cosec

J. POPKEN .
Mathematics. - Ueber eme trigonometrische Summe . Von
(Communicated by Prof. J. G . VAN DER C ORPUT.)
(Co mmun ica ted a t th e mee ting of May 28. 1932.)
Es seien al ' f1.2 ' .• . ,a n n reelIe Zahlen (n > 1), so dass es ei ne positive
Grösse f}
1 gibt mit
<
o < fl -== 6. a " -== 1 -
(IJ = 1. 2 , ... , n - 1), ~
(IJ 1. 2, . . . , n - 2). I),
fl
(la)
=
Man betrachte die Summe
Sf =
~
e 211'i"l'.
,' = 1
Herr J. G . VAN DER CORP UT hat zum ersten Male bewiesen, dass es
ei ne angebbare positive absolute Konstante A gibt, so dass
ist. Später gab Herr KUSM IN hierfür einen elementar-geometrischen
Beweis, und drückte die Zahl A auf 1 herunter. Schliesslich bewies Herr
E . LANDA U mit analytischen Mitteln die noch schärfere Ungleichung
I S J I -== cotg
n ()
2
2)
(1)
Ich zeige hier an ersterer Stelle den folgenden ähnlichen Satz.
> 1 al
Satz;. Es seien {ür n
o=- 6. al'
und weiter al' a2 '
() -== t gibt mit
.. .
' a2 ' . .. , a n n Zahlen
===: 0 mit
(1' = 1. 2, . .. , n - 1);
!
,an n reelIe ZBhlen, so dass es eine positive Grösse
o < () -=- 6. al' -== t
(v
0 -== 6. 2 a,.
(1'= 1. 2, ... , n - 2),
o-= 6.
(IJ
3
(2a)
a,.
1) E s wird 6 B, = B' + I -
B, .•
6
a,. =
= 1. 2, .. . , n -I),
(2a)
.
= 1. 2, ... , n-3) 1);
" ')+ 1 - " , ( •. = 1. 2 ..... n-I) ; 6 1 "
,.
= 6 (6 ",.) =
= «' + 2 - 2«,, + 1 + ", (iJ = 1.2 .. . .. n - 2) und ;, 3", = 6 (6 2 ",. ) (IJ = 1.2, . . . . n-3) gesetzt.
Für n -= 3 versch windd die letzte Bedingung und für n =-? 2 die zwei letzten Bedingungen
von (2,,). und a usserdem die letzte Bedingung in (lH) .
2) Man verg!. E . LANDAU. Ueber ei ne trigonometrische Summe. Göttinger Nachrichten
1928, S . 21.
669
wird
=
S
gesetzt. dann ist
!
und für S
I
a" e 2.".i <>- "
(3)
cosec (Jl B)
(4)
~== 1
SI == al
1=- 0
2Jl al - Jl D al
< Arg. S < 2n al
-
Jl D rIl
+ Jl.
(5)
Bemerkung 1. Die Bedingungen (Ia) sind allgemeiner als die Bedingungen
(2a); im Spezialfall mit al
a2
an
1 gilt also auch (1) mit S statt
Jl
S'. Die Ungleichung (4) ist aber schärfer. denn wegen 0 Jl B :== 4 ist
= = ... = =
<
_
cosec (71, B) -
_
1
nf} ..:::::
71, B
n ti - --2~ cotg
2 sin - cos 2 cos 2
2
nB
2 = cotg T'
2
Bemerkung 2. Ohne die Allgemeinheit zu schaden. können wir beim
Beweis dieses Satzes annehmen. dass die Zahlen al . a2 •...• a n alle van
Null verschieden sind. Denn nehmen wir an, dass der Satz unter der
letzten Bedingung schon bewiesen sei. Unter den Zahlen al . a2 •.... a n
verschwinde jetzt wenigstens eine. und es sei a m + I die erste Zahl dieser
Reihe. die gleich Null ist. Da wegen (2a) al =- a 2 =: . . . =- a m ?
