Logik, Mengenlehre - Informationssysteme

Grundbegriffe aus Logik und Mengenlehre
Prädikatenlogik
wohlverstandene Grundlagen,
eine formale Sprache
zur Beschreibung statischer und dynamischer
Gesichtspunkte eines Unternehmens
syntaktisch und semantisch genau zu fassen.
• Funktionszeichen: F = ∪n ∈ IN Fn,
Fn = {f0n, f1n, f2n...};
für n = 0 deuten wir die nullstelligen Funktionszeichen als
Konstantenzeichen ;
dienen dazu, bestimmte einzelne einfache Seiende zu
bezeichnen.
• Individuenvariablen: V = {v0,v1,v2,...};
dienen dazu, unbestimmte ("beliebige") Seiende zu bezeichnen.
• Terme: werden induktiv aus Funktionszeichen und
Individuenvariablen gemäß folgender Vorschrift gebildet:
i) Jede Individuenvariable und jedes Konstantenzeichen ist ein
Term.
ii) Ist fn ein n-stelliges Funktionszeichen und sind t1,...,tn
Terme, so ist auch fn(t1,...,tn) ein Term.
• Grundterme: Terme ohne Individuenvariablen.
Terme dienen ganz allgemein dazu,
Seiende zu bezeichnen.
Der syntaktische Aufbau eines Termes kann benutzt
werden,
um die innere Struktur eines zusammengesetzten Seienden
auszudrücken.
Terme der Form f(t1,...,tn) kann man auch verwenden, um
eine Eigenschaft einer durch die Teilterme t1,...,tn
bezeichneten Gegebenheit zu beschreiben.
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3.1
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3.2
Prädikatenzeichen: P
=
∪n ∈ IN
Pn,
• Formeln (1. Stufe): Formeln werden induktiv aus
Prädikatenzeichen und Termen mit Hilfe von aussagenlogischen
Junktoren und Quantoren für Individuen gemäß folgender
Vorschrift gebildet:
Pn = {P0n, P1n, P2n, ...}.
• Gleichheitszeichen: =
sei ein Element aus P2.
Prädikatenzeichen dienen dazu,
mögliche Beziehungen zwischen Seienden und mögliche
Eigenschaften (Attribute) von Seienden oder Beziehungen
zu benennen.
Das Gleichheitszeichen wird
als besonders ausgezeichnetes Prädikatenzeichen behandelt,
das immer so interpretiert wird,
daß es die Identität zwischen den bezeichneten Seienden
ausdrückt.
i) Ist Pn ein n-stelliges Prädikatenzeichen und sind t1,...,tn
Terme,
so ist Pn(t1,...,tn) eine (atomare) Formel.
ii) Sind Φ und Ψ Formeln
und x eine Individuenvariable,
so sind auch
(Φ ∧ Ψ),
(Φ ∨ Ψ),
(¬Φ),
(∀x)Φ,
(∃x)Φ
Formeln.
Formeln dienen dazu,
Aussagen und Aussageformen über Seiende und ihre
Beziehungen und Eigenschaften zu bilden.
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3.3
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3.4
• Freies und gebundenes Vorkommen von Variablen:
Diese Begriffe werden durch Induktion über den Aufbau von
Formeln gemäß folgender Vorschrift festgelegt:
i*) Alle Individuenvariablen aus t1,...,tn kommen in Pn(t1,...,tn)
frei vor.
ii*) Kommt eine Individuenvariable x in Φ oder Ψ frei vor, so
kommt sie auch frei vor in (Φ ∧ Ψ), (Φ ∨ Ψ), (¬Φ),
(∀y)Φ, (∃y)Φ mit y ≠ x,
{
Funktionszeichen
speziell: Konstantenzeichen
Terme
bezeichnen Seiende
Individuenvariablen
Prädikatenzeichen
kommt sie gebunden vor in (∀x)Φ, (∃x)Φ.
• Aussagen: Formeln ohne freies Vorkommen von Variablen,
insbesondere atomare Grundformeln (atomare Formeln ohne
Individuenvariablen).
Aussagen werden wir hauptsächlich für aufzählend
dargestelltes Wissen und für Bedingungen verwenden.
atomare Formeln (speziell Aussagen)
bezeichnen (grundlegende)
Beziehungen, Eigenschaften
Aussageformen, also Formeln, die frei vorkommende
Individuenvariablen enthalten, werden wir dagegen
hauptsächlich für Regeln benutzen.
aussagenlogische Verknüpfungen
(prädikatenlogische) Quantoren
Formeln (speziell Aussagen)
bieten Ausdruckmittel für
Aggregation
Verallgemeinerung
Klassenbildung
Aussonderung
.
