Rechenaufgaben zur Mechanik, Rotationen und Schwing

Rechenaufgaben zur Mechanik, Rotationen und Schwingungen, Elektrodynamik und Optik
21. Aufgabe: Tenniskatapult
[1.5+4+5.5+5+4=20 Punkte]
Tim möchte seinem Spielkameraden Carlo eine Freude machen und diesem einen Tennisball der Masse m =
100 g zuwerfen. Leider hat er sich gestern den Arm gestaucht, weshalb er die unten dargestellte Konstruktion
gebaut hat. Diese besteht aus einer Feder mit der Federkonstanten k = 400 N/m, deren Gleichgewichtsposition
sich in Punkt 1 befindet, und einer insgesamt l = 150 cm langen Rampe mit dem Neigungswinkel Θ = 45◦ .
Um den Tennisball abzuschießen wird die Feder um l1 = 20 cm gestaucht (Punkt 0).
2
l2
3
Carlo
1
l1
Tim
4
0
Q
l3
(a) Punkt 1 → Punkt 0
Wie groß ist die Kraft vom Betrag her, die benötigt wird, um die Feder um l1 = 20 cm zu stauchen?
(b) Punkt 0 → Punkt 1
Nun wird die Feder losgelassen. Zeigen Sie unter Vernachlässigung von Reibungseffekten, dass sich der
Tennisball mit der Geschwindigkeit |~v1 | = 45, 1 km/h durch die Gleichgewichtslage der Feder im Punkt
1 bewegt.
(Hinweis: Energieerhaltung)
(c) Punkt 1 → Punkt 2
Auf dem restlichen Weg über die Rampe (l2 = 100 cm) verliert der Ball durch Gleitreibung und durch
Umwandlung in potentielle Energie an kinetischer Energie, wobei für den Gleitreibungskoeffizienten gilt:
µG = 0, 5.
Zeigen Sie, dass der Ball die Rampe im Punkt 2 mit der Geschwindigkeit |~v2 | = 42, 1 km/h verlässt.
Bestimmen Sie zudem die x− und y−Komponente von ~v2 .
(d) Punkt 2 → Punkt 3
Wie hoch darf der Zaun im Punkt 3 maximal sein, damit der Ball im Garten landen kann? Reibungseffekte während des Fluges sowie der Höhenunterschied zwischen der Position 0 und dem Boden können
vernachlässigt werden.
(e) Punkt 2 → Punkt 4
Wie lange ist der Ball insgesamt in der Luft? Bestimmen Sie zudem l3 , wobei Sie wieder sämtliche
Reibungseffekte während des Fluges sowie den Höhenunterschied zwischen der Position 0 und dem
Boden vernachlässigen können.
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Name, Vorname
22. Aufgabe: Fadenpendel
Matrikelnummer
[2+3+3+2=10 Punkte]
Ein einfaches Pendel besteht aus einer punktförmigen Masse m = 100 g, welche an einem masselosen Faden
der Länge l = 1 m befestigt ist. Der Massepunkt wird ohne einen zusätzlichen Anstoß bei gespanntem Faden
in der Position losgelassen, bei der der Faden den Winkel Θ = Θ0 = 10◦ mit der Vertikalen einschließt.
(a) In welchem Punkt oder welchen Punkten der Pendelbewegung sind die potentielle beziehungsweise die
kinetische Energie jeweils maximal und in welchen minimal?
(b) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit vmax des Pendels? An welcher Position wird diese Geschwindigkeit erreicht?
(c) Beschreiben Sie die Geschwindigkeit des Pendels allgemein als Funktion des momentanen Auslenkungswinkels Θ.
(d) Berechnen Sie die Periodendauer der Schwingung.
23. Aufgabe: Looping
[2+2+4+2=10 Punkte]
Ein Körper der Masse m = 1 kg gleitet reibungsfrei aus einer Höhe h (Punkt 1) herab. Auf seinem Weg
liegt ein Looping mit dem Radius r = 2 m. Am Ende der Strecke (Punkt 4) befindet sich eine Feder mit der
Federkonstanten k = 500 N/m.
(a) Welche Kräfte müssen sich ausgleichen, damit der Körper den Looping durchqueren kann?
(Tipp: Rotation)
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, über die der Körper im Scheitelpunkt (Punkt 3) des Loopings mindestens verfügen muss, um ihn zu durchqueren.
(c) Berechnen Sie nun die Höhe, von der der Körper mindestens abgleiten muss, um den Looping zu durchqueren. Welche Geschwindigkeit hat der Körper jetzt am Einstiegspunkt (Punkt 2) des Loopings?
(d) Wie tief wird die Feder am Ende (Punkt 4) eingedrückt?
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Gegeben:
a)
k = 400
N
,
m
m = 100 g, Θ = 45◦ , l = 150 cm, l1 = 20 cm, l2 = 100 cm, µ = 0, 5
|F~ | = k · l1 = 400 N
· 0, 2 m = 80 N
m
1
= 12 mv12 + mgl1 sinΘ
q
kl12
→ v1 =
− 2gl1 sinΘ = 12, 54
m
b) 2 kl12
1
c) 2 mv12
m
s
= 45, 14
− mgl2 sinΘ − µmgl2 cosΘ = 12 mv22
p
→ v2 =
v12 − 2gl2 sinΘ − 2µgl2 cosΘ = 11, 68
→ v2x = v2y = v2 cosΘ = v2 sinΘ = 8, 26
d)
km
h
(i)v3y ≡ 0 = v2y − gt1 → t1 =
v2y
g
m
s
m
s
= 42, 05
= 29, 74
km
h
km
h
= 0, 84 s
(ii)r3y = r2y + v2y t1 − 21 gt21 = lsinΘ + v2y t1 − 12 gt21 = 4, 54 m
e)
(i) r4x = r2x + v2x t2
(ii) r4y = r2y + v2y t2 − 21 gt22
Zeit aus (ii) :
0 = lsinΘ + v2y t2 − 12 gt22
⇔
1 2
gt
2 2
− v2y t2 = lsinΘ
⇔ t22 − 2 vg2y t2 = 2 gl sinΘ
= 2 gl sinΘ + ( vg2y )2
q
⇔ t2 = vg2y ± 2 gl sinΘ + ( vg2y )2
q
⇔ t2 = t1 + 2 gl sinΘ + ( vg2y )2 = 1, 8 s
⇔ (t2 −
l3
v2y 2
)
g
aus (i):
l3 = 0 + v2x t2 = 14, 89 m