E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)

E 106
Hohlraumresonatoren /
Cavities
Ergänzende Informationen
zur Versuchsdurchführung
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Inhaltsverzeichnis:
1. Hohlraumresonatoren _____________________________________________________ 3
1.1. Wellenausbreitung und Maxwellsche Gleichungen _______________________________ 3
1.2. Hohlleiter _________________________________________________________________ 4
1.3. Eigenmoden zylindrischer Resonatoren ________________________________________ 9
2. Das Cavity als Schwingkreis _______________________________________________ 13
2.1. Definition der Kenngrößen im unbelasteten Fall ________________________________ 13
2.2. Erzwungene Schwingungen _________________________________________________ 14
2.3. Belasteter Fall durch Einkopplung von Hochfrequenz ___________________________ 16
3. Der komplexe Reflexionsfaktor _____________________________________________ 18
3.1. Abhängigkeit vom Leitungsabschluss _________________________________________ 18
3.2. Reflexion in der Nähe einer isolierten Resonanz_________________________________ 18
4. Messung von |ρ| _________________________________________________________ 20
4.1. Die „Resonanzkurve“ ______________________________________________________ 20
4.2. Bestimmung der Resonanzfrequenz und der Kopplung __________________________ 21
4.3. Bestimmung der Kreisgüte __________________________________________________ 21
5. Vektorielle Messung des Reflexionsfaktors____________________________________ 22
5.1. Die „Resonanzkurve“ in der komplexen Ebene _________________________________ 22
5.2. Bestimmung der Resonanzfrequenz und der Kopplung __________________________ 25
5.3. Bestimmung der Kreisgüte __________________________________________________ 27
5.4. Weitere wichtige Größen und das Smith-Diagramm _____________________________ 28
6. Störkörpermessungen_____________________________________________________ 33
6.1. Slater-Formel _____________________________________________________________ 33
6.2. Resonante Störkörpermessung _______________________________________________ 35
6.3. Nicht resonante Störkörpermessung __________________________________________ 36
6.4. Bestimmung der Shuntimpedanz _____________________________________________ 36
7. Anhang ________________________________________________________________ 38
7.1. Feldplots einiger Resonatormoden ____________________________________________ 38
7.2. Einfluss seitlicher Öffnungen im Resonator auf die Feldverteilung _________________ 42
Erläuterung der Messmethoden
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W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
1. Hohlraumresonatoren
Wir leiten die Eigenschwingungen (resonanten Moden) eines Hohlraumresonators aus den Maxwellschen Gleichungen ab. Dazu behandeln wir zunächst die
Wellenausbreitung in zylindrischen Hohlleitern und führen die unterschiedlichen Ausbreitungsformen von Wellen (Hohlleitermoden) ein. Der Übergang zu
zylindrischen Hohlraumresonatoren gelingt danach durch ein Verschließen des
Hohlleiters durch leitende Wände, wodurch in longitudinaler Richtung zusätzliche Randbedingungen entstehen und stehende Wellen auftreten.
1.1. Wellenausbreitung und Maxwellsche Gleichungen
Startpunkt sind die Maxwellschen Gleichungen in differentieller Form, die sich
für Vakuum (hier sind keine Ladungsträger vorhanden!) mit Hilfe von ε 0 und
μ0 durch die E- und H-Felder ausdrücken lassen:
rot E = −
∂B
∂t
Vakuum
Vakuum
div D = ρ
rot H = j +
∇× E = − μ0 ⋅
∂D
∂t
∇i E = 0
Vakuum
∇× H = ε 0 ⋅
Vakuum
div B = 0
∂H
∂t
∂E
∂t
∇i H = 0
Bilden wir nun die Rotation der ersten (bzw. der dritten) Gleichung, ersetzen
den Ausdruck ∇ ×
∂H
∂E
(bzw. ∇ ×
) durch die zeitliche Ableitung der dritten
∂t
∂t
(bzw. der ersten) Gleichung und nutzen die Operatoridentität
(
)
(
)
∇ × ∇ × a = ∇ ∇ia − Δa ,
so erhalten wir unter Ausnützung der Divergenzbeziehungen (Maxwell-Gleichung zwei bzw. vier) die Differentialgleichungen des elektrischen und magnetischen Felds für eine Wellenausbreitung im Vakuum:
Erläuterung der Messmethoden
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W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
1 ∂ 2 E (r , t )
ΔE (r , t ) − 2
= 0
c
∂t 2
1 ∂ 2 H (r , t )
ΔH (r , t ) − 2
= 0
c
∂t 2
mit c 2 =
1
μ0 ε 0
Betrachten wir ausschließlich Wellen einer bestimmten Frequenz ω , können wir
die Zeitabhängigkeit explizit durch
E (r , t ) = E (r ) ⋅ eiωt , H (r , t ) = H (r ) ⋅ eiωt
ausdrücken und die Wellengleichung durch Einsetzen vereinfachen:
ΔE (r ) +
ω2
ΔH (r ) +
ω2
c2
c2
E (r ) = 0
H (r ) = 0
1.2. Hohlleiter
Wir beginnen mit der Betrachtung allgemeiner, in z-Richtung ausgerichteter
Hohlleiter, die damit auch die Wellenausbreitung auf die z-Richtung festlegen.
Mit dem Ansatz E = E ( x, y ) ⋅ e (
i ωt − kz )
und der Aufteilung Δ = Δ ⊥ +
∂2
ergibt sich
∂z 2
für die longitudinalen Felder:
Δ ⊥ E z + kc 2 E z = 0
Δ ⊥ H z + kc 2 H z = 0
ω2
mit
2
− k 2 = kc 2
c
(Dispersionsrelation des Hohlleiters)
Die Größe kc wird auch als kritische Wellenzahl bezeichnet und ist eine Kenngröße des Hohlleiters – wie wir im Folgenden noch sehen werden.
Zur Berechnung der transversalen Felder nutzen wir die erste (bzw. dritte)
Maxwellsche Gleichung. Es wird sich herausstellen, dass eine Kenntnis der
longitudinalen Felder Ez und H z ausreicht und die zugehörigen transversalen Felder E⊥ und H ⊥ aus den longitudinalen berechnet werden können. So
erhalten wir z. B. für das E-Feld
Erläuterung der Messmethoden
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W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
(∇× E )
(∇× E )
⊥
⊥
(
∂E y
= + ikE y
∂z
∂E
= + x = − ikEx
∂z
= −
x
y
⇒
(∇× E )
⊥ ⊥
)
= ikE⊥ × eˆz
(
∇× Ez ⋅ eˆz = ∇Ez × eˆz = ∇ ⊥ Ez × eˆz = ∇ ⊥ × Ez ⋅ eˆz
)
Kombinieren wir diese zwei Gleichungen, ergibt sich
(
(∇× H ) = (ikH
(∇× E )
und völlig analog
)
= ikE⊥ + ∇ ⊥ Ez × eˆz
⊥
⊥
⊥
)
+ ∇ ⊥ H z × eˆz .
Aus der ersten und dritten Maxwellschen Gleichung erhalten wir
(ikE + ∇ E ) × eˆ = − iωμ H
(ikH + ∇ H ) × eˆ = iωε E
⊥
⊥
⊥
z
⊥
0
z
z
0
z
⊥
oder
⊥
ikE⊥ + ∇ ⊥ Ez = iωμ0 H ⊥ × eˆz
ikH ⊥ + ∇ ⊥ H z = − iωε 0 E⊥ × eˆz
was sich nach etwas Rechnen (Einsetzen über Kreuz) zu folgenden Beziehungen
umwandeln lässt:
ikc 2 E⊥ = k∇ ⊥ Ez + ωμ0∇ ⊥ H z × eˆz
ikc 2 H ⊥ = k∇ ⊥ H z − ωε 0∇ ⊥ Ez × eˆz
Wir können die verschiedenen möglichen Wellen wie folgt klassifizieren:
a) Fall kc 2 = 0 :
Phasengeschwindigkeit aus der Dispersionsrelation:
Impedanz über ζ =
1.)