.
.
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3.5
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3.6
Syntax:
M = (d,δ) und ß legen Bedeutung aller Sprachmittel fest:
Funktionszeichen
Individuenvariablen
1. ß auf beliebige Terme fortsetzen:
Terme
atomare
Formeln
Prädikatenzeichen
Formeln
∧,∨,¬
ß(f0) := δ(f0).
ß(fn(t1,...,tn)) := δ(fn)(ß(t1),...,ß(tn)).
2. Formeln auswerten:
∀x, ∃x,
|=M,ß Pn(t1,...,tn):gdw(ß(t1),...,ß(tn)) ∈ δ(Pn)
Semantik :
Struktur (Interpretation): M = (d,δ) mit
d ist nichtleere (Werte-) Menge (Universum);
δ ist eine Zuordnung
von Funktionszeichen zu Funktionen auf d
und von Prädikatenzeichen zu Relationen auf d:
×i=1,...,n d → d,
δ(Pn) ⊂ ×i=1,...,n d ,
δ(fn) :
|=M,ß (Φ ∧ Ψ) :gdw
|=M,ß Φ und |=M,ß Ψ
|=M,ß (Φ ∨ Ψ) :gdw
|=M,ß Φ oder |=M,ß Ψ
|=M,ß (¬Φ)
:gdw
nicht |=M,ß Φ
|=M,ß (∀x) Φ
:gdw
für alle ß' mit ß =x ß' gilt |=M,ß' Φ
|=M,ß (∃x) Φ
:gdw
es gibt ß' mit ß =x ß' mit |=M,ß' Φ
wobei das Gleichheitszeichen = stets durch
{(x,x) | x ∈ d} interpretiert sei.
Variablenbelegung zur Struktur M = (d,δ): ß : V → d.
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3.7
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3.8
• Modell einer Formel:
M = (d,δ) ist Modell einer Formel Φ,
|=M Φ (Φ gültig in M)
:gdw für alle Belegungen ß gilt : |=M,ß Φ.
Die Begriffe der Allgemeingültigkeit, der Erfüllbarkeit, der
Unerfüllbarkeit und der logischen Implikation sind hier
deklarativ definiert worden,
wobei nicht ohne weiteres zu erkennen ist, ob und
gegebenenfalls wie sie operationalisiert und damit
algorithmisch behandelt werden können.
• Modellklasse einer Formel (-menge) Φ:
Mod (Φ) := {M | Φ ist gültig in M}.
• Allgemeingültigkeit:
Eine Formel Φ ist allgemeingültig
:gdw jede Struktur M ist Modell von Φ.
Tatsächlich führen sie aus dem Bereich des (algorithmisch)
Entscheidbaren hinaus, verbleiben aber mit der Ausnahme
der Erfüllbarkeit im Bereich des (algorithmisch)
Aufzählbaren.
• Erfüllbarkeit:
Eine Formel Φ ist erfüllbar
:gdw es gibt eine Struktur M, die Modell von Φ ist.
• Unerfüllbarkeit:
Eine Formel Φ ist unerfüllbar
:gdw es gibt keine Struktur M, die Modell von Φ ist.
• logische Implikation:
Eine Formel (-menge) Φ impliziert logisch eine
Formel (-menge) Ψ, Φ |= Ψ,
:gdw Mod (Φ) ⊂ Mod (Ψ).
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3.9
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3.10
Mengenlehre
Bildung von Teilmengen oder
ausgesonderten Mengen:
beschreibt insbesondere, wie ausgehend von vorgegebenen
Mengen neue Mengen gebildet werden können.
Ist M = (d,δ) eine Struktur und
Φ eine Formel,
in der die Variablen x1,...,xk frei vorkommen,
so sei
Für unsere Betrachtungen ist der Fall besonders wichtig,
wie aus einer Menge d von (einfachen) Werten
neue Mengen von möglicherweise strukturierten Werten
gewonnen werden können.
dM,Φ := {(ß(x1),...,ß(xk)) | ß ist Variablenbelegung
mit |=M,ß Φ}
Dies wird durch die folgende induktive Definition erfaßt:
Ist d eine nichtleere Menge,
so können wir aus d induktiv
eine Klasse κd von Mengen konstruieren:
i) d ist in κd.
ii) Sind m, n schon aus κd, so auch
kartesisches Produkt,
m×n
Vereinigung,
m∪n
℘m
Potenzmenge.
