Hauptseminar Mathematische Logik 2010

Hauptseminar Mathematische Logik 2010
Unabhängigkeit des Prinzips von
Paris-Harrington zur Peano Arithmetik
Julian Schlöder
10. und 17. November 2010
Konvention 1. Im Folgenden bezeichnet L immer die Sprache der Arithmetik.
Definition 2 (Kombinatorische Aussage der Sätze von Ramsey). Seien κ, η, µ
und λ Kardinalzahlen. Wir schreiben κ → (η)µλ , wenn für alle Mengen X mit
|X| ≥ κ und alle Funktionen f : [X]µ → λ ein Y ⊆ X mit |Y | ≥ η existiert, so
dass f konstant auf [Y ]µ ist.
Definition 3 (Regressive Funktionen). Sei X ⊆ ω.
Eine Funktion f : [X]d → ω heißt regressiv wenn f (A) < min A für alle
A ⊆ [X]n .
Definition 4 (Min-homogene Mengen). Sei X ⊆ ω und f : [X]d → ω eine
Funktion.
Y ⊆ X heißt min-homogen für f , wenn für A, B ⊆ [Y ]n mit min A = min B
gilt: f (A) = f (B).
Definition 5 (Diagonal Ununterscheidbare). Sei Γ eine endliche Menge von
L-Formeln und sei M ein Modell der Peano Arithmetik (PA).
I ⊆ M nennen wir eine Folge von diagonal Ununterscheidbaren (UU)
bezüglich Γ wenn für alle Formeln
ϕ(u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn ) ∈ Γ
und alle x0 , . . . , xn ∈ I, y1 , . . . , yn ∈ I, a = a1 , . . . , am mit
x0 < x1 < · · · < xn ,
x0 < y1 < · · · < yn ,
a1 , . . . , am < x0
gilt:
M |= ϕ(a, x1 , . . . , xn ) ↔ ϕ(a, y1 , . . . , yn )
Prinzip 6 (Kombinatorisches Prinzip (∗)). Für alle natürlichen Zahlen c, m, n, k
existiert ein d ∈ N, so dass für alle regressiven Funktionen f1 , . . . , fk : [d]n → d
ein Y ⊆ [c, d] existiert, sodass |Y | ≥ m und Y min-homogen für alle diese fi
ist.
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Prinzip 7 (Prinzip von Paris-Harrington). Für alle natürlichen Zahlen n, k, m
existiert ein l ∈ N, so dass für eine Funktion f : [l]n → k ein Y ⊆ l existiert,
so dass Y homogen für f , |Y | ≥ m und |Y | ≥ y0 wobei y0 das kleinste Element
von Y ist.
Satz 8 (Endlicher Satz von Ramsey). Für alle natürlichen Zahlen k, n, m < ω
existiert ein l < ω, so dass l → (m)nk .
Lemma 9. Für natürliche Zahlen l, m, n und L-Formeln
ϕ1 (u1 , . . . , uk , v1 , . . . , vn ), . . . , ϕl (u1 , . . . , uk , v1 , . . . , vn )
existiert eine Menge I von diagonal Ununterscheidbaren bezüglich ϕ1 , . . . , ϕl mit
|I| ≥ m.
Das betrachtete Modell der Peano Arithmetik ist dabei das Standardmodell N.
Beweis. OBdA sei m > 2n.
Nach Ramsey: Es existiert ein w so dass w → (m + n)2n+1
l+1 . Nach (∗): Es
existiert ein s, so dass für regressive Funktionen f1 , . . . , fk : [s]2n+1 → s ein
Y ⊆ s existiert mit |Y | ≥ w und Y min-homogen für alle fi . Insbesondere wähle
w groß genug, damit s ≥ w ≥ l.
Definiere Funktionen fj : [s]2n+1 → l für j ∈ 1, . . . , k und g : [s]2n+1 → l+1
wie folgt: Sei x0 , . . . , x2n = X ∈ [s]2n+1 mit x0 < x1 < . . . x2n . Wenn für alle
i ≤ l und a = a1 , . . . , ak < x0 gilt
ϕi (a, x1 , . . . , xn ) ↔ ϕi (a, xn+1 , . . . , x2n ),
dann setze für alle j ≤ l fj (X) = 0 und g(X) = 0. Andernfalls existiert ein i < l
und ein a = a1 , . . . , ak < x0 , so dass:
ϕi (a, x1 , . . . , xn ) = ϕi (a, xn+1 , . . . , x2n )
Dann setze g(X) = i und f1 (X) = a1 , . . . , fj (X) = aj , . . . , fk (X) = ak ).
