ψ ψ µ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ε ε µ

Schrödingergleichung für das H - Atom
⎛ h2
r ⎞ r
r
⎜⎜ −
∆ + V (r ) ⎟⎟ψ (r ) = Eψ (r )
⎝ 2µ
⎠
mp
- Kern und e- → reduzierte Masse:
µ=
- Potential = Coulombpotential :
r
V (r ) = V (r ) = −
m p + me
⋅ me ≅ me
e2
4π ε 0 ⋅ r
Kugelsymmetrie! Ausnutzen mit entsprechendem Ansatz für Ψ :
r
ψ (r ) = ψ (r , Θ,ϕ ) = R(r ) ⋅ Y (Θ,ϕ )
. . . Lösung:
Wellenfunktion:
r
ψ (r ) = ψ n ,l , m (r , Θ,ϕ ) = Rn ,l (r ) ⋅ Yl , m (Θ,ϕ )
1 µ e4
1 me e 4
= En = − 2 2 2 ≅ − 2 2 2
n 8ε 0 h
n 8ε 0 h
Energieeigenwerte :
En , l , m
Quantenzahlen:
n = 1, 2, 3, ...
l = 0, 1, 2, ..., n-1
m = 0, ±1, ..., ± l
R n,l (r) : Radiale Wellenfunktion (Normierung × Legendre Polynom)
Yl,m (θ,ϕ) : Kugelflächenfunktionen
Die Funktion |Ψ n,l,m (r, θ, ϕ)|2 beschreibt die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Raum (→Orbitale).
Die Energieeigenwerte sind bzgl. l und m n2-fach entartet, d.h. E n,l,m =
En
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-1-
Quantenzahlen des H-Atoms
Drei Quantenzahlen kennzeichnen die (obige) Wellenfunktion:
Energie- / Hauptquantenzahl n
n = 1, 2, 3, 4, ...
Quantenzahl des Bahndrehimpulses l
l = 0, 1, ...,n - 1
Magnetische Quantenzahl des Bahndrehimpulses l
ml = -l,.. ,0 ..,+l
Bsp.:
n=3
l= 0
1
2
ml = 0
-1, 0 , 1
-2, -1, 0, 1, 2
d.h. 2 l +1
Möglichkeiten
Energieeigenwerte sind bzgl. l und ml n2-fach entartet:
n −1
n −1
l =0
l =0
∑ 2l + 1 = n + 2∑ l = n + 2
( n − 1)n
= n + n2 − n = n2
2
Die Lösung der relativistischen Schrödingergleichung
(Dirac-Gleichung) ergibt zwei weitere Quantenzahlen:
Spinquantenzahl s
s = 1/2
Magnetische Quantenzahl des Spins ms
ms = +1/2 , -1/2
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-2-
Wellenfunktionen des H-Atoms
Radiale Wellenfunktionen Rn,l
exponentiell
mit r abfallend !
ρ=
2Z r
n a0
4πε 0 h 2
a0 =
(Bohrscher Radius)
me e 2
a0 = r0 = 0,52917706 ⋅10-10 m
Kugelflächenfunktionen Yl,m
nur für l=0 (s-Zustand)
kugelsymmetrisch
Gesamtwellenfunktion:
r
ψ (r ) = Rn ,l (r ) ⋅ Yl , m (Θ,ϕ )
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-3-
Orbitale des H-Atoms für n = 1 und n = 2
⋅4πr2
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Bedeutung und Kennzeichnung der Quantenzahlen
n = 1, 2, 3,..
