Quant-ph
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Themenkomplex Quanten Planck - Beziehung E ph h ph Materiewellen 1 Das Photon relativistische Beziehungzwischen Energie und Impuls 2 2 2 2 SRT 0 ph E m c c p 2 h 2 ph c 2 p 2ph h ph h p ph c ph Impuls vs Wellenlänge, wenn m0 0 und E h ph relativistische Energie 2 0 SRT 2 E mc v 1 2 c relativistische Geschwindigkeit pSRT mv 02 ESRT m0c c 2 pSRT v ESRT relativistischer Impuls pSRT m0 v v2 1 2 c Impuls vs Wellenlänge 2 2 2 photon photon 2 rel ph ph ph ph Auisbreitungsgeschwindigkeitdes Photonsist Lichtgeschwindigkeit v c p Diagnose E - Photon ist ein masseloses Teilchen - Energiegehalt des Photons ist h - Impuls des Photons is h/ - Ausbreitungsgeschwindigkeit ist unabhängig von der Energie des Photons - Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum ist die Lichtgeschwindigkeit hc h c c 2 Lichtstöße Impuls von Photonen Symptome - für Emission eines Teilchens aus einem Festkörper gelten Erhaltungssätze - Photon hat nach spezieller Relativitätstheorie einen Impuls ErgebnisSRT p ph E ph c h ph Quantenbillard mit Photonen c Impuls eines Photons Klassisches Billard mit Masseteilchen Diagnose Impuls des emittierten Elektronen wird von Metallplatte aufgenommen Impulserhaltung 3 Kosmische Reisen Kometenschweif ErgebnisSRT E p c blue tail pcosmic particles Impuls eines Photons direction sun psun direction motion Komet Hale Bob Diagnose - Kometenschweif zeigt immer weg von Sonne und nicht in Bewegungsrichtung - Staubteilchen erhalten Impuls durch Photonen der Sonne - blauer Schweif entsteht durch energiereiche Teilchen 4 Kosmische Reisen Fliegender Holländer LightSail-1a 40-m² Segelfläche Diagnose Konzept zum Antrieb von Raumsonden durch Strahlungsdruck des Sonnenlichtes Hermann Oberth (1923) & Konstantin Ziolkowski (1924) 5 Nachweis energetischer Strahlung Nebelkammer INFOBOX Bildung von Nebeltröpfen, wenn Kondensationskeime durch die Wechselwirkung energiereicher Teilchen mit Wasserdampf erzeugt werden Charles Wilson (1869-1959) Diagnose a-Strahlung zeigt den Teilchencharakter energiereicher Strahlung 6 Nachweis energetischer Strahlung Röntgenbeugung Diagnose Röntgenstrahlung zeigt den Wellencharakter energiereicher elektromagnetischer Strahlung 7 elektrodynamisch betrachtet Lichtwelle trifft Ladung I min I max Diagnose - elektromagnetische Welle regt Elektron zu Schwingungen an - Elektron sendet elektromagnetische Welle mit der GLEICHEN Frequenz aus - maximale Emission der ausgesendeten Welle senkrecht zur Oszillation 8 Compton-Streuung Winkelabhängigkeit Wellenlänge einlaufenden Röntgenlichts initial 71 pm Experimentelles Ergebnis 1 cos Arthur Compton 1892-1962 Symptome - unverschobenes Maximum bei Anregungswellenlänge - stärkeres Signal bei längeren Wellenlängen - Wellenlänge vergrößert sich bei größerem Beobachtungswinkel Diagnose Experiment kann klassisch nicht erklärt werden, denn Richtung könnte sich ändern, aber Frequenz nicht 9 Billard mit Photonen Compton-Streuung Symptome - Energie Photonen deutlich höher als Bindungsenergie Elektron - Photon stößt mit quasifreiem, ruhendem Elektron aus Atomhülle Energieerhaltung out electron kin Ein E E pout pin pin electron pmomentum in Impulserha out ltung electron p p pmomentum Diagnose Impuls- und Energieerhaltung müssen erfüllt sein - elastischer Stoß führt zu Energieverlust beim Photon und Änderung der Wellenlänge - Elektron nimmt nicht gesamte Energie des Photons auf 10 Billard mit Photonen Compton-shift ph e Diagnose Relativistische Energie-Impulsgleichung muss im Streuprozess erfüllt sein 11 Herleitung Compton-Streuung p relativistischer Energieerhaltungssatz i 2 f photon electron photon cm c p f c Eelectron f Eelectron i f p photon p photon melectronc c 2 i Impulserha f ltungssatz p photon p photon pelectron 2 p i photon 2 nach Quadrieren ergibt sich 2 2 f f 2 2 p iphotonp photon p photon pelectron Skalarprodukt Gleichungen voneinander abziehen E f f f me2c 2 2 p iph p ph 2 p iphmec 2 p ph mec 2 p iph p ph cos ph c f electron pef 2 relativsitische Energie Impulsrelation 2 f 2 2 f 2 electron e e E m c p f f f me2c 2 2 piph p ph 2 piphmec 2 p ph mec 2 piph p ph cos ph me2c 2 12 Herleitung Compton-Streuung Gleichung nach dem Endimpuls des Photons sortieren f f f me2c 2 2 p iph p ph 2 p iphmec 2 p ph mec 2 p iph p ph cos ph me2c 2 f f f 2 p iph p ph 2 p iphmec 2 p ph mec 2 p iph p ph cos ph 0 f 2 p ph p iph mec p iph cos ph 2 p iphmec 0 mec p iph p iph cos ph 1 f p ph p iphmec p iph 1 cos ph 1 1 mec mec f p ph mec p iph pout pin pin electron momentum p Impulsänderung beim Compotoneffekt i ph f ph i ph ph e p p 1 p 1 cos mc 13 Photon Impuls vs Photon- Wellenlänge p ph h Sprung ans Ende der Herleitung ph Compton-Streuung Impulsänderung des Photons i ph 1 f p ph 1 f 1 f p ph h p mec 1 cos ph p iph 1 h 1 cos ph meci h i pelectron i f Wellenlängensänderung des Photons f i 1 f i h 1 cos ph me ci h 1 cos ph me c h 1 cos ph f i mec Wellenänderung beim Comptoneffekt Diagnose - unverschobener Peak ist elastischer Stoß des Photons mit z.B. Kohlenstoffatom (1:22 000) - durch Impulsübertrag auf Elektron VERRINGERT sich Energie des Photons - Wellenlänge des Photons VERGRÖSSERT sich für größere Streuwinkel - Änderung hängt NUR vom Streuwinkel und NICHT von Wellenlänge ab Compton-Effekt zeigt, dass Licht sich wie ein Teilchen verhält 14 Billard mit Photonen Compton-Wellenlänge Compton- shift h 1 cos ph f f mec ph e Welche Größenordnung hat der Compton- Effekt? 34 Compton h 6.62 10 Js mec 9.1 10 31kg 3 108 m/s Compton 2.4 pm Compton- Wellenlänge bei Streuung mit 90 Maximale Compton- Verschiebung 2Compton für ph 180 Diagnose - Wellenlängenänderung ist im Röntgenbereich (Pikometer 10-12 m) - Compton-Streuung nicht mit sichtbaren Licht beobachtbar (VIS: 10-6 m) - Streuwinkel des Photon von 90° ergibt die Compton-Wellenlänge - Rückwärtsstreuung (Streuwinkel von 180°) ergibt höchste Wellenlängenverschiebung 16 1 Nachweis der Interferenzeffekts an einzelnen Elektronen (Jönsson 1961) 2 Experimente zum freien Fall von (Galilei um 1600) 3 Öltröpfchen Experiment (Millikan 1910) 4 Aufspaltung von Sonnenlicht mit Hilfe