetrien. Zu den
kontinuierlichen Symmetrien gehören zum Beispiel die Rotation um einen festgelegten
Punkt, da durch sie eine unendliche Anzahl an verschiedenen Versionen des Ursprungs
hergestellt werden kann, oder Translation, bei der eine verschobene Kopie des Originals
erstellt wird. Beispielsweise ist es möglich die Planetenbahnen um die Sonne zu drehen
und so eine neue mögliche Planetenbahn zu bekommen. Dies lässt sich auf
Wellenfunktionen anwenden, da man eine neue erlaubte Lösung bekommt, wenn man auf
die Wellenfunktion eine Drehung anwendet. Überlagert man diese Zustände, tritt das
Superpositionsprinzip in Kraft und man erhält erneut einen erlaubten Zustand.
15
Andreas Koglbauer und Sebastian Rothe, Wie werden Symmetrien in der Quanten-Theorie realisiert? –
Theorem von Wigner, S. 8
8
In der Quantentheorie ist der Anspruch an Symmetrie erfüllt, wenn die Wahrscheinlichkeit
unter Anwendung einer Symmetrieoperation erhalten bleibt.16
Symmetrie bedeutet nicht nur, dass ein Quantum gewisse Gemeinsamkeiten mit seinem
Abbild oder einem anderen Quantum haben muss, sondern auch, dass in zwei
Bezugssystemen nach Einsteins Relativitätstheorie „die Naturgesetze die gleiche Form
behalten müssen“17.
1918 bewies Emmy Noether, dass mit jeder Symmetrie ein Erhaltungssatz verknüpft ist.
Aus der Symmetrie bei der Verschiebung des zeitlichen Nullpunkts der Beobachtung folgt
demnach der Energieerhaltungssatz. Aus einer Verschiebung im Raum bzw. einer
Drehung folgt also die (Dreh-) Impulserhaltung.
3. Kopenhagener Deutung
3.1.
Erklärung
Als Werner Heisenberg 1926 als Dozent nach Kopenhagen kam, war die SchrödingerGleichung das Hauptthema unter Physikern. So führte auch Heisenberg mit dem in
Kopenhagen heimischen Niels Bohr lange und tiefgründige Gespräche. Eine gewisse
Gereiztheit beider führte im Februar 1927 dazu, dass Bohr einen einmonatigen Urlaub
machte. In dieser Zeit entwickelte Heisenberg seine Unschärferelation, Bohr schuf das
Komplementaritätsprinzip.
Das Komplementaritätsprinzip besagt, dass Welle und
Teilchen komplementär sind.
Wird in einer Messung festgestellt, dass eine Strahlung oder
Materie Wellencharakter hat, kann in derselben Messung
kein Teilchencharakter nachgewiesen werden.18
Diese Standpunkte bildeten nun die Grundlage für weitere
Diskussionen, aus denen letztendlich die Kopenhagener
Deutung hervorging.
Abb. 4: Die Wahrscheinlichkeit
für die Position eines Teilchens
ist durch die Anzahl der Kugeln
dargestellt.
Nach der Kopenhagener Deutung befindet sich ein Teilchen an allen Orten, an denen
dessen Wellenfunktion ungleich Null ist gleichzeitig. Die Wellenfunktion bzw. ihr
Betragsquadrat |: | gibt hier nur die Wahrscheinlichkeit an, wo es sich befindet.
16
Alexander Kölker, Symmetrie in der Quantenphysik – Protokoll, Seite 2
Claus Kiefer, Quantentheorie – Eine Einführung, Seite 39
18
"Wellen- und Teilchenbild sind komplementär. Beweist eine Messung den Wellencharakter von Strahlung
oder Materie, dann ist es unmöglich in derselben Messung den Teilchencharakter nachzuweisen. Das
Experiment bestimmt welches Bild zu benutzen ist." (Niels Bohr)
17
9
Überprüft man jedoch die Position des Teilchens, wird die Lösung der Wellengleichung
festgelegt.
Man spricht davon, dass die Wellenfunktion zum Teilchenverhalten kollabiert.
