Teil 1

Probleme mit der klassischen Physik
• Thermodynamik (Wärmestrahlung)
• Photoeffekt
• Comptoneffekt
• Stabilität von Atomen
Wärmestrahlung (aus Physik I)
In Analogie (die in der Quantenmechanik begründet wird) mit unserer Überlegung für die barometrische Höhenformel oder die Maxwell-Boltzmann-Verteilung
nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, die Energie E = ihν aufzuweisen
auch von der Form exp(−Energie/kT ) ist, nämlich pi = exp(−ihν/kT ). Damit
ist N1 = N0 exp(−hν/kT ), und allg. Ni = N0 exp(−ihν/kT ). Wir definieren
.
x = exp(−hν/kT ).
Die totale Energie des Systems stammt aus der Summe der Energien aller
Oszillatoren. Vom Grundzustand kommt kein Beitrag, vom ersten angeregten
Zustand kommt N1hν = N0hνx, vom zweiten N22hν = 2N0hνx2, . . . ,Niihν =
iN0hνxi. Die mittlere Energie des Systems ist also die totale Energie geteilt durch
die Anzahl Oszillatoren
hEi =
Etot
Ntot
¢
P∞
N0hν 0 + x + 2x + 3x + . . .
ixi
i=0
=
= hν P∞ i
2
3
N0 (1 + x + x + x + . . .)
i=0 x
2
¡
3
Die auftretenden Summen können einfach berechnet werden. Oben steht x mal
die Ableitung nach x von der unteren. Die Ableitung ist eine lineare Operation
und kann vor die Summe gezogen werden. Die Summe
∞
X
1
x =
1−x
i=0
i
kann nun eingesetzt werden und man erhält nach wenig Rechnen die für die
Schwarzköperstrahlung wichtige spektrale Abhängigkeit
1
ehν/kT − 1
.
Eine Konsequenz dieser Abhängigkeit ist die Beobachtung, dass Elektronenaustritt
aus Oberflächen nicht von der Intensität des Lichtes, sondern von der Frequenz,
also der Energie, der Photonen abhängt (Photoeffekt). Die erforderliche Energie
des Photons ist Eγ > WA, wo WA die Austrittsarbeit des Materials ist.
Atome
• griechisch ατ oµoς Leukipp (ca. 440 v. Chr.) und Demokrit (ca. 460 - 370
v. Chr.). Stoffe sind aus unveränderbaren Atomes zusammengesetzt (statische Elemente (Parmenides)), die Zusammensetzung kann sich aber ändern
(Heraklit “alles fließt”). Mehr davon in D2.
• Chemie und dann Clausius (p · V = n3 mv v¯2V ) , Maxwell (κ =
Boltzmann =⇒ Atome, bzw. Moleküle!
Cp
CV
=
f +2
f ),
• Dalton (1766 – 1844), Massenverhältnisse konstant (z. B. Wasser 1:8 = H:O)
=⇒ 3 Hypothesen:
– elementare Stoffe bestehen aus Atomen
– Atome desselben Elementes sind identisch
– chemische Verbindungen jeweils in ganzzahligem Mengenverhältnis, Einheit
.
ist 1 amu = 1/12 der Masse von 12C = 1, 66055 · 10−27kg
• Avogadro (1776 – 1856) Moleküle bestehen aus zwei oder mehr Atomen
• Größe von Atomen aus verschiedenen Methoden:
VFl
– flüssige ein-atomige Gase: Va ≈ N
=⇒ r ≈ 10−10 m
A
– Van-der-Vaals Gleichung:
¶
µ
a
p + 2 (VM − b) = R · T, aus b = 4NAVA folgt VA = b/(4NA).
VM
– Transportkoeffizienten (Diffusion,√Wärmeleitung, Viskosität) hängen von
2
mittlerer freier Weglänge Λ = 1/( 2nσ) ab, wobei σ = πrA
.
Aufbau von Atomen
• Atome müssen aus elektrisch geladenen Teilchen bestehen:
–
–
–
–
elektrolytische Stromleitung in Flüssigkeiten
Gasentladungen im Magnetfeld
Ladungstrennung z. B. im Hall-Effekt
Radioaktivität (Unterschiede α- und β-Strahlung)
Der Hall-Effekt
~
B
UH
~j = −ne · e · ~
vD
~
vD
e−
~b
I = b · d · |~j|
I
U0
Ladungsträger (elektronen oder
Löcher) werden durch Lorentzkraft
~ abgelenkt. Daraus ergibt
e·(~vD ×B)
sich eine Ladungstrennung und es
~ Hall
baut sich ein elektrisches Feld E
auf, welches die lorentzkraft gerade kompensiert. Hall-Spannung
~ H · ~b.