E
, damit ∇ ⊥ Ez = −ζ ⋅∇ ⊥ H z × eˆz :
H
v ph =
ζ =
ω
k
=c
μ0
ε0
∇ ⊥ Ez ≠ 0, ∇ ⊥ H z ≠ 0 : HE oder EH Hybrid-Wellen (werden zur
Ablenkung geladener Teilchen in RF Separatoren benutzt)
2.)
∇ ⊥ Ez = 0 and ∇ ⊥ H z = 0 : transversale TEM Wellen
b) Fall kc 2 ≠ 0 :
Keine Ausbreitung für ω ≤ c ⋅ kc : evaneszente Wellen ↔ “cut-off”
Erläuterung der Messmethoden
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W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Phasengeschwindigkeit aus Dispersionsrelation:
v ph = c ⋅ 1 +
kc 2
>c
k2
Die Impedanz hängt von der Ausbreitungsmode ab:
1.)
Ez = 0: TE (transversal elektrische) oder H (weil Hz ≠ 0) Wellen
Impedanz über
2.)
ikE⊥ = − iωμ0 H ⊥ × eˆz :
Z0 =
E⊥
ω
= μ0
H⊥
k
Hz = 0: TM (transversal magnetische) oder E (weil Ez ≠ 0) Wellen
Impedanz über
ikH ⊥ × eˆz = ( iωε 0 + σ ) E⊥ :
Z0 =
k
ωε 0
Verbunden mit der kritischen Wellenzahl ist eine kritische Frequenz ωc = kc ⋅ c ,
unterhalb derer keine Wellenausbreitung im Hohlleiter stattfindet. Die Dispersion im Hohlleiter weicht daher von der im Vakuum oder einem Koaxialkabel
(TEM-Wellen) für kleine Frequenzen deutlich ab:
Betrachten wir nun im Folgenden zylindrische Hohlleiter mit Innenradius a:
Erläuterung der Messmethoden
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W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Die longitudinalen Felder müssen die Wellengleichung lösen:
⎛ ∂2 1 ∂
1 ∂2 ⎞
Ez + kc 2 Ez = 0
+ 2
⎜⎜ 2 +
2 ⎟
⎟
r
r
ϕ
∂
∂
r
⎝ ∂r
⎠
=Δ⊥
⎛ ∂2 1 ∂
1 ∂2 ⎞
+ 2 2 ⎟⎟ H z + kc 2 H z = 0
⎜⎜ 2 +
r ∂r r ∂ϕ ⎠
⎝ ∂r
Separation des ϕ -abhängigen Anteils
Ez (r ,ϕ ) = RE (r ) ⋅θ E (ϕ ), H z (r ,ϕ ) = RH (r ) ⋅θ H (ϕ )
⇒
r 2 d 2 R r dR
1 d 2θ
⋅ 2 +
+ kc 2 r 2 = −
= m2
2
R dr
R dr
θ dϕ
ergibt zwei Differentialgleichungen für die Anteile der longitudinalen Komponente und als Lösung die trigonometrischen Funktionen für den Winkelanteil
und die Bessel- bzw. Neumannfunktion für den radialen Anteil:
d 2θ
+ m 2θ = 0
2
dϕ
d 2 R 1 dR ⎛ 2 m 2 ⎞
+
+ ⎜ kc − 2 ⎟ R = 0
dr 2 r dr ⎝
r ⎠
Mit ∇ ⊥ = eˆr
→
θ (ϕ ) = A ⋅ cos ( mϕ ) + B ⋅ sin ( mϕ )
R ( r ) = C ⋅ J m ( kc ⋅ r ) + D ⋅ N m ( k c ⋅ r )
∂
1 ∂
erhalten wir für die transversalen Felder:
+ eˆϕ
r ∂ϕ
∂r
⎧ ∂E
⎧ ∂H
1 ∂Ez ⎫
1 ∂H z ⎫
ikc 2 E⊥ = k ⎨ z eˆr +
eˆϕ ⎬ − ωμ0 ⎨ z eˆϕ −
eˆr ⎬
r ∂ϕ ⎭
r ∂ϕ ⎭
⎩ ∂r
⎩ ∂r
⎧ ∂H
⎧ ∂E
1 ∂H z ⎫
1 ∂Ez ⎫
ikc 2 H ⊥ = k ⎨ z eˆr +
eˆϕ ⎬ + ωε 0 ⎨ z eˆϕ −
eˆr ⎬
r ∂ϕ ⎭
r ∂ϕ ⎭
⎩ ∂r
⎩ ∂r
Die möglichen Feldverteilungen werden durch die Randbedingungen an den
Wänden des Hohlleiters weiter eingeschränkt:
• Eϕ = 0; Ez = 0
• Hr = 0
für r = a (verschwindende Tangentialkomponenten)
für r = a (verschwindende Normalkomponenten)
Erläuterung der Messmethoden
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W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Hiermit wird einem folgender Ansatz für das magnetische (im Fall der TEModen) bzw. das elektrische Feld (im Fall der TM-Moden) nahegelegt:
TE- oder H-Wellen mit Ez = 0:
H z = H mn ⋅ J m (kc ⋅ r ) ⋅ cos ( mϕ ) , wobei J´m ( kc a ) = 0 gelten muss und n angibt,
'
um welche Nullstelle jmn
es sich dabei handelt. Mit n = 1,2,3,... und m = 0,1, 2,...
gilt näherungsweise folgende Dispersionsrelation für TE-Wellen:
kc + k =
2
2
ω2
c2
( kc a )
wobei
2
⎛
2m − 3 ⎞
≈ ⎜n+
4 ⎟⎠
⎝
2
π2 −
4m2 + 3
4
Wir erhalten damit für die transversalen Felder der TE-Wellen:
Er = i
ωμ0 m
kc kc r
Eϕ = i
ωμ0
kc
⋅ J m ( kc r ) ⋅ sin ( mϕ ) H mn
⋅ J ´m ( kc r ) cos ( mϕ ) H mn
k
⋅ J ´ ( k r ) ⋅ cos ( mϕ ) H mn
kc m c
k m
Hϕ = i
⋅ J ( k r ) ⋅ sin ( mϕ ) H mn
kc kc r m c
H r = −i
Die Mode mit der kleinsten Frequenz (Fundamentalmode) ist die TE11 mit m>0,
was durch die Forderung verschwindender Normalkomponenten von H bedingt
′ ⋅c a.
ist! Allgemein gilt für die Cut-Off-Frequenzen ωmn = jmn
TM- oder E-Wellen mit Hz = 0:
Ez = Emn ⋅ J m (kc ⋅ r ) ⋅ cos ( mϕ ) , wobei J m ( kc a ) = 0 gelten muss und n angibt, um
welche Nullstelle jmn es sich dabei handelt. Mit n = 1,2,3,... und m = 0,1, 2,...
gilt Näherungsweise folgende Dispersionsrelation für TM-Wellen:
kc + k =
2
2
ω2
c2
mit
( kc a )
2
⎛
2m − 1 ⎞
≈ ⎜n+
4 ⎟⎠
⎝
2
π2 −
4m 2 − 1
4
Wir erhalten damit für die transversalen Felder der TM-Wellen:
ωε m
k
⋅ J ´m ( kc r ) ⋅ cos ( mϕ ) Emn H r = i 0
⋅ J ( k r ) ⋅ sin ( mϕ ) Emn
kc
kc kc r m c
ωε
k m
⋅ J m ( kc r ) ⋅ sin ( mϕ ) Emn
Eϕ = i
Hϕ = i 0 ⋅ J ´m ( kc r ) cos ( mϕ ) Emn
kc kc r
kc
Er = −i
Erläuterung der Messmethoden
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W. Hillert
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Die Fundamentalmode ist die TM01 mit m=0 und n=1, Eϕ = H r = 0 :
Die TM01 wird in Linearbeschleunigern und Beschleunigungsresonatoren zur
Beschleunigung geladener ultrarelativistischer Teilchen verwendet.
