29. Grundlegendes zu Magnetfeldern

Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
29.
Grundlegendes zu Magnetfeldern
29.1.
Die LORENTZ-Kraft
−
Ladungen werden nicht nur von elektrischen Feldern beeinflusst (COULOMBKraft, Gl. (25- 4)), sondern auch von magnetischen Feldern.
−
Experimente zeigen:
·
·
·
·
−
!
Kraft wirkt nur auf bewegte Ladungen F ~ v
r
r
Kraft wirkt immer senkrecht zu v , also keine Änderung des Betrages von | v |
bzw. der kinetischen Energie Ekin, sondern nur Richtungsänderung
Bei homogenen Magnetfeldern
r sieht man, dass die Kraft von der Richtung von
r
v relativ zum Magnetfeld B abhängt
positive und negative Ladungen q/-q werden entgegengesetzt abgelenkt
Letztlich zeigt sich, dass für die LORENTZ-Kraft gilt:
r
r r
F = q⋅v×B
r
B ... magnetische Feldstärke
(1)
Es gilt die Rechte-Hand-Regel:
Mit Gl. (1) ist eine Präzisierung der experimentellen Ergebnisse möglich:
r
r r
r r
F = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin( v, B)
·
·
−
r r
F wird minimal (F = 0) für v || B .
r
r
F wird maximal für v ⊥ B .
r
r
Damit ist B analog zu E über die Kraftwirkung auf elektrische Ladungen definiert.
Maßeinheit:
mit:
[B] =
[F]
N
=
[q ] ⋅ [ v] C ⋅ m ⋅ s −1
P = I⋅U
= Nm
ä
J
J
=
=
−1
C ⋅ m ⋅ s ⋅ m Am 2
SI
(26 - 14)
43
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
[P] = A ⋅ V ≡
J
s
SI
æ
V=
Maßeinheit:
[B] =
J
, damit ergibt sich für B
As
Vs
≡ T ... Tesla
m2
SI
Eine veraltete Nicht-SI-Einheit ist das Gauß (1 Tesla = 104 Gauß).
29.2.
−
Kräfte auf Ströme im Magnetfeld
Strom in einem Leiter
r
r
I = q⋅n⋅v⋅A
n ... Zahl der Ladungsträger pro Volumen
q ... Ladung pro Ladungsträger
r
v ... mittlere Driftgeschwindigkeit
(2)
vgl. hierzu auch Gl. (26 - 10), allerdings ist in Gl. (2)
noch die korrekte Richtungsbeziehung enthalten
mit:
n=
N
A⋅l
wobei N die Zahl der Ladungsträger im Drahtstück ist,
folgt aus Gl. (2)
r
N r
I = q⋅
⋅v⋅A
A⋅l
r 1
r r
r r 1
I × B = N ⋅ q ⋅ v × B ⋅ = N ⋅ FT ⋅
l
l
r
×B
(3)
r
FT beschreibt die LORENTZ-Kraft auf einen Ladungsträger. Die gesamte Gl. (3) hingegen drückt die Kraft auf alle Ladungsträger pro Längeneinheit im Drahtstück aus.
Die resultierende Kraft auf alle Ladungsträger im Drahtstück ergibt sich zu
bzw.
r
r r
F = l⋅ I ×B
r r
r
F = I⋅ l ×B
(4a)
(4b)
dabei gilt:
r
r
r
l⋅ I = I⋅ l ≡ I⋅l⋅e
r
e ... Einheitsvektor in Draht-/Stromrichtung
r
r
l ... Drahtlänge mit „Vektorcharakter“ || I
44
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Kommentar:
Die Kraft ist unabhängig davon, wie der Strom zu Stande kommt (viele/wenige
Ladungsträger, viel/wenig Ladung pro Ladungsträger, große/kleine Driftgeschwindigkeit)! Entscheidend ist nur der Strom, also Ladung pro Zeit.
