Diracs kanonische Quantisierung von Systemen mit

Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Diracs kanonische Quantisierung von Systemen
mit Nebenbedingungen
Christof Witte
HU Berlin
Seminar zur theoretischen Physik WS 08/09
Christof Witte
kanonische Quantisierung
1 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Motivation
bewährt: Übergang von klassischer zu quantenmechanischer
Beschreibung über Hamiltonformalismus
Korrespondenzprinzip zur direkten Übersetzung
benötigt möglichst allgemeine Behandlung des
Hamiltonformalismus
Christof Witte
kanonische Quantisierung
2 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Inhaltsverzeichnis
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
3 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Inhaltsverzeichnis
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
3 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Inhaltsverzeichnis
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
3 / 46
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Lagrangefunktion, Bewegungsgleichungen
Ausgangspunkt Wirkung
Z
S[q] =
L(q i , q̇ i )dt
Variation δq i → Euler-Lagrange-Gl.
d ∂L
∂L
− i =0
i
dt ∂ q̇
∂q
Vorteil Wirkungsfunktional: Invarianz einfacher zu konstruieren
Christof Witte
kanonische Quantisierung
4 / 46
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
kanonisch konjugierte Impulse
Definition
Wir nennen
pi :=
∂L
∂ q̇ i
den zur Koordinate q i kanonisch konjugierten Impuls.
{pi } im Standardfall unabhängig voneinander
behandeln den allgemeinen Fall, dass {pi } nicht unabhängig
Christof Witte
kanonische Quantisierung
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Hamiltonfunktion, Bewegungsgleichungen
Definition
Definieren Hamiltonfunktion
H(q i , q̇ i , pi ) := q̇ i pi − L(q i , q̇ i )
berechnen δH
δH = pi δ q̇ i + q̇ i δpi −
∂L i
∂L
δq − i δ q̇ i
i
∂q
∂ q̇
= q̇ i δpi − ṗi δq i
→ immer möglich H(q i , q̇ i , pi ) = H(q i , pi )
wenn {pi } unabhängig → q̇ i =
Christof Witte
∂H
∂pi
∂H
und ṗi = − ∂q
i
kanonische Quantisierung
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
7 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Systeme mit Nebenbedingungen
Definition
Ein System bei dem Funktionen Φm (q i , pi ) existieren mit
Φm (q i , pi ) = 0
heißt System mit Nebenbedingungen.
Definition
Nebenbedingungen die sich aus dem Übergang zu den kanonisch
konjugierten Impulsen ergeben heißen primäre Nebenbedingungen.
Nebenbedingungen beschränken Variationen δq, δp
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Beispiel relativistisches Teilchen
Beispiel
Ausgangspunkt Wirkung (Eigenzeit)
Z
p
S[q] := dτ m −gab q̇ a q̇ b
kanonisch konjugierte Impulse
pi =
∂L
m
= −p
gim q̇ m
i
∂ q̇
−g (q̇, q̇)
erhalten primäre Nebenbedingung
g ij pi pj =
m2
gim q̇ m gjn q̇ n g ij = m2
g (q̇, q̇)
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Lagrange Multiplikatoren
um primäre Nebenbedingungen mit einzubeziehen, Kopplung
an Wirkung durch Lagrange-Multiplikatoren
Z
S[q, p, u] = (L(q i , q̇ i ) − u m Φm )dt
Z
= (q̇ i pi − H(q i , pi ) − u m Φm )dt
u m beliebige freie Parameter
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
verallgemeinerte Hamiltonfunktion, Bewegungsgleichungen
Definition
Die Hamiltonfunktion von Systemen mit primären
Nebenbedingungen ist definiert als
HT (q i , pi ) := H(q i , pi ) + u m Φm (q i , pi ).
Variation mit den Nebenbedingungen führt auf modifizierte
Hamilton-Gleichungen
∂H
∂Φm
∂HT
+ um
=
∂pi
∂pi
∂pi
∂H
∂Φ
∂HT
m
ṗi = − i − u m
=−
i
∂q
∂q
∂q i
q̇ i =
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11 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Besonderheiten der verallgemeinerten Formulierung
HT (q i , pi ) := H(q i , pi ) + u m Φm (q i , pi )
→ alte Hamiltongleichungen gelten nun mit HT
nicht eine Hamiltonfunktion, sonder ganze Schar,
parametrisiert durch u m → weiterer Freiheitsgrad
HT = H auf durch Nebenbedingung eingeschränkte Fläche im
Phasenraum
u m bleiben vorerst unbestimmt
Christof Witte
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
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13 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
klassische Poissonklammern
Definition
Die Poissonklammer { , } zweier Phasenraumfunktionen f und g ist
definiert durch
{f , g } :=
∂g ∂f
∂f ∂g
− i
.
