B - 2. Physikalisches Institut

Drehimpulse in der Quantenmechanik
In der Atomphysik spielt der Drehimpuls eine zentrale, entscheidende Rolle.
Für Potentiale mit V(r) = V(r), Zentralpotentiale ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße.
Der Drehimpuls hat die Dimension
Länge*Masse*Geschwindigkeit
Die SI-Einheit ist: m·kg·m/s = m·s·kg·m/s2 = N·m·s = J·s
Die Größe der Dimension Energie*Zeit nennt man Wirkung.
Eine fundamentale Einheit der Wirkung ist ħ = h/(2π) = 1.0545726·10-34 Js
Drehimpulse kommen in der Natur nur in Einheiten von ½ ħ vor!
Weil ħ so klein ist, ist die Quantisierung des Drehimpulses bei makroskopischen
Objekten praktisch nicht beobachtbar und der Drehimpuls erscheint klassisch als
kontinuierliche Größe.
Eine Masse von 1kg auf einer Kreisbahn mit Radius 1m und ω = 2π·1Hz hat einen
Drehimpuls von m·r2·ω = 1.1916·1035 * ħ/2
!
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10.1
Der Drehimpuls (quantenmechanisch)
L
p
r
Klassisch:
L = r x p = r x (mv)
Quantenmechanisch:
pˆ x = = ⋅ ∂
i ∂x
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(nicht-relativistisch)
pˆ ⇒ = ∇
i
pˆ y = = ⋅ ∂
i ∂y
pˆ z = = ⋅ ∂
i ∂z
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Lˆ x
⎞
= ⎛ ∂
∂
= ⋅ ⎜⎜ y ⋅ − z ⋅ ⎟⎟
∂y ⎠
i ⎝ ∂z
Lˆ y
=
= ⎛ ∂
⎞
⋅⎜ z⋅
−x⋅ ∂ ⎟
∂ z⎠
i ⎝ ∂x
Lˆz
=
⎞
= ⎛ ∂
⋅ ⎜⎜ x ⋅
− y ⋅ ∂ ⎟⎟
∂x ⎠
i ⎝ ∂y
Quantenmechanische Operatoren für
die Drehimpulskomponenten
Für geladene Teilchen (wie Elektronen) ist mit einem Drehimpuls L immer ein
magnetisches Dipolmoment µ verbunden.
Es gilt:
µ = γL
D.h. µ zeigt immer entlang der Richtung von L,
µ und L sind parallel (oder antiparallel).
γ heißt „magnetogyrischer“ Faktor (oder auch gyromagnetisches Verhältnis).
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Beispiel: Ladung q, Kreisbewegung in x-y Ebene
Drehimpuls:
L = m·r·v = m·r2·ω
Strom:
Pro Zeiteinheit läuft die Ladung q mit
der Frequenz f = ω/2π im Kreis:
z
ω
I = q·f = q· ω/2π
r
Magnetisches Dipolmoment:
µ = I·π·r2
Strom
µ
= q ⋅ ω ⋅ π ⋅ r2 = 1 ω⋅ r 2⋅ q
2π
2
q,m
Fläche
µ
=
q
⋅L
2m
Magnetisches Moment µ und Drehimpuls L sind parallel entlang der z-Richtung.
Der „magnetogyrische“ Faktor γ ist für die Kreisbewegung also:
γ=
q
2m
Für ein Elektron mit q = -e ist: γ = -e/2m = -8.7941·1010 1/(Ts)
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Im Magnetfeld B hat ein magnetisches Moment µ folgende Wechselwirkungen:
1.
Energie
E = - µ·B
B
Der energetisch tiefste Zustand ist parallel zu B
ϑ
E = -µ·B·cosϑ
2.
Drehmoment
N=µxB
Das Drehmoment N verändert den
Drehimpuls L nach:
µ
B
N
µ
dL
= N = L
dt
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Da das magnetische Moment µ immer kollinear mit L ist, hat man durch µ = γL
dL
= µ x B = γ ⋅ Lx B
dt
Die Änderung des Drehimpulses steht immer senkrecht zu B und zu L !
d.h. der Drehimpuls im Magnetfeld ändert nur seine Richtung, aber nicht seinen Betrag!
B
Klassisch folgt aus dL/dt = γ·L x B eine
Präzessionsbewegung des Drehimpulses um die Richtung
von B mit der Kreisfrequenz
ω = γ·B
Diese Kreisfrequenz nennt man die Larmor-Frequenz
ω
ϑ
L
und die Präzession die Larmor-Präzession
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Welche Beobachtungsgrößen bleiben bei dieser Präzessionsbewegung konstant?
L =
L⋅L =
L2
1)
Der Betrag von L , |L| ,
2)
Die Projektion Lz = |L| ·cosϑ auf die z-Achse, wenn man das Magnetfeld entlang der
z-Achse anlegt.
Man erwartet nun auch quantenmechanisch, daß L̂ und
sind und sich auch messen lassen!
L̂ z Konstante der Bewegung
Da nur der Betrag und die Projektion Konstante sind, sollten die Operatoren
L̂ 2
und
L̂ z
das Verhalten vollständig beschreiben.