Alle fj sind regressiv: Nach Wahl ist für fj (X) = a: min X = x0 und a < x0 .
Dann folgt aus (∗): Es gibt ein Y ⊆ s, Y min-homogen für alle fj und |Y | ≥ w.
Und aus dem endlichen Satz von Ramsey: Es existiert ein X ⊆ Y , ein i ≤ k, so
dass |X| ≥ m + n und g(A) = i für alle A ∈ [X]2n+1 .
Behauptung: i = 0. Annahme: i > 0.
Da m > 2n und |X| ≥ m + n gilt: |X| > 3n. Also existiert eine Folge
x0 < · · · < x3n ∈ X. Da außerdem X min-homogen für alle fj ist existiert für
jedes 1 ≤ j ≤ k ein aj < x0 , so dass:
aj = fj (x0 , . . . , x2n ) = fj (x0 , . . . , xn , x2n+1 , . . . , x3n ) = fj (x0 , xn+1 , . . . , x3n )
Setze:
a = (a1 , . . . , ak )
Dann ist (da i > 0 und nach Wahl von a) wegen der Konstruktion der fi :
ϕi (a, x1 , . . . , xn ) = ϕi (a, xn+1 , . . . , x2n )
(1)
ϕi (a, x1 , . . . , xn ) = ϕi (a, x2n+1 , . . . , x3n )
(2)
ϕi (a, xn+1 , . . . , x2n ) = ϕi (a, x2n+1 , . . . , x3n )
(3)
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Dies ist unmöglich. Nehme an, dass φi (a, x1 , . . . , xn ) den Wahrheitswert 1 hat.
Dann müssen wegen (1) φi (a, xn+1 , . . . , x2n ) und wegen (2) φi (a, x2n+1 , . . . , x3n )
beide den Wert 0 annehmen. Dies ist ein Widerspruch zu (3). Analog erfolgt ein
Widerspruch in (3) wenn für φi (a, x1 , . . . , xn ) der Wahrheitswert 0 angenommen
wird.
Also i=0.
Konstruiere nun die gesuchte Menge I wie folgt:
Seien z1 < · · · < zn die n größten Elemente von X. Sei I = X \ {z1 , . . . , zn }.
Da |X| ≥ m + n ist dann |I| ≥ m wie gefordert.
Es bleibt zu überprüfen, dass I tatsächlich eine Folge diagonal Ununterscheidbarer bezüglich der ϕ1 , . . . , ϕl ist:
Seien x0 < x1 < . . . xn und y1 < · · · < yn mit y1 > x0 in I. Sei a =
a1 , . . . , ak < x0 . Dann gilt für alle 1 ≤ j ≤ l:
ϕj (a, x1 , . . . , xn ) ↔ ϕj (a, z1 , . . . , zn )
ϕj (a, y1 , . . . , yn ) ↔ ϕj (a, z1 , . . . , zn )
Und damit:
ϕj (a, y1 , . . . , yn ) ↔ ϕj (a, x1 , . . . , xn )
Definition 10 (Menge der ∆0 -Formeln). Die Menge der ∆0 -Formeln ist die
kleinste Menge D von L-Formeln, sodass:
i) Jede Quantoren-freie Formel ist in D.
ii) Für ϕ, ψ ∈ D sind (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ) und ¬ϕ in D.
iii) Für ϕ ∈ D und einen Term t sind ∃v < t ϕ und ∀v < t ϕ in D.
Lemma 11. Sei M ein Modell der Peano Arithmetik und N ⊆ M ein Submodell, dessen Trägermenge N ein Anfangsstück der Trägermenge M von M ist;
das heißt es gelte:
a ∈ M, b ∈ N, a < b ⇒ a ∈ N
Dann ist für eine ∆0 -Formel ϕ(v) und a ∈ N :
M |= ϕ(a) ⇔ N |= ϕ(a).
