Mechanik 1

Physik für Pharmazeuten
und Biologen
MECHANIK I
Kinematik
Dynamik
MECHANIK
Bewegungslehre (Kinematik)
Gleichförmige Bewegung
Beschleunigte Bewegung
Kräfte
Mechanik I
1.1 Kinematik
• Kinematik beschreibt Ablauf einer Bewegung
Bewegung definiert relativ zu
Bezugssystem Koordinatensystem
Ursprung O
r
r (t ) Ortsvektor zu Massepunkt
zum Zeitpunkt t
Einschub Vektorrechnung:
Addition
Subtraktion
skalare und vektorielle
Multiplikation
Mechanik I
Geschwindigkeit
• Differenz der Ortsvektoren zu t1 und t2
r r
r
∆r = r (t2 ) − r (t1 )
• mittlere Geschwindigkeit: Ortsdifferenz / Zeitdifferenz
r ∆r rr (t2 )−rr (t1 )
v = ∆t = t2 −t1
• momentane Geschwindigkeit:
Grenzfall t2t1
r
r
r
r (t2 )−r (t1 )
∆r
v(t1 ) = lim ∆t = lim t2 −t1
t2 →t1
t2 →t1
[l ]
• Einheit [v ] = [t ] = ms
r
• geradlinige Bewegung: Richtung von v ist konstant
r
• gleichförmige Bewegung: Größe von v ist konstant
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe
Ein Vektor hat einen Betrag (Länge des Pfeils) und eine Richtung.
v 2 m
v= 
 3 s
y
m
vy = 3
s
m
m2
m2
v
2
2
v = v x + v y = 9 2 + 4 2 = 13
s
s
s
v
v
vx = 2
m
s
x
Die x- und y-Komponenten erhält man
durch Projektion auf die Achsen
Mechanik I
Beschleuningung
• Differenz der Geschwindigkeitsvektoren zu t1 und t2
r r
r
∆v = v (t2 ) − v (t1 )
• mittlere
Geschwindigkeitsdiff./ Zeitdifferenz
r
r
r Beschleunigung:
a = ∆∆vt = v (tt22)−−tv1(t1 )
• momentane Beschleunigung:
Grenzfall t2t1
r
r
r
v (t2 )−v (t1 )
∆v
a(t1 ) = lim ∆t = lim t2 −t1
t2 →t1
• Einheit
t2 →t1
m
s2
[a] = [t[][l ]t ] =
• Tangentialbeschleunigung: Richtung der Geschwindigkeit wird geändert
r
r r
• Normalbeschleunigung: nur v ändert sich
(v a )
Vektor-Charakter der Beschleunigung
Auch die Beschleunigung ist ein
Vektor.
v[m/s]
r
r
r
∆v dv  m 
a = lim
=  2
t →0 ∆t
dt  s 
dv
und
a=
dt
t[s]
ds
d 2s
v=
⇒a= 2
dt
dt
Mechanik I
einfache Bewegungen
• gleichförmig geradlinige Bewegung
(Tropfenwagen, nur eine Richtung
nur skalar): r (t ) = r0 + vt
• gleichmässig beschleunigte Bewegung
- konstante Kraft bewirkt
konstante Beschleunigung: a = F m
- v ändert sich linear mit der Zeit: v(t ) = v0 + at
- r ändert sich quadratisch mit der Zeit: r (t ) = r0 + v0t + 12 at 2
- bei einfachen Anfangswerten (r0=0, v0=0): v = at , r = 21 at 2 , v = 2ar
• freier Fall: Spezialfall der beschleunigten Bewegung (Fallschnüre)
Entsprechend Gravitationsgesetz (siehe später) erfährt jeder
Körper eine Beschleunigung von (Galileis Fallexperimente)
a = g = 9,81 m / s2
Erdbeschleunigung
Dartpfeil
Wichtige Formeln: die gleichförmig beschleunigte Bewegung
[ ]
a m
s2
a( t) = a
a
[ ]
t[ s]
t
v ms
v (t ) =
∫ a ⋅ dt
0
v (t ) = a ⋅ t + v 0
v0
t[s]
s [m
]
t
s (t ) =
∫ (a ⋅ t +
v 0 )dt
0
s0
t[ s]
s(t) =
a
⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s0
2
Experiment:
Fallender Körper im Schwerefeld (Fallschnur)
a 2
s(t ) = ⋅ t + v 0 ⋅ t + s0
2
mit v 0 = 0, s0 = 0, a = g gilt
a 2
s (t ) = ⋅ t
2
Mechanik I
Addition von Geschwindigkeiten
• alle vektorielle Größen können addiert werden !
