physik3_Demokritov_Vorlesung 13

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung
können Sie sich noch erinnern?
Elektronmikroskopie
Die Energie eines Elektrons in einer Elektronenfalle
Photonenabsorption & Photonenemission
 2π 2 2
En =
n
2
2mL
hf =∆E =En − E1
35.12 Das Bohrsche Modell des Wasserstoffatoms
Das Wasserstoffatom besteht aus einem Elektron, das elektrisch an ein Proton gebunden
ist, welches sich im Zentrum des Atoms befindet (Masse groß!).
Das negativ geladene Elektron wird durch die Coulomb-Kraft von dem positiv geladenen
Proton angezogen. Das Elektron ist am Proton gebunden. Dies bedeutet, dass die
Elektronenenergie E quantisiert.
Balmers Gleichung: ein Wasserstoffatom kann nicht alle, sondern nur bestimmte Wellenlängen
aussenden und absorbieren.
1
1 
 1
R
n =3, 4,5...
=
−
 2
2 
Für sichtbares Licht:
λ
2 n 
Niels Bohr: Balmers Gleichung kann man herleiten, wenn man zwei Hypothesen annimmt:
(1) Das Elektron in einem Wasserstoffatom umkreist den Kern über eine Umlaufbahn.
(2) Die Größe des Drehimpulses L des Elektrons in seiner Umlaufbahn ist quantisiert:
=
L rmv
= n =
n 1, 2,3...
1 ee eP
1 e2
Physik II:
U=
= −
4πε 0 r
4πε 0 r
n 2 2
1 e2
v2
2
a ≈ 50 − 100 pm
=
=
r
4
πε
an
=
F =
m
0
2
2
me
4πε 0 r
r
mv 2
v 2 r 1 1 e2
1
= m
=
= − U
K=
2
r 2 2 4πε 0 r
2
1 1 e2
me 4
1
13,6eV
E = K +U = −
=−
≈
−
2
2
2 4πε 0 r
n2
2 ( 4πε 0 )  2 n
n eine ganze Zahl ist, die als Hauptquantenzahl bezeichnet wird. Sie kann ganzzahlige
Werte von 1 bis ∞ annehmen. Die Gesamtenergie eines Elektronenzustands im
Wasserstoffatom hängt von n ab.
Energieveränderungen:
h
c
λ
R
1
=hf =∆E =En − Em=
λ
me 4
( 4π ) ε
3
2 3
0