Beweis. Erfolgt durch Induktion über den Aufbau von ∆0 :
i) Klar.
ii) Sei für ϕ, ψ ∈ ∆0 die Aussage bereits gezeigt, sei a ∈ N . Es genügt (ϕ ∧ ψ)
und ¬ϕ zu betrachten:
M |= (ϕ ∧ ψ)(a)
⇔M |= ϕ(a) und M |= φ(a)
⇔N |= ϕ(a) und N |= ψ(a)
⇔N |= (ϕ ∧ ψ)(a)
Und:
M |= ¬ϕ(a) ⇔ M 6|= ϕ(a) ⇔ N 6|= ϕ(a) ⇔ N |= ¬ϕ(a)
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iii) Sei für ϕ ∈ ∆0 die Aussage bereits gezeigt, sei a ∈ N und sei t ein Term.
Es genügt ∀v < t ϕ zu betrachten:
⇒) M |= (∀v < t ϕ)(a) ⇒ N |= (∀v < t ϕ)(a), klar, da N ⊆ M .
⇐) N |= (∀v < t ϕ)(a) ⇒ für alle v ∈ N mit v < tN (a) ist N |= ϕ(v, a).
Wahl von ϕ ⇒ für alle v ∈ N mit v < tN (a) ist M |= ϕ(v, a).
Da tM (a) = tN (a) ∈ N gilt für alle m ∈ M mit m < tM (a) nach
Voraussetzung an N : m ∈ N .
Zusammengefasst: Für alle m < tM (a) in M ist M |= ϕ(m, a).
⇒ M |= (∀v < t ϕ)(a).
Lemma 12. Sei M ein Modell der Peano Arithmetik und seien x0 < x1 <
. . . eine Folge von diagonal Ununterscheidbaren bezüglich der Menge ∆0 . Setze
N = {y ∈ M | y < xi für ein i < ω}. Dann ist die Menge N abgeschlossen
unter Addition und Multiplikation und wenn N die Substruktur von M mit
Trägermenge N bezeichnet, dann ist N ein Modell der Peano Arithmetik.
Beweis. i) Abgeschlossenheit unter Addition
Seien i < j < k < l. Seien a, b ∈ N und OBdA gelte a, b < xi .
Behauptung: a + xj < xk .
Annahme: Es existiert ein a < xi mit a + xj ≥ xk .
Dann existiert ein c ≤ a, so dass c + xj = xk . Da ϕ(z, y1 , y2 ) = z + y1 ≡
xk ∈ ∆0 gilt wegen Ununterscheidbarkeit: ϕ(c, xj , xk ) ↔ ϕ(c, xj , xl ). Also
xk = xl .
Also a+xj < xk und da b < xi < xj insbesondere a+b < xk ⇒ a+b ∈ N ,
also ist N abgeschlossen unter Addition.
ii) Abgeschlossenheit unter Multiplikation
Seien wieder i < j < k < l. Sei b < xi .
Behauptung: Für alle a < xi gilt ab < xk .
Annahme: Behauptung gilt nicht.
Dann existiert ein a < xi mit ab < xk ≤ (a + 1)b. Ununterscheidbarkeit:
xl ≤ (a + 1)b. Außerdem folgt aus ab < xk mit beidseitiger Addition
von b: (a + 1)b < b + xk . Damit erhalten wir mit dem Ergebnis aus i):
xl ≤ (a + 1)b < b + xk < xl .
Also für alle a, b < xi : ab < xk , also ab ∈ N . Also ist N abgeschlossen
unter Multiplikation.
iii) Die Erfüllbarkeit von Formeln in N kann auf die Erfüllbarkeit von ∆0 Formeln in M zurückgeführt werden.
Sei ϕ(w) = ∃v2 ∀v2 ∃v3 . . . ∃vn ψ(w, v1 , . . . , vn ), wobei ψ Quantoren-frei. Jede L-Formel ϑ kann durch Hinzufügen von dummy-Variablen“ vj 6∈ var(ϑ)
”
auf diese Form gebracht werden. Sei nun i < ω und a < xi . Die Folge
x0 < x1 < . . . ist unbeschränkt in N , denn gäbe es eine Schranke, wäre
diese kleiner als eines der xi . Damit:
N |= ϕ(a) genau dann, wenn ∃i1 > i ∀i2 > i1 . . . ∃in > in−1 so, dass
N |= ∃v1 < xi1 ∀v2 < xi2 . . . ∃vn < xin ψ(a, v1 , . . . , vn ).
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Mit Lemma 11 stellen wir nun den Bezug zu M her:
N |= ϕ(a) genau dann, wenn ∃i1 > i ∀i2 > i1 . . . ∃in > in−1 so, dass
M |= ∃v1 < xi1 ∀v2 < xi2 . . . ∃vn < xin ψ(a, v1 , . . . , vn ).