Ort bekannt aus Mathematik. Aber auch Geschwindigkeit,
Beschleunigung, ......
• Experiment: Kanonenwagen
Geschwindigkeit von Wagen
und Kugeln addieren sich
• Bezugssystem:
Laborsystem: Wagen bewegt sich, zusätzlich Kugel
Wagen: Kugel bewegt sich
Inertialsystem: nichtbeschleunigtes Bezugssystem
Experiment
Mechanik I
Kanonenwagen
Gleichzeitig verlaufende Bewegungen überlagern sich
ungestört und addieren sich geometrisch
Beispiel: Bewegung eines Boots
v
v ges
v
v Fluß
v
v Fluß
v
v Boot
v
v Boot
v
v
v
v ges = v Fluß + v Boot
Mechanik I
2 Versuche
Dartpfeil
Fallschnur
Mechanik I
Experiment:
g
Dartpfeil auf fallende Scheibe
g
Paradebeispiel: Der waagrechte Wurf
y
v0
a= g
h0
x
Wie weit entfernt landet der Ball ?
Welches ist der Aufschlagwinkel ?
Galileo Galilei
(1564-1642)
In der Natur vorkommende Geschwindigkeiten
Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) :
3 ⋅108 m / s
Schallgeschwindigkeit :
3 ⋅10 m / s
Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) :
2 ⋅103 m / s
Elektronen in der Fernsehröhre :
1 ⋅10 m / s
Schuss aus einer Gaspistole :
2
6
?
Experiment:
Mechanik I
Messung der Geschossgeschwindigkeit
[Tafel]
Anwendungsbeispiel: Neutronen-Flugzeit-Spektrometer
Auswahl Mechanik
/ Analyse
der Neutronen-Geschwindigkeit mit rotierenden
I
Schlitzen (chopper)
Bei 20 °C (= 293 K) ist vNeutron = 2200 m/s
am wahrscheinlichsten (Bolzmannverteilung)
Wassermoderator
(D2O)
Anwendung beschleunigte Bewegung: Massenspektrometer
(time of flight) TOF Analysator
Fel
a=
≈ (1010 − 1014 ) [m / s 2 ]
m
Beschleunigung :
s(t)
freier Flug
Weg-Zeit Diagramm
s2
s1
Beschleunigung
t0
t1
t2
[µs]
Matrix-assisted laser desorption/ionization (MALDI)
Quelle : Lottspeich
Winkelmessungen
b
Das Bogenmaß
b
ϕ=
r
ϕ
r
Obwohl das Winkelmaß einheitenfrei ist,
verwendet man die “Einheit” rad
Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß:
Für 360° (Vollkreis) gilt :
ϕ = 2π
b 2π r
b = 2π r ⇒ ϕ = =
= 2π
r
r
(Kreis-Umfang)
ϕ°
360°
z.B. 45° = 0.785 rad = 2 π / 8 rad
Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
y
s
v r ⋅ cos(ϕ )
s=
 r ⋅sin(ϕ ) 
y = r ⋅sin ϕ
ϕ
x = r ⋅ cosϕ
x
Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an.