1
 1
−


3
( 4π ) ε 023  m 2 n 2 
me 4
≈ 13,6 eV ist die Rydberg-Konstante
Obwohl sich die Energien des Wasserstoffatoms durch eine
einzige Quantenzahl n kennzeichnen lassen, erfordern die
Wellenfunktionen zur Charakterisierung der Zustände
insgesamt drei Quantenzahlen, entsprechend der drei
Dimensionen, in denen sich das Elektron bewegen kann.
N.B.: Obwohl n in der Bohr’schen Theorie den Drehimpuls des Elektrons in seiner
Umlaufbahn quantisiert, hat es tatsächlich mit der Quantisierung der Energie zu tun.
Die Coulomb-Wechselwirkung stellt keinen rechteckigen, sondern spärisch-symmetrischen
Potenzialtopf dar. Deshalb muss der Drehimpuls (als Vektor, d.h., seinen Betrag und seine
Komponente) Quantisiert werden.
Die Bahndrehimpulszahl l hängt mit dem Wert des Bahndrehimpulses des Elektrons
zusammen l kann ganzzahlige Werte von 0 bis (n − 1) annehmen.
Im Grund-zustand, n = 1, kann l nur gleich null sein. Im Falle n = 2 kann l aber
beispielsweise 0, oder 1 sein. Der tatsächliche Wert des Bahndrehimpulses L hängt mit
der Quantenzahl l folgendermaßen zusammen:
=
L
l ( l + 1)
Der Wert von l beeinflußt die Gesamtenergie des Elektrons in einem
Wasserstoffatom nahezu nicht. Bei Atomen mit zwei oder mehr Elektronen
hängt die Energie hingegen gleichermaßen von l wie von n ab.
Die magnetische Quantenzahl ml hängt mit der Richtung des
Lz = ml 
Bahndrehimpulses des Elektrons zusammen, sie kann ganzzahlige
Werte zwischen −l und +l annehmen.
Die Energie eines Zustandes in Anwesenheit eines Magnetfeldes hängt
auch von ml .
Jeder Satz von Quantenzahlen identifiziert die Wellenfunktion zu einem bestimmten
ρ
Quantenzustand.
−
l
2 l +1
=
n 1,=
l 0, m=
0
l
=
n 2,=
l 0, m
=
0
l
=
n 2,=
l 1, m
=
0
l
ψ n ,l ,m ∝ ρ e 2 Ln +1 ( ρ ) Yl ,m (θ , ϕ )
l
36. Atomen
36.1 Einige Eigenschaften von Atomen
Atome sind stabil. Nahezu alle Atome in unserer Umgebung existieren in dieser Form seit
Milliarden von Jahren.
Atome können miteinander Verbindungen eingehen. Atome verbinden sich zu stabilen
Molekülen oder zu Kristallgittern in Festkörpern.
Periodischer Atomaufbau. Die Ionisierungsenergie
der Elemente als Funktion ihrer Ordnungszahl – ein
Beispiel der Ähnlichkeiten in den chemischen und
physikalischen Eigenschaften der Elemente ein
deutlicher Hinweis darauf, dass der Aufbau
der Atome einer Systematik folgt.
In einem Periodensystem sind die Elemente in
sechs horizontalen Perioden angeordnet.
Abgesehen von der ersten, beginnt jede dieser Perioden mit einem sehr reaktionsfreudigen
Alkalimetall (Lithium, Natrium, Kalium, usw.) und endet auf der rechten Seite mit einem
chemisch trägen Edelgas (Neon, Argon, Krypton, usw.). Die Anzahl der Elemente in den
sechs Perioden sind:
2, 8, 8, 18, 18 und 32 (2*1, 2*4,2*4, 2*9, 2*9 und 2*16)
Die Quantenmechanik kann auch diese Zahlen erklären.
hf =∆E =En − Em
Atome emittieren und absorbieren Licht. Diskrete Frequenzen
Das Problem, die Frequenzen zu erklären, reduziert sich daher auf das Problem, die
Energien der erlaubten Quantenzustände in einem Atom zu bestimmen.
Atome haben einen Drehimpuls und zeigen Magnetismus.
Wenn ein negativ geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn sich bewegt,
hat es neben dem Bahndrehimpuls L noch ein magnetisches
Dipolmoment µ, da seine Bahn einer winzigen Stromschleife
entspricht.
Jedem Quantenzustand eines Elektrons in einem Atom im Allgemeinen
können ein Bahndrehimpuls sowie ein magentisches Dipolmoment
zugeschrieben werden, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
Das Einstein-de Haas-Experiment (1915)
Ohne Magnetfeld zeigten die magnetischen Dipolmomente der Atome in dem Zylinder in unterschiedliche,
zufällige Richtungen. Das Gesamtmoment ist Null.
Im Magnetfeld richteten sich die Drehimpulse und die
magnetischen Dipolmomente der Atome in dem
Zylinder (anti-)parallel zum Feld aus.
Das Gesamtdrehimpuls des Zylinders muss konstant
bleiben - der Zylinder beginnt um seine Mittelachse
zu rotieren
Experiment mit dem Rad
36.2 Der Spin des Elektrons
Ein Elektron besitzt einen intrinsischen Drehimpuls S, den man als Spin bezeichnet.
Der Betrag von S ist quantisiert und ist von einer Spinquantenzahl s abhängt. Zusätzlich ist
Die Komponente von S bezüglich jeder Achse ist auch quantisiert und hängt von einer
magnetischen Spinquantenzahl ms
ab, die nur die Werte +1/2 und
—1/2 annehmen kann.
S z = m s = ±

2
Die Elektronenzustände eines Atoms
Quantenzahl
Hauptquantenzahl
Вahndrehimpulsquantenzahl
Magnetische Quantenzahl
Spin
Symbol
n
l
ml
ms
Erlaubte Werte
1,2,3,...
0,1,2,...,(n-1)
0, ±1,±2, ...,±l
±1/2
Hat zu tun mit
Abstand vom Kern
Bahndrehimpuls
Bahndrehimpuls (z-Komponente)
Spin (z-Komponente)
Alle Zustände mit demselben Wert für n bilden eine Schale.
Es gibt n2 Zustände in einer Schale.
Alle Zustände mit denselben Werten für n und l bilden eine Unterschale.
Alle Zustände in einer Unterschale haben dieselbe Energie. Es gibt 2(2l + 1) Zustände in einer
Unterschale.
36.3 Drehimpulse und magnetische Dipolmomente
Jedem Quantenzustand eines Elektrons in einem Atom entspricht ein Bahndrehimpuls und ein damit zusammenhängendes magnetisches Dipolmoment.
Der Betrag und die Komponente des Bahndrehimpulses sind =
L
l ( l + 1) 
quantisiert, d. h., sie können nur bestimmte diskrete Werte
Lz = ml 
annehmen. Diese Werte sind:
Zum Bahndrehimpuls L eines Elektrons in einem Atom gehört
auch ein magnetischer Dipol, der ein magnetisches
Dipolmoment (auch quantisiertes!) besitzt
e
2m
e
2m
µBahn , z =
−
−
− µ B ml
Lz =
ml =
µ=
B