∂q i ∂pi
∂q ∂pi
Eigenschaften: linear, antisymmetrisch, Produktregel,
Jacobi-Identität
bei Systemen ohne Nebenbedingung, Phasenraumfunktion
f (q i , pi )
→ f˙ = {f , H}
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14 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Phasenraumfunktionen in Systemen mit NB
berechnen für Phasenraumfunktion f (q i , pi )
∂f i
∂f
f˙ =
ṗi
q̇ +
i
∂q
∂pi
benutzen verallgemeinerte Hamiltongleichungen
∂f ∂H
∂H ∂f
∂Φm ∂f m ∂f ∂Φm
f˙ =
−
+
u
−
∂q i ∂pi
∂q i ∂pi
∂q i ∂pi
∂q i ∂pi
m
= {f , H} + u {f , Φm }
Christof Witte
kanonische Quantisierung
15 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
erweiterte Poissonklammer
erweitern Poissonklammer so, dass auch in Systemen mit
Nebenbedingung f˙ = {f , HT }
berechnen f˙
f˙ = {f , H + u m Φm } = {f , H} + {f , u m Φm }
= {f , H} + u m {f , Φm } + {f , u m }Φm
≈ {f , H} + u m {f , Φm }
gleiches Ergebnis wie formales Ausrechnen und Ausnutzen der
modifizierten Hamiltongleichungen
Christof Witte
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16 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
starke und schwache Gleichungen
’≈’ bezeichnet Gleichheit nur auf durch Nebenbedingungen
eingeschränkten Fläche im Phasenraum
schreiben dann die primären Nebenbedingungen Φm ≈ 0
außerdem HT ≈ H
und damit f˙ ≈ {f , HT }
Ausnutzen der Nebenbedingungen erst nach Auswertung der
Poissonklammern!
starke Gleichungen (’=’) gelten im ganzen Phasenraum
Christof Witte
kanonische Quantisierung
17 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
18 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Konstanz der Nebenbedingungen
für Nebenbedingungen muss gelten Φ̇m ≈ 0 ∀t
werten diese Bedingung aus
0
Φ̇m ≈ {Φm , H} + u m {Φm , Φm0 } ≈ 0
kann auf Widersprüche führen → Theorie für System
inkonsistent
Beispiel
eindimensionales System mit Lagrangefunktion L(q, p) = q
Euler-Lagrange-Gleichungen → 1 = 0
Christof Witte
kanonische Quantisierung
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
sekundäre Nebenbedingungen, Bestimmung u m
0
Drei Möglichkeiten für {Φm , H} + u m {Φm , Φm0 } ≈ 0
1
führt auf 0 = 0 → keine neue Information
2
u m fallen aus der Gleichung vollständig heraus
0
→ χn (q i , pi ) ≈ 0
nennen χn (q i , pi ) sekundäre Nebenbedingungen
3
0
u m fallen nicht heraus → Gleichung zur Bestimmung der u m
Christof Witte
kanonische Quantisierung
0
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Bestimmung der u m
Prozedur wiederholen, solange bis keine neuen Informationen
erhält Satz von χk (q i , pi ) (k = 1, . . . , K ), somit insgesamt
Nebenbedingungen Φj mit j = 1, . . . , M + K
außerdem Satz von inhomogenen linearen Gleichungen für u m
u m {Φj , Φm } = −{Φj , H}
allgemeine Lösung des Gleichungssystems
u m = U m + v a Vam
wobei v a (q i , pi , t) beliebig
Christof Witte
kanonische Quantisierung
21 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
Hamiltonfunktion HT
Einsetzen der u m in Hamiltonfunktion
Definition
Die totale Hamiltonfunktion eines Systems mit Nebenbedingungen
definieren wir als
HT := H + U m Φm + v a Vam Φm .
Wir wollen noch zusammenfassen:
H 0 = H + U m Φm ,
Christof Witte
und
Φa = Vam Φm .
kanonische Quantisierung
22 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
23 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Bedeutung der v a
v a in HT beliebig → Eichfreiheit der Theorie
v a in Beziehung mit Invarianz der Wirkung
Beispiel
relativistisches Teilchen
Z
S[q] :=
dτ m
p
−gab q̇ a q̇ b
m
pi = − p
gim q̇ m
−g (q̇, q̇)
primäre Nebenbedingung
Φ1 = g ij pi pj − m2 ≈ 0
Christof Witte
kanonische Quantisierung
24 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Fortsetzung Beispiel
Beispiel
Übergang zur klassischen Hamiltonfunktion zeigt H = 0
können dann HT schreiben als
HT = v 1 Φ 1
dann ist für beliebige Phasenraumfunktion g
dg
= ġ ≈ {g , HT } ≈ v 1 {g , Φ1 }
dτ
Multiplikation mit Faktor ändert nichts da v 1 beliebig →
keine absolute Zeit
Christof Witte
kanonische Quantisierung
25 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
26 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Phasenraumfunktionen erster und zweiter Klasse
Definition
Eine Phasenraumfunktion F heißt erster Klasse, wenn
∀j {F , Φj } ≈ 0. Andernfalls bezeichenen wir F als
Phasenraumfunktion zweiter Klasse.
