Themenbereich - Besondere Dreiecke

Themenbereich: Besondere Dreiecke
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Lernziele:
- Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke
- Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken
- Kenntnis der Eigenschaften und damit Erkennungsmerkmale der besonderen Dreiecke
- Fähigkeit, besondere Eigenschaften von Dreiecken zu erkennen und zu begründen
Fragen:
1. Welche besonderen Dreiecke gibt es?
2. Welche Bezeichnungen gibt es bei den einzelnen besonderen Dreiecken?
3. Was sind die Eigenschaften der besonderen Dreiecke?
4. Was versteht man unter dem Thaleskreis?
5. Welche Bedeutung hat der Thaleskreis im Zusammenhang mit den besonderen Dreiecken?
Aufgabe 1:
In den Figuren sind einzelne Winkel bekannt. Berechne die angegebenen Winkel und begründe jeweils die
Rechenschritte.
a)
b)
c)
Aufgabe 2:
Ein regelmäßiges Sechseck lässt sich in 6 kongruente Dreiecke zerlegen. Begründe, von welcher Art dieses
Dreiecke sind. Vergleiche Aufgabe 4 von „Themenbereich: Kongruenzsätze“.
Aufgabe 3:
In einem Dreieck ist γ = 1 12 α. Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks, wenn
a) das Dreieck gleichschenklig mit der Basis a ist,
b) das Dreieck gleichschenklig mit der Basis c ist,
c) das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei B ist?
Aufgabe 4:
Aus einem runden Baumstamm mit einem Durchmesser von 50cm soll ein
möglichst hoher und 45 cm breiter Balken geschnitten werden.
a) Bestimme durch eine Konstruktion die Höhe des Balkens.
b) Berechne die Querschnittsfläche des Balkens. Was wiegt damit der Balken,
wenn er 5m lang ist und 1 m3 Holz 80 kg wiegt?
c) Welche Maße müsste der Balken haben, damit er die größtmögliche bzw. die
kleinstmögliche Querschnittsfläche besitzt?
zusammengestellt von OStR Rainer Martin, Ehrenbürg-Gymnasium Forchheim
Vers. v. 04.06.2006
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Antworten zu den Fragen:
zu 1. Besondere Dreiecke sind das gleichschenklige, das gleichseitige und das rechtwinklige Dreieck.
zu 2. Bezeichnungen beim gleichschenkligen Dreieck:
Basis, Schenkel, Basiswinkel, Winkel an der Spitze; genaue Lage bitte dem Theorieheft entnehmen
Bezeichnungen beim rechtwinkligen Dreieck:
Hypotenuse, Katheten; genaue Lage bitte dem Theorieheft entnehmen
zu 3. Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks: es hat
- 2 gleich lange Seiten, die Schenkel
- 2 gleich große Winkel, die Basiswinkel
- eine Symmetrieachse, die die Basis und den Winkel an der Spitze halbiert
Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks: es hat
- 3 gleich lange Seiten und damit 3 gleich große Winkel
Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks: es hat
- 1 rechten Winkel (der von den Katheten eingeschlossen wird)
zu 4. Der Thaleskreis ist ein Kreis, der als Mittelpunkt den Mittelpunkt einer Strecke [AB] hat und dessen Radius
gleich der halben Streckenlänge ist. Man spricht vom Thaleskreis über [AB].
zu 5. Die Bedeutung des Thaleskreises über der Strecke [AB] ist:
Wählt man auf dem Thaleskreis einen beliebigen Punkt C, so ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C.
Umgekehrt gilt auch: Ist ein Dreieck rechtwinklig, so liegen die Punkte auf dem Thaleskreis über der
Hypotenuse des Dreiecks.
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Vers. v. 04.06.2006
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Lösungen zu den Aufgaben:
zu Aufgabe 1:
Beschrifte die Punkte der Figuren mit A, B, C ...
a) An Hand des gestrichelten Kreisbogens erkennt man, dass dieser
Kreis der Thaleskreis über [AB] ist.
Daraus folgt:
(I) Das Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C.
(II) Die Strecken [AM], [BM] und [CM] sind gleich lang.
Somit gilt:
(1) δ = 60°, da Dreieck BMC gleichschenklig wegen (II)
(2) γ + δ = 90° wegen (I) γ = 90° - δ = 90° - 60° = 30°, also γ = 30°
(3) α = γ, da Dreieck AMC gleichschenklig wegen (II), also α = 30°
(4) β + 70° = 180°, wegen Nebenwinkeln am Punkt M β = 180° - 70° = 110°, also β = 110°
b) An Hand des gestrichtelten Kreisbogens erkennt man, dass B und C
auf einem Kreis um A liegen.
Daraus folgt:
(I) Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit den Schenkeln [AB] und
[AC].
Somit gilt:
(1) β + 90° + 43° = 180° wegen Winkelsumme im Dreieck ADC
β = 180° - 90° - 43° = 47°, also β = 47°
(2) α + β = γ, da Basiswinkel im Dreieck ABC wegen (I)
2⋅γ + 43° = 180°, wegen Winkelsumme im Dreieck ABC
2⋅γ = 180° - 43°
2⋅γ = 137°
γ = 137° : 2, also γ = 68,5°
(3) α + β = 68,5°
α = 68,5° - 47° = 21,5°, also α = 21,5°
c) An Hand des oberen gestrichtelten Kreisbogens erkennt man, dass A
und B auf einem Kreis um C liegen.