Angewandt auf das Doppelspaltexperiment bedeutet dies, dass das Photon, solange wir
es nicht beobachten, durch beide Spalte tritt und mit sich selbst interferiert. Prüfen wir nun
jedoch, durch welchen der Spalte das Photon trat, wird die Wellengleichung zu diesem
Zeitpunkt festgelegt und ist somit für alle weiteren Zeitpunkte definiert19, weshalb nur ein
Fleck statt eines Interferenzmusters auf dem Schirm zu sehen ist.
3.2.
Kritik
Die Kopenhagener Deutung wurde nicht von allen Physikern angenommen.
Die bekanntesten Gegner der Kopenhagener Deutung waren Albert Einstein, Max Planck,
Max von Laue, Erwin Schrödinger und Luis de Broglie.
Heute wird die Theorie jedoch allgemein angenommen, da heutige Physiker die damaligen
Zweifel nicht teilen.20
Albert Einstein, welcher ein Anhänger der Teilchentheorie war, vermutete in der
Wellengleichung versteckte Variablen und unterstellte der Wahrscheinlichkeitstheorie, sie
sei
unvollständig.
Sein
Ausspruch
„Gott
würfelt
nicht!“
bezog
sich
auf
die
Wahrscheinlichkeitstheorie.
Durch Messungen wurde herausgefunden, dass es solche versteckten Variablen nicht
gibt.
Auch Erwin Schrödinger war nicht von dieser Theorie überzeugt. Wie Einstein hielt er die
Kopenhagener Deutung für unvollständig und sah sie als vorläufige Beschreibung an.
Seine Zweifel, die sich darauf bezogen, dass ein Teilchen, solange sein Zustand nicht
überprüft
wird,
alle
möglichen
Zustände
annimmt,
formulierte
er
mit
einem
Gedankenexperiment, das heute als „Schrödingers Katze“ bekannt ist.
Später ist es Wissenschaftlern gelungen, Systeme zu erstellen, die Schrödingers
Gedankenexperiment ähneln, wodurch die Kopenhagener Deutung bestätigt wurde.
19
„Wird Ψ zu irgendeiner Zeit vorgegeben, so Ψ für alle Zeiten festgelegt.“ (Kiefer, Quantentheorie – Eine
Einführung, S. 31)
20
Maringer, Die Kopenhagener Deutung
10
Die Zustände dieses Systems heißen Schrödingerkatzen-Zustände.
3.2.1. Schrödingers Katze
In Schrödingers Gedankenexperiment befindet sich eine Katze in einem Behältnis, das
nach außen hin schall- und blickdicht ist. Hinter einer Trennwand in diesem Behältnis
befindet sich ein radioaktives Element, welches innerhalb einer Stunde zerfallen kann.
Zerfällt ein Teilchen dieses Elements, wird eine Vorrichtung ausgelöst, die ein Gift freigibt,
welches die Katze tötet. Solange man nicht in das Behältnis sieht, kann man nicht sagen,
ob ein Teil des Elements zerfallen ist, und weiß somit nicht, ob die Katze noch lebt.
Somit ist die Katze gleichzeitig als lebendig und tot anzusehen.
4. Viele-Welten-Interpretation
4.1.
Erklärung
Die Viele-Welten-Interpretation (VWI) oder auch Everett-Interpretation geht von einer
Unzahl an Parallel-Universen aus, die in jedem Moment entstehen.
Ein vereinfachtes Beispiel: Wirft man eine Münze und
sie zeigt „Kopf“, entsteht ein Parallel-Universum, in
dem sie Kopf zeigt, eins, in dem die Münze auf der
Seite stehen bleibt, und für jede Möglichkeit (Diebstahl
der Münze im Flug, etc.) ein weiteres Universum.
Nach diesem Prinzip erzeugt jeder Quanteneffekt ein
neues Universum, in dem dieser Quanteneffekt anders
verlaufen ist.
Diese Universen haben alle denselben Ursprung, da
Abb. 5: Schematische Darstellung, der
Universums-Vervielfältigung bei jeder
Entscheidung.
jedes von ihnen aus einem „Grunduniversum“ oder einem seiner Abspaltungen
hervorgegangen ist.