~ a m + I =- ... '=:: a n ?=- 0 ist. gilt folglich a m + I
am + 2
an
O.
also ist
=
= ... = =
m
. . == 1
kann man deshalb beweisen. dass (4) und (5) mit Sm statt S geiten. sa
ist der Satz allgemein bewiesen . Im Fall mit m
0 ist al
0 und es
0; so dass dann (4) und (5) geiten mit So statt S.
ist So leer. also So
Im Fall mit m
1 ist SI
al e 2"" i<>-\ . also I SI I al ..::::: al cosec (71, B) und
=
=
=
=
Arg. SI = 271, al' also wegen 0
=
=
< 71, D al -=:=:: ~ ist 271, al-JlDa l < Arg,SI<
< 2na l-n D a l + 71,. sa dass dann (4) und (5) mit SI statt S geiten. Im
Fall mit m > I kann man wegen al 1=- 0. a21=- 0 ..... a 1=- 0 nach der
m
m
obigen Annahme den Satz auf die Summe Sm = I
a~
e 2.". i <>-~ anwenden .
.. = 1
so dass auch in diesem Fall die Bezjehungen (4) und (5) mit Sm statt
S geiten.
Urn den Satz zu beweisen. führe ich einige neuen Grössen ein. Man setze
So = o.
S,. = I
all
e 2""i "'!1 (v
= 1.2..... nl.
also Sn
=S
.
(6)
Die entsprechenden Punk te in der GAussschen Ebene werden gleichfalls
mit So = 0 . SI ..... Sn = S bezeichnet (man verg!. Fig. 1 und 2). Nach
1) Eine leere Summe wird gleich Null gesetzt.
670
(0) ist für v = 1. 2, ... ,n S,- S,_I = a~ e2 "" ia.~ , also S~_ I S~ =
= a,; die Punkte S, bilden folglich die Eckpunkte eines
I S~ -S~- d
Strecken~
zuges von den Streckenlängen al ,a2 ' ... , a n , wobei der Aussenwinkel
zwischen zwei aufeinander Eolgenden Strecken S,_I S, und S~ S~+ I offen~
bar gleich 2n Da~ (1'= 1. 2, .. . , n- l) ist. Für 1' = 2, 3, ... , n liege der
Punkt S~ auE der geraden Linie S~ _ I S~ , so dass S~_ I S~ = S~ -2 S,_I ist.
= S~ -2 S,_I, also
S,·_I S" -= S,'_I S; (JI = 2, 3, ... , n) .
Wegen (2a) ist a ~ = S,_I S~ -= a '_1
(7)
Fig . I.
Durch die drei verschiedenen I) Punkte So = 0, SI und Si bringe man
einen Kreis Ko (Fig. 1); für 1' = 1. 2, .. , n - l definiere man K~ als den
Kreis, der im Punkt Sv den Kreis KV- I berührt und durch den Punkt
S~ +I geht (Fig. 1 und 2); hierdurch sind die Kreise K~ festgelegt, denn
SI liegt auf dem Rand von Ko, und nach Bemerkung 2 dürfen wir
annehmen. dass Sv und SH I (v
1. 2 . .. . n-l) nicht zusammenfallen. 50
dass die Definition stets einen Sinn hat 2).
Für v
0, 1, ... n - 1 sei M~ der Mittelpunkt von Kv. während der
Winkel Mv S~ S,+ 1 mit À-v bezeichnet werde; der Winkel M , SH I Sv ist
=
=
gleich À-~ . Wegen So SI
= SI Si = al
ist in Fig.
(8)
I) Denn es ist n > 1 und nach der Bemerkung 2 des Satzes dürfen wir annehmen, dass
=i=- 0 Ist.
2) Die gerade Linie wird auch zugelassen ; dieser Fall tritt hier aber, wie gezeigt wird.
nicht '.auf.
BI
671
S 1.--1'----.--+------1
1-
Fig . 2.
Bezeichnet man den Radius Mo So von Ko mit Ro. so ist deshalb
Ro sin (n
also. mit Rücksicht auf 0
Ro
L:,. a d
= R o cos .1. = ~I •
0
< n 8 -== n L:,. a l -== ~ .
= ~I cosec (nL:,. a l) -== ~I cosec (n 8)
(9)
Es ist offenbar. wegen (8).
Arg. M o = 2na l
n
+ Ào= 2n a l +2 -
n L:,.a l '
also. da der Kreis Ko durch den Ursprung geht. gilt für jeden Punkt P
im Innem ader auf dem Rand von Ko. der nicht mit dem Ursprung
zusammenfällt.
2n
al -
n
L:,. al
< Arg. P < 2n a l -
n
L:,. a l
-+
n .