Dies ist nun eine ∆0 -Formel, daher können wir Ununterscheidbarkeit anwenden:
N |= ϕ(a) genau dann, wenn
M |= ∃v1 < xi+1 ∀v2 < xi+2 . . . ∃vn < xi+n ψ(a, v1 , . . . , vn ).
für ein i.
iv) Die Peano Axiome werden von N erfüllt.
Einzig interessanter Fall: Das Induktionsaxiom. Sei also ϕ(u, w) eine LFormel, ϕ habe die Form ∃v1 ∀v2 . . . ∃vn ψ(u, w, v) für ein quantorenfreies
ψ. Wenn gilt: N |= ϕ(b, a) für a, b ∈ N , dann wähle i und i < i1 < · · · < in
sodass b < xi . Dann gilt nach iii):
M |= ∃v1 < xi1 ∀v2 < xi2 . . . ∃vn < xin ψ(b, a, v)
Da Induktion auf M gilt, gibt es ein kleinstes b0 ≤ b < xi , insbesondere
b0 ∈ N , so dass N |= ϕ(b0 , a). Also gilt Induktion auf N .
Anmerkung. Wir benötigen für den folgenden Beweis ein Konzept, das wir Codierung nennen wollen. Dabei werden konkrete Folgen und metamathematische
Sachverhalte durch arithmetische Formeln dargestellt. Insbesondere:
Formel S(u), die die Menge der Codierungen aller endlichen Folgen definiert.
Formel l(u, v), die erfüllt ist, wenn u Codierung einer Folge mit Länge v ist.
Formel e(v, u, i), die erfüllt ist, wenn u das ite Element der Folge ist, die von
v codiert ist.
Außerdem gibt es ein Konzept nach Gödel, das jeder Formel eine Zahl zuweist.
Damit können wir betrachten:
Formel F orm0 (v), die die Menge der Gödel-Codes aller ∆0 -Formeln definiert.
Formel Sat0 (u, v, w), die erfüllt ist, wenn u der Gödel-Code einer ∆0 -Formel
ϕ(v1 , . . . , vw ) ist, v die Codierung einer Folge a von w Elementen ist, und
ϕ(a) erfüllt ist.
Um dies zu erreichen, benötigen wir zuerst eine Methode, um eine endliche
Folge in eine natürliche Zahl und eine Primzahl zu codieren. Für eine gegebene
Folge (a0 , . . . , ar ) wähle eine genügend große Primzahl p > a0 , . . . , ar , r + 1 und
setze t = 1 · p0 + a0 p1 + 2p2 + a1 p3 + · · · + (r + 1)p2r + ar p2r+1 . Dies ist die
eindeutige p-adische Darstellung der Zahl t. Aus dieser Darstellung von t lässt
sich mit Kenntnis von p die Folge extrahieren, da jeder Koeffizient einer geraden Potenz von p die Position des Koeffizienten der nächstgrößeren ungeraden
Primzahlpotenz in der Folge angibt.
Nun gilt für alle i ≤ r: a = ai genau dann, wenn b0 , b1 , b2 , l existieren so
dass:
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i) t = b0 + b1 ((i + 1) + ap + b2 p2 )
ii) a < p
iii) b0 < b1
iv) b1 = p2l
Die Richtung ⇒ folgt sofort aus der Konstruktion von t, wenn man l = i
setzt. Für ⇐ wird i) ausmultipliziert: t = b0 + (i + 1)p2l + ap2l+1 + b2 p2l+2 .
Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung von t und da a < p folgt, dass l = i
und damit sofort a = ai .
Diese aequivalente Bedingung lässt sich in PA formulieren, denn obwohl wir
noch nicht Potenzieren können, lassen sich i) und iv) in PA formulieren, da
p2 = p · p und iv) bedeutet es gibt ein x, so dass b1 = x ∗ x und p ist der einzige
”
Primfaktor von x“.
Nun können wir über Folgen natürlicher Zahlen sprechen. Damit kann insbesondere die Potenz ab = c formalisiert werden: Als eine Folge (a1 , . . . , ab ) so,
dass a1 = a, ab = c und für alle i < b: ai = ai−1 · a. Der Spezialfall, dass
aus b = 0 c = 1 folgt, lässt sich getrennt berücksichtigen. Analog lässt sich
eine Formel prim(p, n) formulieren, die erfüllt ist, wenn p die n-te Primzahl
ist. Seien p0 = 2, p1 = 3, p2 = 5,. . . die aufsteigend nummerierten Primzahlen.