eines Prismas (Newton 1665) 5 Nachweis der Interferenz von Licht (Young 1801) 6 Torsionsbalkenexperiment zur Wägung der Erde (Cavendish 1798) 7 Messung des Erdumfangs (Eratosthenes 300 v. Chr) 8 Experiments mit Körpern auf einer schiefen Ebene (Galilei 1600) 9 Streuexperimente am Atomkern (Rutherford 1911) 10 Foucaultsches Pendel (1851) 18 Welle oder Teilchen Doppelspalt Newtons Vorhersage, da Licht Teilchen ist Huygens Vorhersage, da Licht Welle ist Diagnose Doppelspaltversuch sollte klar zeigen, ob Elektronen Teilchen- oder Wellencharakter haben 20 Doppelspalt-Experiment Doppelspalt Thomas Young 1773-1829 21 Joseph John (1856–1940) and George Paget (1892–1975) Thomson were awarded Nobels in 1906 for electrical conduction in gases (effectively for discovering the electron) and in 1937 for demonstrating electron diffraction. Their achievements have been summarised as JJ showing that the electron is a particle and GP showing that it is not, or rather that the electron can also behave as a wave. 22 J.J. Thomson 1896 Enddeckung des Elektrons Lorentzkra ft FM qe v q BM Ablenkungim magnetischen Feld JJ Thomson 1856-1940 Coulombkraft Fe qe Ee Zentripedalkraft v q2 FR me r Ablenkungim elektrischen Feld Beschleunigungauf Kreisbahn Fe FR Kräftegleichgewicht FM FR Kräftegleichgewicht im magnetischen Feld im elektrischen Feld 2 q e vq qe mq Bm rq Ladung zu Masse v q mq Ee rq Ladung zu Masse Diagnose - magnetisches Feld zwingt Ladung auf Kreisbahn (Rechte-Hand-Regel) (Impulsanalyse) - elektrisches Feld im Kondensator lenkt Teilchen ab (Energieanalyse) - aus Ablenkung des geladenen Teilchens im Magnetfeld wird Ladung-pro-Masse bestimmt - aus Verhalten im kombinierten E- und B-Feld wird Ladung des Elektrons bestimmt 23 Freie Wahl Prinzip der Unteilbarkeit - Detektor hinter Hindernis (z.B. Spalt) misst immer ganze Elektronen - niemals ist bislang halbes oder Bruchteil eines Elektrons beobachtet worden - Prinzip gilt für ALLE Elementarteilchen und Photonen - Elektron kann nur EINEN der beiden Spalte passieren Situation I BEIDE Spalte offen EINE der beiden Möglichkeiten einzelnes Elektron einzelnes Elektron Elektron passiert Spalt OBEN die anderere der beiden Möglichkeiten Elektron passiert Spalt UNTEN 24 Eingeschränkte Wahl Symptome - Wie kann man vorhersagen, durch welchen Spalt das Elektron sich bewegt? - Einfache Möglichkeit ist einen der Spalte zu schließen Situation II Elektronen Spalt OBEN geschlosse n Spalt UNTEN offen Elektronen passieren Spalt UNTEN Elektronen Situation III Spalt OBEN offen Spalt UNTEN geschlosse n Elektronen passieren Spalt OBEN Zählrate 100 Hz Zählrate 100 Hz Diagnose - Bei einem geschlossenen Spalt muss Elektron durch den ANDEREN Spalt fliegen - Experiment so einstellen , dass Anzahl Elektronen durch jeden Spalte gleich 25 Nur EIN Spalt ist offen Teilchenabakus Situation III Spalt OBEN offen Spalt UNTEN geschlosse n Situation II Spalt OBEN geschlosse n Spalt UNTEN offen Elektronen passieren Spalt OBEN Zählrate 100 Hz Elektronen passieren Spalt UNTEN Zählrate 100 Hz Diagnose - da Elektronen