Für die Cut-Off-Frequenzen gilt: ωmn = jmn ⋅ c a
1.3. Eigenmoden zylindrischer Resonatoren
Fügen wir in den Hohlleiter eine senkrecht zur z-Richtung stehende leitende
Platte ein, wird die einlaufende Welle vollständig reflektiert und wir erhalten
eine stehende Welle. Dies ändert die Abhängigkeit der Felder in z-Richtung:
a ⋅ eikz → A ⋅ sin ( kz + ϕ0 )
An den Knotenebenen können daher ohne Veränderung der Feldverteilung leitende Platten eingefügt werden. Dies führt zu einem zylindrischen Hohlraumresonator, bestehend aus einem Hohlleiter der Länge l, der an seinen beiden Enden
durch leitende Platten verschlossen ist. Für die longitudinalen Randbedingungen
ist daher k = p ⋅ π l zu fordern. Mit den o. a. Hohlleiter-Eigenmoden ergeben
sich damit folgende longitudinale Felder:
TEmnp-Moden:
H z = H mn ⋅ J m ( kc r ) ⋅ cos ( mϕ ) ⋅ sin ( pπ l ⋅ z ) ⋅ e
TMmnp-Moden:
Ez = Emn ⋅ J m ( kc r ) ⋅ cos ( mϕ ) ⋅ cos ( pπ l ⋅ z ) ⋅ e
Für die Resonanzfrequenzen gilt: ω m n p = c ⋅
Erläuterung der Messmethoden
9
(j
(')
mn
iωmnp t
iωmnp t
a ) + ( pπ l )
2
2
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Stellt man die Formel für die Resonanzfrequenzen ein wenig um, so erhält man
(')
die folgende Geradengleichung, wobei j mn
die jeweilige Nullstelle der Bessel-
funktion bzw. ihrer Ableitung bezeichnet:
2
2
⎛ cj(') ⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ d ⎞
(dν) = ⎜ mn ⎟ + ⎜ ⎟ p 2 ⎜ ⎟
⎝ π ⎠ ⎝2⎠ ⎝ l ⎠
2
2
Dabei wurde der Durchmesser d = 2 ⋅ a des Resonators eingeführt. Trägt man
die Geraden der verschiedenen Moden in ein Diagramm ein, so erhält man eine
sogenannte Modenkarte (hier für p ≤ 2 ):
p=2
6e+17
1
TE 32
21
11
TM 3
TE32
/ TE 0
21
TM 1
E 611
T
5e+17
1
TE 221
TE 51
11
TM 3
1
21
TM 0
TM41
TE61
12
(nd)2 / s-2 m2
11
TM410
1
TM120
TM 2
TE02
[TM
4e+17
TE 12
1
TE 41
TE 31
11
/ TE 0
111
M
T
TE22
TE51
TM31
TM310
1
TE 21
M 011
3e+17
T
1
TE 11
TM02
TE12
TE41
TM21
TM020
TM210
2e+17
TE31
TE01
[ TM
TM110
11
1e+17
TE21
TM01
TM010
TE11
0
2
4
6
8
10
12
14
16
2
(d/l)
Aus ihr lässt sich die Anordnung der verschiedenen Moden eines Resonators für
ein gegebenes Verhältnis von Durchmesser zu Länge ablesen. Aus den Ordinatenwerten lassen sich deren Frequenzen bestimmen.
Erläuterung der Messmethoden
10
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Die zur expliziten Berechnung der Resonanzfrequenzen erforderlichen Nullstellen der Besselfunktionen bzw. deren jeweiliger erster Ableitung finden sich in
den folgenden beiden Tabellen:
Nullstellen von Jm(x):
n
j0n
j1n
0
1 2,40482 3,83171
2 5,52007 7,01559
3 8,65372 10,17347
4 11,79153 13,32369
5 14,93091 16,47063
j2n
0
5,13562
8,41724
11,61984
14,79595
17,95982
j3n
0
6,38016
9,76102
13,01520
16,22347
19,40942
j4n
0
7,58834
11,06471
14,37254
17,61597
20,82693
j5n
0
8,77148
12,33860
15,70017
18,98013
22,21780
Nullstellen von J’m(x):
j'1n
n
j'0n
0
1 3,83170 1,84118
2 7,01558 5,33144
3 10,17346 8,53632
4 13,32369 11,70600
5 16,47063 14,86359
j'2n
0
3,05424
6,70613
9,96947
13,17037
16,34752
j'3n
0
4,20119
8,01524
11,34592
14,58585
17,78875
j'4n
0
5,31755
9,28240
12,68191
15,96411
19,19603
j'5n
0
6,41562
10,51986
13,98719
17,31284
20,57551
Die jeweils niedrigste Nullstelle (außer der trivialen) ist farblich markiert, aus
ihr berechnet sich die jeweilige Fundamentalmode der beiden Modenklassen.
Die Gleichheit der Nullstellen j'0n und j1n deutet darauf hin, dass die Ableitung
der Besselfunktion nullter Ordnung mit der Besselfunktion erster Ordnung übereinstimmt:
d
J 0 ( x) = J 1 ( x) .
dx
Die entsprechenden TE- bzw. TM-Moden weisen daher die gleiche Resonanzfrequenz auf:
TE0np = TM1np für beliebige Werte von n und p.
Erläuterung der Messmethoden
11
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Die folgenden Abbildungen zeigen eine Momentaufnahme der Feldverteilungen
der ersten beiden TM-Moden eines abgeschlossenen, zylindrischen Resonators,
weitere Beispiele finden sich im Anhang. Wegen p = 0 besteht bei beiden Moden keine Abhängigkeit von der Resonatorlänge, das elektrische Feld hat damit
nur eine longitudinale Komponente. Für die Abbildung wurde der Resonator
jenseits einer willkürlich gewählten Schnittebene transparent dargestellt.
TM010-Mode
E (r )
H (r )
TM110-Mode
E (r )
Erläuterung der Messmethoden
H (r )
12
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
2. Das Cavity als Schwingkreis
2.1. Definition der Kenngrößen im unbelasteten Fall
Wir betrachten das Ersatzschaltbild eines Hohlraumresonators – den LCRParallelkreis:
Es gelten die bestens bekannten Beziehungen:
Spannungen:
−U C = U R = U L ,
C ⋅UC = I ,
U L = L ⋅ I (Generator!)
IC = I R + I L
Ströme:
Dies ergibt die Differentialgleichung
U+
1
1
U+
U =0
RC
LC
Wir definieren folgende Größen:
• Zeitkonstante
τ = R ⋅C
• Resonanz-Kreisfrequenz
ω0 =
• Kreisgüte
Q0 =
1
L ⋅C
2π ⋅ gespeicherte Energie
2π ⋅ W
ω ⋅W
=
= 0
Energieverlust pro Periode
T ⋅P
P
Als Lösung ergibt sich für einen schwach gedämpften Kreis (Schwingfall)
U (t ) = U 0
− t
⋅ e 2τ
⋅ ei(ω t +ϕ )
0
0
Für die gespeicherte Energie ergibt sich
Erläuterung der Messmethoden
13
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
1
W = C⋅U
2
2
t
1 −
= ⋅ e τ ⋅ C ⋅ U 02 ,
2
der Energieverlust (dissipierte Leistung) beträgt
1
P = W = − ⋅W
τ
und damit erhalten wir für die Kreisgüte die altbekannten Beziehungen
ω0 ⋅ W
Q0 =
P
= ω0 ⋅ τ = ω0 RC =
R
ω0 L
2.2. Erzwungene Schwingungen
Wir regen den Schwingkreis mit einer externen Stromquelle an und erhalten
Spannungen:
Ströme:
−U C = U R = U L
I C + I ext = I R + I L
I C = QC = C ⋅ U C
IR = UR R
IL = UL L
U+
ω0
Q0
⋅ U + ω0 2 ⋅ U =
1
I ext
C
Wir setzen für die externe Anregung I ext = Iˆext ⋅ eiωt und erhalten mit dem Ansatz
U = Uˆ ⋅ eiωt die inhomogene komplexe Lösung:
Uˆ =
iω Iˆext
C
i ωω0
ω0 2 − ω 2 +
Q0
Nach Einsetzen der Beziehung für die Kreisgüte ergibt sich folgendes wohlbekanntes Resultat:
Erläuterung der Messmethoden
14
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Uˆ =
R ⋅ Iˆext
⎛ω ω ⎞
1 + iQ0 ⎜ − 0 ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
Δω
≈
ω0
R ⋅ Iˆext
Δω
1 + 2iQ0
ω
woraus sich für Betrag und Phasenverschiebung Folgendes ergibt:
Uˆ =
R ⋅ Iˆext
Δω
⎛ω ω ⎞
1 + Q0 ⎜ − 0 ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
2
≈
R ⋅ Iˆext
ω0
⎛ Δω ⎞
1 + 4Q0 ⎜
⎟
⎝ ω ⎠
⎛ω
ω⎞
tan ϕ = Q0 ⎜ 0 − ⎟
⎝ ω ω0 ⎠
2
2
2
Δω
ω0
≈ − 2Q0
Δω
ω
Die Abhängigkeit der Spannung von der Frequenz wird durch die Resonanzkurve dargestellt und hat folgende Form (ideale Spule ⇒ ωr = ω0 !)