Generell lassen sich rekursive Vorschriften auf den natürlichen Zahlen mit Hilfe
von Folgen auf diese Art in eine L-Formel codieren.
Damit kann eine Folge (a1 , . . . , an ) in eine einzige natürliche Zahl a codiert werden: Setze a = pa1 1 +1 · · · · · pann +1 . Da die Zerlegung in Primfaktoren
eindeutig ist, lässt sich die Folge aus a wieder extrahieren; es wird in jedem
Exponenten 1 addiert, damit der Spezialfall ai = 0 keine Probleme bereitet.
Da wir nun zu einer Zahl sagen, ob sie die i-te Primzahl ist, und innerhalb der
Peano Arithmetik potenzieren können, lassen sich alle grundlegenden Aussagen über Folgen ausdrücken. Mit den Formeln teilt(a, b) = ∃z(z · a ≡ b) und
prim(p) = ∀x(x > 1 → ¬teilt(x, p)) lauten sie beispielsweise wie folgt:
S(u) = ∃p > 2(prim(p) ∧ teilt(p, u) ∧ ∀q > p(prim(q) → ¬teilt(q, u)
∧∀2 < q < p(prim(q) → teilt(q, u))
l(u, v) = S(u) ∧ ∃p(prim(p, v) ∧ ∀y(y > p ∧ prim(y) → ¬teilt(y, u)))
e(v, u, i) = S(v) ∧ (∃j(j ≥ i ∧ l(v, j))) ∧ (∃p(prim(p, i) ∧ ∀c(c > u →
¬teilt(pc+1 , v)) ∧ teilt(pu+1 , v)))
Leicht lassen sich nun auch endliche Teilmengen natürlicher Zahlen codieren. Setze für eine Menge a1 , . . . , an die Codierung a: a = 2a1 + · · · + 2an . Die
2-adische Darstellung von a ist eindeutig, also lassen sich die Mengenelemente aus a wieder extrahieren. Außerdem ist für die Codierung aI von I ⊆ n:
aI ≤ 22n .
Für eine exemplarische naive“ Herangehensweise an die Darstellung von
”
Formeln weisen wir zunächst jedem Symbol der Sprache einen Zahlenwert zu.
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Gerade Zahlen bieten sich hier an, da diese keine Codierung von Folgen sein
können, weil wir Folgen durch Zahlen mit Primfaktoren größer 2 codieren. Also:
<→0
≡→1
+→2
·→4
0
→6
¬→8
∨ → 10
∃ → 12
0 → 14
1 → 16
x1 → 18
x2 → 20
. . . , xi → 16 + 2i , . . . (Alle geraden Zahlen größer 16 bezeichnen Variablensymbole).
Nun lassen sich die üblichen rekursiven Definitionen für Terme und Formeln
übertragen: Ein atomarer Term wird durch eine gerade Zahl größer 12 codiert.
Eine natürliche Zahl t ist Codierung eines Terms, wenn eine Folge von Subtermen existiert: Folge (a0 , . . . , an ) so dass an = t und für alle i ≤ n gilt: Entweder
ai ist Codierung eines atomaren Terms oder es existieren j, k < i, so dass ai
Codierung ist von (+, ak , aj ) oder (·, ak , aj ) oder (0 , ak ).
Analog dazu für Formeln: Eine atomare Formel wird codiert durch die die
Codierung eines Tripels (≡, y, z) oder (<, y, z), wenn y und z Codierungen von
Termen sind. Eine Zahl f ist Codierung einer Formel, wenn eine Folge von
Subformeln existiert: Folge (a0 , . . . , an ) so dass an = f und für alle i ≤ n gilt:
Entweder ai ist Codierung einer atomaren Formel oder es existieren j, k < i
so dass, ai Codierung ist von (¬, ak ) oder (∨, ak , aj ) oder (∃, <, x, ak ), wobei x
Codierung eines Variablensymbols ist.
Die Erfüllbarkeit von ∆0 -Formeln kann dann ebenfalls rekursiv über die Zerlegung in Subformeln codiert werden. Dies ist für (quantifizierte) ∆0 -Formeln
möglich, da immer nur endlich viele natürliche Zahlen kleiner als eine gegebene Variable sein können. Diese endliche Teilmenge kann dann wie oben codiert
werden.