Einschub zur Richtungskonvention
u
!
für positive Ladungsträger (q > 0) gilt:
r
r r r r I
E~v~ I~ j≡
A
r
v ... Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
In Metallen sind die frei beweglichen Ladungsträger die Elektronen (q = -e), sie
bewegen sich natürlich entgegengesetzt. Die Formeln gelten natürlich auch dort,
wir müssen nur q = -e einsetzen.
−
Wir betrachten eine stromdurchflossene Leiterschleife im Magnetfeld:
Nur die Leiterstücke
AB und CD führen zu
einer Drehung.
Die Kräfte auf BC und
D/A kompensieren
einander!
Nun untersuchen wir den Schnitt durch diese Leiterschleife:
Zur Drehung tragen
nur die Kraftkomponenten senkrecht zur
r
Leiterschleife bei ( Fn ).
Die Kraftkomponenten tangential dazu
r
( Ft ) kompensieren sich.
−
Letztendlich zeigt sich, dass für das Drehmoment M gilt:
r
M = I ⋅ A ⋅ sin ϑ ⋅ B
(5)
45
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Kommentar:
·
·
−
u
Das Drehmoment ist proportional zu A, d.h. entscheidend ist die Fläche!
(„Leiterstück AB bringt die Kraft, Leiterstück BC bringt den Hebelarm“)
Außerdem ist das Drehmoment winkelabhängig (~ sin θ). Es versucht, die
Schleife senkrecht
r
r zum Magnetfeld zu stellen („maximale Wechselwirkung
zwischen I und B “). So funktionieren Messgeräte und Motoren!
Trick:
r
r
Einführung eines Vektors A mit | A | = A, Richtung senkrecht zur Leiterschleifenfläche und Berücksichtigung der Rechten-Hand-Regel bezüglich des Stromes I:
aus Gl. (5) folgt damit
r r
M = I⋅A×B
−
(6)
r
r
Mitunter werden I und A zum magnetischen Moment µ der Stromschleife zusammengefasst
r
r
µ = I⋅A
⇒
r r
M = µ×B
Kommentar:
(7)
(6‘)
u
·
Das magnetische Moment µ bestimmt, wie wir noch vertiefen werden, die
Stärke der „magnetischen Wirkung“ der stromdurchflossenen Leiterschleife. Es steigt mit der Fläche A und/oder dem Strom I.
!
·
Die stromdurchflossene Leiterschleife ist das magnetische Analogon zum
elektrischen Dipol, das magnetische Moment entspricht dem (elektrischen
Dipolmoment). Das Verhalten, d.h. die Wechselwirkung mit einem äußeren
Feld, ist völlig analog.
!
46
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
29.3.
Magnetfeld eines geraden Leiters
−
Wir betrachten das Magnetfeld eines
stromdurchflossenen Leiters
−
Eine genaue Untersuchung (z.B. durch
Messung der Kraft auf eine bewegte Probeladung q in Drahtnähe) liefert
r µ I
B= 0⋅
2π r
(8)
r
mit der Richtung von B lt. der Rechten-Hand-Regel. Dabei ist µ0 die magnetische Feldkonstante oder Induktionskonstante.
µ0 =
4π Vs
Vs
≈ 1,26 ⋅ 10 −6
7
Am
10 Am
−
µ0 ist ursprünglich einmal gemessen worden, inzwischen aber durch die Definition des Ampere in seinem Zahlenwert festgelegt.
−
Multipliziert man die Influenz- und Induktionskonstante, folgt
ε 0 ⋅ µ 0 = 8,85... ⋅ 10 −12
As
Vs
s2
⋅ 1,26... ⋅ 10 −6
≈ 11,1 ⋅ 10 −18 2
Vm
Am
m
Dieser Wert entspricht c-2 (c...Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)!
1
= ε0 ⋅ µ0
c2
(9)
Dies ist kein Zufall, sondern wird auch durch komplexere Betrachtungen bestätigt.
29.4.
Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes
r
Wir vergleichen dazu mit dem E -Feld:
1.)
