Ebene Geometrie

M
Dreiecke
Mathematik
Mathematik
Ebene Geometrie (Planimetrie)
Dreiecksarten
Einteilung nach der Größe der Innenwinkel
Rechtwinkliges Dreieck
Spitzwinkliges Dreieck
Einer der drei Innenwinkel
Alle drei Innenwinkel sind
ist ein rechter Winkel.
spitze Winkel.
C
c = 90°
C
a < 90°
b < 90°
c
a
b
b
a c < 90°
b
a
b
A a
B
A
B
c
c
Die dem rechten Winkel gegenüber­
liegende Seite heißt Hypotenuse.
Die beiden anderen Seiten heißen
Katheten.
Gleichseitiges Dreieck
Alle drei Seiten sind
gleich lang.
C
a=b=c
a
b
A
B
c
Stumpfwinkliges Dreieck
Einer der drei Innenwinkel
ist ein stumpfer Winkel.
b
U=a+b+c
A=
_
​​ 21  ​​ a · ​​h​ a​​​= _
​​ 21  ​​ b · ​​h​ b​​​= _
​​ 21  ​​ c · ​​h​ c​​​
B
C
a b c
= ​​ _41 ​​ ​​  _
​​   (R: Umkreisradius)
R   
00000000000000000000000000000000000000000000000000
Heron’sche Formel: A = 9 
​​ 0s (s
  
– a) (s – b) (s – c) ​​ ​​(s =
Dreiecksungleichung: a + b > c; a + c > b; b + c > a
b
U
_
​ 2 ​ )​​
A
a
B
c
Länge der Höhe zur Basis:
Flächeninhalt:
Umkreisradius:
Inkreisradius:
9 
00000000000000000000000
c 2
​​h​ c​​​= ​​ ​a​​ 2​– (​​ _
​ 2 ​ )​​​  ​ ​​  
A=
_
​​ 21 ​​  c · ​​h​ c​​​
4 ​​h​ c​​​​ 2​+ ​c​​ 2​
R = ​​ __
​​ 
8 ​h​ c ​​  
c ​h​ c​​
_
r = ​​ 2 a +  c ​​ 
A
a
b
c
B
C
hc
a
b
C
a
_
​​ 2 ​​ ​​9 03 ​​ 000 .
Alle Höhen sind gleich lang:
h=
Flächeninhalt:
9 000 
A = ​​ _
4  ​​ ​​  03 ​​
Umkreisradius:
R = ​​ _3 ​​ ​​9 03 ​​
000 
Inkreisradius:
34
DO01-3-12-718521_030_044_K04.indd 34-35
​a​​ 2​
a
r=
a
​​ _6 ​​ ​​9 03 ​​
000 
b
60°
A
a
B
c
p
c
Umkreisradius: R = ​​ _2 ​​ = _
​​ 21 ​​ ​​ 9 0​a00000000000000000
​​ 2​+ ​b​​ 2​ ​​  
,
Inkreisradius:
a b
r = __
​​ a + b + c ​​ 
=_
​​ 21 ​​  (a + b – c).
hc
c
Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit
den Katheten a und b und mit rechtem
Winkel bei C gilt für die Seitenlängen a, b
und c des Dreiecks ​​a​​ 2​​+ ​​b​​ 2​​= ​​c​​ 2​​.
Umkehrung des Satzes von Pythagoras
Wenn in einem Dreieck ABC mit den
Seitenlängen a, b, und c die Gleichung ​​a​​ 2​​+ ​​b​​ 2​​= ​​c​​ 2​​ gilt, dann ist das Dreieck
rechtwinklig mit der Hypotenuse c.
C
60°
A
a
60°
B
c
C
b
Höhensatz
In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit
rechtem Winkel bei C gilt ​​h​​ 2​​= p · q.
Umkehrung des Satzes von Thales
Wenn ein Dreieck ABC im Punkt C recht­
winklig ist, dann liegt der Punkt C auf
dem Thaleskreis über der Strecke ¯
​​ AB ​​. 
a
b
A
a
hc
B
c
q
Satz des Thales
Wenn ein Punkt C auf dem Halbkreis
über einer Strecke ¯
​​ AB ​​ liegt (Thales-Kreis),
dann hat das Dreieck ABC bei C einen
rechten Winkel.
Gleichseitiges Dreieck
a = b = c und α = β = γ = 60°
hc
q
Kathetensatz
In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC mit
den Katheten a und b und mit rechtem
Winkel bei C gilt ​​a​​ 2​​= c · p und ​​b​​ 2​​= c · q.
Gleichschenkliges Dreieck
a = b und α = β
A
C
Sätze im rechtwinkligen Dreieck
a
A
Jede Kathete ist die Höhe zur anderen
Kathete.
Die Höhe h zur Hypotenuse teilt diese in
die beiden Hypotenusenabschnitte
p und q.
Für γ = 90° gilt
Flächeninhalt: A = _
​​ 21  ​​ a · b = _
​​ 21  ​​ c · ​​h​ c​​​ ,
a, b: Katheten
c: Hypotenuse
p, q: Hypotenusenabschnitte
b
c > 90°
C
c
Allgemeines Dreieck
Umfang:
Flächeninhalt:
M
Rechtwinkliges Dreieck
Einteilung nach der Seitenlänge
Gleichschenkliges Dreieck
Allgemeines Dreieck
Zwei der drei Seiten, die
Alle drei Seiten sind paar­
weise unterschiedlich lang. Schenkel, sind gleich lang.