(I) Das Dreieck ABC ist gleichschenklig mit der Basis [AB].
An Hand des unteren gestrichtelten Kreisbogens erkennt man, dass C
und D auf einem Kreis um B liegen.
(II) Das Dreieck CDB ist gleichschenklig mit der Basis [CD].
Somit gilt:
(1) α = 30°, da Basiswinkel im Dreieck ABC.
(2) β = γ wegen (II). Somit gilt weiter: α + 2⋅β = 180° β = (180° - α) : 2 = (180° - 30°) : 2 = 75°
also β = γ = 75°
(3) γ + δ = 180° wegen Nebenwinkeln bei D δ = 180° - 75° = 105°, also δ = 105°
(4) δ + ε + 30° = 180° wegen Winkelsumme im Dreieck ADC
ε = 180° - 105° - 30° = 45°, also ε = 45°
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zu Aufgabe 2:
Antwort: Jedes Teildreick ist ein gleichseitiges Dreieck.
Begründung:
In der Lösung zur Aufgabe 4 des Themenbereichs Kongruenzsätze
wurde gezeigt, dass alle Teildreiecke kongruent sind.
Betrachte nun z. B. Das Dreieck ABM.
Es ist gleichschenklig, da MA = MB = Radius.
Alle 6 Winkel bei M ergeben zusammen 360°. Damit ist der
Winkel AMB = 360° : 6 = 60°. Dieser ist der Winkel an der
Spitze des Dreiecks ABM.
Die beiden Basiswinkel sind somit zusammen 120° groß, somit
ist jeder Winkel des Dreiecks ABM 60° groß.
Das Dreieck ABM ist ein gleichseitiges Dreieck.
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Vers. v. 04.06.2006
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zu Aufgabe 3:
a)
gegeben:
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γ = 1 12 α
β=γ
Basis bei a
somit gilt: α + β + γ = 180°
α + 1 12 α + 1 12 α = 180°
b)
Probe:
4α = 180° α = 45°; β = γ = 67,5°
45° + 67,5° + 67,5° = 180° o.k.
gegeben:
γ = 1 12 α
Basis bei c β = α
somit gilt: α + β + γ = 180°
α + α + 1 12 α = 180°
3 12 α = 180°
7
2
α = 180° | ⋅
2
7
α = 180°⋅ 72 =
360
7 °
= 51 73 °
α = β = 51 73 ° ; γ = 77 17 °
c)
gegeben:
γ = 1 12 α
rechter Winkel bei B
β = 90°
somit gilt: α + β + γ = 180°
α + 90° + 1 12 α = 180°
2 12 α = 90°
5
2
α = 90° | ⋅
α = 90°⋅ 25 =
2
5
180
5 °
= 36°
α = 36°; γ = 54°
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zu Aufgabe 4:
zu a)
Ein geeignet Maßstab ist 1 : 10, d.h. 10cm in Wirklichkeit sind in der Zeichnung
1cm.
Lösungsgedanke: Der Balken ist ein Rechteck, dessen Diagonale der
Kreisdurchmesser ist. Der Kreis ist also der Thaleskreis über der Diagonalen.
Konstruktionsbeschreibung:
1. Kreis mit Radius 2,5cm um M
2. Wähle beliebigen Punkt A auf Kreis; zeichne Kreis um A mit Radius 4,5 cm
Schnittpunkt der beiden Kreise ist B
3. Halbgerade [AM Schnittpunkt mit Thaleskreis ist C
4. Halbgerade [BM Schnittpunkt mit Thaleskreis ist D
Konstruktion:
Die Höhe des Balkens beträgt in
der Zeichnung 2,2 cm und damit in
Wirklichkeit 22 cm.
zu b)
Die Querschnittsfläche A des Balkens beträgt A = Breite ⋅ Höhe = 45cm ⋅ 22cm = 990 cm2 = 9,9 dm2 = 0,099 m2.
Das Volumen V des Balkens ist Querschnittsfläche ⋅ Länge, also V = A ⋅ l = 0,099 m2 ⋅ 5 m = 0,495 m3.
1 m3 Holz wiegt 80 kg, damit beträgt die Masse m (im Alltag: das Gewicht) des Balkens
m = 0,495 m3 ⋅ 80 kg/m3 = 39,6 kg, also ungefähr 40 kg.
zu c)
Probiert man verschiedene Längen für die Seite [AB] aus, so stellt man
fest, dass die größtmögliche Querschnittsfläche erreicht wird, wenn der
Balken quadratisch ausgeschnitten wird. Das ist der Fall, wenn die
beiden Diagonalen aufeinander senkrecht stehen.
Die Querschnittsfläche beträgt damit maximal 40cm ⋅ 40cm = 1600 cm2.
Die kleinstmögliche Querschnittsfläche ergibt sich, wenn eine Seite des
Rechtecks die Länge 0 cm hat, d.h. man müsste eine ganz flache Scheibe
entlang dem Durchmesser des Stamms ausschneiden. Dies ist in der
Wirklichkeit nicht unbedingt sinnvoll.
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