Seminararbeit Rechnen mit Ordinalzahlen, Vergleich zu

Seminararbeit
Rechnen mit Ordinalzahlen,
Vergleich zu Kardinalzahlen
Inhalt
Ordinalzahlen .
Addition . . . .
Multiplikation .
Potenzierung .
Kardinalzahlen
Quellen . . . .
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21
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Ordinalzahlen
Ordinalzahlen
Einleitung
Diese Sektion soll kurz noch einmal wiederholen, wie Ordinalzahlen deniert sind.
Die Ordinalzahlen werden deniert ueber wohlgeordnete Mengen so dass zu jeder wohlgeordneten Menge A eine Ordinalzahl a gehoert und es gilt, dass wenn es zwischen 2
Mengen A und B einen Isomorphismus gibt ihre Ordinalzahl identisch ist. Desweiteren
gilt dass wenn es einen solchen Isomorphismus zwischen einer der Mengen und einer
der echten Teilmengen der anderen Menge gibt, dass dann ihre Ordinalzahl kleiner ist.
Grundsaetzlich sind dabei die endlichen Ordinalzahlen isomorph zu den natuerlichen
Zahlen(die Ordinalzahlen koennen als Verallgemeinerung von ihnen deniert werden)
und koennen daher ueber den Startpunkt Null(1) als leere Menge und die Nachfolgerdenition(2), das jede neue Zahl der Menge der schon denierten Zahlen entspricht,
deniert werden. Wir haben also fuer jede Zahl die Schreibweise als Menge der vorhergehenden Zahlen, als Menge ihrer Mengen oder auch aufgrund der Wohlordnung als
wohlgeordnete Menge von ihnen.
0 := ∅
N f (α) := α ∪ {α}
(1)
(2)
1 := {0} = {∅} = {0}
2 := {0, 1} = {∅, {∅}} = {0 < 1}
3 := {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = {0 < 1 < 2}
...
(3)
(4)
(5)
(6)
Wir stellen hierbei auch fest das mit dieser Nachfolgerdenition der Nachfolger jeder
Ordinalzahl wieder Ordinalzahl ist.
1
Limeszahlen
Als naechstes beschaeftigt uns jetzt die Frage was ist der Nachfolger, einer abzaehlbar
unendlichen Menge wie den natuerlichen Zahlen. Wir denieren ω den Nachfolger dieser
Menge.
ω := {0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...}
(7)
Diese Zahl(7) ist eine Limeszahl da wir zwar eine Folge die gegen sie strebt haben,
naemlich die der endlichen Ordinalzahlen, aber keinen direkten Vorgaenger hat.
Wir denieren die Menge der Limeszahlen Li als Menge aller Zahlen fuer die gilt, dass
wenn eine Zahl kleiner ist als sie, dass dann auch ihr Nachfolger kleiner ist(8). Daher
gibt es also keinen direkten Vorgaenger fuer diese Zahlen da wenn eine Zahl direkter
Vorgaenger dessen Nachfolger die Bedingung nicht erfuellen koennte.
Li := {α|α 6= 0 ∧ ∀β < α N f (β) < α}
(8)
Wir stellen fest das ω die kleinste solche Limeszahl ist und das damit gilt, dass fuer alle
λ ∈ Li:
ω ∈ Li ∧ ∀λ ∈ Li : ω ≤ λ
(9)
Die kleinste innite Ordinalzahl ist also ω welche wir als Menge der endlichen Zahlen
denieren(9). Ihr Nachfolger(10) ist allerdings ebenfalls Ordinalzahl und keine Limeszahl da wir den Vorgaenger ω kennen, dass selbe gilt fuer ihren Nachfolger und deren
Nachfolger bis wir unsere abzaehlbar unendliche Zahl praktisch verdoppelt haben und
damit wieder einen Limesuebergang haben, wiederholen des ganzen bringt uns zu einer
dritten. Diese Mengen moegen von der Maechtigkeit her uebereinstimmen, da sie alle
abzaehlbar unendlich sind, von der Ordnung her sind sie aber verschieden, wir haben
also unendlich viele unendliche Zahlen, die aber alle der Wohlordnung unterliegen und
daher abzaehlbar unendlich bleiben.
ω := {0, 1, 2, ...}
N f (ω) := {0, 1, 2, ..., ω}
(10)
(11)
Unsere Ordinalzahlen lassen sich also einteilen in die Null, die Nachfolgerzahlen, Zahlen
die wir als direkten Nachfolger einer anderen Ordinalzahl erhalten, und die Limeszahlen.
Diese Unterscheidung ist besonders bei Beweisen zu beachten da sie gerade bei Induktionsbeweisen einen dritten Schritt in Form der Limesbetrachtung noetig machen, da wir
keinen direkten Vorgaenger haben auf den wir fuer den Induktionsschritt zurueckgreifen
koennen.
2
Ordinalzahlen
µ -Operator
Angenommen wir haben eine Menge A und eine Teilmenge B die wir erhalten indem
zum Beispiel alle β die groesser als ein bestimmtes α ∈ A sind zu einer neuen Menge
zusammenfassen, B = {β|β ∈ A ∧ α < β}. Wir denieren uns jetzt den µ Operator als
einen Operator der das kleinste β aus dieser Menge bestimmt und uns ausgibt:
τ = µβ{β|β ∈ B} ∧ ∀β : τ ≤ β
(12)
Supremum
Wir denieren das Supremum einer Menge von Ordinalzahlen als ihre Vereinigung.
supA :=
[
A
(13)
Dieses Supremum ist kleiner oder gleich jeder oberen Schranke dieser Mengen. Damit
ergibt sich jede Limeszahl als Supremum der Vereinigung der unendlichen sie anstrebebenden Folge von Mengen. Wir schreiben solch eine Folge als sup{Xγ |γ < λ} und
schreiben dies dann kurz als sup Xγ .
γ<λ
3
Normalfunktion
eine Funktion wird als Normalfunktion NF bezeichnet wenn sie 2 Eigenschaften erfüllt.
Die erste Eigenschaft ist die Stetigkeit, das bedeutet in diesem Zusammenhang das fuer
alle Limesstellen λ gilt:
f (λ) = sup f (γ) =
γ<λ
[
(14)
f (γ)
γ<λ
Wenn also fuer jede Limesstelle gilt das sich ihr Funktionswert als Supremum der Funktionswerte der gegen sie strebenden Folge kleinerer γ ergibt.