(10)
Es sei t, die gemeinsame Tangente v an K , und K ,_I im Punkt
S, (,· 1. 2 . . .. . n-l). Wird t, durch Sy in die zwei Stücke t; und t:;
zerteilt. so dass S,_I im Innem oder auf dem Rand des Kwadrantes
t; SyM "_I liegt. sa liegt S,+I im Innem vom Kwadrant S, M "_I' Denn
für y = 1 ist dieses klar ; nehmen wir also an , dass y > 1 ist. und dass
dieses schon für jedes kleinere y bewiesen ist. also ist
=
t:
2n L:,. a>- I
> t:-
I
S"_ I S,.
= ç- S " 8" _1= t~ 8
v
S: .
672
wegen (2a) ist folglich
;
:=-
2n 6 a, :=- 2n 6 a'_1
> t:; S,. S;'I).
Hieraus folgt. dass S,'+ I in dem genannten Kwadrant liegt.
Eine unmittelbare Folgerung davon ist
À,_ I
+ À, +
2n 6a,=n (v = 1. 2 . . . .. n-1)
(man verg!. Fig. 2).
Hilfssatz 1. Unter den Bedingungen (2a) und (2a) liegen {ür jedes
m
0,1. . ... n-2 die Punkte S : +2. S:, +3. ... , S: und auch die Punkte
Sm, Sm+l' ...• Sn alle im Innern ader au{ der Peripherie des Kreises Km.
Beweis. leh zeige dazu erst. dass 5:+ 2 im Innern oder auf dem Rand
=
=
von K , liegt (v
O. 1. .... n- 2); oder. was wegen 5 , S,+I
dasselbe ist (man beachte Fig. 2). dass stets
)" .+
gilt.
Für v
=0
I <=:::
(v
À,.
= 0.1 ..... n -
2)
(11 )
folgt das aus (8). Weiter ist (Fig. I)
+ )'1 + 2n 6 al = 2X I + 2n 6 al = n
wegen 6 2 al = 6 a2 - 6 al =- 0 ist
Ào
also
= S,+I S~+2
)'2 -
XI
<=:::
. XI
+ A2 + 2n 6
a2
= n.
O.
so dass (11) auch mit v = 1 gilt. Es sei jetzt 2 -= v <=::: n-2. wobei ich
annehme. dass (11) schon für jedes kleinere l' bewiesen sei. Folglich ist
t:o X..- 2
<=:::
0
(12)
Aus Fig. 2 folgt unmittelbar:
+ 2n 6
X,.
av_1 = n.
-2n.
- 4n 6 a,.
-- 2X"_ 1- 2X,.
+ X,. + + 2n 6
I
a" + 1
=
= n.
also durch Addition
Ä. v-
2 -
folglich ist wegen 6
3
Ä."_I -
Ä.,.
a'_1 :=-
0
- 6
+ À,,+ 1 + 2n 6 3 a,'_1 =
x 2+6
v-
0;
X,. <=::: O.
also, mit Rücksicht auf (12),
6
À"
-=- 6 A"_2 <=::: 0,
womit (11) bewiesen ist.
Da also S ;+ 2 im Innern oder auf dem Rand und 5'+1 auf dem Rand
von K, liegt, liegt nach (7) mit I'
2 statt l ' auch S ,+2 im Innern oder
auf dem Rand von K ,; nach der Definition ist K'+ I der Kreis, der im
+
1)
Mit S, S •
, wird auch im FalJ mit S , = S"• die Verlängerung von S,_ I S. ge:meint.
673
Punkt 5,+1 den Kreis K, berührt und durch 5,+2 geht; folglich umfasst
der Kreis K, stets den Kreis K'+I. worunter ich verstehe. dass jeder
Punkt im Innern ader auf dem Rand van K'+I auch im Innern ader auf
dem Rand van K , liegt (v = O. 1.. . .• n-2).
Hieraus folgt, dass Km alle Kreise Km+l' Km+2 • ...• Kn-I umfasst, sa
dass, mit Rücksicht auf das Obi ge. alle Punk te 5;+2. 5;n ... ,5: im
Innern ader auf dem Rand van Km liegen . Dasselbe gilt für die
Punkte 5 m +2 , 5 m +J. . . . ,5n • während 5 m und 5 m +1 nach der Definition
van Km auf der Peripherie van Km liegen. Hiermit ist der Hilfssatz
gezeigt worden.