µBahn
e 
L
= −
2m
e
= 9,3 ⋅ 10−24 J
T
2m
µB ist das Bohrsche Magneton (magnetische Analog der Plank‘schen Konstante)
Der Betrag S des Spins S kann für ein Elektron, ob frei oder gebunden,
nur einen Wert annehmen:
S=
11 
 + 1  = 0,87
22 
s ( s + 1)  =
Zum Spin eines Elektrons gehört auch ein intrinsischer magnetischer
Dipol bzw. ein magnetisches Dipolmoment:
e 
µS = − S
m

e
m
µS, z =
− ms =
−2 µ B m s
36.4 Das Stern-Gerlach-Experiment
Ein Strahl von Silberatomen wird zwischen den Polen eines
Elektromagneten hindurchgelenkt (Feldgradient) und dann
wird mir einer räumlichen Auflösung detektiert (Schatten
auf eine Glasplatte).
Ohne Feld geht der Strahl geradlinig.
Wird der Magnet eingeschaltet, wirkt an die Atomen eine
Kraft, wenn sie magnetische Moment besitzen.
∂U
Physik I Fz = −
Physik II
U = − µ z Bz
∂z
∂U ∂
∂B
Fz =
−
=( µ z Bz ) =
µz z
∂z ∂z
∂z
Durch die Kraft bekommen die Atomen eine Ablenkung nach
oben oder unten, die man detektieren kann.
Klassische Physik:
=
µ z µ cos θ µ z ⊂ [ − µ , µ ] . Der Strahl sollte sich vertikal verbreiten.
Experiment: der ursprüngliche Strahl spaltete sich in dem Magnetfeld in zwei Teilstrahlen
auf, der eine Teilstrahl wurde nach oben, der andere nach unten abgelenkt.
Das bedeutet: µz kann nicht jeden beliebigen Wert zwischen —µ und + µ annehmen,
sondern µz nimmt nur zwei Werte an - es ist quantisiert!!!
Und da der Drehimpuls eines Atoms mit µ zusammenhängt, bedeutet dieses Ergebnis auch,
dass der Drehimpuls ebenfalls quantisiert ist.
36.5 Mehrere Elektronen in kastenförmigen Potenzialtöpfen. Das Pauli-Prinzip
Was passiert, wenn sich nicht nur ein Elektron in Potenzial befindet?
Das Pauli-Prinzip (oder vollständiger Paulisches Ausschließungsprinzip):
Keine zwei Elektronen in derselben Elektronenfalle
können denselben Satz von Quantenzahlen haben.
N.B.-1. Das Prinzip gilt auch für Atomen: keine zwei Elektronen in einem Atom können
dieselben Werte für die vier Quantenzahlen n, l, ml und ms haben.
N.B.-2. Das Prinzip gilt auch für jedes Teilchen, dessen Spinquantenzahl S nicht
null oder eine ganze Zahl ist (Protonen, Neutronen…).
Eindimensionale Elektronenfalle. In dem eindimensionalen genügt eine
Quantenzahl n, um die Wellenfunktion des Elektrons zu beschreiben.
Außerdem kann seine Quantenzahl ms die Werte +1/2 oder — 1/2 annehmen.
Haben die beiden Elektronen verschiedene Werte für n, können die Werte für
ms beliebig sein. Sind jedoch die beiden Werte für n gleich, muss eines der
Elektronen Spin „up“ und das andere Spin „down“ haben.
Der (drei-)zweidimensionale kastenförmige Potenzialtopf. Hier werden die
Wellenfunktionen durch zwei (drei) Quantenzahlen nx, ny , (nz,) charakterisiert.
Dazu kann die Quantenzahl ms eines Elektrons noch die Werte +1/2 und — 1/2
annehmen. Insgesamt gibt es daher vier Quantenzahlen. Nach dem Pauli-Prinzip
müssen sich die Zustände zweier Elektronen in diesem Potenzial hinsichtlich
mindestens einer dieser drei (vier) Quantenzahlen unterscheiden.