Die zweite geforderte Eigenschaft ist die Nachfolgermonotonie, das also fuer alle Zahlen
α ihr Nachfolger echt groesser ist:
(15)
f (α) < f (N f (α))
Wir erhalten fuer solche Normalfunktionen eine mehrere nuetzliche Aussagen, die erste
waere das Stetigkeit mit Nachfolgermonotonie strenge Monotonie der Funktion ergibt,
also das fuer β1 < β2 gilt f (β1 ) < f (β2 ), die zweite ist das wir das Supremum aus
der Funktion herausziehen koennen und als drittes das sich diese auch ueber mehrere
Normalfunktionen fortsetzt so dass wenn wir 2 solche Normalfunktionen, f und g, haben
und das wenn der Wertebereich der einen Teilgebiet des Denitionsbereiches der anderen
ist und das wenn unser Argument eine Limeszahl ist das wir dann das Supremum nach
aussen ziehen koennen.
(f ist N F auf A ∧ g N F auf B ∧ W (g) ⊆ A ∧ λ ∈ Li ∩ B) =⇒
f (g(λ)) = sup f (g(γ))
γ<λ
4
(16)
(17)
Addition
Addition
Denition und allgemeine Uebersicht
Wir koennen die Addition bei den Ordinalzahlen grundsaetzlich auf zwei Arten denieren, direkt ueber die Vereinigung zweier disjunkter Mengen mit der gleichen Ordnung,
dies ist an sich keine Einschraenkung da jede wohlgeordnete Menge isomorph zu einer
Menge ist die diese Bedingung fuer die andere Menge erfuellt, oder durch eine Rekursion.
Betrachten wir zuerst kurz die direkte Denition. Wir haben also zwei wohlgeordnete
Mengen, kurz Ordnungen, hM, <1 i und hN, <2 i und bilden die zweite mithilfe eines
Isomorphismus auf eine zu der ersten Menge disjunkten Menge mit dem gleichen Ord∼
nungsoperator ab hN, <2 i −
→ hN 0 , <1 i wir denieren die Addition dann als Vereinigung
der beiden Mengen bei der die Ordnung erhalten wird indem alle Elemente der zweiten
Menge rechts von der ersten angeordnet werden.
hS, <i = hM, <i + hN, <i := S = M
S
N ∧ (a < b f alls a, b ∈ M und a < b (18)
oder a, b ∈ N und a < b
(19)
oder a ∈ M, b ∈ N )
(20)
Hier noch einmal am Beispiel zweier Ordinalzahlen durchgespielt:
hM, <i = {0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5} = 6 (21)
hN, <i = {0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6} −
→ {01 < 11 < 21 < 31 < 41 < 51 < 61 } = 7 (22)
hS, <i = {0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5} ∪ {01 < 11 < 21 < 31 < 41 < 51 < 61 } (23)
= {0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 01 < 11 < 21 < 31 < 41 < 51 < 61 } (24)
∼
−
→ {0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < 11 < 12} = 13 (25)
∼
Wir haben zuerst die zweite Menge umnummeriert(22) so das sie disjunkt zur ersten
ist, dann beide vereinigt(23,24) und dann erneut umnummeriert um zu der fuer Ordinalzahlen ueblichen Nummerierung zu kommen(25).
Wir koennen dieselbe Addition aequivalent auch mithilfe dreier Rekursionsregeln aufbauen, diese Denition macht sie sich allgemein leichter beim Rechnen und fuer Beweise
da einem die Ordinalzahlen fuer sie reichen und nicht den Schritt auf disjunkte ihnen
zugrundeliegende Mengen erfordert.
α+0=α
α + N f (β) = N f (α + β)
λ ∈ Li =⇒ α + λ = sup(α + γ)
γ<λ
(26)
(27)
(28)
5
Die so denierte Addition besitzt einige gute Eigenschaften in Form des Assoziativgesetzes(29), der Identitaeten(30,31), dass die Nachfolgerfunktion genau mit der Addition
der Eins von rechts uebereinstimmt(32) und das sie eine Normalfunktion in Abhaengigkeit vom zweiten Argument ist(33).
α + (β + γ) = (α + β) + γ
α+0=α
0+α=α
α + 1 = N f (α)
fα (β) 7→ α + β ist N F
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Die Eigenschaft der Kommutativitaet, also das allgemein gilt :
α+β =β+α
(34)
gilt jedoch nicht, ebensowenig wie die Nachfolgermonotonie und damit die Eigenschaft
Normalfunktion zu sein bezüglich des ersten Argumentes.
Gegenbeweis Kommutativitaet
Auf den ersten Blick wuerde man Kommutativitaet vermuten da die niten Zahlen
sich kommutativ verhalten. Der Fehler daran liegt darin dass es aber nur auf diesem
Teilbereich gilt und sobald eine transnite Zahl als eines der Argumente auftritt sich
das Verhalten aendert, denn zum Beispiel gilt:
1 + ω = ω 6= ω + 1
10 + ω = ω 6= ω + 10
(35)
(36)
Die Addition eines Elementes von rechts fuehrt zu einem der nachfolgenden transniten
Elemente waehrend nite Elemente die von links addiert werden nichts veraendern.
Woher dieser Unterschied kommt kann man sich leicht mithilfe der direkten Denition
ueber die Vereinigung von Mengen bildlich klarmachen, da dabei beim addieren an ein
transnites Element von links(37-38) etwas anderes passiert als von rechts(39-40):
{01 < 11 } ∪ {02 < 12 < 22 < 32 < ...}
= {01 < 11 < 02 < 22 < 32 < ...}
= {0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...}
{02 < 12 < 22 < 32 < ...} ∪ {01 < 11 }
= {02 < 22 < 32 < ... < 01 < 11 }
= {0 < 1 < 2 < 3 < ... < ω < ω + 1}
6
(37)
(38)
(39)
(40)
Addition
Assoziativitaet
α + (β + γ) = (α + β) + γ folgt aus der Verallgemeinerung der Nachfolgerrekursionsgleichung α + N f (β) = N f (α + β) welche sich Dank der 3ten der Identitaeten auch als
α + (β + 1) = (α + β) + 1 schreiben laesst, der Beweis folgt im naechsten Abschnitt.
Der Beweis hierfuer wird ebenfalls per transnite Induktion, diesmal ueber γ gefuehrt.