Die unbelastete Kreisgüte kann auf einfache Weise durch Messung der so genannten Halbwertsbreite ΔωH aus der Resonanzkurve bestimmt werden (was
durch Einsetzen in die Beziehung für Û einfach verifiziert werden kann):
Q0 =
ω0
,
ΔωH
Erläuterung der Messmethoden
ΔωH = volle Halbwertsbreite bei
15
U max
2
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Der Phasenverlauf zeigt einen Nulldurchgang der relativen Phase bei ω0
2.3. Belasteter Fall durch Einkopplung von Hochfrequenz
Es gibt im Wesentlichen drei verschiedene Möglichkeiten, Hochfrequenz in einen Hohlraumresonator einzukoppeln:
• Kopplung an das magnetische Feld (Schleifenkopplung)
• Kopplung an das elektrische Feld (Stiftkopplung)
• Einkopplung aus dem Hohlleiter (Schlitzkopplung)
Wir wollen uns im Folgenden auf eine magnetische Einkopplung beschränken,
die anderen Einkopplungen können völlig analog behandelt werden. Im Fall der
Schleifenkopplung ergibt sich folgendes Szenario im Ersatzschaltbild:
Ziel der Einkopplung ist es, die vom Generator erzeugten Mikrowellen möglichst vollständig (d.h. relexionsfrei) in den Resonator zu bringen. Dazu muss
die Leitung vom Generator zum Resonator mit ihrem Wellenwiderstand (ImpeErläuterung der Messmethoden
16
W. Hillert
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danz typ. 50Ω) abgeschlossen werden. Die Impedanz des Resonators ist eine
komplexe Größe und nur im Resonanzfall reell. Sie wird dann als so genannte
Shuntimpedanz RS bezeichnet:
Z (ω0 ) = RS = reell
Die Größenordnung beträgt typischerweise MΩ! Daher wird sie durch die
Schleifenkopplung zu Z a = RS n 2 herab transformiert; im Ersatzschaltbild entspricht dies einem Transformator mit Wicklungsverhältnis n. Für die Reflexion
ist das Verhältnis aus Abschlusswiderstand und Leitungsimpedanz maßgebend.
Wir definieren daher als Koppelfaktor
κ =
Za
R
= 2 S
Z0
n ⋅ Z0
Der Resonator wird durch die externe Leitung zusätzlich belastet:
1
1
1
=
+ 2
R
RS n ⋅ Z 0
⇒
1
1
1
=
+
Q
Q0 Qext
und die unbelastete Kreisgüte sinkt durch das zusätzliche Auftreten einer externen Güte Qext auf den Wert Q. Formal erhalten wir durch Einbeziehung der externen Verlustleistung Pext folgende Zusammenhänge:
Qext =
ω0 ⋅ W
Pext
κ =
⇒
Q =
ω0 ⋅ W
P + Pext
Q0
P
R
= ext = 2 S
Qext
P
n ⋅ Z0
Wir unterscheiden die 3 Fälle
• κ < 1 : unterkritische Kopplung,
Q > Q0 2
• κ = 1 : kritische Kopplung,
Q = Q0 2 , keine Reflexion!
• κ > 1 : überkritische Kopplung,
Q < Q0 2
Erläuterung der Messmethoden
17
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Bei Kenntnis des Koppelfaktors kann die unbelastete Güte Q0 aus der gemessenen belasteten Güte Q errechnet werden:
Q0 = (1 + κ ) ⋅ Q
3. Der komplexe Reflexionsfaktor
3.1. Abhängigkeit vom Leitungsabschluss
Im Fall einer Reflexion haben wir eine hinlaufende ( Û + , Iˆ+ ) und eine rücklaufende ( Û − , Iˆ− ) Welle auf der Leitung. Wir definieren den komplexen Reflexionsfaktor ρ durch das Verhältnis
ρ =
Uˆ −
Uˆ +
Am Abschlusswiderstand Z a und der Leitungsimpedanz Z 0 haben wir dann
Za =
Uˆ
Uˆ + Uˆ −
= +
,
Iˆ
Iˆ+ + Iˆ−
Z0 =
Uˆ +
Uˆ −
=
Iˆ+
− Iˆ−
und erhalten nach Einsetzen des Reflexionsfaktors ρ 0 am Leitungsende
Za =
1 + ρ0
⋅ Z0
1 − ρ0
⇔
ρ0 =
( Za Z0 ) − 1
Za − Z0
=
Za + Z0
( Za Z0 ) + 1
3.2. Reflexion in der Nähe einer isolierten Resonanz
Im Fall nicht überlappender Resonanzen (den wir hier ausschließlich betrachten
wollen) ist uns die Impedanz des Resonators bekannt (vgl. Kapitel 2.2.). Wir
erhalten mit
Z Cav
RS
=
⎛ω ω ⎞
1 + iQ0 ⎜ − 0 ⎟
⎝ ω0 ω ⎠
Erläuterung der Messmethoden
18
Δω
≈
ω0
RS
1 + 2iQ0
Δω
ω
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und unter Einbeziehung des Koppelfaktors
κ
Δω ω0
Za
Z
Z
= 2 Cav = κ Cav
Z0
n ⋅ Z0
RS
≈
1 + 2iQ0
Δω
ω
Damit ergibt sich für den komplexen Reflexionsfaktor in Abhängigkeit der Frequenzverschiebung Δω von der Resonanzfrequenz ω0 :
ρ 0 ( Δω ) =
(
)
κ + (1 + 2iQ Δω ω )
κ − 1 + 2iQ0 Δω ω
0
Dies gilt natürlich nur unmittelbar an der Resonatoreinkopplung. Wird der Reflexionsfaktor in einer Entfernung l von der Einkopplung (bedingt durch das
Verbindungskabel zwischen Messbrücke und Resonatoreinkopplung) gemessen,
addiert sich der doppelte Laufzeitfaktor der Welle im Kabel. Mit der Wellenzahl
k =
ω
v ph
= ω ⋅ L´⋅C´ ,
die von den Kabeleigenschaften (Induktivität L’ bzw. Kapazität C’ pro Länge)
und von der Frequenz (!) abhängt, ergibt sich unter Vernachlässigung der Lei-
tungsverluste (aufpassen bei Hohlleitern, da ist das Ganze abhängig von der angeregten Mode!)
ρ ( Δω ) = ρ0 ( Δω ) ⋅ e
−2ikl
=
(
)⋅e
κ + (1 + 2iQ Δω ω )
κ − 1 + 2iQ0 Δω ω
−2ikl
0
In Anbetracht der großen Kreisgüten ( Q0 = 1000 − 10000 ) wollen wir aber diesen Effekt im Folgenden erst einmal vernachlässigen – er ist jedoch bei größerem Frequenzhub sehr schön auf dem Oszi bei der vektoriellen Messung des Reflexionsfaktors zu beobachten und führt zu Kreisen mit annähernd konstantem
Radius, die in der Auswertung zur Normierung herangezogen werden.