UH = E
Kathodenstrahlen
− +
Kathodenstrahlen gehen von der
Kathode (negativer Pol) aus. Sie
müssen also negativ geladen sein.
Das Verhältnis e/m kann durch
Anlegen einer Spannung über
dem Kondensator bestimmt werden, oder durch Anlegen eines Magnetfeldes (Fadenstrahlrohr).
+
R
e−
K
A
L
-
Kanalstrahlen
+ −
Mittels Wien-Filter wurde e/m
der Kanalstrahlen gemessen (Wien,
1897), es war wesentlich kleiner als
bei Kathodenstrahlen, damit mussten die Ionen (Wandernden) wesentlich schwerer als die Elektronen
sein.
-
R
Ion
A
Füllgas
K
L
+
Bestimmung der Elementarladung
Millikan (1910): Öltröpfchen in Luft zwischen Kondensatorplatten.
n·e·E
m·g
FAuftrieb
FReibung
= m · g − FAuftrieb Tropf bleibt stehen,
= FAuftrieb + FReibung Tropf sinkt mit v = const.,
4π
= ρLuft · r3,
3
= 6πηrv Stokes.
Durch Umladung (n → n + ∆n) des Tröpfchens folgt U → U + ∆u und
n · U = (n + ∆n) · (U + ∆U ) und damit ∆n = −n∆U/(U + ∆U ).
Minimales ∆N = 1, damit n und e bekannt.
=⇒ e = 1.60217653 · 10−19 C
Atomare Massen
Hyperbola
Start MCP
φ Secondary
electrons
Stop MCP
Carbon foil
Bestimmung der Masse einzelner Atome mittels
Massenspektrometern. Links ein Beispiel eines
"Vee" weltraum-gestützten isochronen Flugzeitmassenspektrometers, SWIMS, auf der NASA Mission ACE (Advanced Composition Explorer, Start
1997).
Post−acceleration V
f
Stepped E/q analyzer entrance/deflection system
Solar wind ions (E,m,q)
Data for 2000
10000
counts per channel
summed data
sum of fits
fit to sum
not fitted
1000
background not free
fitting parameter
400
500
600
700
800
900
rebinned ToF channel
ADC problem
1000
1100
1200
Integraler Streuquerschnitt
Integraler Streuquerscnitt σ definiert als Fläche um
Streuzentrum herum, durch die ein Teilchen fliegen
muss, um um einen Winkel θ oder mehr gestreut zu
werden.
dṄ = −Ṅ · σ · n · dx
Also folgt
θ
σ = πr 2
dx
r
.
Mittlere freie Weglänge Λ = 1/(nσ))
Ṅ
= Ṅ0 · e−nσx, wo
Ṅ0 = Ṅ (x = 0).
Streuung in dΩ: Differentieller Streuquerschnitt
dA0 = R2 dΩ = R2 sin θ dθ dφ
dN dφ
N 2π
= b ddθb dθ dφ pro streuendes Teilchen
v
db
b
dφ
dφ
R
r
dΩ
θ
dA = 2πbdb
n streuende Teilchen pro Fläche A streuen
ndx mal mehr in Raumwinkel dΩ.
Total pro Fläche A also
dσ = b db 1
dN |
db
und damit dΩ
dθ sin θ
N tot = ndxb dθ dθ dφ
Das Thomsonsche Atommodell
Atom aus positiv und negativ geladenen Elementarteilchen
zusammengesetzt. Es ist bekannt, dass die Anzahl von
Elektronen im Atom ungefähr mit der Hälfte der Massenzahl A skaliert. Damit das Atom elektrisch neutral ist, muss
es auch dem Elektron entgegengesetzte Ladungsträger,
Protonen, enthalten. Damit beträgt die Kernladungszahl
Z ungefähr A/2. Atome sind elektrisch sehr neutral würde es uns geben, wenn sie es nicht wären. Eine obere Grenze an die elektrische Neutralität kann einfach gefunden werden (Vergleich mit Reibungskraft, die
uns nebeneinander im Hörsaal hält, Vergleich mit molekularen Bindungsenergien,
bzw. van der Waals Kräften (die Luft wäre zu dünn zum Atmen!)).