diskrete Teilchen ergibt sich statistische Zählrate - Streuung an den Blenden führt zu Aufweitung des Elektronenstrahls - wenn beide Spalte offen, sollte sich Gesamtsignal gleich Summe Einzelsignale sein 26 Materiewellen 8 e Doppelspalt mit Elektronen 100 e 3.000 e 100.000 e Diagnose - Nachweis einzelner Elektronen zeigt, dass Elektronen reale Teilchen sind - Beobachtung der Interferen zeigt, dass Elektronen Wellencharakter haben Elektronen haben sowohl Teilchen- als auch Wellencharakter 28 Louis deBroglie 1923 Materiewellen Symptome Wellen interferieren, aber Teilchen stoßen Welleneigenschaft von Licht Energie eines Photons c E ph h ph h ph Teilcheneigenschaft von Materie Ruheenergi e eines Teilchens E0 m0c 2 Impuls eines Teilchen Welleneigenschaft von Materie m particlec 2 p particlec h p particle h particle particle c particle h m particlev particle Louis de Broglie 1892-1987 deBroglie Wellenlän ge eines Teilchens Diagnose - Impuls eines Teilchens kann man Welle mit charakteristischer Wellenlänge zuordnen - Bahnkurve verliert ihren Sinn, da Teilchen nicht mehr lokalisiertbar - wichtige physikalische Größen müssen quantisiert sein (Energie, Impuls, Drehimpuls) - Wellencharakter der Materie macht nur Wahrscheinlichkeits-Vorhersagen möglich 30 makoskopisch Materiewellen Teilchen mkg v[m/s] deBrogliem C60 10- 24 102 10-11 Virus 10- 20 102 10-15 Tennisball 0.1 102 10-34 M ensch 100 10 10-36 31 Schlüsselexperiment der modernen Physik Elektronenbeugung Elektronenenergie Eelectron 8.8 1018 J deBroglie 1.65 1010 m resultierende deBroglieWellenlänge Polardiagramm 1927 Davisson und Gremer kontruktive Interferen z nintelectron d Ni sin streu Ergebnis aus Wellenoptik kontruktive Interferen z in erster Ordnung 10 electron 2.15 10 m sin 50 electron 1.65 1010 m Diagnose - aufgrund niedriger kinetischer Energie dringen Elektronen nur gering in Oberfläche ein - ELASTISCHE Streuung von Elektronen an Oberfläche eines Nickelkristalls (kein Energieverlust) - Maximum ist qualitatives Merkmal des Wellenphänomens Interferenz - Abstand der Atome in Nickel 0.215 nm ergibt deBroglie Wellenlänge der Elektronen Wellencharakter Elektronen zeigt sich in Wellenphänomen konstruktive Interferenz 32 deBroglie Wellenlänge Berechne kinetischeEnergie Elektronen bei 10000 V Bescheunigungsspannung electron Ekin ve 1 2 me v e qeU B 2 2qeU B me 2 1.6 10-19 C 105 eV 9.1 10-31 kg v e 1.88 108 m s relativistische Geschwindigkeit 0.63c VIS 10 m 6 deBroglieWellenlänge nicht relativistisch e e h 1.81 10-12 m me v e 6.62 10 Js 9.1 10-31 kg 1.88 108 m - 34 e 1.81 10-12 m 12 deBroglie m electron 10 deBroglieWellenlänge relativistisch 2 rel h v 1 2 me v e c rel 1.88 1012 m 1 0.78 rel 3.86 1012 m Diagnose - relativistische Korrektur bewirkt größere Wellenlänge - Wellenlänge deutlich geringer im Vergleich zu sichtbarem Licht - alternative Lichtquelle für Mikroskopie 33 Elektronenmikroskop Vergleich Elektronenmikroskop und optisches Mikroskop REM und TEM nutzen Welleneigenschaften des Elektrons magnetische Linsen magnetische Linsen magnetische Linsen