K, L, M,
Hauptquantenzahl n
"Schale"
♦ Gibt bei Einelektronensystemen die Energie eines Zustands an.
l = 0, 1, 2, 3... , n - 1
s, p, d, f
Bahndrehimpulsquantenzahl l
Kennzeichnung
r
l
= h l (l + 1 )
♦ Gibt die Länge des Vektors des Bahndrehimpulses an:
Magnetische Quantenzahl des Bahndrehimpulses ml
ml = l, (l-1) ,. .,0, -1, .... ,-l
♦ Gibt die z-Komponente des Bahndrehimpulses an: lz = h ml
(z-Richtung z.B. durch ein Magnetfeld vorgegeben)
r
Der Vektor l „präzediert“ um die z-Richtung
z
l=1
ml = 1
lz = h
ml = 0
r
l =h 2
ml = -1
Drehimpulserhaltung (+Spin Photon = 1 h ) →
Auswahlregel für optischen Übergang:
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∆l = ±1
-5-
Bedeutung und Kennzeichnung der Quantenzahlen
s=½
Spinquantenzahl s des Elektrons:
♦ Gibt den Eigendrehimpuls des Elektrons an
v
Länge des Eigendrehimpulsvektors des Elektrons: s = h s(s + 1) = h
3
4
ms = ± ½
Magnetische Quantenzahl des Spins:
♦ Gibt die z-Komponente des Eigendrehimpulses an:
sz = h m s
(z-Richtung durch die Richtung des Bahndrehimpulses oder ein
Magnetfeld gegeben.)
Der Spin „präzediert“ um den Bahndrehimpulsvektor:
r
l
s=½
ms = ½
sz = h/2
r
s = h 3/4
ms = -½
Auswahlregel für optischen Übergang:
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∆s = 0
r
r
∆ms = ± 1 d.h. s → − s
-6-
Der Gesamtdrehimpuls des Elektrons
r
Gesamtdrehimpuls j = Bahndrehimpuls + Spin
r r r
j =l +s
r
j ist quantisiert:
Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses:
j=l±s=l±½
♦ Gibt die Länge des Vektors des Gesamtdrehimpulses an.
r
j = h j ( j + 1)
Magnetische Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses: mj = j, j-1, ... ,-j
♦ Gibt die z-Richtung des Gesamtdrehimpulses an:
jz = h mj
Auch der Gesamtdrehimpuls „präzediert“ um die z-Richtung:
j = 3/2
z
mj = 3/2
jz = 3 h/2
mj = 1/2
jz = h/2
jz = -3 h/2
jz = -h/2
Auswahlregel für optischen Übergang:
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mj = -1/2
r
s = h 3/4
mj = -3/2
∆j = 0, ±1
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Systeme mit einem Außenelektron: Alkalimetalle
→ Wasserstoffähnliche Systeme
Grotrian Diagramme: erlauben Darstellung möglicher (optischer)
Übergänge unter Berücksichtigung der Auswahlregel ∆l = ±1.
Beispiele:
Na → [Ne] 3s1
Wasserstoff 1s1
l=
0
1
2
3
l=
0
1
1
2
3
Na:
- Entartung bzgl. l aufgehoben durch „Abschirmungseffekt“
- Aufhebung der Entartung bzgl. ml in Magnetfeld möglich
- Aufhebung der Entartung bzgl. j durch Spin-Bahn-Kopplung →
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Feinstruktur - Spin-Bahn Kopplung
Mit Drehimpuls ist magn. Moment verbunden:
r
r
l → µl
r
r
s → µs
Dipol-Dipol-Wechselwirkung:
j = 3/2
→→
Ze 2 µ 0 r r
r r
⋅
=
⋅l
Vl , s =
s
l
A
s
2 3
8πme r
j = 1/2
Vl , s =
1
hcA ⋅ ( j ( j + 1) − l (l + 1) − s ( s + 1) )
2
Bsp.: Na mit einem e- im angeregten Zustand : [Ne] 3p1
l = 1, s = 1/2 :
V1 =
2
V3 =
2
j =l ± 1/2 = 1/2, 3/2
1
1 1
⎛1 1
⎞
hcA ⋅ ⎜ ( + 1) − 1(1 + 1) − ( + 1) ⎟ = − hcA
2
2 2
⎝2 2
⎠
1
1 1
⎛3 3
⎞ 1
hcA ⋅ ⎜ ( + 1) − 1(1 + 1) − ( + 1) ⎟ = hcA
2
2 2
⎝2 2
⎠ 2
∆ν = 17,2
1
cm
∆λ ≈ 0,6 nm
∆λ
−3
( λ ≈ 580 nm → λ ≈ 10 )
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