σ 6 µ - crgraph

Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
1
Taschenbuch
der statistischen Qualitätsund Zuverlässigkeitsmethoden
Die wichtigsten
Methoden und Verfahren
für die Praxis
Curt Ronniger
6

µ
2
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Autor und Herausgeber:
Curt Ronniger
München
Taschenbuch
der statistischen Qualitätsund Zuverlässigkeitsmethoden
Die wichtigsten Methoden und Verfahren für die
Praxis
1. Auflage
2013
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[email protected]
Hinweis:
Shainin® , Red X® und Isoplot® sind geschützte Begriffe.
Visual-XSel ® ist ein eingetragenes Warenzeichen.
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
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4
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
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Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
7
Vorwort
In der Industrie gibt es eine extreme Zunahme von Arbeitsumfängen und die Abwicklung von Projekten ist in immer kürzeren Zeiten zu bewältigen. Es wird heute erwartet,
moderne statistische Verfahren und Methoden konsequent anzuwenden, zumal diese in
vielen Software-Paketen zugänglich sind. Aber häufig ist die Zeit knapp und die fallbezogene Anwendung, sowie die richtige Interpretation ist nicht immer gewährleistet. Es
gibt zwar eine riesige Auswahl an Literatur und viele Informationen im Internet. Diese
sind aber, vor allem auch wegen nicht gleicher Nomenklatur, schwer zu überblicken und
nicht leicht auf die eigene Fragestellung zu übertragen.
Dieses Buch beinhaltet deshalb die wichtigsten statistischen Methoden und Verfahren
einheitlich im Überblick. Viel Wert wurde darauf gelegt, die Begrifflichkeiten aus der Statistik für Techniker und Ingenieure verständlich darzustellen, auch wenn ein Grundmaß
an Vorkenntnissen aus der Statistik vorausgesetzt wird.
Die Auswahl der Methoden, die Darstellungen, sowie die Beispiele hierfür haben einen
hohen Praxisbezug. Hauptschwerpunkt ist die Automobilindustrie, die bei den Methoden
oft eine Führerrolle inne hat. Aber auch Problemstellungen anderer Bereiche, wie z.B.
Anlagenbau, Hausgeräte, Medizintechnik etc., sind in dieses Buch eingeflossen. Von
Vorteil ist, dass sich die spezifischen Methoden aus unterschiedlichen Branchen gegenseitig ergänzen.
Das Ziel ist auch, Fragen zu beantworten, die nicht in der Standardliteratur zu finden
sind. Einige Methoden wurden vom Autor neu entwickelt, oder bauen auf bekannte auf
(z.B. Exponentialansatz für Weibull oder Systemanalyse). Zahlreiche Projekte wurden
hiermit erfolgreich abgeschlossen.
Neben den rein statistischen Verfahren, gibt es eine Reihe von Qualitäts-Methoden
wie SixSigma, FMEA, QFD, etc. die für Problemlösung, aber auch für die Entwicklung
eine große Bedeutung haben. Diese Themen werden kurz beschrieben und dienen zum
schnellen Nachschlagen der häufigsten Fragen. Für weitergehende Details sei hier auf
die einschlägige Literatur verwiesen.
Alle Methoden, Statistiken und Verfahren lassen sich mit der Software Visual-XSel®
durchführen.
Ausführliche weitere PDF-Dokumente sind unter
www.versuchsmethoden.de
zu finden.
2013
Curt Ronniger
8
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
SixSigma
In der Statistik wird mit Sigma  die Standardabweichung (Streuung)
eines Prozessmesswertes bezeichnet. SixSigma steht für einen Prozess dessen Streuung einen Überschreitungsanteil von max. 3,4 ppm aufweist. Wichtiger als die statistische Bedeutung von SixSigma ist jedoch die Philosophie, die sich
hinter diesem Begriff verbirgt.