Glaslinsen Glaslinsen Glaslinsen Diagnose Elektronenmikroskope können Details von 0.1 nm auflösen 34 Auflösungsbegrenzung Rayleigh-Kriterium Punktförmige, gleich helle Objekte können gerade noch aufgelöst werden, wenn Lichtmaximum des einen Objektes in erstes Beugungsminimum des anderen fällt Rayleigh Kriterium min 1.22 Lord Rayleigh (1842-1919) EM d Blende gültigfür jedes Nachweisinstrument für Wellen hier Blende des Linsensystems eines optisches Teleskops Faustformel für alle Typen vonWellen d objekt EM / 2 Auflösungsgrenze für Objekte kritisch unterscheidbar Diagnose - Wellennatur Lichts (Beugung) verhindert Unterscheidung eng beieinander liegender Objekte - Auflösungsgrenze für elektromagnetische Wellen ist etwa halbe Wellenlänge des Lichts 35 Mikroskopieskalen Quantenphysik Welleneigenschaft von Licht Tunnelmikroskope Lichtmikroskope Materiewellen Auge Elektronenmikroskope Diagnose - Rayleigh-Kriterium gilt auch für Materiewellen - Elektronen-Materiewellen erhöhen aufgrund kürzerer Wellenlänge die Mikroskopauflösung 36 technische Realisierung Elektronenmikroskop Schmeißfliegenlarve Diagnose - keV Elektronen treffen auf Probe und schlagen Sekundärelektronen heraus - Detektors misst zugehöriges Messsignal (Sekundärelektronenstrom) - Elektronenstrahl rastert Probe ab - Auswerteprogramm ordnet jedem abgerasterten Punkt Ortskoordinate und Intensität zu 37 Lichtmikroskop TransmissionsElektronenmikroskop RasterElektronenmikroskop 38 kleinste Objekte auflösen Elektronenmikroskopie Präparation Raster-Elektronenmikroskopaufnahme eines DNA Strangs zwischen zwei Silizum Nanopfeilern DNA tightr ope Si nanopillar 1 µm Transmissions-Elektrommikroskopieaufnahme der DNA mit Doppelhelix Struktur 39 Abbildung biologischer Systeme Neuron 40 kleinste Objekte auflösen Elektronenmikroskopie Transmissionselektronenmikroskop Vergrößerung 50 000 Rasterelektronenmikroskop Vergrößerung 35 000 Diagnose Virus greift Bakterium E-coli an 41 altbekanntes Phänomen Dispersion Symptome In Medium ist Brechnungsindex abhängig von Wellenlänge des Lichts Brechungsindex n n cmedium c normale Dispersion dnmedium 0 d Diagnose - Phasengeschwindigkeit ist Ausbreitung gleicher Phasen einer monochromatischen Welle - im Vakuum entspricht die Phasengeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit - Phasengeschwindigkeit ist geringer als c 42 altbekanntes Phänomen Dispersion normale Dispersion dnmedium 0 d Phasengeschwindigkeit v p cmedium c n Zwischenrechnung dv p d c d dn nmedium dv p d c 2 nmedium dnmedium 0 d Rayleigh- Beziehung dv p vg v p vp d Diagnose Bei normaler Dispersion ist vg stes kleiner als vp Gruppengeschwindigkeit Fortbewegungsgeschwindigkeit eines Wellenpaket rot: Phasengeschwindigkeit grün: Gruppengeschwindigkeit 43 Wellenpakete Symptome - Wellenpaket ist zusammengesetztes System einfacher Wellen - Superposition von Sinuswellen unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit (Dispersion) Superposition vonzwei Wellenzügen Abeat x, t cos1t k1 x cos2t k2 x 2 1 k k 2 k1 avg k avg 2 1 2 k k 2 1 2 Wellenfreq uenz k