Im Vergleich zu anderen Theorien basiert die VWI nur auf der Schrödingergleichung und
benötigt keine weiteren Postulate. Die Schrödingergleichung wird nicht auf kleine Systeme
angewandt, sondern auf das ganze Universum, wodurch es für Experimente unerheblich
ist, ob sie beobachtet werden oder nicht, da der Beobachter sich in dem selben System,
wie das Beobachtete befindet. Der Zustand des Beobachters ist relativ zum Zustand des
Beobachteten.
11
Diese Theorie wäre eine Lösung für das Problem mit Schrödingers Katze: So lange
unsere Katze lebt, entsteht in jedem Moment ein neues Universum, in dem diese Katze in
genau diesem Moment gestorben ist. Stirbt unsere Katze, bringt dies ein Universum
hervor, in dem die Katze noch lebt. Dieses Universum erschafft ein wieder weitere
Universen, in denen die Katze stirbt, wodurch eine unendliche Anzahl an parallelen
Universen existiert.
Angewandt auf das Doppelspaltexperiment bedeutet dies, dass das Photon in unserem
Universum durch den einen Spalt tritt und gleichzeitig ein Universum generiert wird, in
dem es den anderen Spalt passiert. Da Universen, die sich sehr ähnlich sind, einander
beeinflussen können, interferieren die Photonen der beiden Universen miteinander und
bilden so das Interferenzmuster.
4.2.
Kritik
Die Viele-Welten-Theorie ist neben der Kopenhagener Deutung die zweitbeliebteste
Interpretation der Quantentheorie, jedoch sind nur 10% der Physiker Anhänger der
Everett-Interpretation (Stand: 2005)21.
Eine Inkonsequenz zeigt sich bei Interferenzen durch Beeinflussung und Überlagerung
ähnlicher Universen. Diese sind für einen Beobachter laut VWI nicht wahrnehmbar,
wodurch man jedoch wieder zu der Annahme zurückkehren muss, dass die Wellenfunktion
kollabiert und nicht mit parallelen Universen interferiert.
Viele
Gegner
der
Viele-Welten-Interpretation
argumentieren
mit
Ockhams
Rasiermessern 22 , da Ihnen die Kopenhagener Interpretation einfacher und realistischer
erscheint.
21
22
Der Spiegel, Die Welt ist bizarr
Ockhams Rasiermesser: s. Anhang A
12
5. De-Broglie-Bohm-Theorie
5.1.
Die
Erklärung
de-Broglie-Bohm-Theorie
oder
de-Broglie-Bohm-Interpretation
(BBI)
ist
zurückzuführen auf den französischen Physiker Louis-Victor de Broglie und den USamerikanischen Physiker David Bohm.
Bohm verfasste 1952 zwei Artikel in denen er die als Bohm’sche Mechanik (BM) oder
auch de-Broglie-Bohm-Theorie bekannte Interpretation veröffentlichte.
1927 stellte de Broglie auf einem Kongress einen ersten Versuch einer Interpretation vor,
der als Vorläufer der Bohm’schen Mechanik gesehen werden kann. Bohm hörte jedoch
erst nach der Veröffentlichung seiner Theorie von de Broglies Interpretationsversuch.
Bohm hatte bei der Entwicklung seiner Theorie mehrere Ansprüche, wie diese
auszusehen hatte. Primär sollte seine Theorie keine anderen konsistenten Theorien
ausschließen. Auch sollte seine Theorie im Gegensatz zu anderen Interpretationen dazu
in der Lage sein, exakte Vorhersagen zu treffen. Laut Bohm sollten Annahmen nur als
Hypothesen zu verstehen sein, die wiederlegt werden können.
Im Vergleich zu Everetts Viele-Welten-Interpretation und der Kopenhagener Deutung fällt
besonders auf, dass die BBI nicht relativistisch und somit eine klassische Theorie ist.
Dieser Determinismus bedeutet, dass der Beobachter durch das Beobachten keinen
Einfluss auf das Experiment bzw. dessen Ergebnis hat.