Die Grundgedanken zu SixSigma entstanden in den USA und Europa in den 80er Jahren, als acht renommierte Unternehmen sich zusammenschlossen, um gemeinsam auf
die bemerkenswerte Qualität von japanischen Erzeugnissen zu reagieren. Motorola, als
eines dieser Unternehmen, hat SixSigma zu einer strukturierten Methodik hin entwickelt, insbesondere um statistische Einflüsse und die Komplexität von Prozessen im
Bereich der Chip-Fertigung besser zu beherrschen. SixSigma wurde berühmt, als General Electric (GE) beschloss, ab 1996 diese Vorgehensweise über alle Geschäftsfelder
auszurollen. GE wies ab 1999 jährlich über $1,5 Mrd. Kosteneinsparungen durch diese
Methodik aus. Six Sigma wird heute weltweit von zahlreichen Großunternehmen umgesetzt – nicht nur in der Industrie, sondern zunehmend auch im Banken- und Versicherungssektor.
Die Methoden von SixSigma sind bereits bekannte statistische Verfahren, wie z.B.
Prozessfähigkeit, Hypothesentests, Design of Experiment (DoE), Varianzanalyse, Multiple Regression, Ursachen- Wirkungsanalysen, usw.
Die SixSigma Zyklen
Der wichtigste SixSigma-Zyklus für den Problemlösungsprozess ist der DMAIC:
i
a
r
a
m ro
o tro
Neben der reaktiven Vorgehensweise gibt es einen präventiven Ansatz, um Fehlern im
Produktentstehungsprozess vorzubeugen. Dieser ist bekannt unter dem Namen Design
for Six Sigma, kurz DFSS. Die bekanntesten Zyklen sind hier:
DMADV
IDOV
Define, Measure, Analyze, Design, Verify
Identify, Design, Optimize, Validate
Meist für Weiterentwicklg.
Meist für Neuentwicklg.
DFSS erweitert die SixSigma Philosophie um den Aspekt der Prävention. DFSS unterstützt die Entwicklungsarbeit durch einen zielgerichteten Einsatz von Methoden und
Werkzeugen in Teilphasen oder während des gesamten Produktentstehungsprozesses.
Für DMADV und IDOV kommen zu den Methoden des DMAIC insbesondere Werkzeuge hinzu, die Ideen und Kreativität für neue Entwicklungen fördern. Unter anderem sind
das:
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
-
9
Brainstorming
Morphologischer Kasten und Pugh-Matrix
Mind-Mapping
Scamper (Substitute, Combine, Adapt, Modify, Put, Eliminate, Reverse)
6-3-5 Methode (6 Teilnehmer, 3 Ideen, 5 Durchläufe)
Lösen von technischen Widersprüchen mit TRIZ
Weiterhin wird bei DFSS angewendet:
- Stärken-/Schwächen-Analyse
- Intensive Nutzung der QFD über alle 4 Häuser
- Intensive Nutzung von Systemanalysen, FMEA’s und Fehlerbäume
- Fehlervermeidung, z.B. nach Poka Yoke
- Rechner-Simulationen, z.B. Monte-Carlo-Simulation
Die genannten Themen sind größtenteils nicht in diesem Band enthalten. Es sei hier auf
die einschlägige Fachliteratur verwiesen.
Auf der anderen Seite gibt es einige Methoden, die sehr gut zum Methodenbaukasten
von SixSigma passen würden, aber in der SixSigma-Literatur nicht oder nur teilweise
enthalten sind. Dazu gehören u.a. die Methoden nach Shainin und Taguchi, sowie die in
diesem Buch dargestellte Systemanalyse (erweitertes Ursachen-Wirkungsdiagramm).
Ausbildungsstufen von SixSigma
Bei der Ausbildung für SixSigma gibt es die folgenden wichtigen Titel:
Master Black Belt:
Erfahrene Experten, die umfangreiche Verbesserungsprojekte mit Six
Sigma leiten und die andere Belts methodisch weiterbilden, beraten
und auf ihren Projekten coachen.
Voraussetzung: Mehrjährige Tätigkeit als Black Belt und Abschluss
mehrerer Six Sigma-Projekte
Black Belt:
Experten, die umfangreiche Verbesserungsprojekte mit Six Sigma leiten und hierfür zu 100% freigestellt sind. Sie sind vielseitig auf verschiedene Anwendungsgebiete einsetzbar.
Ausbildung ca. 4 Wochen, Abschluss von 2 Projekten Voraussetzung.
Green Belt:
Spezialisten, die Verbesserungsprojekte mit Six Sigma leiten. In Unternehmen behalten sie meist ihre Linien-Verantwortung (z.B. Gruppenleiter) und optimieren ihren eigenen Verantwortungsbereich.