Erläuterung der Messmethoden
19
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4. Messung von |ρ|
4.1. Die „Resonanzkurve“
Durch Aufspaltung in Real- und Imaginärteil erhalten wir für den komplexen
Reflexionsfaktor am Ort der Einkopplung
(
)
(
(κ 2 − 1) − 4Q02 Δω ω − 4iκ Q0 Δω ω
ρ0 ( Δω ) =
2
2
(κ + 1) + 4Q0 2 Δω ω
2
)
und nach Bildung des Betrages ergibt sich
ρ ( Δω ) = ρ0 ( Δω ) =
(
(
2
(κ − 1) + 4Q0 2 Δω ω
2
(κ + 1) + 4Q0 2 Δω ω
)
)
2
2
Auf einem Skalaren Netzwerkanalysator sieht man dann folgende Darstellung
des Reflexionsfaktors (und dies gilt exakt, da die Kabellängen bei der Berechnung für eine verlustlose Leitung herausfliegen):
Erläuterung der Messmethoden
20
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4.2. Bestimmung der Resonanzfrequenz und der Kopplung
Im Fall der Resonanz ( Δω = 0 ) wird die Reflexion minimal. Die Resonanzfrequenz ω0 wird abgelesen, indem man mit den Cursor-Funktionen das Minimum
des Reflexionsfaktors sucht. Die Kopplung erhält man aus
κ −1
ρ ( Δω = 0 ) =
κ +1
⎪⎧(1 + ρ ) (1 − ρ ) , ρ > 0
κ = ⎨
⎪⎩(1 − ρ ) (1 + ρ ) , ρ < 0
⇒
wobei leider nicht zwischen ρ > 0 bzw. ρ < 0 unterschieden werden kann. Achtung: Eine präzise Messung von ρ erfordert einen kalibrierten Analysator!!
4.3. Bestimmung der Kreisgüte
Für die belastete Güte gilt
Q0
ω0
Q =
=
1+ κ
ΔωH
Δω
ΔωH = 2 Δω
⇒
ω
≈
1+ κ
2 Q0
da die entsprechende Frequenzverschiebung nur die Hälfte der Halbwertsbreite
beträgt! Wir erhalten damit für den Reflexionsfaktor
ρ ( ΔωH 2 ) =
(κ − 1) + (κ + 1)
2
2
(κ + 1) + (κ + 1)
2
2
=
κ 2 +1
κ +1
und damit folgende wichtige Botschaft:
Nur im Fall κ=1 misst man zur Bestimmung der Kreisgüte die volle 3dBHalbwertsbreite – dies entspricht ρ = 1
2 wegen der Leistungsdefinition
der dB-Werte (dB = 20·log(U/U0)), in allen anderen Fällen muss bei
ρ ( Δω H
κ 2 +1
1
2) =
≠
κ +1
2
die volle Halbwertsbreite bestimmt werden (vgl. die lin/log-Abbildungen)!
Erläuterung der Messmethoden
21
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Eine Resonanz mit einer Kreisgüte Q0=1000 und unterschiedlichen Ankopplungen (κ = 0,5; 1; 1,5) sähe in einer logarithmischen Darstellung dann folgendermaßen aus:
5. Vektorielle Messung des Reflexionsfaktors
5.1. Die „Resonanzkurve“ in der komplexen Ebene
Wir erhielten für den komplexen Reflexionsfaktor folgenden Ausdruck:
(
)
(
(κ 2 − 1) − 4Q02 Δω ω − 4iκ Q0 Δω ω −2ikl
ρ ( Δω ) =
⋅e
2
2
2 Δω
(κ + 1) + 4Q0
ω
2
)
Vernachlässigen wir zunächst den Laufzeitfaktor e−2ikl und tragen den Reflexionsfaktor in der komplexen Ebene auf, so beschreibt ρ 0 in der unmittelbaren
Nähe der Resonanz einen Kreis um (x0, y0) mit dem Radius r
x0 + i y0 = −
Erläuterung der Messmethoden
1
,
1+ κ
22
r =
κ
1+ κ
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Dies kann in einer länglichen Rechnung durch Einsetzen von r und x0 verifiziert
werden, die hier nur auszugsweise zur Überprüfung wiedergegeben werden soll:
⎡
⎢ ( κ − 1) − 4 Q
⎢
⎢ ( κ + 1) + 4Q
⎣
2
2
0
2
0
( )
( )
Δω
2
ω
2
Δω
+
2
ω
⎤
1 ⎥
⎥
1+κ
⎥
⎦
2
⎡
Δω
4
Q
κ
⎢
ω
⎢
⎢ ( κ + 1) + 4 Q
⎣
0
+
2
2
0
( x − x0 )2
( )
Δω
ω
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
2
=
⎡ κ ⎤
⎢⎣ 1 + κ ⎥⎦
2
r2
y2
…
⎡
4κ Q ( Δω )
ω
⎢ κ (1 + κ ) −
1+κ
⎢
⎢
Δω
⎢ (1 + κ ) + 4Q
ω
⎣
2
0
⇔
2
2
0
( )
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2
16κ Q0
2
+
⎡
⎢ (1 + κ )
⎣
…
⎡
4Q ( Δω )
ω
⎢ (1 + κ ) +
1+κ
⎢κ ⋅
⎢
Δω
⎢ (1 + κ ) + 4Q
ω
⎣
2
2
0
⇔
2
2
0
( )
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2
2
( )
( ) ⎤⎥⎦
2
Δω
ω
+ 4Q0
2
κ
2
Δω
2
2
=
κ
2
(1 + κ )
2
ω
2
=
(1 + κ )
2
q.e.d.
Radius und Position der Kreise sind also abhängig vom Koppelfaktor, hängen
aber überhaupt nicht von der Kreisgüte ab! Unter Vernachlässigung des Laufzeitfaktors gehen alle Kreise gehen durch den Punkt (-1; 0), und wir erhalten:
Erläuterung der Messmethoden
23
W. Hillert
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Durch den Laufzeitfaktor werden die Kreise um den Ursprung rotiert. Im Falle
hoher Kreisgüten ist die Änderung der Kreisform durch den Laufzeitfaktor vernachlässigbar und wir erhalten z.B. folgendes Bild, in dem wir den eigentlichen
„Resonanzkreis“ und den vom Laufzeitfaktor erzeugten „Reflexionskreis“ mit
Radius 1 erkennen:
Im Fall niedriger Güten werden die Kreise durch den Laufzeitfaktor verbeult,
und da die belastete Kreisgüte vom Koppelfaktor abhängt, ist auch die Deformation abhängig von der Kopplung; so z.B. für ω0 = 3GHz , l = 2m :
Erläuterung der Messmethoden
24
W. Hillert
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Da wir die vektorielle Messung im vorliegenden Aufbau (Phasendiskriminator)
nicht kalibrieren können (dies geht nur bei sehr kostspieligen vektoriellen Analysatoren), müssen wir die Einflüsse des Laufzeitfaktors vernachlässigen. Sie
haben bei der Ermittlung der Kenngrößen aufgrund der hohen Kreisgüten einen
geringen Einfluss, der im Notfall durch Verkürzen der Zuleitungskabel weiter
verringert werden kann.
5.2. Bestimmung der Resonanzfrequenz und der Kopplung
Bevor am Oszillographenschirm der Reflexionsfaktor bestimmt werden kann,
muss zunächst der Ursprung des angezeigten Smith-Diagramms mit demjenigen
der Oszillographenskala zur Deckung gebracht werden (Eichung).
Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
• Man schafft einen Zustand, wo keine Wellen reflektiert werden, und er-
hält somit am Oszillographenschirm den Punkt für ρ = 0 . Dazu steht ein
50 Ohm-Abschlusswiderstand zur Verfügung. In der Praxis gelingt der
reflexionsfreie Abschluss nicht vollkommen, es empfiehlt sich daher, die
Justage bei der Resonanzfrequenz vorzunehmen und vorher den Frequenzhub zu reduzieren.
• Man betrachtet den Zustand vollständiger Reflexion, also den Reflexi-
onskreis mit ρ = 1 . Dieser kann nun unter Zuhilfenahme der kreisförmigen Markierungen auf dem Oszillographenschirm zentriert werden.
Zur Bestimmung des Reflexionsfaktors in der Resonanz geht man dann folgendermaßen vor: Die durch den Laufzeitfaktor bedingte Drehung der Kreise um
den Koordinatenursprung muss durch eine Drehung des Koordinatensystems
ausgeglichen werden. Dazu lässt sich die Skala am Oszillographen um den Mittelpunkt drehen. Sie wird so eingestellt, dass der Berührungspunkt von Resonanzkreis und Reflexionskreis auf der Realteil-Achse liegt.
Erläuterung der Messmethoden
25
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Im Resonanzfall ist die Impedanz des Resonators reell; die Ortskurve des komplexen Reflexionsfaktors muss daher die Realteil-Achse schneiden. Die entsprechende Frequenz ist die Resonanzfrequenz ω0 .
Den Reflexionsfaktor in Resonanz ρ(Δω = 0) kann man nun wie folgt bestimmen: Man liest sowohl den (je nach Kopplung mit einem Vorzeichen behafteteten!) Abstand d des Resonanzpunktes vom Koordinatenursprung (entspricht ρ ),
als auch den für die Normierung benötigten Radius R des Reflexionskreises
(entspricht ρ = 1 ) in Einheiten von Skalenteilen ab. Der Reflexionsfaktor ergibt
sich dann aus dem Verhältnis der beiden Größen:
ρ(Δω = 0) = d R .
Der Koppelfaktor wird dann gemäß
κ = (1 + ρ ) (1 − ρ )
ausgerechnet.
Erläuterung der Messmethoden
26
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5.3. Bestimmung der Kreisgüte
Für die belastete Kreisgüte gilt – völlig analog zur skalaren Messung –
Q0
ω0
Q =
=
1+ κ
Δω H
Δω
ΔωH = 2 Δω
⇒
ω
1+ κ
2 Q0
≈
Setzen wir dies ein, erhalten wir für den Reflexionsfaktor
ρ0 ( ±ΔωH
(κ
/ 2) =
2
− 1) − (κ + 1) ∓ 2iκ (κ + 1)
2
(κ + 1)
2
+ (κ + 1)
2
woraus sich nach einem Vergleich mit Kreismittelpunkt (x0;0) und Kreisradius r
ρ 0 ( ±Δω H / 2 ) = −
1
κ
∓i
= x0 ∓ i ⋅ r
κ +1 κ +1
ergibt. Zur Bestimmung der Halbwertsbreite wird der Resonanzkreis auf den
Koordinatenursprung zentriert und der Frequenzvorschub beim Übergang vom
unteren zum oberen Schnittpunkt mit der Imaginärteil-Achse gemessen.
Aus der vektoriellen Darstellung lässt sich auch unmittelbar die unbelastete
Kreisgüte Q0 ablesen. Setzen wir die Beziehung Q0 = ω0 Δω (diesmal aber mit
der vollen Frequenzverschiebung!) in die Formel für ρ ein, erhalten wir
ρ0 ( ±Δω ) =
κ2 −5
(κ + 1)
2
+4
∓i
4κ
(κ + 1)
2
+4
Diese Werte beschreiben in Abhängigkeit von κ einen Kreis mit Radius
r = 5 2 um den Punkt ( 0; i 2 ) bzw. ( 0; − i 2 ) , was wiederum durch Einsetzen
verifiziert werden kann, z.B. für y0 = −1 2 :
[κ
2
−5
]
2
1
⎡
+ −4κ + ( ( κ + 1)
⎢⎣
2
κ − 10κ + 25 +
⇔
2
⇔
3
4
3
2
4
Erläuterung der Messmethoden
2
=
5
4
[
5
=
2
5κ + 20κ + 70κ + 100κ + 125
4
⎤
+ 4)
⎥⎦
κ + 20κ + 110κ + 100κ + 25
4
4
2
=
4
5
4
⋅⎡
⎣( κ + 1) + 4 ⎤⎦
2
[
⋅ κ + 4κ + 14κ + 20κ + 25
4
3
⋅ κ + 4κ + 14κ + 20κ + 25
27
4
3
2
2
2
]
]
q.e.d.
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Man erhält daher die Frequenzverschiebung Δω von der Resonanzfrequenz ω0
und damit die volle Halbwertsbreite zur Bestimmung der unbelasteten Güte aus
dem Schnittpunkt des Resonanzkreises mit einem der erwähnten Kreise um
( 0; ± i 2 ) . Die unbelastete Güte wird dann über Q0 = ω0 Δω
errechnet.
5.4. Weitere wichtige Größen und das Smith-Diagramm
Jede Mikrowellenleitung hat einen allgemeinen Wellenwiderstand Z 0 und ist an
ihrem Ende mit irgendeinem Abschlusswiderstand Z a abgeschlossen. Bei der
Transformation des Abschlusswiderstands längs der Leitung (was sich formal
als eine Multiplikation mit dem entsprechenden Laufzeitfaktor erweist) stellt
sich heraus, dass dieser an ausgezeichneten Stellen reell wird. Daher geht man
bei der Behandlung von Leitungen gerne von einem reellen Abschlusswiderstand aus, der ggf. in die gewünschte komplexe Impedanz längs der Leitung
transformiert werden kann. Man definiert in diesem Zusammenhang die
Leitungsanpassung
⎧
⎪
1− ρ
⎪
m =
= ⎨
1+ ρ
⎪
⎪
⎩
Za
= κ,
Z0
für Z a < Z 0
Z0 1
= , für Z a > Z 0
Za κ
Bei der Ausbreitung von Mikrowellen treten für Z a ≠ Z 0 Reflexionen auf und
folgende drei Kenngrößen sind dabei von besonderem Interesse:
1. relativer norm. Widerstand
zs =
Z ( s)
an der Stelle s der Leitung
Z0
2. Reflexionsfaktor
ρ =
Z s − Z0
κ − 1 −i 2 ks
= ρ 0 ⋅ e−i 2 ks =
⋅e
Z s + Z0
κ +1
3. Stehwellenverhältnis
Erläuterung der Messmethoden
S =
28
Uˆ max
Uˆ min
=
1+ ρ
1
=
1− ρ
m
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Andere Größen können dann auf einfache Weise aus diesen berechnet werden.
So ist zum Beispiel die im Abschlusswiderstand umgesetzte Wirkleistung PA
(d.h. in unserem Fall die im Resonator dissipierte Leistung) in Abhängigkeit der
eingespeisten Leistung P0 :
Pa =
4S
(1 + S )
was man durch Einsetzen von P0 = P+ =
2
⋅ P0
2
1 ˆ 2
1
U + Z 0 und P− = Uˆ − Z 0 in
2
2
Pa = P+ − P− erhält.
Zur Transformation der (relativen) Impedanzen längs der Leitung werden in die
Darstellung des Reflexionsfaktors in der komplexen Ebene noch zusätzlich folgende Hilfslinien aufgenommen:
κ = konst.
• m – Kreise:
m = konst. ↔
• Realteilkreise:
Re ( zs ) = Re ( Z s Z 0 ) = konst.
• Imaginärteilkreise: Im ( zs ) = Im ( Z s Z 0 ) = konst.
e−i 2ks = konst.