Beweis des Satzes. Aus dem vorigen Hilfssatz mit m
0 folgt. dass
5 = 5 n im Innern ader auf dem Rand vam Ko liegt. Da Ko durch den
Ursprung geht und den Radius Ro besitzt, gilt wegen (9)
=
I 5 1-= 2 Ro -= al cosec (71fJ),
womit (4) bewiesen ist. Weiter folgt (5) aus (10) mit 5 statt P.
In der zitierten Arbeit beweist Herr E. LANDAU, dass in (1) die rechte
Seite nicht durch einen kleineren Ausdruck ersetzt werden kann. In
Anschluss damit zeige ich hier die drei folgenden Zusätze.
Zusatz 1. Notwendig und hinreichend dafür, dass unter den Bedingungen (2a). (2a) und a , =f C (1' = 1, 2, .•. , n, n
1; man vergl. hierzu
Bemerkung 2 des Ha uptsatzes) die 5umme 5 in (3) verschwindet, ist,
dass 5 die Form
>
5
=
n
e 2 71"/"'1 ~ a" e 2 (1' - 1) 71" i 6 "'1 •
(13)
\.1 = 1
hat, mit erstens
(14)
wo
a"
> a, +1 (v =
(Ha)
1,2, ... In-I).
nur dann auftreten kann, wenn v 6. al ganz rational ist, und zweitens mit
0 < fJ
-= 6. al -=: t
und n
6 al
ganz rational. .
(15)
Bemerkung. Geiten also die Bedingungen (2a), (2a) und a, =f 0 (v
n > 1), während 6. al irrational ist, sa ist 5
O.
*"
= 1. 2, . .. , n;
n
Zusatz 2. Für eine 5umme 5 = ~ a e 2 ".;"" mit (2a), (2a) und a ,
y
')= 1
=
*"
0
=
(v = 1. 2•... , n; n > 1) gilt , 5 I al cosec (n el, tritt al$o in (4) das
Gleichheitszeichen au[, dann und nur dann, wenn 5 die Form
5
=
n
e 2 71"i"'l ~ a. e2('I '-Ij"'i
,'= 1
0
(16)
674
hat. mit 0
< () -== t.
n ()
+t
ganz rational, und mit
=
wo a , > a. + I (v
1. 2 •. . .. n-l) nur dann auftreten kann. wenn v () + t
ganz rational ist.
8emerkung. Ist () eine positive rationale Zahl -== t. so kann man also
die natürliehe Zahl n > 1. die positiven Zahlen al . a2 . .. .• a n und die
reellen Zahlen a l. a2 . . . . . a n stets so wählen. dass (2a) und (2a) erfüllt
sind und dass in (4) das Gleiehheitszeichen gilt. Ist aber () -== t eine
positive Irrationalzahl. so gilt immer für n > 1
I S I < al cosec (ll{)) .
In diesem Fall hat man aber :
Zusatz 3. Es sei () eine positive Irrationalzahl -== t. und es sei f
irgend eine positive Zahl. dann kann man stets eine natür/iche Zahl
n > L n positive Zahlen al . a2' ... . a n und n reelIe Zahlen al . a2 . . . . . a n
sa bestimmen. dass (2a) und (2a) erfüllt sind und dass
I SI> al cosec (ll{)) - E
gilt.
leh leite dazu erst zwei Hilfssätze ab.
Hilfssatz 2. Gilt für 1 -== m -== n (n > 1)
und
o< D
(17)
al
= a2 = . . . = a > 0
al
= D a2 = . . . = D am- I -== t
m
sa dass die Bedingungen (2a) und (2a) otfenbar erfüllt sind für jedes
() mlt 0
-= 6a l • dann liegen die Punkte So = O. SI"'" Sm auf dem
Rand des Kreises K o• während die Winkel S ,_I Mo S, alle gleich 21l D al
sind (v = 1. 2• . . . . m). Liegen umgekehrt unter den Bedingungen (2a).
(2 a) und av :f- 0 (v = 1. 2 . .. . , n; n > 1) die Punkte So , SI ..... Sm (1 -== m -== n)
auf der Peripherie van K o• dann ist
< ()
al
= a2 = .. .=
am
>0
und 0
< D a l = D a2 = ... =
D am-I
-== t .
(18)
Beweis. Der erste Teil des Satzes folgt sofort aus Fig. 1 und 2. Um
den zweiten Teil zu beweisen. nehme ich an, dass die Punkte So
O.