Die dritte Seite heißt Basis.
a ≠ b; a ≠ c; b ≠ c
C
A
a=b≠c
b
c
C
b
a
a
B
A
B
c
Winkelarten
1 S. 31
Ebene Geometrie (Planimetrie)
p
C
Alternative Formu­
lierung 1 S. 41
C
C
A
B
B
35
16.06.2016 16:55:46
Ebene Geometrie (Planimetrie)
Ebene Geometrie (Planimetrie)
Bezeichnungen
Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)
e
B
nte
a: Sehnen-Tangenten-Winkel
b: Mittelpunktswinkel
(Zentriwinkel)
c1, c2, c3: Umfangswinkel
(Peripheriewinkel)
M
b
B
a
(A: Flächeninhalt; U: Umfang; b: Bogenlänge)
Kreisring
U
A
Bogenlänge 1
S. 31
ri
M
d
U = 2 π r = 2 π ​_
​ 2 ​​
A = π ​​r​​  ​​=
2
​d​​ 2​
π ​​ _
4  ​​
U
A
r
d
Kreisausschnitt
(Sektor)
A
M
U = 2 π ​​(​r​ a​​+ ​r​ i​​)​​
A=
b
ra
π ​​(​r​ 2a​ ​– ​r​ 2i​ ​)​​
=_
​​ 4 ​​ ​​(​d​ 2a​ ​ – ​d​ 2i​ ​)​​
π
Kreisabschnitt
(Segment)
A h
b
a
r
r
a
b =
α
   ​​ 
2 π r ​​ _
360°
= r · arc (α)
α
A=
π ​​r​​ 2​​ ​​ _
   ​​ 
360°
=_
​​ 21 ​​  b r
=_
​​ 21 ​​ ​​ r​​ 2​​ arc (α)
s
r
C
C
C
A
B
Sehnen-Tangenten-Winkel α sind gleich groß wie
die zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewin­
kel) γ und halb so groß wie der zugehörige Mit­
telpunktswinkel (Zentri­winkel) β auf der anderen
Seite der Sehne.
Sehnensatz
Schneiden sich zwei
Sehnen eines Kreises in
einem Punkt P, dann gilt: ¯
​​ AP ​​  · ​​ ¯
PB ​​ = ¯
​​ A’P ​​  · ​​ ¯
PB’ ​​. 
U=s+b
α
b = 2 π r ​​ _
   ​​ 
360°
= r · arc (α)
A’
s = 2 r sin ​​(_
​ 2 ​ )​​
α
000000000000000000000
= 2 ​​9 02 h r
– ​h​​ 2​ ​​ 
0000000000000000000
h= r – _
​​ 21 ​​ ​​ 9 04 ​
r​​ 2​– ​s​​ 2​ ​​ 
A=
=
C
c
c
c
M
b
A
B
a
Sehnensatz, Sekantensatz und Sekanten-Tangenten-Satz
M
M
U = 2 r + b
Peripheriewinkel über einem Halbkreis bzw. über
jedem Durchmesser eines Kreises sind rechte
Winkel.
Alternative Formu­
lierung 1 S. 35
Sehnen-Tangenten-Winkelsatz
Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt (Sektor) und Kreisabschnitt (Segment)
Kreis
B
A
Satz des Thales
Seka
c1 c2 c3
b
te
te
C1 C2 C3
A
Es gilt γ = _
​​ 2 ​​ .
d
san
c
M
β
M
Pas
c
c
n
ge
r
M
Kreis und Kreisteile
C
Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) γ über
derselben Sehne sind gleich groß.
n
Ta
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der
Ebene, die von einem gegebenen Punkt,
dem Mittelpunkt, denselben Abstand
haben. Dieser Abstand heißt Radius r des
Kreises.
Eine Verbindungsstrecke von zwei Kreis­
punkten heißt Sehne.
Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt
Durchmesser d. Es gilt d = 2 r.
Die Verlängerung einer Sehne über beide
Endpunkte hinaus zu einer Geraden heißt
Sekante.
Eine Gerade, die mit dem Kreis genau
einen (Berührungs-)Punkt B gemeinsam
hat, heißt Tangente. Sie steht senkrecht
auf dem Berühungsradius ¯
​ ​MB ​​. 
Eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet
oder berührt, heißt Passante.
hn
Kreis und
Kreisteile
Mathematik
Se
M
Mathematik
π α
r​ ​​ 2​ _
​​ _
2 ​​ ​​ (​ 180°  ​ – sin (α))​​
​​ _21 ​​ ​​ (b r – s (r – h))​​
A
Sekantensatz
Schneiden sich zwei Se­
kanten eines Kreises in
einem Punkt P außerhalb
des Kreises, dann gilt: ¯
​​ PA ​​  · ​​ ¯
PB ​​ = ¯
​​ PA’ ​​  · ​​ ¯
PB’ ​​. 
P
P
P
A’
A
M
B
B’
Sekanten-Tangenten-Satz
Schneiden sich eine Tan­
gente und eine Sekante ei­­
nes Kreises in einem Punkt
P außerhalb des Kreises,
dann gilt: ​​​ ¯
PT ​​​  2​​= ¯
​​ PA ​​  · ​​ ¯
PB ​​. 
B’
T
A
M
M
B
B
Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)
Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) β über einer Sehne ist
doppelt so groß wie jeder der zugehörigen Umfangswinkel
(Peripheriewinkel) γ: β = 2 γ.
Für β = 180° ergibt sich der Satz des Thales.
40
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C
c c c
M
b
A
B
Zueinander kongruente Figuren
Kongruenz
Zwei Figuren heißen zueinander kongruent (deckungsgleich), wenn man sie durch ge­
eignete Abbildungen (Kongruenzabbildungen) aufeinander abbilden kann, d. h., wenn
sie in Form und Größe übereinstimmen.
Kongruenz­
abbildungen
1 S. 42
41
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