• l – „Kreise“:
Durch Einsetzen der Beziehung für den komplexen Reflexionsfaktor in die entsprechenden Kreisgleichungen können folgende Kreisradien und -mittelpunkte
leicht verifiziert werden:
• m – Kreise:
M = x0 + i y0 = 0 ,
• Realteilkreise:
M = x0 + i y0 =
Re (κ )
,
Re (κ ) + 1
• Imaginärteilkreise: M = x0 + i y0 = 1 +
• l – „Kreise“:
r =
i
Im (κ )
,
r =
r =
1− m
1+ m
1
Re (κ ) + 1
1
Im (κ )
Geraden durch x0 + i y0 = 0 und x1 + i y1 = e−i 2ks
Erläuterung der Messmethoden
29
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Die so verschönerte Darstellung erhält den Namen „Smith-Diagramm“ und erlaubt in unserem Fall ein besonders einfaches Ablesen des Koppelfaktors (als
Berührungspunkt des Resonanzkreises mit einem Realteilkreis):
Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich Resonanzfrequenz, Koppelfaktor,
Kreisgüte und die Impedanz des Resonators auch unter Berücksichtigung des
Laufzeitfaktors ermitteln. Da dies einen tieferen Einblick in mögliche Fehlerquellen gewährt, wollen wir exemplarisch folgenden Fall betrachten
• Resonanzfrequenz:
ω0 = 2π ⋅ 3GHz ,
• Unbelastete Güte:
Q0 = 500 ,
• Koppelfaktor:
κ = 0,6 ,
Erläuterung der Messmethoden
30
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
• Leitungslänge:
l = 981, 25mm
( 9 + 13 16 ) ⋅ λ0
und vereinfachend davon ausgehen, dass die Wellenlänge im Kabel gleich
der Vakuumwellenlänge ist. Auf dem Oszillograph erscheint folgendes Bild:
Wir lesen aus dem Berührungspunkt mit dem m – Kreis den Koppelfaktor
κ = 0,6 ab (für überkritische Kopplung ist der Wert 1 m zu verwenden) und
bestimmen die zugehörige Resonanzfrequenz ν 0 = 3GHz am Frequenzgenerator. Aus dem Drehwinkel des Mittelpunkts des Resonanzkreises um den Koordinatenursprung erhalten wir die Leitungslänge bis auf ein Vielfaches von λ 2
(einmal herum entspricht einem Vorschub von λ 2 ); mit Δϕ = 225 ergibt sich
l = 5 8 ⋅ λ 2 mod ( λ 2 ) . Bei der Bestimmung der Güte ist die Deformation des
Erläuterung der Messmethoden
31
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Kreises durch den Laufzeitfaktor zu berücksichtigen. Wir zeichnen zunächst den
idealen Resonanzkreis um den „Mittelpunkt“ des realen Resonanzkreises,
bestimmen die Schnittpunkte auf dem Durchmesser senkrecht zur Verbindungslinie vom Mittelpunkt zum Ursprung und transformieren diese längs des schneidenden m – Kreises auf den Resonanzkreis. Dort lesen wir die jeweilige Frequenzverschiebung ab und erhalten aus der zugehörigen vollen Halbwertsbreite
die belastete Güte Q = 312,5 .
Man sieht hierbei sehr schön, dass im Falle moderater Kreisgüten und langer
Leitungen die Bestimmung von Q aus den Schnittpunkten des Durchmessers
mit dem realen Resonanzkreis zu kleine Werte von Δω liefert!
Wir lernen dabei gleichzeitig, das aus dem bei ω0 ± Δω 2 vorliegenden m –
Wert ( m ≈ 0,16 ) ein Stehwellenverhältnis S = 1 m ≈ 6, 3 resultiert und wir immerhin noch ca. die Hälfte der Leistung in den Resonator hineinbekommen. Die
unbelastete Güte ergibt sich zu Q0 = (1 + κ ) ⋅ Q = 1,6 ⋅ Q = 500 .
Aus der Verschiebung der Punkte bei ω0 ± Δω 2 durch den Laufzeitfaktor lässt
sich obendrein noch die die vollständige Länge des Verbindungskabels bestimmen. Wir zeichnen die entsprechenden Verbindungsgeraden zwischen Ursprung
und den Punkten ω0 − Δω 2 auf dem realen und idealen Resonanzkreis und erhalten als Zwischenwinkel Δφ = 11,3 . Dies entspricht mit
Δφ = − 2Δkl = −
⇔
4π l
4π l λ0
4π l Δω
2π l 1 + κ
= −
⋅
=
⋅
=
⋅
λ0 Δλ
λ0 ω0
λ0 Q0
Δλ
l =
Δφ Q0
⋅
⋅ λ0 ≈ 9,81 ⋅ λ0
2π 1 + κ
was unsere Verhältnisse recht gut trifft!
Erläuterung der Messmethoden
32
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
6. Störkörpermessungen
Zur Messung der elektrischen und magnetischen Felder innerhalb des Resonators (vorzugsweise auf der Achse) sind Antennen ungeeignet, da die erforderlichen Zuleitungen die Feldverteilung im Resonator stören würden. Daher wird
durch Einbringen eines kleinen dielektrischen (bzw. leitenden) Körpers das elektrische (bzw. das elektrische und das magnetische) Feld innerhalb des Resonators am Ort des Körpers leicht verändert. Diese Veränderung bewirkt eine
Verschiebung der Resonanzfrequenz ( ω0 → ω ) und bei unveränderter Anregung
mit ω0 eine Veränderung des Reflexionsfaktors. Beides kann gemessen und zur
Bestimmung der Feldstärken herangezogen werden. Im Fall der Messung der
Verschiebung der Resonanzfrequenz spricht man von der resonanten Störkörpermethode (da der Resonator dann weiterhin resonant angeregt wird), im Fall
der Messung der Veränderung des Reflexionsfaktors bei unveränderter Anregung von der nicht resonanten Störkörpermessung. Zur Bestimmung der
Shuntimpedanz ist eine Messung des elektrischen Feldes ausreichend. Diese erfolgt mithilfe eines dielektrischen Störkörpers, auf den hier vornehmlich eingegangen werden soll.
6.1. Slater-Formel
Wir unterscheiden im Folgenden zwischen den „ungestörten“ Feldern (d.h. bei
ausgefahrenem Störkörper)
E0 ⋅ e
iω 0 t
und H 0 ⋅ e
iω 0 t
,
die sich bei der Anregung mit der originären Resonanzfrequenz ω0 ergeben und
den „gestörten“ Feldern (d.h. bei eingefahrenem Störkörper)
(
)
D ⋅ eiωt = ε 0 E0 + P ⋅ eiωt
und
(
)
B ⋅ eiωt = μ0 H 0 + M ⋅ eiωt ,
die bei der veränderten Resonanzfrequenz ω angeregt werden. Die zusätzliche
Polarisation P und Magnetisierung M rühren vom Störkörper her.