SI •... Sm auf der Peripherie von Ko liegen. Dann liegen wegen (7)
folglich die Punkte S;. S i ... . S: alle ausserhalb oder auf dem Rand
von K o ; nur im Fall mit
=
(19)
liegen alle Punkte S; . S i . ..• S; auf dem Rand von K o' Nach Hilfs~
satz 1 mit m
0 liegen diese PLinkte aber im Innern oder auf dem Rand
von K o• so dass notwendig (19) gelten muss. Naeh der Definition von
=
S7.+1 ist S "-I S , = S " S~+ I- . also. da wegen (19) S d I = S: +I ist.
675
und folglich. da So. St. S2' ... Sm auf dem Rand von Ko liegen
6 a t = 6 a 2 = . . . = 6 am -
t •
womit der Hilfssatz bewiesen ist.
Hilfssatz 3. Es liege unter den Bedingungen (2a). (2a) und a -::f 0
(JI
1. 2.. . . n; n
1) S au{ der Peripherie von Ko. Wenn alle Punkte
So. St . . . . S n au{ dem Rand von Ko liegen . so setze man m
n ; sonst
sei Sm+1 der erste Punkt dieser R eihe. der nicht mehr au{ dem Rand
von Ko liegt. dann ist
y
=
>
=
(20)
<
Beweis. Im Fall mit m = n ist der Satz trivia\. Es sei deshalb m n.
Nach Hilfssatz 1 mit m = 0 liegt Sm+t im Innern oder auf der Peripherie von Ko und nach der Definition von m liegt dieser Punkt nicht
mehr auf dem Rand von Ko. al50 muss S m+1 notwendig im Innern von
Ko liegen. während die Punkte So. SI . .. . S'" alle auf dem Rand von Ko
liegen. Km ist der Kreis. der im Punkt S m den Kreis Km- t. also den
Kreis Ko. berührt. und durch S", +I geht. Daher hat der Rand von Ko
mit dem Innern oder dem Rand von Km nur den Berührungspunkt Sm
qemeinsam. Nun liegt S nach der Voraussetzung auf dem Rand von Ko
und nach Hilfssatz 1 im Innern oder auf dem Rand von Km. Also muss
S mit dem Berührungspunkt S'" zusammenfallen. womit (20) bewiesen ist.
Beweis VOD Zusatz 1. 1. H at S die Form (13) mit (14). (Ha) und
(15). sa sind (2a). (21l) und a , -::f 0 (JO
1. 2 ..... n; n
1) er{üllt. und
ist S gleich Null.
Beweis. Aus (14) folgt (2a) und a , -::f 0 (1'= 1. 2 . .. .. n) ; nach (13) ist
=
a,
= at + (v-
I) 6 (11
<
<
(v
>
= 1. 2.... n).
mit Rücksicht auf (15) ist also 0
fj -=::: 6 al = 6 a, -=- t . und hieraus
folgt (21l); wegen (15) ist weiter 0
6 III - - und n 6 at ganz rationaI.
1' t
so dass n > 1 ist. Es gelte (14a) für l' 1'1' " 2' . . . • "/-1 mit 0
n; wird
= O. )'/ = n gesetzt. so ist
< ... < )'/_1<
)'0
/- 1
S=e 21r iCt , X
).= 0
+
=
< < "2 <
').+ 1
a,·).+ 1
X
1' = ',1),
e2 (" - I) "i l .(X ,.
1
+
=
wobei die Zahlen )'i. 6 al ().
O. 1.. , .. l) alle ganz rational sind. so dass
wegen 6 al > 0 jede Summe
verschwindet. und S folglich gleich Null ist.
44
Proceedings Roya l Acad. Amsterd am. Vol. XXXV, 1932.
676
2. Verschwindet S unter den Bedingungen (2a). (2a) und a, 1=- 0
(,.= 1. 2 .. .. . n ; n > 1). so hat S die Form (13) mit (li). (Ha) und(l5).
Beweis. Es werde m wie in Hilfssatz 3 definiert ; die Punk te SOl SI ..... Sm
liegen also alle auf dem Rand von Ko; nach (18) von Hilfssatz 2 ist
folglich
al
= a2 = ... = a > 0
6.a, = 6.al
m
(,.= 1. 2, ... m-l).
so dass S m die Form
m
Sm= al e 2 ",,,, ,
;E
e 2(,-I) ".il>",.