·
r
Für das elektrische Feld E war
r
r2
r
∫r E ⋅ dr = −U12
(25 - 14)
r1
unabhängig vom Weg, d.h.
r
∫ E ⋅ dr = 0
Dies ist die aus <26.1.> bekannte KIRCHHOFFsche Maschenregel.
47
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Wenn wir obigen Ausdruck analog
r
für das magnetische Feld B mittels
Integration längs R = const. um den
Draht bilden, erhalten wir
·
r
∫ B ⋅ dr
R =const.
=
µ0 I
⋅ ⋅ 2πR
2π R
= µ0 ⋅ I
Es lässt sich leicht zeigen, dass allgemein
gilt:
r
B
∫ ⋅ dr = µ 0 ⋅ I ges, innerhalb d. Kurve
geschlossene Kurve
2.)
·
(10)
r
Für das elektrische Feld E war außerdem
r ρ
div E =
ε0
(25 - 20)
Will man diesen Sachverhalt in integraler Schreibweise ausdrücken benötigt
man die Beziehung
r
E
∫ ⋅ dA =
geschl. Fläche
r
div
E
⋅ dV
∫
Volumen in
der Fläche
Dies ist der allgemein gültige mathematische Satz von GAUßOSTROGRADSKI, aus dem mit Gl. (25 - 20) folgt
r
E
∫ ⋅ dA =
geschl. Fläche
·
∫
Vol. in
d. Fläche
ρ
1
⋅ dV =
⋅ Q ges,in der Fläche
ε0
ε0
(25 - 10)
r
Für das magnetische Feld B gilt wegen der selben Mathematik
r
∫ B ⋅ dA
geschl. Fläche
=
r
∫ div B ⋅ dV
Volumen in
der Fläche
Da es aber keine magnetischen Ladungen gibt, die Quellen oder Senken
von Feldlinien sind, sondern magnetischen Feldlinien immer in sich geschlossen sind, gilt:
r
div B = 0
(11)
!
(12)
48
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
daher ist
r
B
∫ ⋅ dA =
geschl. Fläche
r
div
B
⋅ dV = 0
∫
Volumen in
der Fläche
(11)
Analog zum elektrischen Fluss heißt Φm magnetischer Fluss.
r
B
∫ ⋅ dA
Φm =
(13)
Fläche
Für nicht geschlossene Flächen ist der magnetische Fluss Φm im Allgemeinen nicht Null!
29.5.
−
!
Die magnetische Feldgröße H
r
r
Analog zum „Pärchen“ E ↔ D bildet man mit
r
1 r
H=
⋅B
µ0
(14)
eine zweite Feldstärkegröße1 für das Magnetfeld.
Maßeinheit:
−
[H] =
A
m
2
SI
Dies hat – wiederum analog – zur Folge, dass sich verschiedene Gleichungen
formal vereinfachen, z.B. Gl. (10)
r
H
∫ ⋅ dr = I ges, innerhalb d. Kurve
(10‘)
geschlossene Kurve
−
r
r
Der eigentliche Unterschied zwischen B ↔ H wird allerdings erst später deutlich werden, wenn wir Materie im Magnetfeld vertieft behandeln. Dann ergibt
sich in weiterer Analogie
r
r
B = µ ⋅ µ0 ⋅ H
µ ... Permeabilität des Materials
29.6.
−
1
2
(15)
Ursachen von Magnetfeldern
Es gibt zwei scheinbar unterschiedliche Ursachen für deren Existenz:
a) magnetische Materialien („Magnete“)
b) elektrische Ströme
Eine Zusammenstellung der in verschiedenen bekannten Lehrbüchern verwendeten Begriffe zur die
Beschreibung der elektrischen und magnetischen Felder findet sich im Anhang auf S. VI.
r
Dies folgt sofort aus <29.1.> und Gl. (8). Beachte wieder die Analogie zum E -Feld mit [E] = V ž m-1!