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die durch Φ (aus ×i=1,...,k d) ausgesonderte Menge.
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3.11
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3.12
Grundbegriffe aus Logik / Mengenlehre
semantische Begriffe
Seiendes
{
einfach
zusammengesetzt
Syntax
Beziehung
Konstantenzeichen
Eigenschaft / Attribut
Rolle (bei einer Beziehung)
Grundterm (mit Funktionszeichen)
Klassenbildung:
atomare Grundaussage
Gesamtheit
Aussonderung
Verallgemeinerung
Aggregation
Stelle eines Prädikatenzeichens
Menge von Konstantenzeichen
Bedingung:
Formel Φ
Schlüsselbedingung
Aussonderungsbedingung
Verallgemeinerungsbedingung
viele-eins-Bedingung
Seinsbedingung
Verweisbedingung
∨
∧, =
Regel:
(implikative) Aussage
Gesamtheitsregel
Verneinungsregel
Sichtregel
mit Gleichheits-Konklusion
Ableitungsregel oder Formelmenge
Handlung:
Information
Mitteilung
Verstehen
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konjunktiv hinzugefügte Aussage
Widerspruchsfreiheit
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3.13
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3.14
Grundbegriffe aus Logik / Mengenlehre
semantische Begriffe
Semantik
Seiendes
Grundbegriffe aus Logik / Mengenlehre
Syntax
Semantik
Konstantenzeichen
einfach

zusammengesetzt Grundterm
Element einer Wertemenge
(mit Funktionszeichen)
Elemente einer Wertemenge
Tupel einer Relation
Tupel einer (zweistelligen) Relation
Funktionswert
Beziehung
atomare Grundaussage
Tupel einer Relation
Eigenschaft / Attribut
(zweistellige) atomare
Grundaussage
Grundterm
Tupel einer (zweistelligen)
Relation
Funktionswert
Stelle eines Prädikatenzeichens
Komponente einer Relation
Rolle (bei einer Beziehung)
Klassenbildung:
Gesamtheit
Komponente einer Relation
Aussonderung
Verallgemeinerung
Aggregation
Universum
Bedingung:
dM,Φ , Potenzmenge
Menge von Konstanten- Universum
zeichen
Formel Φ
dM,Φ , Potenzmenge
∨
Vereinigung
∧, =
Durchschnitt, kartesisches
Produkt
(implikative) Aussage
Modellklasse
Schlüsselbedingung
mit Gleichheits-Konklusion
Aussonderungsbedingung
Verallgemeinerungsbedingung
viele-eins-Bedingung mit Gleichheits-Konklusion
Seinsbedingung
Verweisbedingung
Vereinigung
Durchschnitt, kartesisches Produkt
Regel:
Gesamtheitsregel
Modellklasse
Verneinungsregel
logische Implikation
Sichtregel
Handlung:
Information
Relation
konjunktiv hinzugefügte
Aussage
Aussage
Widerspruchsfreiheit
Mitteilung
Verstehen
Verkleinern der Modellklasse
Ableitungsregel oder
Formelmenge
Ableitungsregel oder
Formelmenge
Formelmenge
logische Implikation
logische Implikation
Relation
Verkleinerung der Modellklasse
Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit
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3.16
semantische Begriffe
Seiendes
einfach

strukturiert
Beziehung
Eigenschaft
Rolle (bei einer Beziehung)
Klassenbildung:
Gesamtheit
Aussonderung
Verallgemeinerung
Aggregation
Konzepte prozeduraler Programmiersprachen
Konstante
Strukturbaum eines Terms
Verbund (record), Aufruf einer booleschwertigen
Funktionsprozedur
Verbund (record), Aufruf einer attributwertigen
Funktionsprozedur
Komponentenbezeichner eines Verbundes, formaler
Parameter einer Funktionsprozedur
Deklaration einer Prozedur
Regel
Deklaration einer Prozedur
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theory
abstraction
design
erfinden
Deklaration eines Typs
Menge, Deklaration einer booleschwertigen
Funktionsprozedur
Deklaration eines varianten Verbund-Typs
Deklaration eines Feld- (array-) oder Verbund-Typs
Bedingung
Handlung:
Information
Mitteilung
Verstehen
paradigm
formale
Sprache
verwirklichen
benutzen
Zustandsänderung (Wertzuweisung)
aktuelle Parameter beim Aufruf einer Prozedur
Ausführung einer Prozedur
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