(21)
1'= 1
hat.
Nach Hilfssatz 3 ist . da S verschwindet und folglich auf dem Rand
von Ko liegt.
S m= S = O .
(22)
mD a l ganz rational .
(23)
Aus (21) und (22) folgt
=
Im Fall mit m
n folgt der zu be wei sen de Satz sofort aus (21) und
(23) . Ich kann folglich annehmen . dass n - m
0 ist und dass der
Satz schon für jedes kleinere n - m bewiesen ist. Es ist dann sogar
n- m
1. denn im Fall mit n - m
1. würde nach der Definition
von m Sm+1 = S = 0 nicht auf der Peripherie von Ko liegen.
Aus (22) folgt
>
=
>
S - S m== I
a"J e 21r i Ct. "J
l'=-m+ l
== o.
(24)
Die hier auftretende Summe
n
(25)
. . =-m + l
=
>
erfüllt die Bedingungen (2a). (2 a) und a, 1=- 0 (v
1. 2 . . . .• n; n 1).
wenn darin al' a2 . . ... a n durch am+l. a m +2• . ..• a n und a l. a2• . . .• a n durch
am+l. a m +2• . . .. a n. also n durch n - m. ersetzt wird. Da m stets eine
positive Zahl ist. muss hierbei n - m durch eine kleinere Zahl ersetzt
werden. so dass ich. nach der Induktionsannahme, der zu beweisende
Satz auE die Summe (25) statt auE S anwenden darf. Folglich ist
S - S m= e 2 "' i ~ m +1
n-
tt!
;E
·J = l
a m+, e 2(1' - I),..il>"'m+l.
. (26)
mit
(27)
wo
(28)
677
nur dann auftreten kann . wenn
l'
~
a m+1 ganz rational ist. und mit
(n-m) ~ am + 1 ganz rational. .
(29)
Wir haben schon gezeigt. dass n - m =- 2 ist; es ist sogar
n - m =- 3.
denn sonst wä re im Fall mit n - m = 2 : Sm +2 = Sn = 0 und wegen (22)
ist S m= O. also a m+le 2,,-iCX m+1 +a m+2e 2"-iCX m+2= 0 ; das ist aber wegen
:n
a m+11= 0 und 0
2:n ~ a m +1 -= "2 nicht möglich.
<
Mit Rücksicht auf (24) und (26) bestehen folglich ~ a m +1 und ~ a m +2.
und ist
aus (2a) folgt ausserdem 0 -= ~ 2 al -= ~2 a2 -= . .. -=:: ~ 2 am +1. also ~ 2 al =
= ~ 2 a 2 = . . . = ~ 2 am +1 O. oder ~ a, = ~ al (v = 1. 2 • ...• m + 2).
Insbesondere ist ~ am+1 = ~ al und a m+1 = a l + m ~ al . so dass (26).
(27) und (28) übergehen in
=
S _ Sm= e 2 "-iCX,+2 "-im 6 cx,
n- m
~
a m +, e 2 ('- I),,-i6cx'=e2,,-iCX,
·,1= 1
n
~
a, e 2(,-I)?I'i6cx,. (30)
1'=m+l
mit
=- 8 m +2 =
=am+1 =
wo a, > a ,+1 (v = m + 1. m + 2 .. ... n-I) nur dann auftreten kann. wenn
(1'-m) ~ a l ga nz rational ist. also wegen (23) nur dann . wenn v ~ al
ganz ratio na I ist.
Aus (23). (29) und ~ a m + I = ~ al folgt. dass m ~ al und dass n ~ al
ganz rational sind . Nach (21) und (30) ist mit Rücksicht auf die letzten
Ergebnisse
S = al e2,,- Icx,
~
n
e 2(" -1) 7ri6", + e 27riCX,
',1= 1
~
a, e2("-1) 7ri6cx, = e 2 ?l'1", I
:.- = m + 1
a, e2(v-I)?I'i6u ,.
..,::1
>
>
mit al = a2 = . .. = a m=- a m+1 ? am +2 ?: ...
an
O. wo a,. a"+1 (v =
1. 2 . .. . . n-I) nur auftreten kann. wenn l ' ~ al ganz rational ist. wo
n ~ a l ganz rational ist und 0
(J -= ~ a l ~ t gilt . S hat also die Form
(13). während auch (14). (14a) und (15) erfüllt sind. Hiermit ist Zusatz 1
bewiesen.