Ausbreitungsrichtung Wellenvekt or Wellenzahl Abeat x, t 2 cost k x Zeitverhalten der Einhüllenden Schwebungder Welle kk 1 s k 1 m cos avgt kavg x schnelleOszillation der Welle Diagnose - Gruppengeschwindigkeit ist Geschwindigkeit der Einhüllenden eines Wellenpaktes Wellenpakte stellen Teilchen dar, die diskrete Energiepakete übertragen 44 Wellenpaket Diagnose - monochromatische Einzelwell hat Ausdehnung unendlich - Materiewelle muss Physik eines Masseteilchen wiedergeben (Teilchen kann nicht überall sein) - je mehr Einzelwellen sich überlagern, desto kürzer wird das Wellenpaket 46 Verhalten von Wellenpaketen Gruppengeschwindigkeit Zeitentwicklung der Schwebung cost k x Maximum der Einhüllenden, wenn cos gleich NULL t k x 0 x 2 1 t Dimension Geschwindigkeit k2 k1 k Gruppengeschwindigkeit einer Wellen vg d dk in einem dispersiven Medium Diagnose - Einhüllende bewegt sich mit charakteristischer Geschwindigkeit aus - Gruppengeschwindigkeit entspricht nicht der Geschwindigkeit der Einzelwellen 47 Verhalten von Wellenpaketen Phasengeschwindigkeit vg v phase Phasengeschwindigkeit einer Welle v phase wave k wave in einem dispersiven Medium Diagnose - Phasengeschwindigkeit beschreibt Ausbreitung einer Welle für gewählten Phasenwinkel - in Medium haben Wellen unterschiedlicher Frequenz unterschiedliche Phasengeschwindigkeit 48 relativistisch betrachtet Geschwindigkeit v relativistische Energie 2 0 SRT 2 E relativistische Elektronen relativistischer Impuls mc v 1 2 c ESRT , pSRT pSRT Geschwindigkeit aus relativistischem Impuls und Energie berechnen pSRT m0 v ESRT m0c 2 m0 v v2 1 2 c c 2 pSRT v ESRT 49 Geschwindigkeit Materiewellen relativistische Beziehungzwischen Energie und Impuls 2 2 2 2 SRT 0 particle E Ausgangspunkt relativistische Geschwindigkeit 2 particle SRT SRT v c p E m c c p Ableitungder SRT Energie- Impulsgleichungnach Impuls d dp particle Definition aus Optik Gruppengeschwindigke it dwave vg dk wave Gruppengeschwindigkeit Materiewel le d particle d particle vg dk dk dESRT c2 p vg v SRT dp particle ESRT 2 ESRT 2 ESRT dESRT 2c 2 p particle dp particle c 2 p particle dESRT v SRT dp particle ESRT Definition uas Optik Phasengesc hwindigkei t v p ν wavewave wave k wave Phasengeschwindigkeit einer Materiewel le v p ν particle particle vp particle k particle k ESRT p particle Diagnose Gruppengeschwindigkeit einer Materiewelle entspricht relativistischer Teilchengeschwindigkeit 50 Geschwindigkeit Materiewellen Phasengeschwindigkeit Materiewel le Gruppengeschwindigkeit Materiewel le 2 vg c p Erel vp Gruppengeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit 2 particle 2 rel g p rel particle v v c p E E p c Erel p particle für masseloses Teilchen m 0 0 gilt 2 2 4 2 2 SRT 0 E m c c p ESRT cp Diagnose - Ausbreitungsgeschwindigkeit eines masselose Teilchens ist Lichtgeschwindigkeit - Gruppengeschwindigkeit einer Materiewelle erreicht nie die Lichtgeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit Materiewel le 2 particle cp c p vg Erel vg m c p particlec 2 4 particle 2 c 1 m 2particlec 4 p 2particle 1 51