γ = 0 : α + (β + 0) = α + β = (α + β) + 0
(41)
γ + 1 : α + (β + (γ + 1)) = α + ((β + γ) + 1) = (α + (β + γ)) + 1
(42)
= ((α + β) + γ) + 1 = (α + β) + (γ + 1)
(43)
λ ∈ Li : α + (β + λ) = sup(α + (β + γ)) = sup((α + β) + γ) = (α + β) + λ (44)
γ<λ
γ<λ
Wir haben insgesammt drei Gleichungen, den Induktionsanfang(41), den Nachfolgerschritt(42,43), bei dem aus dem gelten fuer den Vorgaenger das gelten fuer das Element
folgt, und den Limesschritt(44), bei dem das ganze dann auf die Limeszahlen uebertragen wird. Wir haben also zwei unterschiedliche Induktionsschritte die noetig sind damit
ds ganze auch wirklich fuer alle Ordinalzahlen gilt. Das Umklammern im Nachfolgerschritt folgt aus der zweiten Rekursionsregel und das Umklammern im Limesschritt aus
dem Nachfolgeschritt mit der dritten Rekursionsregel.
Wir merken hier an das aufgrund der Limeszahlen alle nachfolgenden Induktionsbeweise transnit sein muessen und werden das dann bei ihnen nicht nocheinmal extra
erwaehnen.
7
Identitaeten
Die erste der drei Identitaeten, α + 0 = α, wird uns gleich als eine der Rekursionsgleichungen(26) geliefert und gilt damit nach Vorraussetzung.
Die zweite Identitaet 0 + α = α ist umstaendlicher zu beweisen als man denkt da
ja leider die Kommutativitaet fehlt. Wir fuehren den Beweis per Induktion ueber α :
α=0 : 0+0=0
α + 1 : 0 + (α + 1) = (0 + α) + 1 = α + 1
λ ∈ Li : 0 + λ = sup(0 + γ) = sup γ = λ
γ<λ
γ<λ
(45)
(46)
(47)
Der Induktionsanfang gilt oensichtlich, der Nachfolgerschritt folgt mit der Assoziativitaet , der Limesschritt aus der dritten Rekursionsgleichung.
Die dritte geltende Identitaet, das die Nachfolgerfunktion mit der Addition der Eins
von Rechts uebereinstimmt, α + 1 = N f (α), folgt daraus, dass nach Denition der Eins
sie der Nachfolger der Null ist und damit :
α + 1 = α + N f (0) = N f (α + 0) = N f (α)
(48)
Was uns sehr schoen erlaubt den direkten Nachfolger einer Ordinalzahl zu erhalten indem wir von rechts eine Eins addieren.
8
Addition
Normalfunktion
Die Stetigkeit folgt als direkte Schlussfolgerung aus der dritten Rekursionsgleichung,
die Addition ist also nach Denition stetig.
Sie ist nachfolgermonoton wenn gilt f (α) < f (α +1) fuer jede Zahl α. Fuer die Addition
gilt das β1 < β2 ⇔ α + β1 < α + β2 . Sie ist fuer das zweite Argument also auch nachfolgermonoton und damit in Abhaengigkeit vom 2ten Argument eine Normalfunktion.
Wegen der fehlenden Kommutativitaet koennen wir dasselbe aber nicht einfach fuer
das erste Argument sagen, die Stetigkeit gilt immernoch nach Denition, aber mit der
Nachfolgermonotonie sieht das anders aus, wir erhalten dass sofern das zweite Argument
transnit ist es nite Argumente beim addieren einfach schluckt, sie also wodurch halt
wie oben bei dem Gegenbeweis zur Kommutativitaet bereits gezeigt wurde Gleichheit
eintritt. Damit ist das ganze bezueglich dem ersten Argument also keine NF und somit
auch nicht streng monoton.
Wir erhalten aber das:
α1 ≤ α2 ⇔ α1 + β ≤ α2 + β
Dies ist immerhin noch eine schwache Monotonie, welche induktiv ueber β beweisbar ist:
β = 0 : T rivial : α1 ≤ α2 nach V orraussetzung
β + 1 : α1 + (β + 1) = (α1 + β) + 1 ≤ (α2 + β) + 1 = α2 + (β + 1)
λ ∈ Li : α1 + λ = sup(α1 + γ) ≤ sup(α2 + γ) = α2 + λ
γ<λ
γ<λ
(49)
(50)
(51)
9
Kuerzungsregeln/Subtraktion
Da jetzt die Addition deniert ist und ihre Eigenschaften geklaert sind, stellt sich jetzt
die Frage nach der Subtraktion welche ja normalerweise ueber die Addition und ihre
Kuerzungsregeln deniert wird.
Wie sieht es also mit der Rechtskuerzbarkeit aus? Gilt β + α = γ + α =⇒ β = γ ? Die
Antwort hierrauf lautet eindeutig nein da 4 + ω = ω = 2 + ω aber 4 6= 2. Die Denition einer Rechtskuerzungsregel und dementsprechend einer Rechtssubtraktion scheitert
also denitiv.
Wie sieht es jetzt mit der Linkskuerzungsregel aus?
α + β = α + γ =⇒ β = γ
(52)
Angenommen das gilt β < γ , dann folgt aus der Monotonieeigenschaft als NF dass
α + β < α + γ.
Gegenannahme β > γ , dann folgt aus der Monotonieeigenschaft als NF das α + β >
α + γ.
Somit bleibt da fuer zwei Ordinalzahlen β und γ stets β < γ oder β > γ oder β = γ
gilt nurnoch β = γ . Wir haben also eine Linkskuerzungsregel mit der die Addition. Wir
denieren nun mit ihr eine Linkssubtraktion:
α ≤ β =⇒ ∃γ so dass α + γ = β
(53)
Dies bedeutet, dass wenn die Variable α kleiner oder gleich β ist, so gibt es eine Variable
γ , die rechts an sie addiert werden kann um β zu erhalten. Was bedeutet das γ das
Ergebnis ist wenn man α von links von β kuerzt.
Die Eindeutigkeit von γ folgt direkt aus der Linkskuerzungsregel weshalb die fehlende
Rechtskuerzungsregel eine Subtraktion in der uns gewohnten Form c = b − a, also ein
kuerzen von rechts, eine Rechtssubtraktion, unmoeglich macht.
Die Existenz von γ , nur weil etwas wenn es existiert eindeutig waere, muss es noch nicht
existieren, gilt es noch zu beweisen.
Wir denieren : γ = µδ mit β ≤ α + δ . Dieser µ -Operator ist wohldeniert denn es
gibt diese δ , zum Beispiel ist β ≤ α + β .
Dann gilt zunächst β ≤ α + γ und fuer jedes τ < γ ist α + τ < β da τ sonst echt kleiner
als γ waere und die Eigenschaft β ≤ α + τ erfuellt und damit durch den µ Operator
anstelle des erfassten γ erfasst wuerde.
Wir wollen β = α + γ zeigen.