erlaubt Klassifikation der Nebenbedingungen in primäre &
sekundäre Nebenbedingungen erster & zweiter Klasse
insbesondere bei Nebenbedingungen Φj 0 erster Klasse haben
wir
00
{Φj 0 , Φj } = cjj0 j Φj 00
Christof Witte
kanonische Quantisierung
27 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
HT als Phasenraumfunktion erster Klasse
betrachten
HT = H + U m Φm + v a Vam Φm
Vam Φm ist erster Klasse:
{Vam Φm , Φj } ≈ Vam {Φm , Φj } = 0
außerdem
{H + U m Φm , Φj } ≈ −({Φj , H} + U m {Φj , Φm }) ≈ 0
→ HT erster Klasse
Christof Witte
kanonische Quantisierung
28 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
29 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Eichtransformationen
Phasenraumfunktion g mit Anfangswert g (t = 0) = g0 ,
betrachten g (δt):
g (δt) = g0 + ġ δt = g0 + δt({g , H 0 } + v a {g , Φa })
nun verwenden v 0a und bilden Differenz g (δt) − g 0 (δt)
∆g = a {g , Φa }, a = δt(v a − v 0a )
Φa erzeugen Transformation die Systemeigenschaften nicht
ändern → Eichtransformationen
man zeigt: sekundäre Nebenbedingungen erster Klasse
erzeugen Eichtransformationen → Unterscheidung
primär-sekundär nicht entscheidend
Christof Witte
kanonische Quantisierung
30 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Beispiel
Beispiel
Nebenbedingung
Φ1 = g ij pi pj − m2
berechnen nun mögliche Eichtransformationen der q’s, und p’s
{q i , Φ1 } = g ij pj = p i ,
{pi , Φ1 } = 0
können q’s in Richtung der p’s ändern, ohne Systemzustand
zu ändern, p’s nicht transformierbar
entspricht Verschiebung auf der Weltlinie des Teilchens
bei vorgegebenem Satz (q i , pi ) beschreibt (q̄ i , pi ) den gleichen
Zustand des Systems
Christof Witte
kanonische Quantisierung
31 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
32 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Systeme mit Nebenbedingungen zweiter Klasse
Nebenbedingungen erster Klasse (i.F. Φj ) erzeugen
Eichtransformationen
Nebenbedingungen zweiter Klasse (i.F. χs ) reduzieren
Phasenraum, sind aber sonst nicht interessant
versuchen diese Freiheitsgrade aus der Theorie zu eliminieren
modifizieren Poissonklammer, so dass für jede
Phasenraumfunktion F
{F , χs } = 0 ⇔ χs = 0
Christof Witte
kanonische Quantisierung
33 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Vorgehen bei Nebenbedingungen zweiter Klasse
zunächst so viele Nebenbedingungen zu erster Klasse
Nebenbedingungen kombinieren wie möglich
übrigbleibende Nebenbedingungen zweiter Klasse nicht
physikalisch relevant
benutzen Poissonklammer aus der diese Freiheitsgrade
eliminiert sind
Christof Witte
kanonische Quantisierung
34 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Dirac-Klammer
Definition
Die Dirac-Klammer { , }D zweier klassischer
Phasenraumfunktionen f,g ist definiert durch
0
{f , g }D = {f , g } − {f , χs }(M −1 )ss {χs 0 , g },
wobei die Matrix M definiert wird durch
Mss 0 = {χs , χs 0 }.
interessant: nur gerade Anzahl an Nebenbedingungen zweiter
Klasse möglich
erfüllt alle Eigenschaften der Poissonklammer
Christof Witte
kanonische Quantisierung
35 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Observablen
Observablen sind Phasenraumfunktionen die Informationen
über Systemzustand repräsentieren (Messgrößen)
Messgrößen dürfen sich nicht ändern nach Eichtransformation
Bedingung das Observable F invariant gegenüber
Eichtransformationen:
{F , Φj }D ≈ 0 ∀j
→ sind Phasenraumfunktionen erster Klasse
Christof Witte
kanonische Quantisierung
36 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Beispiel
Beispiel
Frage: Wie extrahieren wir, wo sich das relativistische Teilchen zur
Zeit t befindet?