Ausbildung ca. 2 Wochen, Abschluss eines Projektes Voraussetzung.
Yellow Belt:
Ein Yellow Belt hat die Six Sigma Philosophie im Überblick. Er ist kein
Methodenspezialist, aber unterstützt aktiv in Projekten. Er wirkt als
Multiplikator. Ausbildung ca. 3 Tage
10
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Statistische Betrachtung von SixSigma
Wie Eingangs beschrieben, ist  das Maß der Streuung eines Produktes oder eines
Prozesses (siehe hierzu auch Kapitel Statistische Verteilungen - Normalverteilung). Bei
der Bestimmung von  aus einer Stichprobe ergibt sich die mittlere Gaußkurve bei µ.
Beobachtet man einen Prozess über einen längeren Zeitraum, so schwankt der Mittelwert. Man geht hier pauschal von ± 1,5  aus. Die maximale Überschreitung auf der
rechten Seite kann somit 3,4 ppm betragen . Hinweis: Der Anteil der Überschreitung
wird in der Grafik nur bei der oberen Toleranzgrenze dargestellt. Die darunter gezeigte
Tabelle ist entsprechend die einseitige Betrachtung
µ
+1,5 
obere Toleranzgrenze
untere Toleranzgrenze
-1,5 
 Überschreitung
mit Mittelwertv. = 3,4ppm
-6 
µ
 Überschreitung
+6 
Sigma-Wert mit Mittelwertversch. Sigma =  + 1,5
reguläres  ohne Mittelwertverschiebung
ohne Mittelwertv.
Sigma
Cpk *
ppm
1,5
0
500000

innerhl. %
außerh. %
Cp *
ppm
2
0,17
308538
1
84,13
15,87
0,33
158655
2,5
0,33
158655
1,5
93,32
6,68
0,50
66807
3
0,50
66807
2
97,72
2,28
0,67
22750
3,5
0,67
22750
2,5
99,38
0,621
0,83
6210
4
0,83
6210
3
99,87
0,135
1,0
1350
4,5
1,0
1350
3,5
99,98
2,33E-02
1,17
233
5
1,17
233
4
99,9968
3,17E-03
1,33
32
5,5
1,33
32
4,5
99,9997
3,40E-04
1,50
3,4
6
1,50
3,4
5
99,99997
2,87E-05
1,67
0,287
5,5
99,999998
1,90E-06
1,83
0,019
6
99,9999999
9,87E-08
2,00
0,001
Werte in dieser Tabelle sind in allgemeinen Statistik-Büchern zu finden
Wert in der rechten Tabelle sind in
der SigSigma Literatur zu finden.
* Bedeutung von Cp/Cpk siehe
Kapitel Fähigkeitskennzahlen
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
S
t ma a
d V r ahr
11
z r Param t ra
wah
Einführung
Die Lösung technischer Probleme wird u.a. aufgrund komplexer werdender Systeme
immer schwieriger. In diesem Zusammenhang wird mittlerweile Design of Experiment
(DoE) auch im Zusammenhang mit SixSigma häufig eingesetzt. Leider scheitern Versuchsplanungen aber an der ungenügenden Vorbereitung. Die besten statistischen Methoden können aus der Beobachtung weggelassene und unterschätzte Faktoren nicht
bewerten. Anhand eines Beispiels soll gezeigt werden, wie eine bestmögliche Systemanalyse als Einstieg in eine Versuchsplanung durchgeführt werden kann.
Eine Systemanalyse ist eine systematische Untersuchung von „Elementen“ die in Beziehung zueinander stehen (Kurzfassung aus Definition Duden).
Unter dem Begriff Systemanalyse verbergen sich eine Vielzahl von Methoden und Darstellungen. Im Rahmen dieser Beschreibungen sollen einschränkend die Bausteine betrachtet werden, die für eine spätere Untersuchung, insbesondere für die Erstellung von
Versuchsplänen wichtig sind.