49
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
−
Hinter a) steckt die Tatsache, dass die Bausteine der Atome (Elektronen e-, Protonen p+, Neutronen n) kleine magnetische Momente besitzen, die wir uns als
„winzige Kreisströme“ vorstellen können.
magnetische
Momente
der e-, p+, n
ng
Überlageru
  
→
r
r
magnetisches
µ A = 0 (Kompensation)
Moment des =  r
r

µ
≠
0
Atoms
 A
−
r
Wenn die atomaren µ A bereits von sich aus (ohne äußeres Magnetfeld) parallel
ausgerichtet sind, liegt ein ferromagnetisches Material vor (= „Magnet“).
−
r r
Richtungskonvention für B , H : Vom Nord- zum Südpol
!
!
In diesem Fall sind die „atomaren Kreisströme“
wie in folgender Skizze orientiert:
−
Die Ursachen a) und b) sind also gar nicht so verschieden!
−
Magnetische Materialien werden in <31.> vertieft behandelt, in diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Magnetfeldern von Stromanordnungen. Wir betrachten im
Experiment:
·
Draht,
·
Leiterschleife,
·
lockere und dichte Spule,
·
Ringspule,
·
HELMHOLTZ-Spulen(paar),
·
Überlagerung von Spulenfeldern (Vektoraddition).
−
Beispiel: HELMHOLTZ-Spulen
Als HELMHOLTZ-Spulen bezeichnet man die Anordnung zweier kreisförmiger
Stromschleifen (mit Radius R) genau im Abstand R.
n
!
50
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
⇒ Das resultierende Magnetfeld ist bei parallelem Strom relativ gut homogen,
bei entgegengesetztem Stromfluss hingegen relativ gut linear.
−
−
Kommentar zur langen Spule:
·
Mit zunehmender Spulenlänge ist das Feld mehr und mehr auf den Innenraum konzentriert.
·
Beim Grenzfall der unendlich langen Spule existiert das Feld nur innen und
ist dort homogen (Analogie zum Plattenkondensator!).
·
Die Ringspule kann als Näherung für die lange Spule betrachtet werden.
u
!
Wir untersuchen nun das Feld im Innern einer langen Spule.
r
r
Zunächst schreiben wir nun Gl. (10) mit Hilfe von Gl. (14) für H statt für B
r
∫ µ 0 H ⋅ dr =
geschl. Kurve
r
∫ B ⋅ dr = µ 0 ⋅ I ges, innerhalb d. Kurve
geschl. Kurve
es folgt also
r
H
∫ ⋅ dr = I ges, innerhalb d. Kurve
(10‘)
geschl. Kurve
Wir wenden nun Gl. (10‘) auf die Kurve K in der Skizze an
51
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Anzahl der Windungen innerhalb der Kurve K
ä
H ⋅ l = I ges = I ⋅ n
n
l
æ
Windungen pro Länge
H⋅l = I⋅l⋅
H
= I⋅
n
l
Kommentar:
Iges würde einem gerollten
Blech entsprechen.
(16)
u
Dies geht ebenso, aber
technisch wird eben die
flächenhafte Stromverteilung über das Aufwickeln
von isolierten Drähten
verwirklicht.
29.7.
−
Der Satz von BIOT-SAVART
Beim elektrischen Feld war
r r
E( r ) =
r
q
r
⋅
2
4πε 0 r r
(25 - 4)
r
das Feld einer Ladung q am Punkt P( r )
(wenn q am Ursprung sitzt).
−
Gibt es noch weitere Ladungen q‘, q‘‘, ... müssen wir die Felder der einzelnen
Ladungen addieren (vgl. Beispiel des elektrischen Dipols in <25.4.>). Es gilt also das Superpositionsprinzip (Ursache dafür ist die Linearität der Gl. (25 - 4))
−
Das Superpositionsprinzip gilt auch für magnetische Felder.
