ω 1.3.2 Resonanzkreise u i R L C uL uR uC ω ω ω ω ω ω

35
1.3 Schaltungen mit frequenzselektiven Eigenschaften

R 
a  0  20 lg 1 
,
Ra 

(1.81)
die Grenzkreisfrequenz ist
Grenz 
1.3.2
1
.
R Ra
C
R  Ra
(1.82)
Resonanzkreise
1.3.2.1 Reihenresonanzkreis
R
L
C
uR
uL
u
uC
i
Bild 1.24 Reihenresonanzkreis
Die Schaltung nach Bild 1.24 heißt Reihenresonanzkreis.
Für eine bestimmte Frequenz 0 mit
0  0  
(1.83)
sind Klemmenspannung u und Klemmenstrom i in Phase, die Anordnung verhält
sich wie der Widerstand R. Dieser Zustand der Schaltung heißt Resonanz, 0 ist die
Resonanzkreisfrequenz.
Analyse der Schaltung
Die Analyse der Schaltung folgt aus den komplexen Zusammenhängen:
Impedanz Z
Z  R  j L 

1 
 R  j  L 
,
C 
j C

1
(1.84)
komplexe Stromamplitude Î
Uˆ
Iˆ  
Z
Uˆ

1 
R  j  L 
 C 

,
komplexe Spannungsamplituden an den Bauelementen
(1.85)
36
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
Uˆ R  R Iˆ, Uˆ L  j L Iˆ, Uˆ C 
1
j C
Iˆ .
(1.86)
Der Scheinwiderstand der Anordnung ist
2

1 
Z  R   L 
 ,
C

2
(1.87)
die Stromamplitude
Uˆ
Iˆ  
Z
Uˆ

1 
R2   L 
 C 

2
,
(1.88)
die Spannungsamplituden an den Bauelementen folgen zu
Uˆ R  Uˆ
Uˆ L  Uˆ
R

1 
R2   L 

C


2
L

1 
R2   L 

C


2
,
(1.89)
,
(1.90)
1
Uˆ C  Uˆ

 C R2   L 

1 
 C 
2
.
(1.91)
Verhalten bei Resonanz, Gütefaktor Q
Klemmenspannung u und Klemmenstrom i sind dann in Phase, wenn durch Parameteränderung die Bedingung
Im  Z   0 ,
(1.92)
Im Y   0
(1.93)
bzw.
erfüllbar ist.
1.3 Schaltungen mit frequenzselektiven Eigenschaften
37
Aus den Gleichungen (1.84) und (1.92) erhält man als Bedingung für die Resonanzkreisfrequenz
0 L 
1
0 C
0
(1.94)
und damit:
0 
1
LC
(1.95)
Die Resonanzfrequenz f0 folgt zu:
f0 
1
(1.96)
2π LC
Mit der Bedingung Gleichung (1.94) erhält man aus den Gleichungen (1.88) bis
(1.91) für die Stromamplitude und die Spannungsamplituden
Î  0   Î 0 
Û
,
R
(1.97)
Û R  0   Û R 0  Û ,
(1.98)
L
C
Û L  0   Û L 0 
Û
Û,
R
R
(1.99)
0 L
L
1
C
Uˆ C 0   Uˆ C 0 
Uˆ 
Uˆ .
R
0 C R
(1.100)
L
Uˆ L 0 Uˆ C 0
0 L
1
C

Q


R
R
0 C R
Uˆ
Uˆ
(1.101)
Es ist:
Q ist die Güte oder der Gütefaktor des Resonanzkreises. Für technisch relevante
Anordnungen liegt die Güte Q in der Größenordnung Q = 10 ... 1000. Für Q > 1 ist
also die Spannung an den Blindelementen bei Resonanz größer als die Gesamtspannung. Bild 1.25 zeigt im Zeigerdiagramm bei Resonanz die Spannungsverhältnisse
und Phasenverhältnisse für Q = 3. Messtechnisch wird die Güte aus der Spannungsüberhöhung am Kondensator bei Resonanz ermittelt.
38
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
Stromdurchlasskurve
Aus den Gleichungen (1.88), (1.97) und (1.101) erhält man für die Stromamplitude:
Uˆ
Iˆ 
R
Î