ϕ (t) = ω ⋅t
ω:
Winkelgeschwindigkeit
2π
ω = 2π f =
T
f: Frequenz, Drehzahl (Einheit: 1/s oder Hz)
T: Umlaufszeit, Periodendauer
Die Newtonschen Grundgesetze
1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)
Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der
Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.
2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)
Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als
F = m⋅a
[N=kg·m/s2= 1 Newton]
(für m=konstant)
F = d ( m ⋅ v ) / dt
m : „träge Masse“
(allgemein gültig)
3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)
Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern
wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt
gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.
(actio=reactio)
F = −F
12
21
Mechanik I
Experiment actio = reactio
Schwere und träge Masse
Die Materie besitzt neben der Trägheit auch noch
die Eigenschaft der Schwere.
Aber : schwere und träge Masse sind identisch!
FGewicht = ms ⋅ g
FBeschl = mt ⋅ a
=1
ms
a=
g=g
mt
„Äquivalenzprinzip“
Fundamentaler Zusammenhang zwischen Trägheit und Gravitation
Experimentelle Grundlage des Dynamischen Grundgesetzes
v
v
F = m⋅a
Masse [kg]
Beschleunigung[m/s2]
Newton (N) =[kg·m/s2]
Mechanik I
1.2 Dynamik
• Dynamik erklärt Ursache der Bewegung(sänderungen)
• Trägheit:
Galilei: geradlinig gleichförmige Bewegung (ggB) bedarf
keiner Ursache Galileisches Trägheitsprinzip
• Aktionsprinzip:
Newton: Kraft ist notwendig, um Körper aus ggB zu bringen,
verursacht Beschleunigung, verschiedene Körper werden
durch gleiche Kraft
r unterschiedlich beschleunigt.
r
r
&&
F = ma = mr
• Einheit der Kraft:
[F ] = [m][a] = kg m / s2 = N
(Newton)
Mechanik I
Newtons Axiome
• Newton baute gesamte Mechanik auf drei Sätzen auf:
1) Trägheitsprinzip:
Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich
geradlinig gleichförmig. (Ruhe ist Spezialfall mit vr = 0r )
2) Aktionsprinzip:
Wenn eine Kraft r auf einen Körper mit der Masse m
F sie ihn mit
wirkt, beschleunigt
r &&r Fr
a =r = m
3) Reaktionsprinzip:
Wenn die Kraft r , die auf einen Körper wirkt, von
einem anderen FKörper ausgeht, so wirkt auf diesen
die entgegengesetzt gleiche Kraft
r
−F
Mechanik I
Kräfte
• Gravitationskraft: Kraft zwischen
r Massen
r
Gravitationsgesetz: F = G m1 2m2 r
r
r
F1 = F ( r2 − r1 ) = −F ( r1 − r2 ) = −F2
Gravitationskonstante G ≈ 6,67 10
−11 Nm2
kg2
• Gewichtskraft (Schwerkraft):
m1=M=5.98 1024 kg Erdmasse
r=R=6 378 388 m
Erdradius
FG = m g
mit g = GM 2 = 9,81 m / s2
R
g hängt von h (Meereshöhe), bzw. geographischer Breite ab.
• Gravitationskraft verantwortlich für Bewegung der Planeten etc.
(Kepler), Gezeiten
Mechanik I
Kräfte
• Federkraft
aus Beobachtung: rücktreibende Kraft
Fel ist Auslenkung proportional
r
r
r
F = k x = −Fel
k....Federkonstante
später:
Reibungskraft, Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft,
Auftrieb(skraft), innere Reibungskraft in Flüssigkeiten,
Stömungswiderstand, Adhäsions- und Kohäsionskraft,
Kräfte zwischen Ladungen und Strömen, ............
Mechanik I
Zusammenfassung
• Kinematik
Beschreibung der Bewegung
Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
• Dynamik
Ursache der Bewegung
Newtons Axiome
Kräfte: Gravitationskraft, Federkraft
einfache Bewegungen