Im Thomsonschen Atommodell würde Emission von Licht (elektromagnetischer
Strahlung) durch Vibrationen der angeregten Elektronen im Hintergrundfeld der
Protonen erklärt.
Beispiel: Berechne die Bahn eines Elektrons in einem homogenen Hintergrundsfled
eines Thomsonschen Atomkerns.
µ
¶
e
1
4π 3
a r
F = −
, wo ρ die Ladungsdichte ist.
2
4π²0 3
a
aρe
= −ka
F = −
3²0
also wird das Elektron immer eine harmonische Bewegung im Atom vollführen!
Für einen Atomradius von 10−10m ergibt sich eine Frequenz ν von ca. 2.5·1015Hz.
Mit λ = c/ν ergibt sich λ ≈ 1200Å, also ultraviolette Strahlung. Dummerweise
ist die Frequenz und damit die Wellenlänge abhänging von der Größe des Atoms
und ist damit vollständig definiert. Es besteht keine Möglichkeit, dass ein Stoff
(ein Atom) verschiedene Frequenzen (abgesehen von den harmonischen) emittiert.
Streuexperimente
Zur genaueren Untersuchung des
Atommodells wurden Streuexperimente durchgeführt, in denen Heα
liumkernen (Alpha-Teilchen) auf
dünne Goldfolien geschossen wurθ
den. Erwartet wurden kleine Ablenkungen der α-Teilchen um einen
Winkel, der gemäß dem Prinzip des
random √
walk (siehe Physik I) proportional zur Wurzel der Anzahl streuenden
Atome, N , sein sollte,
p
p
√
2
hΘ i = N · hθ2i,
p
p
2
wo hΘ i die “root mean square” Ablenkung ist und hθ2i die
p “root mean
square” Ablenkung durch ein einzelnes Atom ist. Man findet für hθ2i ≈ 10−4
rad.
Beispiel: Geiger und Marsden (1909) fanden mit ca. 10−6m dicken goldfolien
einen mittleren Ablenkwinkel von ca. einem grad, also etwa 2 · 10−2rad. Mit N ∼
10−6m/10−10m ∼ 104 folgt eine mittlere Ablenkung pro Atom von ca. 10−4rad,
was mit dem Modell übereinstimmt. Mehr als 99% aller α-Teilchen wurden in
Winkel kleiner als 3◦ gestreut, aber die Teilchen, die in größere Winkel gestreut
wurden waren viel zu häufig! Die Statistik des random walk sagt uns, dass in ein
Winkelindervall dΘ eine Anzahl
2IΘ −Θ2/hΘ2i
N (θ)dΘ =
e
dΘ
hΘ2i
gestreut werden muss. Einsetzen für Θ > 90◦
◦
N (Θ > 90 )
=
I
R 180◦
90◦
N (Θ)dΘ
−(90)2
=e
= 10−3500,
I
beobachtet wurden ca. 10−4. Das Modell von Thomson musste falsch sein.
Das Rutherfordsche Atommodell
Die Schwierigkeiten mit dem Thomsonschen Atommodell
wurden durch die Rutherfordschen Experimente offensichtlich und konnten bald durch das Rutherfordsche Atommodell beseitigt werden. In diesem Modell sind schwere Kerne
und leichte Elektronen getrennt.
Herleitung
des Rutherfordschen Streuquerschnittes
Aus den geometrischen Beziehungen
p
~f
θ/2
p
~i
a
θ b
θ
= tan ;
= cos ,
b
2 c
2
b
θ
a
der Energierehaltung
p2f
p2i
p2A
Ze 1
E=
=
=
−
2m 2m 2m 4π²0 c − a
und der Drehimpulserhaltung
L = pib = pf b = pA(c − a)
folgt
Damit
Ze 1 1
b=
.
4π²0 2E tan θ2
db −1 Ze 1 1
=
dθ
2 4π²0 2E sin2 θ2
und
dσ
dσ 1
1
=b
=
dΩ
dθ sin θ 4
µ
Ze 1
4π²0 2E
¶2
1
4 θ.
sin 2
Franck-Hertz