In der Bohm’schen Mechanik definiert sich der Zustand eines Systems durch dessen
Wellengleichung und die Orte aller Teilchen in diesem System. Man kann sich also
vorstellen, dass sich Teilchen auf Wellenbahnen bewegen und von der Wellengleichung
geleitet werden. Dabei „hängt die Bewegung eines Teilchens von den Orten aller anderen
Teilchen ab, egal wie weit diese entfernt sind!“23 Diese nichtlokalen Effekte24 werden durch
sogenannte verborgene Parameter erklärt.
Bohm spricht davon, dass das Licht in einem Raum gefaltete Informationen über den
ganzen Raum enthält, welche von unserem Gehirn auf eine uns unbekannte Weise wieder
entfaltet wird, da wir sonst nicht verstehen, was der Raum ist. Ähnlich verhalte es sich mit
dem Licht, das auf ein Teleskop trifft. Es enthalte Informationen über das gesamte
Universum.
23
24
Nikos Drakos, Bohmsche Mechanik, Abschnitt: Nichtlokalität
Nichtlokale Effekte: s. Anhang A
13
5.2.
Kritik
Auch wenn die Bohm’sche Mechanik zu den bekanntesten Interpretationen der
Quantenmechanik gehört, hat sie kaum Anhänger.
Ein Grund dafür ist, dass die verborgenen Parameter der BBI auf einen Äther hinweisen,
dessen Existenz durch zahlreiche Experimente wiederlegt wurde.
Weiterhin sind die Erklärungsversuche für einfache Begebenheiten sehr kompliziert und
teilweise schlecht verständlich formuliert. Beispielsweise spricht Bohm davon, dass das
Licht, das auf ein Teleskop trifft, Informationen über das gesamte Universum in gefalteter
Form enthält und unsere Gehirne diese Informationen auf eine uns unbekannte Weise
wieder entfalten.
„Anfang der fünfziger Jahre fand auch die in der Theorie beinhaltete Nichtlokalität wenig
Anklang. Besonders Anhänger Einsteins hätten sich eine lokale Alternative zur orthodoxen
Quantentheorie gewünscht.“25
Ein weiterer Grund für den fehlenden Erfolg seiner Interpretation könnte Bohms
Vergangenheit und Lebenssituation gewesen sein. In seiner Jugend war Bohm Mitglied
einer kommunistischen Jugendgruppe. Während des Kalten Krieges lenkte dies die
Aufmerksamkeit der Polizei auf Ihn. Als er sich weigerte, gegen die Mitglieder seiner
Arbeitsgruppe auszusagen, wanderte er nach Brasilien aus, wo er seine Bohm’sche
Mechanik aufschrieb und veröffentlichte.
6. Fazit
Nun kennen Sie die Grundzüge der Quantenmechanik und deren Interpretationen. Doch
welche der Interpretationen ist die, der Sie sich hingeben sollten?
Die de-Broglie-Bohm-Interpretation ist diejenige, der ich am wenigsten zustimme. Die
Theorie der verborgenen Parameter mag zwar zunächst plausibel erscheinen, aber die
Widerlegung des Äthers und die Tatsache, dass Bohm selbst einfache Effekte nur
kompliziert erklären kann, findet bei mir nur wenig Zustimmung.
Der Viele-Welten-Interpretation stimme ich nur zum Teil zu. Ich glaube, dass es unendlich
viele Universen gibt, da die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Entstehung eines einzelnen
Universums die Parameter wie die Ausbreitungsgeschwindigkeit und ein Ungleichgewicht
von Materie und Antimaterie genau die richtigen Werte haben, um ein Leben
25
Svea Sauer, Institut für Theoretische Physik: Seminar zu Theorie der Teilchen und Felder – de-BroglieBohm-Theorie, Seite 10
14
ermöglichendes Sonnensystem wie unseres zu erschaffen, zu gering ist. Geht man aber
davon aus, dass unendlich viele Universen entstanden sind, müssen einige davon ein
Leben beherbergendes Sonnensystem haben.
Dass sich die verschiedenen Universen überlappen, spricht meiner Meinung nach gegen
Ockhams Rasiermesser, da mir dies im Vergleich zur Kopenhagener Interpretation
unrealistisch erscheint.