q 0 hat die Bedeutung der Zeitkoordinate
alle eichtransformierten q i beschreiben gleichen
Systemzustand
bei vorgegebenem Satz (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) transformieren so, dass
Q 0 = t und lesen Orte Q 1 , Q 2 , Q 3 ab
Transformationsvorschrift leicht zu finden
Q i (t) = q i +
Christof Witte
t − q0
pi
p0
kanonische Quantisierung
37 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
Fortsetzung Beispiel
Beispiel
Q i (t) Phasenraumfunktion, die für jedes t angibt, wo sich das
Teilchen befindet
überprüfen {Q i (t), Φ1 } ≈ 0
Q i (t) ist Observable, nur solche geben Informationen über
System
für anderen Beobachter → Lorentztransformation der Q i
Christof Witte
kanonische Quantisierung
38 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Es folgt
1
Klassische Mechanik
Wirkungsfunktional, Übergang Lagrangefkt.-Hamiltonfkt.
Systeme mit Nebenbedingungen
Poissonklammern
Konsistenz der Theorie
2
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Eichfreiheit
Klassifikation von Phasenraumfunktionen
Eichtransformationen
Dirac-Klammern, Observablen
3
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Christof Witte
kanonische Quantisierung
39 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Quantisierung von Systemen mit Nebenbedingungen
Übergang q i → q̂ i und pi → p̂i
Schrödingergleichung
i~
d
|Ψi = Ĥ 0 |Ψi
dt
außerdem Nebenbedingungen erster Klasse
Φ̂j |Ψi = 0
Kommutator zweier Operatoren F̂ & Ĝ
\
[F̂ , Ĝ ] = i~{F
, G }D
Christof Witte
kanonische Quantisierung
40 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Konsistenz der Gleichungen
Konsistenz verlangt
Φ̂j Φ̂j 0 |Ψi = 0 und Φ̂j 0 Φ̂j |Ψi = 0
das bedeutet
[Φ̂j , Φ̂j 0 ] |Ψi = 0
dafür muss
00
[Φ̂j , Φ̂j 0 ] = ĉjjj 0 Φ̂j 00
klassisch garantiert da Φj erster Klasse
00
in Quantenmechanik dennoch Problem: ĉjjj 0 alle links
Christof Witte
kanonische Quantisierung
41 / 46
Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
weitere Schwierigkeiten
weitere Konsistenzbedingung aus Schrödingergleichung
0
[Φ̂j , Ĥ 0 ] |Ψi = 0 → [Φ̂j , Ĥ 0 ] = ĉjj Φ̂j 0
0
ĉjj müssen alle links erscheinen
außerdem muss geeignete Darstellung der Operatoren
gefunden werden
Informationen über System nur durch Erwartungswerte von
Observablen: hΨ| F̂ |Ψi
dazu Definition eines Skalarproduktes im Raum der Zustände
nötig; schwieriger zu finden bei Systemen mit
Nebenbedingungen
Christof Witte
kanonische Quantisierung
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Klassische Mechanik
Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
relativistisches Teilchen
Beispiel
Betrachten jetzt relativistisches Teilchen auf flachem Raum
(gij = diag (− + + +)). Wir hatten gefunden
Ĥ 0 = 0,
Φ̂1 = g ij p̂i p̂j − m2
Übergang in die Ortsdarstellung:
|Ψi → Ψ(q i ),
q̂ i → q i ,
p̂i → −i~
∂
∂q i
Dann erhalten wir aus der primären Nebenbedingung
Φ̂1 |Ψi = 0 ⇔
∂ ∂
m2 +
Ψ(q i ) = 0.
∂q i ∂qi
~2
Christof Witte
kanonische Quantisierung
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Eichtransformationen, Dirac-Klammer, Observablen
Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Fortsetzung Beispiel
Beispiel
Nebenbedingung führt also auf Klein-Gordon-Gleichung
+
m2 Ψ(q i ) = 0,
~2
mit
=∆−
∂2
∂q 0 2
.
Klein-Gordon-Gleichung nicht die relativistische
Verallgemeinerung der Schrödingergleichung
→ keine Gleichung für Zeitentwicklung eines Zustands
Christof Witte
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Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Fortsetzung Beispiel
Beispiel
Ortsinformationen nur über geeignete Observable
hatten Q i (t) schon kennengelernt
Weg klar Q i (t) → Q̂ i , Ortsinformation dann als
Erwartungswerte des Operators
Christof Witte
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Quantisierung
Kanonische Quantisierung
Beispiel
Quellen
Paul A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover
Publications Inc., 2001
H.-J. Matschull, Dirac’s Canonical Quantization Program,
http://wwwthep.physik.uni-mainz.de/˜matschul
S. Avery, Dirac Brackets,
www.physics.ohio-state.edu/˜avery/notes/dirac-brackets.pdf
Christof Witte
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