Sei β < α + γ , also die Ungleichheit eine Echte, dann muss γ 6= 0 sein, weil α ≤ β ist.
Dann gilt fuer jedes τ < γ das α + τ < β < α + γ und damit α + τ + 1 ≤ β < α + γ
und weil α + γ echt groesser als β sein sollte dass τ + 1 < γ .
Das bedeutet γ ∈ Li und β = sup(α + τ ) = α + γ .
τ <γ
10
Multiplikation
Multiplikation
Denition der Multiplikation
Die Multiplikation der Ordinalzahlen kann aehnlich der Addition auf 2 Arten deniert
werden, einmal direkt ueber das kartesische Produkt der Mengen oder per Rekursion.
Die direkte Denition sieht dann so aus :
hP, <i = hM, <i ∗ hN, <i wobei P = M × N ∧
((a1 , b1 ) < (a2 , b2 ) f alls b1 < b2 oder b1 = b2 und a1 < a2 )
(54)
(55)
Am Beispiel zweier Ordinalzahlen hM, <i = 11 < 21 < 31 = 3 und hN, <i = 12 < 22 = 2
:
{11 < 21 < 31 } ∗ {12 < 22 } = {(11 , 12 ) < (21 , 12 ) < (31 , 12 ) < (11 , 22 ) < (21 , 22 ) < (31 , 22 )}(56)
= {1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6}(57)
Die Rekursion erfolgt wie bei der Addition ueber drei Rekursionsregeln:
α∗0=0
α ∗ (β + 1) = α ∗ β + α
λ ∈ Li =⇒ α ∗ λ = sup(α ∗ γ)
γ<λ
(58)
(59)
(60)
Aehnlich der Addition erhalten wir aus diesen Gleichungen weitere Eigenschaften wie
die Identitaeten(61-64), die Assoziativitaet(65) und NF bezueglich des zweiten Argumentes zu sein(66), sofern das erste von Null verschieden ist, zusaetzlich erhalten wir
mit der Addition das linke Distributivgesetz(67).
α∗0=0
0∗α=0
1∗α=α
α∗1=α
α ∗ (β ∗ γ) = (α ∗ β) ∗ γ
α > 0 =⇒ (fα (β) 7→ α ∗ β ist N F )
α ∗ (β + γ) = α ∗ β + α ∗ γ
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
Wir haben erneut keine Kommutativitaet und im Gegensatz zum linken Distributivgesetz gilt das rechte Distributivgesetz nicht.
11
Gegenbeweis Kommutativitaet
Der Gegenbeweis zur Kommutativitaet folgt analog zu dem der Addition ueber ein Gegenbeispiel bei dem ein Argument eine transnite Zahl ist. Wenn wir an ω von links
Zwei herranmultiplizieren(69) erhalten wir 2 ∗ ω = ω , wenn wir die Zwei von rechts
herranmultiplizieren(68) erhalten wir ω ∗ 2 = ω + ω .
Bei der Multiplikation von links ordnen wir unendlich viele zweier Mengen hintereinander an, welche nach umnummerieren leicht sichtbar ω entsprechen waehrend wir bei
der Multiplikation von rechts zwei mal ω hintereinander anordnen.
{11 < 21 < 31 < ... < ω < ω + 1 < ω + 2 < ω + 3 < ...} = ω + ω
{11 < 21 < 12 < 22 < 13 < 23 < ...} −→ {1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < ...} = ω
(68)
(69)
Assoziativitaet
Der Beweis der Assoziativitaet erfolgt per Induktion ueber γ .
γ = 0 : α ∗ (β ∗ 0) = α ∗ 0 = 0 = (α ∗ β) ∗ 0
γ + 1 : α ∗ (β ∗ (γ + 1)) = α ∗ (β ∗ γ + β) = α ∗ (β ∗ γ) + α ∗ β
= (α ∗ β) ∗ γ + α ∗ β = (α ∗ β) ∗ (γ + 1)
λ ∈ Li : α ∗ (β ∗ λ) = sup α ∗ (β ∗ γ) = sup(α ∗ β) ∗ γ = (α ∗ β) ∗ λ
γ<λ
γ<λ
(70)
(71)
(72)
(73)
Der Nachfolgerschritt und das Umklammern darin folgt aus der zweiten Rekursionsregel, der Limesschritt dann aus der dritten Rekursionsregel und dem Nachfolgerschritt.
12
Multiplikation
Beweis der Identitaeten
Die erste Identitaet wird uns wieder bereits als eine der 3 Rekursionsgleichungen(58)
geliefert.
Die zweite liefert die Induktion ueber α :
α=0 : 0∗0=0
α + 1 : 0 ∗ (α + 1) = 0 ∗ α + 0 ∗ 1 = 0
α ∈ LI : 0 ∗ α = sup 0 ∗ β = sup 0 = 0
β<α
β<α
(74)
(75)
(76)
Die dritte erhalten wir ebenfalls per Induktion ueber α:
α=0 : 1∗0=0
α + 1 : 1 ∗ (α + 1) = 1 ∗ α + 1 ∗ 1 = α + 1
α ∈ LI : 1 ∗ α = sup 1 ∗ β = sup β = α
β<α
β<α
(77)
(78)
(79)
Die vierte ergibt sich daraus dass nach der zweiten Rekursionsregel gilt dass:
α ∗ 1 = α ∗ (0 + 1) = α ∗ 0 + α = 0 + α = α
(80)
Normalfunktion bezueglich des zweiten Arguments
Die Stetigkeit wird uns wieder gleich per Denition geliefert(60).
Bei der Monotonie haben wir fuer die Multiplikation jedoch die neue Einschraenkung
das das erste Argument nicht Null sein darf, da α ∗ β sonst fuer alle β gleich Null sein
wuerde. Fuer α > 0 gibt es Nachfolgermonotonie da dann fuer alle β gilt:
α ∗ β < α ∗ β + α = α ∗ (β + 1)
(81)
Somit ist die Multiplikation bezueglich des zweiten Argumentes sofern das erste ungleich Null ist eine Normalfunktion.
Sofern das erste Argument Null ist haben wir aber immernoch schwache Monotonie, da
dann 0 ∗ β1 = 0 ∗ β2 = 0 gilt.