Beweis VOD Susatz 2. Erster Schritt : Hat S die Form (16), so sind
(2a) . (2a) und a , 1= 0 (v
1. 2. . . • n ; n > 1) erfüUt. und ist
.-0-
<
=
I S I = al cosec(:n (J)..
(31)
so dass also in diesem FaU in (4) das Gleichheitszeichen gilt.
Beweis. Es ist klar. dass dann die Bedingungen (2a). (2a) und a ,
1= 0
44*
678
+
< ()
(1' = 1. 2 . ... n) erfüllt sind. Weiter ist 0
-= t und n () t ganz
rationaI. so dass n =- 2 ist.
Es sei m die kleinste natürliche ZahI. so dass m () + t ganz rational
ist; da n ()
t ganz rational ist. besteht diese ZahI. und ist 2 -=== m -=== n.
Aus der Form des Ausdrucks (16) folgt dann. dass al
a2
am
0
ist. und dass also
+
= = ... = >
S m =a1 e 2"'- ; "1
~
e 2 (v- l)"'- i 9
°J= t
ist. Nach dem ersten Teil von Hilfssatz 2 liegen folglich die Punkte
SOl SI' ... S m alle auf der Peripherie von K o• während die Winkel
5 '-1Mo S" (I' = 1. 2 .... m) alle gleich 2 :rdj sind. Da m () t ganz
rational ist. ist der Winkel 0 Mo S m So Mo Sm -- m . 2 n()
n (mod. 2n).
so dass S m in dem zu dem Ursprung diametralen Punkt des Kreises Ko
liegt; wegen (9) ist also
+
=
I S m I = 2Ro =
=
al cosec (n
D ad = al cosec (n H)
(32)
<
Ist m
n. so folgt der Satz schon aus (32). Es sei deshalb m
n;
dann ist. da (n - m) {}
n ()
t - (m () t) ganz rational ist. wegen
o -=== sogar n - m - 4. Man betrachte die Summe
< ()
S -
Sm
=
+
=e
271' i",
n-m
~ a m+
Y
+
e 2 (m
+
+ , -1) 71' iO
=e
n- m
271'i(", + .. ~) ~
·.. = 1
a m + " e 2(, - 1)7I'iO.
(33)
:.- =1
>
+ +
>
hierin ist a m + 1 ==- 8 .. + 2 =::: . .. =- a n
O. wo offenbar a m +"
am +"+1 nur
dann geiten kann, wenn l' {} = (m 1') {}
t - (m {} t ) ganz rational ist ;
ersetzt man in Zusatz 1 die Zahlen al' a2.' · ' a n durch 8 .. + 1. a .. +2 • •• • ani
also n durch n - m. so erkennt man. dass die Summe (33) die Farm
(13) mit a l
m{} statt a l hat. wob ei (14). (Ha) und (15) erfüllt sind ;
hieraus folgt. dass S - S m verschwindet.
Mit Rücksicht auf (32) folgt also die Beziehung (31).
Zweiter Schritt : Gilt unter den Voraussetzungen (2a) . (2a) und a,
0
+
+
(v
= 1. 2.... n; n > 1)
(ür die Summe S
=
'*
n
~ a, e
2
"'i"v
die Bez iehung
;.1= 1
(31). 50 hat S die Form (16).
Beweis. Nach Hilfssatz 1 mit m
0 liegt S = Sn im Innern ader auf
dem Rand von K o. wobei Ko durch den Ursprung geht und den Radius
Ro besitzt ; wegen (9) ist also I S I === 2 Ro = al cosec (nDa l ). sa dass mit
=
Rücksicht auf 0
< n (j ~- n
D
al
-== ~
(31) nur geIten kann. wenn
(34)
ist und. wenn ausserdem S in dem zu dem Ursprung diametralen Punkt
P des Kreises Ko liegt. Insbesandere liegt S dann auf der Peripherie
679
von Ka. so dass. wenn m wie in Hilfssatz 3 definiert wird. nach diesem
Hilfssatz
Sm =S=p
(35)
ist.
Die Punkte Sa. SI' ... Sm liegen dabei alle auf dem Rand von Ka.
so dass nach (18) von Hilfssatz 2 und (34) Sm die Form
Sm
= al e 2".i",
m
2 e 2(,-
lj".iO.