·
·
!
elektrisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Punktladungen dq
magnetisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Stromelemente dI
52
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Das Stromelement
dI ~ I ⋅ dl bewirkt
r
am Punkt P( r ) ein
Feld dH mit
dH ~ I ⋅
1
r2
Dieses Feld zeigt die gleiche Abstandsabhängigkeit wie Gl. (25 - 4). Man muss
aber noch die Richtung berücksichtigen, denn im Gegensatz zum elektrischen
Feld ist
r
r r
r
H ⊥ dl und H ⊥ r (nicht ~ r !)
Es zeigt sich, dass gilt
r
I ⋅ dl × r
dH =
4πr 3
(17)
Dies ist das Gesetz von BIOT-SAVART.
Mit dessen Hilfe kann man im Prinzip die Magnetfeldverteilung jeder beliebigen Stromanordnung (Spule, etc.) berechnen.
29.8.
−
!
Bewegte Bezugssysteme
Gedankenexperiment:
Eine Ladung q bewege
r
sich mit v im Laborsystem.
Im Labor herrscht ein
homogenes Magnetfeld
r
B
Beobachter A befindet sich im Labor, Beobachter B fliegt neben der Ladung her,
r
d.h. er befindet sich in einem relativ zum Labor mit v bewegten Bezugssystem.
−
Beobachter A: Die Ladung erfährt eine LORENTZ-Kraft
r
r r
FL = q ⋅ v × B
53
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
−
r
r
r
Beobachter B: Auch er mißt B , für ihn ist aber FL' = 0 , da die Ladung in seinem System ruht.
Er merkt natürlich auch, dass auf q eine Kraft wirkt, kann diese
aber nur als COULOMB-Kraft interpretieren
r
r
r
r r
F' = q ⋅ E ' = F = q ⋅ v × B
å
â
æ
(Beobachter B) Kraft muss
(Beobachter A)
ein und dieselbe sein!
⇒
(18)
r
Im bewegten Bezugssystem herrscht also ein elektrisches Feld E ' ,
das vom Magnetfeld im Laborsystem herrührt (vgl. b) in Gl. (20a))
⇒
−
r r r
E' = v × B
elektrisches Feld
magnetisches Feld
−
(19)
r
r
Wenn im Laborsystem außer dem B -Feld auch noch ein E -Feld existiert, so
spürt dieses der bewegte Beobachter auch (vgl. a) in Gl. (20a)).
ruhendes System
!
!
r
mit v bewegtes System
r
E
r
B
r r r r
E' = E + v × B
â
â
a)
b)
r r 1 r r
B' = B − 2 ( v × E )
c
â
â
c)
d)
(20a)
(20b)
Nun zum magnetischen Feld im bewegten Bezugssystem:
·
r
Wenn es im Laborsystem ein Magnetfeld B gibt, spürt das der Beobachter
B auch (vgl. c) in Gl. (20b)).
(Dass er keine LORENTZ-Kraft findet, liegt ja an vrel = 0! In dem Maße, in
dem sich die Ladung durch „seine“ COULOMB-Kraft zu bewegen beginnt,
wirkt auch für ihn eine LORENTZ-Kraft auf die Ladung!)
·
r
r
Es ist jedoch nicht überraschend, dass nicht nur ein E ' -Feld-Anteil aus B
erwächst, nämlich, wie schon erwähnt,
r r r
E' = v × B
r
r
sondern auch ein B' -Feld-Anteil aus dem E -Feld des ruhenden Systems.
54
Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
Es zeigt sich, dass dieser Anteil (Glied d) in Gl. (20b)) folgende Gestalt hat
r
r r
1 r r
B' = − 2 ( v × E ) = −µ 0 ε 0 ( v × E )
c
r
r
Im bewegten System herrschen E und B des ruhenden Systems
r
r
r
(Teile a), c)) und dazu noch ein E ' -Anteil aus B sowie ein B' -Anteil
r
aus E (Teile b), d) der Gleichungen (20a) und (20b).
−
Also:
−
Dies gilt für v << c, ist also keine relativistische Elektrodynamik!
!
55