ML 1 WS 2014/15

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Musterlösung zum Kurs 42110,
EA zu KE 1, WS 2014/15
Musterlösung zur Einsendearbeit zum
Kurs
42110
„Preisbildung auf unvollkommenen
Märkten und allgemeines Gleichgewicht“,
Kurseinheit
1
Die folgende Lösungsskizze soll Ihnen einen Anhaltspunkt geben, wie die Bearbeitung der
Aufgaben aussehen könnte. Des Weiteren sind einige Stichpunkte angegeben, welche behandelt
werden sollten. Die Lösungen zu den Rechenaufgaben sind sehr knapp gehalten. Beachten Sie
bitte, dass in der Klausur Ihre Ergebnisse nachvollziehbar sein müssen.
Aufgabe 1
(100 Punkte)
In Colorina wird das homogene Gut Wandfarbe gehandelt. Bei der Produktion von Wandfarbe
fallen ausschließlich variable Kosten in Höhe von 10 Euro pro 10-Liter Farbeimer an. Die
Nachfrage nach Wandfarbe kann durch die folgende inverse Nachfragefunktion
P(X) = 70 − X
beschrieben werden. Dabei bezeichnen P den Marktpreis und X die nachgefragte Menge nach
10-Liter Eimern Wandfarbe.
Hinweis: Überprüfen Sie im Rahmen der Marginalanalyse bei allen folgenden Teilaufgaben
auch die Bedingungen zweiter Ordnung.
a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass das homogene Gut Wandfarbe von nur einem Produzenten, der Deckt-Nix GmbH (D), hergestellt wird. Welche Menge wird der Monopolist im
Gewinnmaximum anbieten? Welcher Preis stellt sich ein? (20 Punkte)
Zunächst ist die Gewinnfunktion des Monopolisten aufzustellen. Diese ergibt sich durch
Subtraktion der Kosten von den Erlösen zu:
M
M
M
M
GD �XD
� = (P − c)XD
= �60 − XD
�XD
.
Zur Bestimmung des Gewinnmaximums muss die erste Ableitung obiger Gewinnfunktion
ermittelt werden. Diese wird sodann gleich Null gesetzt (notwendige Bedingung).
M
∂GD �XD
�
M !
=
60
−
2X
=0
D
M
∂XD
M
M
Auflösen der Bedingung erster Ordnung nach XD
liefert: XD
= 30.
Nun ist noch die hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum zu überprüfen. Da
∂2 GD �XM
D�
𝜕𝜕XM
D
2
= −2 < 0 ist die hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum erfüllt.
M
⇒ PDM = P�XD
� = P(30) = 70 − 30 = 40
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Somit wählt der Monopolist im Gewinnmaximum eine Ausbringungsmenge von 30
Farbeimern, die er zu einem Preis von jeweils 40 € absetzt.
Gehen Sie in den folgenden Teilaufgaben davon aus, dass die Deckt-Nix GmbH Konkurrenz
durch die Milchig AG (M). bekommt. Die Milchig AG produziert das homogene Gut Wandfarbe
ebenfalls zu variablen Kosten von 10 Euro pro 10-Liter Farbeimer
b) Bestimmen Sie bitte die folgenden gleichgewichtigen Größen, wenn die beiden Duopolisten
D und M im simultanen Mengenwettbewerb stehen:
(30 Punkte)
CN
CN
− Produktionsmengen der beiden Duopolisten, d.h. die Mengen XD
und XM
− Den Preis P CN im Cournot-Gleichgewicht
− Den Industrieoutput X CN
Zunächst werden die Gewinnfunktionen Gi (xi , x−i ) benötigt, um die Reaktionsfunktionen der
beiden Duopolisten herleiten zu können. Sodann können diese ineinander eingesetzt werden.
Gi (Xi , X−i ) = (P − c)Xi = (60 − Xi − X−i )Xi
Zur Bestimmung des Gewinnmaximums müssen die ersten Ableitungen obiger
Gewinnfunktionen ermittelt werden. Diese werden sodann gleich Null gesetzt (notwendige
Bedingung).
∂Gi (Xi , X−i )
!
= 60 − 2Xi − X−i = 0
∂Xi
i ∈ {D, M}
∧
i ≠ −i
Auflösen nach Xi liefert die Reaktionsfunktion der Firma i. Diese beschreibt die
gewinnoptimale Reaktion des Anbieters i auf die Outputentscheidung der anderen Firma.