Bezueglich des ersten Argumentes haben wir unabhaengig der Wahl des zweiten nur
schwache Monotonie da:
α1 ≤ α2 =⇒ (α1 ∗ β ≤ α2 ∗ β)
(82)
Den Beweis fuer die Verletzung der starken Monotonie koennen wir wieder per Gegenbeispiel fuehren da 1 ∗ ω = ω = 2 ∗ ω
Der Beweis fuer die schwache geht durch Induktion ueber β :
β = 0 : α1 ∗ 0 = 0 = α2 ∗ 0
β + 1 : α1 ∗ (β + 1) = α1 ∗ β + α1 ≤ α2 ∗ beta + α2 = α2 ∗ (β + 1)
λ ∈ Li : α1 ∗ λ = sup(α1 ∗ γ) ≤ sup(α2 ∗ γ) = α2 ∗ λ
γ<λ
γ<λ
(83)
(84)
(85)
13
Distributivgesetz
Der Nachweis des linken Distributivgesetzes(67) laeuft per Induktion ueber γ :
γ = 0 : α ∗ (β + 0) = α ∗ β = α ∗ β + 0 = α ∗ β + α ∗ 0
γ + 1 : α ∗ (β + (γ + 1)) = α ∗ ((β + γ) + 1) = (α ∗ (β + γ)) + α
= (α ∗ β + α ∗ γ) + α = α ∗ β + (α ∗ γ + α) = α ∗ β + α ∗ (γ + 1)
λ ∈ Li : α ∗ (β + λ) = sup(α ∗ (β + γ)) = sup(α ∗ β + α ∗ γ))
γ<λ
γ<λ
=α∗β+α∗λ
(86)
(87)
(88)
(89)
(90)
Die Existenz des rechten Distributivgesetzes (α + β) ∗ γ = α ∗ γ + β ∗ γ kann mit einem
Gegenbeispiel widerlegt werden, denn (1 + 1) ∗ ω = 2 ∗ ω = ω 6= ω ∗ 2 = ω + ω =
(1 ∗ ω) + (1 ∗ ω).
Linkskuerzungsregel
Um mithilfe der Multiplikation jetzt eine Division zu denieren brauchen wir wieder
eine Kuerzungsregel, analog zur Addition ist es eine Linkskuerzungsregel.
α > 0 ∧ α ∗ β = α ∗ γ =⇒ β = γ
(91)
Dies muss gelten da sowohl β < γ als auch γ < β einen Widerspruch erzeugen wuerden
mit der Monotonieeigenschaft als NF bezueglich des zweiten Argumentes der Multiplikation.
14
Multiplikation
Linksdivision mit Rest
α beliebige Ordinalzahl ∧ β > 0 =⇒ ∃!!γ, ρ (α = β ∗ γ + ρ ∧ ρ < β)
(92)
Wir beweisen als erstes die Eindeutigkeit.
Sei o.B.d.A β ∗ γ1 + ρ1 = β ∗ γ2 + ρ2 mit ρ1 < β ∧ ρ2 < β
Sei γ1 6= γ2 ∧ γ1 < γ2
dann β ∗ γ1 + ρ1 < β ∗ γ1 + β = β ∗ (γ1 + 1) ≤ β ∗ γ2 ≤ β ∗ γ2 + ρ2 (93)
(94)
(95)
Also ist γ1 = γ2 und daher auch β ∗ γ1 = β ∗ γ2 Anwendung der Linkskuerzungsregel
der Addition liefert dann ρ1 = ρ2
Nun brauchen wir noch die Existenz.
Hierfuer sei µ Operator τ = µδ mit α < β ∗ δ , das ganze ist wohldeniert, denn es gibt
solche δ , zum Beispiel ist α < β ∗ α + β = β ∗ (α + 1) fuer alle β > 0 .
τ ist weder 0 noch Limeszahl. Da sonst fuer alle ι < tau gelten wuerde das β ∗ ι ≤ α
und daraus folgen wuerde das β ∗ τ = sup ι < τ β ∗ ι ≤ α .
Da τ weder 0 noch Limeszahl ist hat es einen unmittelbaren Vorgaenger γ mit γ +1 = τ .
Daraus folgt dann β ∗ γ ≤ α.
Wir bestimmen uns jetzt noch den Rest ρ so das gilt β ∗ γ + ρ = α und sehen dann
leicht dass aus β ∗ γ + ρ = α < β ∗ (γ + 1) = β ∗ γ + β folgt ρ < β .
15
Potenzierung
Denition
Da wir eine Multiplkation haben ist als naechstes die Potenzierung, also die n-malige
Multiplizierung einer Zahl α mit sich selbst, von Interesse.
Wir können sie wieder auf zwei zueinander aequivalene Arten denieren, direkt oder
ueber Rekursionsregeln. Die direkte Denition lautet:
hE, <∗ i = hM, <ihN,<i
E = {f ∈ N M |f (x) 6= 0M f uer nur endlich viele x ∈ N }
4(f, g) = max{x ∈ N |f (x) 6= g(x)}
f <∗ g f alls f 6= g und f (4) < g(4)
(96)
(97)
(98)
(99)
Dabei ist 0M das erste Element von M. Wir denieren sie also wenn wir sie direkt
denieren ueber die Menge aller Funktionen f die von dem Exponenten in die Basis
abbilden mit der Eigenschaft das nur endlich viele x aus N auf ein Element das nicht
dem ersten Element von M entspricht abgebildet werden.
Am Beispiel sieht das ganze dann so aus: Seien M = {0 < 1} und N = {0 < 1 < 2}
dann existieren Abbildungen fk (N ) −→ M :
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
: (0, 0), (1, 0), (2, 0)
: (0, 0), (1, 0), (2, 1)
: (0, 0), (1, 1), (2, 0)
: (0, 0), (1, 1), (2, 1)
: (0, 1), (1, 0), (2, 0)
: (0, 1), (1, 0), (2, 1)
: (0, 1), (1, 1), (2, 0)
: (0, 1), (1, 1), (2, 1)
(100)
(101)
(102)
(103)
(104)
(105)
(106)
(107)
Diese acht verschiedenen Abbildungen sind alle moeglichen Abbildungen von N nach
M und wirkoennen sie wie oben gegeben der Groesse nach sortieren, zum Beispiel
unterscheiden sich f1 und f2 schon im dritten Tupel, also fuer x = 2 und dabei ist
f1 (2) = 0 < 1 = f2 (2), also ist f1 < f2 .
Wir denieren sie wieder ueber 3 Rekursionsregeln.
