Satz von Burnside

Seminar über Darstellungstheorie endlicher
Gruppen
Algebraische Zahlen und Satz von
Burnside
Anna Bot, Oliver Edtmair
24. Mai 2016
Der Inhalt der Präsentation und des Handouts entstammen den Kapiteln 22
und 31 von [1] und dem Abschnitt 3.3 von [2].
Sei G eine endliche Gruppe. Alle Darstellungen, die wir betrachten werden,
sind Darstellungen über C.
Algebraisch ganze Zahlen und Charaktere
Definition 1. Ein Element a ∈ C heisst ganz algebraisch, falls ein normiertes
Polynom f ∈ Z[X] \ {0} existiert mit f (a) = 0.
Proposition 2. Sei a ∈ C. Äquivalent sind:
1. a ist ganz algebraisch.
2. Z[a] ⊂ C ist als Z-Modul endlich erzeugt.
Satz 3. Seien a, b ∈ C ganz algebraisch. Dann sind a + b und ab ganz algebraisch.
Proposition 4. Sei a ∈ C ganz algebraisch. Dann ist a algebraisch und es
gilt ma,Q ∈ Z[X], wobei ma,Q das Minimalpolynom von a über Q bezeichnet.
Korollar 5. Sei a ∈ Q ganz algebraisch. Dann gilt a ∈ Z.
Proposition 6. Sei χ ein Charakter von G und g ∈ G. Dann ist χ(g) ganz
algebraisch. Falls χ(g) ∈ Q, so gilt χ(g) ∈ Z.
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Lemma 7. Sei C eine Konjugationsklasse von G mit Klassensumme C̄, sei
g ∈ C. Sei weiter U eine irreduzible Darstellung von G mit Charakter χ.
Dann gilt
χ(g)
|G|
.
∀u ∈ U : C̄u = λu mit λ =
|CentG (g)| χ(1)
P
Lemma 8. Sei r =
ag g ∈ CG mit ag ∈ Z. Sei weiter u ∈ CG \ {0} mit
g∈G
ru = λu für ein λ ∈ C. Dann ist λ ganz algebraisch.
Korollar 9. Sei χ ein irreduzibler Charakter von G und sei g ∈ G. Dann ist
|G|
χ(g)
|CentG (g)| χ(1)
ganz algebraisch.
Satz 10. Sei χ ein irreduzibler Charakter von G. Dann teilt χ(1) die Gruppenordnung |G|.
Proposition 11. Sei K ein Körper, K̄ ein algebraischer Abschluss von K.
Seien a, b ∈ K̄, r ∈ K. Dann lassen sich alle Nullstellen von ma+b,K in K̄
schreiben als a0 + b0 mit Nullstellen a0 ∈ K̄ von ma,K und b0 ∈ K̄ von mb,K .
Alle Nullstellen von mra,K in K̄ sind von der Form ra0 mit einer Nullstelle
a0 ∈ K̄ von ma,K .
Proposition 12. Sei χ 6= 0 ein Charakter von G und g ∈ G. Dann gilt
|χ(g)/χ(1)| ≤ 1.
Falls
0 < |χ(g)/χ(1)| < 1
so ist χ(g)/χ(1) nicht ganz algebraisch.
Satz von Burnside
Satz 13. Sei p eine Primzahl, r ≥ 1 eine ganze Zahl. Sei G eine endliche Gruppe mit einer Konjugationsklasse der Grösse pr . Dann ist G nicht
einfach.
Satz 14. Seien p und q Primzahlen und seien a und b nicht-negative ganze
Zahlen mit a + b ≥ 2. Sei G eine Gruppe der Ordnung pa q b . Dann ist G nicht
einfach.
Satz 15 (Burnside). Jede Gruppe der Ordnung pa q b mit nicht-negativen ganzen Zahlen a und b ist auflösbar.
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Literatur
[1] Gordon James and Martin Liebeck, Representations and Characters of
”
Groups”, Cambridge Verlag, 2001
[2] Siegfried Bosch, Algebra”, Springer Spektrum, 2013
”
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