3.2.1 Und, oder, Negation 3.2.2 Implikation, Äquivalenz

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Abschnitt 3.2 Aussagen, Logik
Beispiel 3.2.1 (Aussagen). Es sind Aussagen:
7 ist größer als 5.
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Wale sind Säugetiere.
Dagegen ist z. B. „5 C 8“ keine Aussage.
M
Wir setzen wahr D 1 und falsch D 0; dann lassen sich
Aussagen über logische Operatoren verknüpfen bzw.
negieren.
(b) Die Negation der Aussage
Die Zahl 3 ist Primzahl oder die Zahl 4 ist Primzahl
ist
Die Zahl 3 ist keine Primzahl und die Zahl 4
ist keine Primzahl.
Beispiel. (a) „Wale sind nicht keine Säugetiere“ ist
gleichbedeutend mit „Wale sind Säugetiere“.
(b) „Nicht alle Dateien nicht löschen“ ist keine doppelte Verneinung. Ist gleichbedeutend mit „mindestens
eine Datei löschen“.
3.2.1 Und, oder, Negation
3.2.2 Implikation, Äquivalenz
3.2.1.1 Oder (_)
Merke: Für zwei Aussagen p; q ist p _ q ( d. h., p oder
q ) wahr, falls p oder q oder beide wahr sind.
3.2.1.2 Und (^)
Merke: Für zwei Aussagen p; q ist p ^ q ( d. h., p oder
q ) wahr, wenn p und q beide wahr sind.
Bemerkung. Die Aussage „Die Zahl 6 ist durch 3 teilbar und die Zahl 6 ist durch 2 teilbar“ ist wahr.
3.2.1.3 Negation (:)
Vorsicht bei Negation mit Verknüpfungen _ oder ^.
Hier helfen Regeln von de Morgan, d. h.,
:.p _ q/ D :p ^ :q;
:.p ^ q/ D :p _ :q:
Merke: Negation bindet stärker als alle anderen logischen Operatoren wie z. B. „und“ bzw. „oder“. Klammern können dann gegebenenfalls entfallen, was die
Lesbarkeit vereinfacht.
Merke: Will man ^- oder _-Verknüpfungen von Aussagen verneinen, so verneint man die Einzelaussagen und
tauscht dann ^ gegen _ bzw. _ gegen ^ aus.
Merke: Doppelte Verneinungen fallen weg, es gilt also
:.:p/ D p .
Die Implikation „ =)“. Mathematische Theoreme, Propositionen:
Voraussetzung =) Resultat
oder kurz
p =)q .
Sprechweisen:
p ist hinreichende Bedingung für q .
Aus p folgt q .
Sei p erfüllt. Dann gilt q .
q ist notwendige Bedingung für p .
q gilt dann, wenn p gilt.
Bemerkung. Oft steht eine Voraussetzung am Beginn
eines Abschnitts und gilt dann für den gesamten Abschnitt, etwa „Im gesamten Abschnitt sei G eine abelsche Gruppe“. Die Voraussetzung „G ist abelsche Gruppe“ darf dann in Theoremen und anderen Umgebungen
dieses Abschnitts weggelassen werden.
Bemerkung. Die mathematische Implikation verlangt
funktionalen Zusammenhang. Mit der logischen Implikation
p q p =)q
0 0
1
1
0 1
1 0
0
1 1
0
hingegen sind folgende Implikationen wahr:
Beispiel. (a) Die Verneinung von
Die Wand ist blau und die Decke ist grün
ist
Die Wand ist nicht blau oder die Decke ist nicht grün.
Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee weiß.
Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee
schwarz.
Wenn London in England liegt, ist Schnee weiß.
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Kapitel 3 Logik
Dies sind keine mathematischen Theoreme.
Mathematischen Theoreme p =)q lassen sich indirekt
via „:q =):p “ beweisen. Die Äquivalenz dieser beiden
Implikationen sieht man mithilfe der Verknüpfungstafeln ein.
Die Äquivalenz „”“.