α0 = 1
αβ+1 = αβ ∗ α
λ ∈ Li =⇒ αλ = sup αγ
0<γ<λ
16
(108)
(109)
(110)
Potenzierung
Wir erhalten verschiedene schoene Eigenschaften wie der Umstand NF in Abhaengigkeit
vom zweiten Argument zu sein(111) oder verschiedene Potenzgesetze(112,113) und 3
Identitaeten(114-116).
fα (β) −→ αβ ist N F f uer α > 1
αβ ∗ αγ = αβ+γ
(αβ )γ = αβ∗γ
α 6= 0 =⇒ 0α = 0
α1 = α
1α = 1
(111)
(112)
(113)
(114)
(115)
(116)
Wegen der fehlenden Kommutativitaet der Multiplikation gelten jedoch nicht alle uns
bekannten Potenzgesetze auch hier.
Die Identitaeten
Wir beweisen die erste Identitaet(114) per Induktion ueber α :
α = 1 : 01 = 0
α + 1 : 0α+1 = 0α ∗ 0 = 0
λ ∈ Li : 0λ = sup 0γ = sup 0 = 0
0<γ<λ
0<γ<λ
(117)
(118)
(119)
Die zweite(106) ergibt sich daraus, dass:
α1 = α0+1 = α0 ∗ α = 1 ∗ α = α
(120)
Den dritten(107) beweisen wir wieder per Induktion ueber α
α = 0 : 10 = 1
α + 1 : 1α+1 = 1α ∗ 1 = 1 ∗ 1 = 1
λ ∈ Li : 1λ = sup 1γ = sup 1 = 1
0<γ<λ
0<γ<λ
(121)
(122)
(123)
17
NF bzgl. zweitem Argument, Monotonie
Die Nachfolgermonotonie fuer α > 1 ist schnell gezeigt denn αβ < αβ ∗ α = αβ+1 .
Bei der Stetigkeit muessen wir die Limeszahlen naeher untersuchen wegen des Umstandes, dass die Rekursivregel aus der wir sie erhalten die Einschraenkung 0 < γ enthaelt.
Da aber α0 = 1 < α gilt fuer α > 1 koennen wir diese Einschraenkung sofort wieder vergessen, zumindest fuer den Nachweis der Stetigkeit, weil damit αλ = sup αγ = sup αγ
0<γ<λ
γ<λ
gilt.
Im ersten Argument(der Basis) oder fuer α < 2 erhalten wir nur schwache Monotonie(124), da Gleichheit auftreten kann. Beweis per Induktion(125-127) ueber β :
α1 ≤ α2 =⇒ α1β ≤ α2β
β = 0 : α10 = 1 = α20
β + 1 : α1β+1 = α1β ∗ α1 ≤ α2β ∗ α1 ≤ α2β ∗ α2 = α2β+1
λ ∈ Li : α1λ = sup α1γ ≤ sup α2γ = α2λ
0<γ<λ
0<γ<λ
(124)
(125)
(126)
(127)
Potenzgesetze
Der Beweis fuer das erste der beiden geltenden Gesetze(112), erfolgt per Induktion
ueber γ :
γ = 0 : αβ ∗ α0 = αβ ∗ 1 = αβ = αβ+0
(128)
β
γ+1
β
γ
γ+1 : α ∗α
= α ∗ (α ∗ α) =
(129)
β
γ
β+γ
(β+γ)+1
β+(γ+1)
(α ∗ α ) ∗ α = α
∗α=α
=α
(130)
β
λ
β+λ
λ ∈ Li ∧ (α = 0 ∨ α = 1) : α ∗ α = α = α
(131)
β
λ
β
γ
β+γ
β+λ
λ ∈ Li ∧ α > 1 : α ∗ α = sup α ∗ α = sup α
=α
(132)
γ<λ
γ<λ
Der Beweis fuer das zweite(113) der geltenden Gesetze, erfolgt ebenfalls per Induktion
ueber γ :
γ=0
γ+1
λ ∈ Li ∧ α < 2
λ ∈ Li ∧ α > 1
:
:
:
:
(αβ )0 = 1 = α0 = αβ∗0
(αβ )γ+1 = (αβ )γ ∗ αβ = αβ∗γ ∗ αβ = αβ∗γ+β = αβ∗(γ+1)
(αβ )λ = αβ∗λ
(αβ )λ = sup(αβ )γ = sup αβ∗γ = αβ∗λ
γ<λ
γ<λ
(133)
(134)
(135)
(136)
Das von den natuerlichen Zahlen bekannte Potenzgesetz αγ ∗ β γ = (α ∗ β)γ gilt hier
zum Beispiel nicht wie am Gegenbeispiel ω ω ∗ ω ω 6= ω ω = ω 2∗ω = (ω 2 )ω = (ω ∗ ω)ω klar
gemacht werden kann.
18
Potenzierung
Basisdarstellung
Aehnlich der Subtraktion bei der Addition und der Division bei der Multiplikation kann
man eine Zerlegung in kleinere Zahlen durch die Basisdarstellung denieren.
σ > 1 ∧ α > 0 =⇒ ∃!!β, γ, ρ(α = σ β ∗ γ + ρ ∧ β ≤ α ∧ 0 < γ < σ ∧ ρ < σ β ) (137)
Es gilt zu zeigen, dass diese β, γ, ρ existieren und dass sie fuer gegebene σ, α eindeutig
sind. Dazu nehmen wir an, dass wir zwei verschiedene solche Darstellungen haben
σ β1 + ρ1 = α = σ β2 + ρ2 . Wir nehmen jetzt an dass β1 6= β2 sei und nehmen dann ohne
weitere Beschraenkung der Allgemeinheit an dass gilt β1 < β2 und fuerhen das jetzt
zum Wiederspruch.
σ β1 ∗ γ1 + ρ1 < σ β1 ∗ γ1 + σ1β = σ1β ∗ (γ1 + 1) ≤ σ1β ∗ σ
= σ β1 +1 ≤ σ β2 ≤ σ β2 ∗ γ2 ≤ σ β2 ∗ γ2 + ρ2 (138)
(139)
Damit ist β1 = β2 Die Gleichheit der anderen Variablen folgt dann aus der Division.
Bleibt noch die Existenz zu zeigen.
Wir stellen zuerst fest das α ≤ σ α gilt wenn σ > 1, was es nach Vorraussetzung ist.