Bei den Forschungen zu dieser Facharbeit hat sich herausgestellt, dass ich ein Anhänger
der Kopenhagener Interpretation bin. Überzeugt hat mich vor allem die Einfachheit dieser
Theorie. Sie benötigt keine unendliche Anzahl an Universen oder umständliche
Erklärungen. Zudem erscheint es nur logisch, die Wahrscheinlichkeiten zu betrachten,
solange man sie nicht überprüft, womit der Doppelspaltversuch sehr gut erklärt werden
kann. Auch der Nachweis der Kopenhagener Interpretation durch das Erschaffen von
Schrödingerkatzenzuständen
in
Experimenten
trägt
dazu
bei,
Anhänger
dieser
Interpretation zu werden.
Letztendlich müssen Sie sich jedoch selbst entscheiden, welcher Interpretation oder
Theorie Sie folgen. Ich hoffe, ich konnte Ihnen mit dieser Arbeit bei dieser Entscheidung
helfen.
Sollten Sie jetzt entsetzt, verwirrt oder schockiert von der Quantentheorie sein, ist dies ein
gutes Zeichen, denn „Wer von der Quantentheorie nicht schockiert ist, hat sie nicht
verstanden!“ (Niels Bohr).
15
Quellenverzeichnis
Literatur
Astropage.eu, Multiversum = Viele-Welten-Interpretation, sagen zwei Physiker, OnlinePublikation
http://www.astropage.eu/index_news.php?id=289
Stand: 15.09.2012, 21:45 Uhr
Austrian Institute for Nonlinear Studies (AINS), Ernste Materie: Der John-Bell-Skandal,
Online-Publikation
http://web.telekabel.at/ains/Bell-D.htm
Stand: 29.09.2012, 19:00 Uhr
Walter Bislin, Nabla-Operator, Online-Publikation
http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Nabla-Operator
Stand: 30.10.2012, 18:40 Uhr
Walter Bislin, partielle Ableitung, Online-Publikation
http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=partielle+Ableitung
Stand: 30.10.2012, 18:30 Uhr
David Bohm, Die verborgene Ordnung des Lebens (Auszüge), Online-Publikation
http://www.klawi.de/bohm.htm
Stand: 29.09.2012, 19:00 Uhr
Thomas Campbell, Quantenverschränkung, Online-Publikation
http://www.youtube.com/watch?v=GYdyY7PmVV4
Stand:29.09.2012, 20:15 Uhr
Nikos Drakos, Bohmsche Mechanik, Online-Publikation
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/Poster/post/post.html
Stand: 02.11.2010, 16:30 Uhr
16
Joachim Grehn und Joachim Krause: Metzler Physik. Metzlerverlag, Braunschweig. 3.
Auflage, 2007. ISBN: 978-3-507-10700-7
John Gribbin: Auf der Suche nach Schrödingers Katze. Piper Verlag GmbH, München. 9.
Auflage Mai 2011. ISBN: 978-3-492-24030-7
John Gribbin: Schrödingers Kätzchen und die Suche nach der Wirklichkeit. Fischer
Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main. 8. Auflage, November 2010. ISBN: 978-3-59614151-7
Hendrik van Hees: Die Schrödingergleichung für freie Teilchen, Online-Publikation
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/quant/node4.html
Stand: 30.10.2012, 13:45 Uhr
Claus Kiefer: Quantentheorie – Eine Einführung. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt
am Main. Aktualisierte Neuausgabe, September 2011. ISBN: 978-3-596-19035-5
Andreas Koglbauer und Sebastian Rothe, Wie werden Symmetrien in der QuantenTheorie realisiert? – Theorem von Wigner –, Online-Publikation
http://wwwthep.physik.uni-mainz.de/~scheck/quanten/Vortrag7.pdf
Stand: 26.10.2012, 18:10 Uhr
Alexander Kölker, Symmetrie in der Quantenphysik – Protokoll, Online-Publikation
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/teilchen/ws1011/SymmetrieQM.pdf
Stand: 01.11.2012, 13:45 Uhr
Harald Lesch, Physikalisches Kolloquium 22. Juli 2011 – Vortrag von Prof. Dr. Harald
Lesch, Online-Publikation