1
Xi (X−i ) = 30 − X−i
2
i ∈ {D, M}
∧
i ≠ −i
Nun ist noch die hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum zu überprüfen. Da
∂2 Gi (Xi ,X−i )
∂Xi 2
= −2 < 0 ist die hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum erfüllt.
Das Cournot-Gleichgewicht ergibt sich nun durch Einsetzen der Reaktionsfunktion von Firma
−i in die Reaktionsfunktion von Firma i.
1
1
⇒ XiCN = 30 − �30 − XiCN �
2
2
Auflösen nach XiCN liefert: XiCN = 20.
CN
CN
⇒ XD
= XM
= 20
∧
CN
CN
X CN = XD
+ XM
= 40
∧
P CN = P(40) = 30
Somit wählen beide Firmen im Cournot-Gleichgewicht einen Output von jeweils 20
Farbeimern. Daher beläuft sich der Industrieoutput im Cournot-Gleichgewicht auf insgesamt 40
Farbeimer, die zu einem Preis von jeweils 30 € verkauft werden.
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c) Gehen Sie in dieser Teilaufgabe davon aus, dass die Deckt-Nix GmbH zuerst ihre
Angebotsmenge XD glaubhaft festlegen kann. Die Milchig AG beobachtet XD und wählt
dann ihre Ausbringungsmenge XM . Wie lauten die Produktionsmengen der Duopolisten, der
Preis und der Industrieoutput im Stackelberg-Gleichgewicht? (38 Punkte)
Es handelt sich laut Aufgabenstellung
Rückwärtsinduktion zum Einsatz kommt.
um
ein
zweistufiges
Spiel,
weshalb
die
Stufe I: Die Deckt-Nix GmbH wählt ihre Angebotsmenge XD in Antizipation der
Angebotsmenge XM der Milchig AG.
Stufe II: Die Milchig AG wählt ihrerseits die gewinnoptimale Ausbringungsmenge XM als
gewinnoptimale Reaktion auf die Menge XD der Deckt-Nix GmbH.
Als Lösung ergibt sich auf den Stufen I bzw. II:
1
Stufe II: Teilaufgabe b) ⇒ XM (XD ) = 30 − 2 XD (Bedingung 2. Ordnung erfüllt, siehe b))
1
1
Stufe I: GD �XD , XM (XD )� = �70 − 10 − XD − �30 − 2 XD �� XD = �30 − 2 XD � XD
Zur Bestimmung des Gewinnmaximums muss die erste Ableitung obiger Gewinnfunktion
ermittelt werden. Diese wird sodann gleich Null gesetzt (notwendige Bedingung).
∂GD �XD , XM (XD )�
!
= 30 − XD = 0
∂XD
SB
Auflösen der Bedingung erster Ordnung nach XD liefert: XD
= 30.
Nun ist noch die hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum zu überprüfen. Da
∂2 GD �XD ,XM (XD )�
𝜕𝜕XD 2
= −1 < 0 ist die hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum erfüllt.
1 SB
SB
⇒ XM
= 30 − XD
= 15
2
∧
SB
SB
X SB = XD
+ XM
= 45
∧
P SB = P(45) = 25
Somit wählt die Deckt-Nix GmbH im Stackelberg-Gleichgewicht eine Ausbringungsmenge von
30 Farbeimern, wohingegen der Output der Milchig AG sich auf 15 Farbeimer beläuft. Der
Industrieoutput im Stackelberg-Gleichgewicht beläuft sich demnach auf 45 Farbeimer, die zu
einem Preis von jeweils 25 € verkauft werden.
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d) Bestimmen Sie bitte die Produktionsmengen der Firmen, den Preis und den Industrieoutput
im Bertrand-Gleichgewicht. (12 Punkte)
Bei Preiswettbewerb mit homogenen Gütern, identischen Stückkosten (Fixkosten gleich Null),
einmaliger Interaktion und Abwesenheit von Kapazitätsbeschränkungen gilt im Gleichgewicht:
P BN = �PDBN ; PMBN � = (c; c) = (10; 10).
1
⇒ 10 = 70 − X BN
BN
BN
o.B.d.A.: XD
= XM
= 2 X BN = 30
⇔
X BN = 60
Hinweis: Hier hätte auch jede andere Aufteilung des Gesamtoutputs auf die Oligopolisten
gewählt werden können, solange sich die Summe des Outputs beider Duopolisten auf
60 Farbeimer beläuft.
Im Bertrand-Gleichgewicht wählt jede der beiden Firmen einen Preis von 10 € je Farbeimer, der
ihren Grenzkosten entspricht. Zu diesem Preis werden insgesamt 60 und somit von jeder Firma
30 Farbeimer hergestellt.