Für jedes x 2 M gilt : : :
Sei x 2 M beliebig. Dann gilt : : :
Die Elemente von M erfüllen : : :
V
x 2 M :::
Bezieht sich „8“ auf mehrere Variable, so sagt man
auch „Für je zwei : : : “, „für je drei : : : “, und so weiter.
Typische Aussage:
Theorem 3.2.10. Aussage 1 gilt genau dann, wenn
Aussage 2 gilt.
Alternative Formulierungen zu „genau dann, wenn“: : : :
ist äquivalent zu : : :, : : : ist notwendig und hinreichend
für : : :, es folgt : : : und umgekehrt.
Ein Beispiel:
Proposition 3.2.11. Eine ganze Zahl ist genau dann gerade, wenn ihr Quadrat gerade ist.
Beweis. Das bedeutet: Für ganze Zahl n gilt: n gerade
” n2 gerade. =): Ist bereits gezeigt, siehe Proposition 2.1.1. (= wird indirekt gezeigt: sei n nicht gerade.
Dann ist n ungerade, es existiert also ganze Zahl m mit
n D 2mC1. Damit gilt n2 D .2mC1/2 D 4m2 C4mC1 D
2.2m2 C 2m/C 1, daher ist n2 ungerade und damit nicht
gerade.
3.2.3 Quantoren
Aussagen mit freien Variablen heißen Prädikate. Aussagen ' , die freie Variablen x1 ; x2 ; : : : ; xn enthalten,
schreibt man in der Form '.x1 ; x2 ; : : : ; xn /. Freie Variablen lassen sich mit Quantoren binden.
Der Allquantor 8. Mithilfe von 8 wird aus Prädikat
'.n/ mit einer freien Variablen n eine neue Aussage:
Beispiel. „Durch je zwei Punkte P und Q in der Ebene
geht genau eine Gerade“ bedeutet: Für jeden Punkt P
und jeden Punkt Q ¤ P gibt es genau eine Gerade, die
durch P und Q verläuft. M
Es gibt Unterscheidung zwischen „für alle“ und „jedes“:
„Für alle“ bezieht sich auf Gesamtheit, „jedes“ auf beliebig herausgegriffenes Objekt.
Beispiel. a) „Jede bijektive Abbildung ist invertierbar“ ist besser als „alle bijektiven Abbildungen
sind invertierbar“.
b) Richt ist: Jede bijektive Abbildung besitzt Umkehrfunktion.
c) Nicht OK ist: Alle bijektiven Abbildungen besitzen
eine Umkehrfunktion. Akzeptabel ist: Alle bijektiven Abbildungen besitzen Umkehrfunktionen. M
Es ist 8x1 W '.x1 ; x2 ; : : : ; xn / ein Prädikat, das
n 1 freie Variablen enthält, also eine weniger als
'.x1 ; x2 ; : : : ; xn /.
Beispiel. Das Prädikt „n C m ist gerade“ hat zwei freie
Variable. Das Prädikt „für alle geraden Zahlen n ist n C
m gerade“, in Symbolen: 8n 2 Ng W n C m 2 Ng hat eine
freie Variable. M
8n W '.n/
Aus Aussagen mit Allquantoren kann man durch Einsetzen ( Spezialisierung ) einfachere Aussagen gewinnen.
Beispiel. Die Aussage „Das Quadrat jeder geraden Zahl
ist gerade“ kann geschrieben werden als
Beispiel. Aus „8n 2 Ng W n2 2 Ng “ kann man „42 ist
gerade“ ableiten. M
8n 2 Ng W n2 2 Ng ;
Aufeinander folgende Allquantoren dürfen vertauscht
werden: Es sind
()
wobei Ng D f n 2 N W n ist gerade g. Hier ist '.n/ D „n2
ist gerade“. Beachte: die Aussage ./ hängt nicht mehr
von n ab. M
Häufig sind freie Variable Elemente einer Menge.
Sprechweise für „x 2 M “:
8a W 8b W '.a; b/
und
8b W 8a W '.a; b/
äquivalent. Man schreibt oft kurz 8a; b W '.a; b/.