Wir verwenden für ein Teilchen Kleinbuchstaben:
lˆ 2
und
lˆ z
In der quantenmechanischen Beschreibung suchen wir also nach gleichzeitigen
Lösungen (Eigenfunktionen) der beiden Operatoren lˆ 2 und
lˆ z
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⎛
⎞
lˆ z = = ⋅ ⎜⎜ x⋅ ∂ − y ⋅ ∂ ⎟⎟
i ⎝ ∂y
∂x ⎠
lˆ 2 = ( lˆx⋅lˆx + lˆy⋅lˆy + lˆz ⋅lˆz )
Für die Lösungen des Drehimpulses geht man besser zu Polarkoordinaten r, ϑ, ϕ über.
Die Drehimpulsoperatoren sind nur eine Funktion von ϑ, ϕ :
Man kann von den kartesischen Koordinaten x , y , z die Differentialoperatoren
umrechnen und erhält:
lˆ z = = ⋅ ∂
i ∂ϕ
{
lˆ 2 = −= 2 ⋅
}
1 ⋅ ∂ ⋅ (sin ϑ ∂ ) + 1 ∂ 2
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin 2 ϑ ∂ϕ2
Den Operator von lˆ
haben wir in dieser Form schon bei der Behandlung des
Wasserstoffatoms kennengelernt. Die Lösungsfunktionen sind die
Kugelflächenfunktionen Yl m (ϑ, ϕ)
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Wir hatten:
Und deshalb:
1 ∂ ⎛⎜ sinϑ ∂Y ⎞⎟ + 1 ∂2Y = −l(l +1) ⋅Y
sinϑ ∂ϑ ⎝
∂ϑ ⎠ sin2 ϑ ∂ϕ2
ˆl 2 ⋅ Yl m(ϑ, ϕ) = = 2 ⋅ l (l + 1) ⋅ Yl m(ϑ, ϕ)
Die Ylm(ϑ,ϕ) sind die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators l2 zum
Eigenwert l(l+1)ħ2.
Aus der Darstellung
Yl m (ϑ, ϕ) ∝ Pl m (ϑ) ⋅ eimϕ
erkennt man, daß:
ˆl z ⋅ Yl m(ϑ, ϕ) = m⋅= ⋅ Yl m(ϑ, ϕ)
d.h. die Ylm(ϑ,ϕ) sind gleichzeitig auch Eigenfunktionen zu lz mit dem Eigenwert
m·ħ
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Physikalische Interpretation:
Ist ein atomares System im Zustand mit einer Wellenfunktion
Ψn , l , m (r , ϑ, ϕ) = Rnl (r ) ⋅ Ylm (ϑ, ϕ)
⎛0⎞
⎜ ⎟
B
=
so hat man für dieses Atom im Magnetfeld
⎜ 0 ⎟ folgende möglichen
⎜ B⎟
Meßwerte des Drehimpulses:
⎝ ⎠
l =
l 2 = = ⋅ l (l + 1)
lz = m ⋅ =
„Größe“ (Betrag) des Drehimpulses
Projektion auf die z-Achse
Für ein festes l ≠ 0 ist im Magnetfeld die Projektion lz entlang der Richtung von B
quantisiert in Einheiten von ħ.
Nur Meßwerte m·ħ , m = -l, -l+1 ,..., l-1 , l sind möglich!
m heißt deshalb magnetische Quantenzahl.
Die z-Richtung ist beliebig, man dreht einfach das Koordinatensystem mit der z-Achse in die
Richtung von B.
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Energiequantisierung des magnetischen Momentes im Magnetfeld B
Da klassisch µ = γ·L ist, so liegt folgende Definition des quantenmechanischen
Operators für das magnetische Moment
µˆ = γ ⋅ lˆ
µ̂
nahe:
Für eine Ladung q , Masse m ist dabei γ = q/(2m)
Klassisch ist die Energie im Magnetfeld: Energie = -µ·B
Quantenmechanisch hat man dann den folgenden Energieoperator:
Hˆµ = −µˆ ⋅ B = −µˆ z ⋅ B = − γ ⋅ B ⋅ lˆz
Die Eigenwerte und die Eigenfunktionen dieses Energieoperators sind:
Hˆµ ⋅ Yl m (ϑ, ϕ) = − γ ⋅ B ⋅ lˆz ⋅ Ylm (ϑ, ϕ) = − γB= ⋅ m ⋅ Yl m (ϑ, ϕ)
Die Energieeigenwerte Em sind also: Em = -ħ·γ·B·m
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Für das Elektron ist q = -e und damit hat man die Eigenwerte:
Em = =e ⋅ B ⋅ m = (µB⋅ B ) ⋅ m
2m
µ B = =e
2m
= 9.274015·10-24 J/T ist die fundamentale Einheit:
Bohrsches Magneton
+1
Beispiele:
l=1:
l (l + 1) = 2
Die Projektionen entlang z sind dann:
0
1·ħ , 0·ħ , -1·ħ
-1
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l=2:
l (l + 1) = 6
+2
Die Projektionen entlang z sind dann:
2·ħ , 1·ħ , 0·ħ , -1·ħ , -2·ħ
+1
0
-1
-2
Andere Energieeigenwerte als µB·B·m , m = -l , -l+1 , ... , l-1 , l
kommen in den Messungen nicht vor!
Magnetische Momente und ihre Quantisierung bilden die Grundlage der magnetischen
Resonanz und auch von Methoden wie Kernspintomographie.
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