Dies koennen wir per Induktion ueber α zeigen:
α = 0 : 0 < σ0 = 1
α + 1 : α + 1 ≤ σ α ∗ σ = σ α+1
λ ∈ Li : λ ≤ sup σ γ = σ λ
0<γ<λ
(140)
(141)
(142)
Der Induktionsanfang(140) folgt direkt aus der ersten Rekursionsregel der Potenzierung(108), der Nachfolgerschritt(141) erfordert etwas mehr Ueberlegung, wir stellen
zuerst fest das wir ein α haben fuer das mindestens die Gleichheit gilt, dann erhalten
wir durch Rechtsaddition der Eins auf beiden Seiten dass α + 1 ≤ σ α + 1, ausserdem
wissen wir das σ α echt kleiner ist als σ α ∗ σ , weil die Potenz eine NF bezueglich des
Exponenten ist, woraus folgt das der Nachfolger von σ α kleiner oder gleich σ α ∗ σ sein
muss und damit α+1 ≤ σ α ∗σ , bei der Limesbildung ergibt sich dann unter Umstaenden
wieder Gleichheit da zum Beispiel 2ω = ω ist.
Sei jetzt α = σ α . Dann ist β = α, γ = 1 und ρ = 0.
Es bleibt also noch der Fall α < σ α . Wir nehmen uns erneut zuerst einen µ Operator
zu Hilfe so dass τ = µδ(α < σ δ ) gilt . τ ist oensichtlich nicht Null sofern α 6= 0 , da
sonst σ 0 = 1 > α und wir koennen auch schnell beweisen dass es keine Limeszahl ist,
da sonst σ ι ≤ α waere fuer alle ι < τ so auch σ τ = sup σ ι ≤ α .
ι<τ
Daraus folgt das τ einen Vorgaenger hat, dieser ist β + 1 = τ und damit β ≤ σ β ≤ α.
Wir wenden jetzt die Division(91) an um γ und ρ zu erhalten so das gilt : α = σ β ∗γ +ρ.
Dabei ist γ > 0, da sonst gelten wuerde das σ β ∗ γ + ρ = ρ < α ist.
Ferner gilt das γ < σ ist da sonst σ β ∗ σ ≤ σ β ∗ γ waere, was zu σ τ = σ β+1 = σ β ∗ σ ≤
σ β ∗ γ ≤ σ β ∗ γ + ρ = α was der Wahl von τ wiederspricht.
19
Polynomdarstellung zur Basis σ
Mithilfe dieser Basisdarstellung koennen wir jetzt die Ordinalzahlen als Polynom zu
einer Basis σ > 1 darstellen. Es gilt:
∃!!n, x, y, z
(x : (n + 1) −→ {δ|0 < δ < σ}
∧y : (n + 1) −→ On ∧ α ≥ y(n) ∧ ∀i(i < n =⇒ y(i + 1) > y(i))
∧z : (n + 1) −→ On ∧ z(0) = σ y(0) ∗ x(0)
∧∀i(i < n =⇒ z(i + 1) = σ y(i+1) ∗ x(i + 1) + z(i))
∧α = z(n)
(143)
(144)
(145)
(146)
(147)
Eine Ordinalzahl hat damit eine eindeutige Darstellung als σ -Polynom der Form:
α = σ βn ∗ γn + ... + σ β1 ∗ γ1 + σ β0 ∗ γ0
(148)
Wobei alle Koezienten zwichen Null und σ liegen und die Exponenten eine fallende
endliche Folge sind.
Dies ist insbesondere nuetzlich da wir als Basis ω waehlen koennen und damit eine
vernuenftige Methode haben, auchω die transniten Ordinalzahlen darzustellen. Wenn
ω
ω
wir Limes der Folge ω, ω ω , ω ω , ω ω ... betrachten erhalten wir eine Ordinalzahl, die die
erste Ordinalzahl ist die sich nichtmehr mit einer endlichen Menge unendlicher Exponenten darstellen lassen, wir taufen diese als 0 , hierbei ist anzumerken das die Menge
der Koezienten
des Polynoms endlich bleibt, eines der βn ist dann nur halt in der
...
ωω
Form β = ω
20
Kardinalzahlen
Kardinalzahlen
Denition
Wir wollen jetzt kurz die Kardinalzahlen und die Rechenoperationen auf ihnen denieren und mit dem Ordinalzahlen vergleichen.
Wir stellen dabei als erstes fest das die Kardinalzahlen einerseits spezielle Ordinalzahlen sind und andererseits ebenfalls eine Verallgemeinerung der natuerlichen Zahlen und
eine Moeglichkeit sie zu denieren als eben jene Kardinalzahlen die endlich sind.
Hier erhalten wir auch schon einen der Hauptunterschiede zu den Ordinalzahlen, bei
den Kardinalzahlen benoetigen wir an sich nur die Maechtigkeit einer Menge A aber
keine Ordnung auf ihr.
Wir denieren die Kardinalzahlen Cn als:
Cn = {α|¬∃β ∈ α β ∼ α}
(149)
Die Kardinalitaet einer Menge A wird auch als |A| geschrieben. Wenn zwei Mengen
gleichmaechtig sind so existiert eine Bijektion zwischen ihnen und ihre Kardinalzahl ist
gleich |A| = |B| = a . Die Mengen liegen also in einer Aequivalenzklasse bezueglich der
Relation Gleichmaechtigkeit.
Daher sind nach dieser Denition Kardinalzahlen keine Mengen sondern echte Klassen.
Sofern wir die Mengeneigenschaften benoetigen koennen wir uns jedoch entscheiden
aus der Aequivalenzklasse jeweils einen Representanten auszuwaehlen. Wenn wir hierfuer die jeweils kleinste Ordinalzahl dieser Maechtigkeit waehlen ergeben sich unsere
Kardinalzahlen als spezielle Ordinalzahlen.
Diese Zuordnung ist zwar leicht gemacht, aber aufgrund der Unterschiede beider Arten von Zahlen ist Vorsicht geboten, wir erinnern uns das ω 6= ω + 1 war jedoch ist
|ω| = |ω + 1|, ihre Stellung in der Ordnung ist also unterschiedlich ihre Kardinalitaet
aber gleich.
Wir denieren als Kardinalzahl, die die Maechtigkeit der Menge der natuerlichen Zahlen representiert ℵ0 . Sie ist die kleinste transnite Kardinalzahl, sie ist die Maechtigkeit
aller abzaehlbar unendlichen Mengen. Es gibt weitere transnite Kardinalzahlen, die
naechstgroessere ist ℵ1 , die erste ueberabzaehlbare Kardinalzahl, unter Annahme der
Kontinuumshypothese laesst sich zeigen das sie der Maechtigkeit der reelen Zahlen
entspricht, ohne diese laesst sich jedoch immernoch zeigen das ℵ1 ≤ |R| ist. Wir koennen die transniten Kardinalzahlen entsprechend ihrer Maechtigkeit ordnen und ihnen
dementsprechend Ordinalzahlen als Indizes zuweisen.