http://www.youtube.com/watch?v=u29--YNGMyg
Stand: 11.09.2012, 16:00 Uhr
Harald Lesch, Quantenmechanik Uni Auditorium mit Harald Lesch, Online-Publikation
www.youtube.com/watch?v=BOmfeWqs5gQ
Stand: 11.09.2012, 14:00 Uhr
17
Daniel Maringer, Die Kopenhagener Deutung, Online-Publikation
http://www.physik.tu-berlin.de/~dschm/lect/heislek/html/ko_deutung.html
Stand: 15.09.2012, 14:20 Uhr
Markus Michael, Die Vieleweltentheorie, Online-Publikation
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/teilchen/ss11/Vielweltentheorie.pdf
Stand: 16.09.2012, 11:00 Uhr
Quanten.de, De Broglie – Bohm – Theorie (Forumsdiskussion), Online-Publikation
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1956
Stand: 02.11.2012, 14:15 Uhr
Svea Sauer, Institut für Theoretische Physik: Seminar zur Theorie der Teilchen und
Felder. de-Broglie-Bohm-Theorie, Online-Publikation
http://pauli.uni-muenster.de/Seminare/teilchen/teilchen_ss06/Bohm.pdf
Stand: 27.09.2012, 16:45 Uhr
Joachim Schulz, Die Schrödingergleichung, Online-Publikation
http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/wellenfunktion/schrodingergleichung.html
Stand: 30.10.2012, 13:45 Uhr
Joachim Schulz, Die Schrödingergleichung, Online-Publikation
http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/wellenfunktion/schrodinger.html
Stand: 30.10.2012, 13:45 Uhr
Joachim Schulz, Viele Welten oder Kollaps?, Online-Publikation
http://www.scilogs.de/wblogs/blog/quantenwelt/allgemein/2012-01-14/viele-welten-oderkollaps
Stand: 15.09.2012, 18:45 Uhr
Schulerlexikon.de, Komplementarität und Komplentaritätsprinzip, Online-Publikation
http://m.schuelerlexikon.de/phy_abi2011/Komplementaritaet_und_Komplementaritaetsprin
zip.htm
Stand: 15.09.2012, 14:20 Uhr
18
Joachim Schulz, Wahrscheinlichkeitsinterpretation – Deutung der Quantenmechanik,
Online-Publikation
http://www.quantenwelt.de/quantenmechanik/wellenfunktion/kopenhagen.html
Stand: 15.09.2012, 14:20 Uhr
Spektrum, Gibt es nur ein Universum – oder unendlich viele?, Online-Publikation
http://www.spektrum.de/alias/kosmologie/gibt-es-nur-ein-universum-oder-unendlichviele/1126955
Stand: 15.09.2012, 21:35 Uhr
Der Spiegel, Die Welt ist bizarr, Online-Publikation
http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-39694676.html
Stand: 15.09.2012, 17:50 Uhr
Uni-Protokolle.de, Viele-Welten-Interpretation, Online-Publikation
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Viele-Welten-Interpretation.html
Stand: 15.09.2012, 18:45 Uhr
Unterrichtsmaterialien 11. Klasse (Jahr: 2011/2012), 2. Halbjahr; Fach: Physik; Lehrer: H.
Stiehl; Kursnummer: PH201
Abbildungen
[Abb. 1]
http://www.phywe.de/images/p2133200.jpg
Stand: 26.10.2012, 15:10 Uhr
[Abb. 2]
http://www.hg-klug.de/mrganz/versag/dspalt3.jpg
Stand: 21.08.2012, 11:00 Uhr
[Abb. 3]
19
http://www.willstdubestimmtnichtwissen.de/data/media/84/109111_schmetterlinge_gbbild.jpg
Stand: 02.11.2012, 15:35 Uhr
[Abb. 4]
http://www.leifiphysik.de/web_ph10_g8/umwelt_technik/10stat_deutung/born01.gif
Stand: 15.09.2012, 13:30 Uhr
[Abb. 5]
Entnommen aus:
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/teilchen/ss11/Vielweltentheorie.pdf
Seite 4; Stand: 16.09.2012, 11:00 Uhr
20
Anhang A: Begriffserklärungen
Baryon: Untergruppe der Hadronen. Baryonen bestehen aus 3 Quarks, bzw. Antiquarks.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Baryon, Stand: 09.09.2012, 13:55)
Freies Teilchen: Ein freies Teilchen ist ein Teilchen, auf das keine äußeren Einflüsse
wirken.