(36)
:..=1
=
=
hat. und der Winkel OMa Sm Sa Ma Sm
m . 2 n6.al (mod 2n) ist.
also wegen (34).
2m n {} (mod 2n) ist; mit Rücksicht auf (35) ist folglich
m ()
+ 1-
(37)
ganz rational
Ist m = n. so folgt der zu beweisende Satz schon aus (36) und (37).
leh kann also annehmen. dass m
n ist; dann ist sogar m
n - I.
da sonst im Fall mit m
n - I nach der Definition von m Sm+1
Sn S
nicht mehr auf dem Rand von Ka liegen würde.
Man betrachte die Summe
<
=
=
S - Sm
<
= =
a" e2,.. i"., ; .
2
(38)
'I=m + 1
ersetzt man in den Bedingungen (2a). (2a) und a , ~ 0 (v = 1. 2... . . n;
n > 1) die Zahlen al' a2' .... a n durch am+l. a m +2. ...• a n und die Zahlen
al' a2 • ... ,a n durch am +l. a m +2. ...• anI also n durch n--m. so sind diese
Bedingungen offenbar erfüllt . Wegen (35) verschwindet S-Sm. Man kann
deshalb den einen Teil des Zusatzes 1 auf die Summe (38) anwenden.
und findet dann :
S - Sm= e 2,,-i"m+1 2
a" e 2 (,-m- Ij". iL' ''m+l • .
(39)
'I= m+l
mit
am + I
=- a
m
+ 2 =-
. . . =- an > O.
(40)
wo
a"
> aH
I (v
= m + 1. m + 2....• n --
1) .
(41)
höchstens dann auftreten kann. wenn (v - m) 6.a m + I ganz rational ist.
und weiter mit
0 < ()
-== 6. a
m
+I
-== t,
(n - m)
Aus (42) folgt n - m ~ 4. also bestehen 6. a m +
6. a m + I
6. a m + 2. folglich ist wegen (2a) 6. al
=
ganz rational .
6. a m+ I
I
und
6. a m + 2.
(42)
und gilt
= ~ a2 = ... = 6. a m+ 2 ;
680
insbesondere ist mit Rücksicht auf (34) 6
a)
(39) geht also über in
= + m (J;
S - Sm
== e
2 'f i
a 2:
l
Il m
+)
al' e 2 ("J-
=6
I j ?ri
a)
= (J
und
am + )
=
fJ.
'J.=m+ l
mit nach (40)
hierin ist wegen (41) und (37)
a"
> a,+) ()' = m + 1. m + 2•...• n +
1)
höchstens dann. wenn )' fJ
t ganz rational ist. Weiter folgt aus (42)
fJ ~ t ist, und. dass n H
t ganz rational ist.
und (37), dass 0
Mit Rücksicht auf (36) und (37) folgt aus diesen letzten Ergebnissen.
dass S tatsächlich die Form (16) besitzt. womit der Satz bewiesen ist.
Beweis von Zusatz 3. Es sei a) irgend eine reelIe Zahl. während
a"
al
(" - 1) (J gesetzt wird; weiter sei a"
a) wo a) irgend ei ne
positive Zahl ist (v = 1. 2 . ... ). Bezeichnet n irgend eine natürliche Zahl.
so sind die Bedingungen (2a) und (2a) offenbar erfüllt. Nach dem ersten
Teil von Hilfssatz 2 liegen dann die Punkte
<
+
= +
=
n
Sn = Za" e 2
,,- j " l
(n = 0.1. ... )
:1== 1
alle auf dem Rand des Kreises Ko. wobei die Winkel Sn Mo Sn+) stets
gleich 2nfJ sind; da (J irrational ist. liegen diese Punk te Sn bekanntlich
überall dicht auf der Peripherie von Ko (sie liegen dort sogar gleich~
verteilt). Ist also P der zu dem Ursprung diametralen Punkt des Kreises
Ko. so kann man zu jeder positiven Zahl ë einen Punkt Sn mit n > 1
Bnden. so dass
Sn P
= I Sn -
P I< ë
(43)
ist.
Wegen (9) ist aber
I P I = 2Ro = a) cosec (1l61ld = a i cosec (n (J)
Aus (43) und (H) folgt jetzt (17) . womit Zusatz 3 bewiesen ist.
(44)