Sat0 nennen wir das Wahrheitsprädikat für ∆0 . Mit Hilfe dieser Codierungen können wir Beweise, im Folgenden insbesondere den von Lemma 9, formalisieren.
Satz 13. Das Prinzip (∗) ist nicht beweisbar in der Peano Arithmetik.
Beweis. Sei M ein nonstandard-Modell der Peano Arithmetik und sei c ein
nonstandard-Element von M. M erfülle (∗). Da der Endliche Satz von Ramsey
in der Peano Arithmetik beweisbar ist, wird er von M erfüllt. Also existiert ein
v ∈ M , so dass M |= v → (3c + 1)2c+1
. Sei w minimal unter allen solchen v.
c
Außerdem erfüllt M (∗). Also existiert ein e ∈ M , so dass für regressive
Funktionen f1 , . . . , fc : [e]2c+1 → e immer ein Y ⊆ (c, e) existiert, mit |Y | ≥ w
und Y min-homogen für alle fi . Sei d minimal unter allen solchen e.
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Sei Φ die Menge aller ∆0 -Formeln mit Gödel-Code höchstens c, freien Variablen in v1 , . . . , vc und Parametervariablen in w1 , . . . , wc ; insbesondere umfasst Φ
auch alle Standard-∆0 -Formeln. Mit Hilfe des Wahrheitsprädikats Sat0 (u, v, w)
kann dann der Beweis von Lemma 9 für M formalisiert werden. Aus der Konstruktion in dem Beweis ist ersichtlich, dass die Menge I der diagonal Ununterscheidbaren für Φ eine Teilmenge des vom Prinzip (∗) gegebenem Y ⊆ (c, d)
ist. Schließlich erhalten wir eine Menge I ⊆ (c, d), |I| ≥ c von diagonal Ununterscheidbaren bezüglich Φ für M.
Sei nun x0 < x1 < . . . ein Anfangsstück von I und sei N das Anfangsstück
von M mit Trägermenge N = {y ∈ M | y < xi für ein i}. Lemma 12 besagt,
dass N ein Modell der Peano Arithmetik ist. Nach Konstruktion von I und N
ist c ∈ N und d 6∈ N .
Außerdem: Da der Endliche Satz von Ramsey in der Peano Arithmetik beweisbar ist und N |= P A existiert ein w0 ∈ N , so dass N |= w0 → (3c + 1)2c+1
.
c
Alle Funktionen [w0 ]2c+1 → c und alle Teilmengen von w, die in M codierbar
sind, sind auch in N codierbar. Damit M |= w0 → (3c + 1)2c+1
. Da w minimal
c
war gilt w ≤ w0 und da N Anfangsstück ist, gilt w ∈ N .
Analog dazu: Würde das Prinzip (∗) in N gelten, dann gäbe es ein d0 , so
dass gälte:
N |= für regressive Funktionen f1 , . . . , fc : [d0 ]2c+1 → d0 gibt es ein Y ⊆ (c, d0 ),
das min-homogen für alle fi ist, und |Y | ≥ w.
Da alle Funktionen [d0 ]2c+1 → d0 und alle Teilmengen von w, die in M codierbar
sind, auch in N codierbar sind gälte ebenfalls:
M |= für regressive Funktionen f1 , . . . , fc : [d0 ]2c+1 → d0 gibt es ein Y ⊆ (c, d0 ),
das min-homogen für alle fi ist, und |Y | ≥ w.
Nach Wahl von d gilt dann d ≤ d0 . Da d 6∈ N , aber d0 ∈ N und N Anfangsstück
.
Also gilt das Prinzip (∗) nicht in N . Damit gibt es einerseits Modelle der
Peano Arithmetik in denen (∗) gilt und andererseits solche in denen (∗) nicht
gilt. Nach Vollständigkeit ist dann P A 6` (∗).
Korollar 14 (Satz von Paris-Harrington). Das Prinzip von Paris-Harrington
ist in der Peano Arithmetik nicht beweisbar.
Beweis. Wir hatten gezeigt, dass in P A mit Hilfe des Prinzips von Paris-Harrington
das Prinzip (∗) bewiesen werden kann. Wäre nun das Prinzip von Paris-Harrington
beweisbar, so wäre dies ein Widerspruch zu Satz 13.
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