21
Addition
Wir haben analog zu den Ordinalzahlen auch eine Addition deniert ueber die Vereinigung der Mengen, sofern diese disjunkt sind, wir stellen aber weniger Anforderungen
an diese Vereinigung da uns nur die Maechtigkeit interessiert nicht aber die Position
eines Elementes in der Menge.
|A| + |B| := |A ∪ B| ( wenn A ∩ B = ∅)
(150)
Wie sieht es jetzt mit den Eigenschaften dieser Operation aus?
Im Gegensatz zu den Ordinalzahlen haben wir neben Assoziativitaet(151) auch Kommutativitaet(152).
(|A| + |B|) + |C| = |A| + (|B| + |C|)
|A| + |B| = |B| + |A|
(151)
(152)
Die Kommutativitaet bedeutet das a + 0 = a = 0 + a unsere ersten beiden von der
Ordinalzahladdition bekannten Identitaeten(30,31) zu einer zusammenfallen die dritte(32) gilt fuer endliche Kardinalzahlen, wobei Dank der Kommutativitaet es wieder
egal ist ob die Eins von links oder rechts addiert wird, fuer die transniten und damit
allgemein gilt sie jedoch nicht der Nachfolger von ℵ0 ist ℵ1 welcher denitiv groesser
ist als ℵ0 + 1. Die transniten Kardinalzahlen sind also bezueglich der Addition mit
kleineren Kardinalzahlen Fixpunkte bei denen die groesste Kardinalzahl die kleineren
einfach verschluckt sozusagen.
Die Eigenschaft Normalfunktion zu sein erforderte zwei andere Eigenschaften, Nachfolgermonotonie und Stetigkeit, aufgrund der Fixpunkte erhalten wir jedoch allgemein
nur schwache Monotonie |A| ≤ |A0 | ∧ |B| ≤ |B 0 | =⇒ |A| + |B| ≤ |A0 | + |B 0 | .
Mit der Stetigkeit sieht es sogar noch schlimmer aus da diese fuer transnte garnicht
gilt. Angenommen wir haben eine transnite Kardinalzahl ℵβ und addieren mit einer
beliebigen anderen Kardinalzahl α, so kriegen wir falls α kleiner oder gleich ℵβ ist ℵβ
als Ergebniss und sofern sie groesser ist α.
Fuer das sup α + γ erhalten wir jedoch falls α kleiner ist und falls β weder Limeszahl
γ<ℵβ
noch Null ist ℵτ wobei β = N f (τ ).
Bei den Kuerzungsregeln ergibt sich aus der Kommutativitaet, dass wir sowohl links
als auch rechtsseitig kuerzen koennen, wobei aufgrund der fehlenden Stetigkeit keine
Eindeutigkeit gesichert ist sobald eine der Zahlen transnit ist.
Fuer transnite Kardinalzahlen α gilt dabei :
ℵ0 ≤ α ≤ β
α+1=α
α + ℵ0 = α
α+β =β
α+α=α
(153)
(154)
(155)
(156)
(157)
Analog fuer die Multiplikation, alle transniten Kardinalzahlen veraendern sich also
durch kleinere Kardinalzahlen nichtmehr, was bei Ordinalzahlen nicht gilt.
22
Kardinalzahlen
Multiplikation
Aehnlich der Multiplikation der Ordinalzahlen denieren wir diese ueber das kartesische
Produkt zweier Mengen, lassen aber wie bei der Addition die Forderungen nach der
Ordnung weg, sondern interessieren uns nur fuer die Maechtigkeit des Produktes:
|S| = |A| ∗ |B| := |A × B|
(158)
Wieder erhalten wir neben der Assoziativitaet auch die Kommutativitaet und durch
das hinzukommen der Kommutativitaet neben den Identitaeten(55-58) und dem linken
Distributivgesetz(61) auch das rechte(136).
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c
(159)
Die Monotonie liegt wieder nur als schwache vor.
Bei der Division mit Rest ergibt sich wie bei der Subtraktion das wir sowohl Links
als auch Rechts dividieren koennen und damit fuer endliche Kardinalzahlen wieder
bei der uns von den natuerlichen Zahlen bekannten Division landen. Bei transniten
Kardinalzahlen geht wieder die Eindeutigkeit verloren.
23
Potenz
Auch die Potenzierung kommt ohne die ganzen Zusatzbedingungen fuer das Anordnen
der Elemente klar und wieder aendern sich unsere Eigenschaften dadurch, wir denieren
die Potenzierung als:
|P | = |A||B| := |AB |
(160)
Diese Potenzierung ist damit ebenfalls ueber die Menge aller Abbildungen von B nach
A deniert wie es auch die der Ordinalzahlen war. Die Eigenschaften dieser Potenzierung weichen Aufgrund den Abweichungen in der ihr zugrundeliegenden Multiplikation
ebenfalls von denen der Potenzierung der Ordinalzahlen ab.
Wir erhalten wieder unsere Identitaeten(114-116), auch die beiden Potenzgesetze(112,113)
gelten wieder, ausserdem kommt jetzt noch das dritte von den natuerlichen Zahlen bekannte Potenzgesetz hinzu.
ab ∗ cb = (a ∗ c)b
Was die Monotonie angeht so ist diese wieder nur schwach.
24
(161)
Kardinalzahlen
Fazit
Allgemein sollte man beim betrachten der Kardinalzahlen als spezielle Ordinalzahlen
sehr vorsichtig sein aufgrund der Unterschiede im Verhalten bei transniten Zahlen
ebenso wie wegen der Unterschiede in den Rechenoperationen, die durch diese entstehen, die dafuer sorgen das auch wenn sich beides Addition, Multiplikation oder Potenz
nennt voellig verschiedene Werte herauskommen koennen, am Beispiel |ω| = ℵ0 =
|ω ∗ 2| aber ω ∗ 2 6= ω .
Als Verallgemeinerung, der natuerlichen Zahlen, erhalten Kardinalzahlen und Ordinalzahlen verschiedene wichtige Eigenschaften, welche sich besser eignet kommt jetzt also
darauf an ob Kommutativitaet oder Stetigkeit der Operation wichtiger ist.
25
Quellen
Bücher:
A. Oberschelp(1994): Allgemeine Mengenlehre. Mannheim: F.A. Brockhaus AG.
Oliver Deiser(2004): Einführung in die Mengenlehre. Berlin Heidelberg: Springer Verlag.
Paul R. Halmos(1994): Naive Mengenlehre. Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
Onlinequellen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kardinalzahl_(Mathematik)
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl#Motivation_und_Definition
http://de.wikipedia.org/wiki/Transfinite_Arithmetik#Allgemeine_Summe
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