(Quelle: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/quant/node4.html, Stand: 30.10.2012, 23:45)
Freiheitsgrad: Zahl der voneinander unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten eines
Systems. Der
Freiheitsgrad eines starren Körpers im Raum entspricht 6, da man ihn in
drei unabhängige Richtungen bewegen und in drei unabhängigen Ebenen drehen kann.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad, Stand: 21.08.2012, 11:46)
Hadron: Hadronen sind aus Quarks und Antiquarks zusammengesetzte Teilchen. Sie
unterliegen der Starken Wechselwirkung. Sie werden je nach Spin in Baryonen und
Mesonen unterteilt. Alle Hadronen, bis auf das Photon, dem noch kein Zerfall
nachgewiesen werden konnte, sind instabil.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Hadron, Stand: 09.09.2012, 13:55)
Magnetisches Moment: Stärke der Wechselwirkung mit äußerem Magnetfeld.
Meson: Untergruppe der Hadronen. Mesonen bestehen aus einem Quark-Antiquark-Paar.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Meson, Stand: 09.09.2012, 13:55)
Nichtlokale Effekte: Nichtlokale Effekte sind Effekte, die auftreten, wenn Quanten sich
beeinflussen, deren Entfernung aber keine Rolle spielt. Beispiel: Spinänderung bei
verschränkten Quanten
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Lokalität_(Physik), Stand: 02.11.2012, 16:30 Uhr)
21
und ∆ (Nable und Laplace-Operator): Der Nable-Operator gibt an, dass eine Funktion
mit mehreren Parametern partiell nach jedem dieser Parameter abgeleitet werden muss.
Die einzelnen partiellen Ableitungen werden anschließend addiert. Der Laplace-Operator
bedingt ein doppeltes partielles Ableiten. Statt ∆ wird häufig auch ∇ geschrieben.
Beispielrechnung: s. Anhang B
(Quelle: http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Nabla-Operator,
Stand: 30.10.2012, 18:40 Uhr)
Ockhams Rasiermesser: (engl. Occam’s razor) Prinzip von Wilhelm von Ockham, nach
dem die einfache Erklärung einer komplizierten Erklärung vorgezogen wird.
(Quelle: http://www2.hu-berlin.de/leibniz-sozietaet/archiv%20sb/108/10_eichhorn.pdf,
Stand: 30.10.2012, 11:20 Uhr)
Partielle Ableitung: Eine partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren
Parametern nach einem dieser Parameter. Die übrigen Parameter werden dabei als
Konstanten betrachtet.
Beispielrechnung: s. Anhang B
(Quelle:http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=partielle+Ableitung,
Stand: 30.10.2012, 18:30 Uhr)
22
und ∆
Anhang B: Beispielrechnung mit
,; = G
∆
,; =∇
+ H; + I;
, ; = ∇∇f x, y = ∇
,; =
∂ f
∂ f
+
∂x
∂y
E
E
+
E
N;
E
= 2G + H;
N
E
= H + 2I;
E;
∇
, ; = 2G + H; + H + 2I; = O , ;
∇O , ; = EO EO
∂ f
∂ f
+
=
+
∂x
∂y
E
N;
EO
= 2G
E
EO
= 2I
E;
∆
, ; = ∇ f x, y = ∇g x, y = 2a + 2c
Quelle: Eigene Herleitung nach dem Beispiel von Walter Bislin, partielle Ableitung
(http://walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=partielle+Ableitung,
Stand: 30.10.2012, 18:30 Uhr)
23
Schlusserklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig angefertigt, keine anderen
als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit,
die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen
wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe.
Henning Janßen
Hiermit erkläre ich, dass ich damit einverstanden bin, wenn die von mir verfasste
Facharbeit der schulinternen Öffentlichkeit zugänglich gemacht wird.
Henning Janßen
24