Erläuterung der Messmethoden
33
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Wir berechnen im Folgenden die Änderung der gespeicherten Energie. Dazu
gehen wir von den Maxwellschen Gleichungen im Resonator aus und erhalten
im Innenraum des Resonators wegen j = 0, ρ = 0
∂E0
= iω0ε 0 E0
∂t
∂H 0
∇ × E0 = − μ0
= iω0 μ0 H 0
∂t
∇ × H0 = ε0
∂D
= iω D
∂t
∂B
∇× E = −
= − iω B
∂t
→
∇× H =
→
Multiplikation der ersten Gleichung mit E0* und der zweiten mit H 0* , Ausnutzen
(
)
(
)
(
)
der Operatoridentität a i ∇ × b = ∇i a × b + b i ∇ × a und Ersetzen der Rotation der ungestörten Felder durch ihre zeitliche Ableitung gemäß den linken Gleichungen ergibt:
(
)
∇i( E × H ) + iω ε E i E
∇i H × E0* − iω0 μ0 H 0* i H = iω E0* i D
*
0
*
0
0 0
= iω H 0* i B
Wir integrieren über den Innenraum des Resonators und erhalten durch Anwendung des Gauß’schen Satzes
∫∫ ( H × E )idA − iω μ ∫∫∫ ( H
*
0
0
0
∂V
*
0
V
)
(
)
(
)
i H dV = iω ∫∫∫ E0* i D dV
V
=0
∫∫ ( E × H )idA + iω ε ∫∫∫ ( E i E ) dV
*
0
*
0
0 0
∂V
V
= iω ∫∫∫ H 0* i B dV
V
Das Oberflächenintegral verschwindet aufgrund der Randbedingungen auf den
leitenden Innenwänden des Resonators. Einsetzen der gestörten Felder ergibt
(
)
−ω0 μ0 ∫∫∫ H 0* i H dV =
V
ωε 0 ∫∫∫ ( E0* i E ) dV + ω ∫∫∫ ( E0* i P ) dV
V
V
ω0ε 0 ∫∫∫ ( E0* i E ) dV = − ωμ0 ∫∫∫ ( H 0* i H ) dV − ω ∫∫∫ ( H 0* i M ) dV
V
V
V
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit ω , die zweite mit ω0 , subtrahieren
beide voneinander und erhalten mit den Näherungen einer hohen Kreisgüte
2
( ωω0 ≈ ω 2 ) und eines kleinen Störkörpervolumens ( E0* i E ≈ E )
Erläuterung der Messmethoden
34
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
ω −ω
ω2
2
0
∫∫∫ ( E i P − H
*
0
2
=
*
0
)
i M dV
VS
ε 0 ∫∫∫ E0 dV
2
≈2
Δω
ω0
V
Wir müssen nur noch über das Volumen VS des Störkörpers integrieren, da die
Polarisation und Magnetisierung nur innerhalb des Störkörpers von Null verschieden sind. Im Nenner der so genannten Slater-Formel steht das doppelte der
gespeicherten Energie W im Resonator, welche mittels der Beziehung zur Güte
sowie zur Resonanzfrequenz berechnet werden kann, vgl. Kapitel 2.1 bzw. Kapitel 2.3.
6.2. Resonante Störkörpermessung
Im Fall eines kugelförmigen dielektrischen Störkörpers ist die Polarisation parallel und proportional zum elektrischen Feld. Hat der Störkörper eine kleine
Dielektrizitätskonstante, kann in guter Näherung
P = ( ε − ε 0 ) ⋅ E0 ,
M =0
gesetzt werden. Wir definieren die Störkörperkonstante α S durch
α S = 1 2 ⋅ (ε − ε 0 ) ⋅ VS
und erhalten die elektrische Feldstärke E0 ( z ) an der Stelle z auf der Achse in
Abhängigkeit der dort gemessenen Verschiebung Δω ( z ) der Resonanzfrequenz:
E0 ( z ) =
Erläuterung der Messmethoden
2⋅
W Δω ( z )
⋅
αS
35
ω0
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
6.3. Nicht resonante Störkörpermessung
Regen wir den Resonator bei eingefahrenem Störkörper weiterhin auf der Frequenz ω0 (und damit um Δω von seiner Resonanzfrequenz entfernt) an, ändert
sich der Reflexionsfaktor. Mit den Ergüssen aus Kapitel 4 erhalten wir:
ρ 0 ( ω0 )
κ −1
=
,
κ +1
ρ (ω ) =
κ − ⎛⎜1 + 2iQ0 Δω ω ⎞⎟
0⎠
⎝
κ + ⎛⎜1 + 2iQ0 Δω ω ⎞⎟
0⎠
⎝
Wir messen demzufolge eine Veränderung des Reflexionsfaktors von
Δρ = ρ − ρ 0 ≈
4iκ Q0
⋅
Δω
(1 + κ ) ω0
2
und erhalten damit unter Einbeziehung der Ergebnisse der resonanten Störkörpermethode:
E0 ( z ) =
(1 + κ )
2κ Q0
2
⋅
W
αS
⋅ Δρ ( z )
6.4. Bestimmung der Shuntimpedanz
Die Shuntimpedanz RS wurde in Kapitel 2 anhand des Ersatzschaltbildes eines
Hohlraumresonators als Schwingkreis eingeführt. Hierdurch ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Spannung U , Verlustleistung PV und RS :
U2
RS =
2 PV
(Es muss warnend erwähnt werden, dass bei der Betrachtung von Linearbeschleunigern stets eine Definition ohne den Faktor 2 im Nenner verwendet wird;
diese geht nicht von Effektivwerten aus und findet auch in der Diplomarbeit von
C. Peschke sowie der Dissertation von F.O. Müller Anwendung!). Die Beschleunigungsspannung U erhält man durch Integration des elektrischen Feldes
längs der Achse des Resonators:
Erläuterung der Messmethoden
36
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
L
∫ E ( z ) ⋅ dz
U =
0
0
Bei der Bestimmung des Energiegewinns eines Teilchens muss zusätzlich die
Änderung des elektrischen Feldes während der Laufzeit des Teilchens durch den
Resonator berücksichtigt werden. Im Fall ultra-relativistischer Teilchen gilt
v ≈ c , wodurch sich die Zeitabhängigkeit cos(ωt ) durch cos( ωcz ) ausdrücken
lässt. Dieser Effekt wird oft in der Shuntimpedanz berücksichtigt und wir erhalten dann
1
RS =
⋅
PV
L2
∫
2
E0 ( s )
−L 2
⋅ cos ⎛⎜ ω s ⎞⎟ ⋅ ds
⎝ c ⎠
Er lässt sich auch durch den Laufzeitfaktor Λ ausdrücken:
L 2
Λ =
∫
2
E0 ( s )
−L 2
L2
∫
⋅ cos ⎛⎜ ω s ⎞⎟ ⋅ ds
⎝ c ⎠
E0 ( s ) ⋅ ds
−L 2
Da die Verlustleistung über die Kreisgüte mit der gespeicherten Energie verknüpft ist, muss diese für die Bestimmung von RS nicht bekannt sein. Wir erhalten demzufolge:
a) resonante Methode:
b) nicht resonante Methode:
Erläuterung der Messmethoden
2Q
RS = Λ ⋅ 2 0 ⋅
ω0 ⋅ α S
RS =
37
(1 + κ )
Λ⋅
L2
∫
Δω ( z ) ⋅ dz
−L 2
2
2ω0κα S
2
L2
⋅
∫
2
Δρ ( z ) ⋅ dz
−L 2
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
7. Anhang
7.1. Feldplots einiger Resonatormoden
Die untenstehenden Abbildungen zeigen jeweils eine Momentaufnahme der
Verteilung der elektrischen und magnetischen Felder für die ersten Resonatormoden (nicht nach Frequenzen geordnet), so wie sie sich aus einer Computersimulation (CST Microwave Studio) ergeben. Gerechnet wurde mit einem zylindrischen, abgeschlossenen Hohlraum, welcher die Abmessungen der im Versuch
verwendeten Resonatoren aufweist. Für die Abbildung wurde der Resonator oberhalb einer willkürlich gewählten Schnittebene transparent dargestellt.
Mode
Elektrisches Feld
Magnetisches Feld
TM010
TM110
Erläuterung der Messmethoden
38
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Mode
Elektrisches Feld
Magnetisches Feld
TM210
TM310
TM020
Erläuterung der Messmethoden
39
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Mode
Elektrisches Feld
Magnetisches Feld
TM120
TM011
TM111
Erläuterung der Messmethoden
40
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Mode
Elektrisches Feld
Magnetisches Feld
TE011
TE111
TE211
Erläuterung der Messmethoden
41
W. Hillert
E 106 Hohlraumresonatoren (Cavities)
Mode
Elektrisches Feld
Magnetisches Feld
TE311
7.2. Einfluss seitlicher Öffnungen im Resonator auf die Feldverteilung
Die im Versuch verwendeten Resonatoren weisen seitliche Öffnungen auf, welche für die Störkörpermessungen benötigt werden. Im Vergleich zum geschlossenen Resonator ergibt sich eine andere Feldverteilung, hier am Beispiel des elektrischen Feldes der TM010-Mode (wird im Versuch bestimmt) erkennbar:
Resonator ohne Öffnungen
Erläuterung der Messmethoden
Resonator mit Öffnungen
42
W. Hillert