Î0
1
  0 L 0
1 
1 


 0 C R 
 0 R
1
  0 
1  Q2 


 0  
2
2
,
(1.102)
.
(1.103)
Mit der Voraussetzung Û = konst. (eingeprägte Spannung) wird die Beziehung
(1.103) als Stromdurchlasskurve des Reihenresonanzkreises bezeichnet (Bild 1.26).
Für die Spannungsamplituden an den Blindelementen erhält man analog
ÛL 

Û 0
ÛC  0

Û

  0 
1  Q2 


 0  
2
Q
  0 
1  Q2 


 0  
Q=3
Û = ÛR0
Î / Î0
ÛL0
Q
2
,
(1.104)
.
(1.105)
Q =10
Q =1
Î0
ÛC0
Bild 1.25 Zeigerdiagramm
bei Resonanz
Bild 1.26 Frequenzgang der Stromamplitude
Bild 1.27 zeigt den Frequenzgang der Spannungsamplituden an den Blindelementen
Kondensator (1) und Spule (2) für Q = 1 und Bild 1.28 für Q = 10.
39
ÛC /Û, ÛL /Û
ÛC /Û, ÛL /Û
1.3 Schaltungen mit frequenzselektiven Eigenschaften
(1)
(2)
(1)
(2)
/ 0
/ 0
Bild 1.27 Frequenzgang der
Spannungsamplituden bei Q = 1
Bild 1.28 Frequenzgang der
Spannungsamplituden bei Q = 10
Bandbreite, Eckfrequenzen
Den Frequenzbereich, in dem die Stromamplitude um nicht mehr als um den Faktor
2 gegenüber dem Maximum bei der Resonanzkreisfrequenz abgefallen ist, bezeichnet man als Durchlassbereich des Resonanzkreises und seine Breite als Bandbreite.
Die Ortskurve der Impedanz Z() des Reihenresonanzkreises (Gleichung (1.84))
macht deutlich im Bild 1.29
Z  45   Z  45   2 R ,
(1.106)
also gilt für die Stromamplitude
Î  45   Î  45  
2R
(1.107)
Z  
  45
R
0
R
-R
Î
Û
 0 .
2R
2
2R
  45
Y
 45
0
0

1/R
 45
Bild 1.29 Ortskurve Z()
Bild 1.30 Ortskurve Y()
+45, –45 sind die so genannten 45-Eckkreisfrequenzen. Sie lassen sich wie folgt
berechnen (vgl. Bild 1.29):
40
1 Schaltungen und Systeme der Wechselstromtechnik
R   45 L 
1
,
 45 C
(1.108)
2
 45 
R
 R 
R
1
 
 
2L
2
L
L
C


1
 45 C
(1.109)
  45 L ,
(1.110)
2
 45  
 R 
R
1
 
 
2L
2
L
L
C


(1.111)
Die Bandbreite b ist die Differenz der Eckkreisfrequenzen:
b   45   45 
R 0

L Q
(1.112)
Die Ortskurve der Admittanz Y() des Reihenresonanzkreises ist ein Kreis durch
den Nullpunkt (Bild 1.30).
Für Kreisfrequenzen kleiner als die Resonanzkreisfrequenz verhält sich der Reihenresonanzkreis ohmsch-kapazitiv, für Kreisfrequenzen größer als die Resonanzkreisfrequenz ohmsch-induktiv.
Beispiel 1.8
R1 = 20 Ω, L = 1 H, C = 10 µF, Û = 230 V: 0 = 316 s–1, f0 = 50,3 Hz, Q = 15,6,
ÛL0 = ÛC0 = 3588 V, +45 = 326 s–1, -45 = 306 s–1, b = 20 s–1.
1.3.2.2 Parallelresonanzkreis
Iˆ
Û
ÎG
G
ÎL
1
j L
ÎC
j C
Bild 1.31 Parallelresonanzkreis
Die Schaltung nach Bild 1.31 heißt Parallelresonanzkreis.
Für nunmehr Î = konst. (Stromeinprägung) kann die Schaltung zur Berechnung interessierender Größen wie 0, +45, –45, Û0, ÎC0, Q, b ganz analog zu den Ausführungen beim Reihenresonanzkreis analysiert werden.