Man unterscheidet grundsätzlich zwischen grafischen Verfahren und Matrix-Strukturen
die teilweise auch ineinander über gehen. Das Ziel ist es durch Abschätzung den wirklichen Beziehungen so nahe wie möglich zu kommen. Eine Gegenüberstellung der wichtigsten Methoden zeigt folgendes Bild:
FMEA
Fehlerbaum
Mind-Mapping
grafische Darstellung
Zust ände und
Wahrscheinlichkeiten
grafische Ideenfindung
teilw. unstrukturiert
Struktur und
Bewertung
Blockschaltbild
Bauteilorientiert
grafische Darstellung
Wirkungs diagramm
grafische
Zusammenhänge
KorrelationsWahrer
Matrix
wahre Zusammenh änge
Zusammenhang
konkrete Daten
y = f(x)
Ishikawa
Relationsdiagramm_
Grafik
gegenseitige Abh ängigk.
vorgegebene Struktur
Eigenschaften
QFD
DoE
IntensitätsBeziehungsmatrix
Versuchsplanung &
Auswertung
AffinitätsDiagramm
Anforderungen, Funktionen
Ordnen von Daten
Eigenschaften
Gruppenbildung
gesch ätzte Wirk Zusammenh änge
PriorisierungsBewertung
Portfolio
gesch ätzte Zusammenh änge
Einfluss -Ranking
Gegen überstellung
2 Kriterien
Im Fehlerbeseitigungsprozess verwendet man am häufigsten die „Tools“ Ishikawa,
Wirkdiagramm und Fehlerbaum (Grundlage hierfür kann eine bereits vorhandene FMEA
sein). Im folgendem wird das Ursachen-Wirkungsdiagramm behandelt (hier abgekürzt
Wirkdiagramm genannt).
Ursachen-Wirkungsdiagramm nach Ishikawa
Bekannt ist das Ursachen-Wirkungsdiagramm auch unter dem Begriff FischgrätenDiagramm. Der Name resultiert aus der Ähnlichkeit mit einer Fischgräte. Erfunden wurde diese Methode von Ishikawa. Unter diesem Namen ist diese Methode ebenfalls be-
12
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
kannt.
Das Ziel ist die systematische Darstellung von Zusammenhängen. Der Einsatz ist deshalb meist die Problemanalyse. Die Verwendung nur einer Wirkebene (Wirkpfeile münden immer auf Grundlinie) vermeidet abhängige „Faktoren“ zu erhalten.
Man unterscheidet zwischen einer erfolgsorientierten und fehlerorientierten Darstellung. Beim erfolgsorientiertem Vorgehen wird als Wirkung ein erwünschter, positiver
Zustand angegeben und die dazugehörigen Bedingungen erarbeitet. Beim fehlerorientierten Vorgehen werden ausgehend von einem Problem alle möglichen Ursachen gesucht. Beide Varianten dürfen nicht miteinander vermengt werden. Die einzelnen Schritte sind im Wesentlichen:
1. Definition des zu untersuchenden Ziels oder des Problems
2.
Auswahl der darstellenden Struktur. Hierzu gibt es in der Regel die so genannten
6M (Mensch, Maschine, Methode, Material, Mitwelt, Messung). In machen
Darstellungen wird auch noch das Management einbezogen. Vereinfacht verwendet man häufig nur die ersten 4M.
3.
Einflussgrößen in einer Arbeitsgruppe bestimmen und eintragen
Beispiel für ein 5M Diagramm: Darstellung von Einflüssen auf die Messunsicherheit.
Mensch
Maschine
Messung
Auflösung
Material
Unterweisung
Stabilität
Verformung
Verschiedene Prüfer
Messbereich
Oberfläche
Körperliches Befinden
Empfindlichkeit
Formabweichung
Konzentration
Kalibrierung
Zugänglichkeit
Sorgfalt
D rift
Einstellunsicherheit
Verschmutzung
Statistische Berechnung
Messunsicherheit
Beleuchtung
W echselwirkung
Vibration
Umrechnung
Messpozedur
Anordnung
Spannung / Strom
D ruck
Temperatur
Taster / Berührungslos
Methode
Mitwelt
Diese Methode ist ursprünglich rein linear aufgebaut, was oft als Nachteil genannt wird.
Man kann aber auch hier abhängige physikalische Größen dazwischen einbeziehen
und gegenseitige Abhängigkeiten durch entsprechende Querverbindungen aufbauen.
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
13
Problemorientierte Darstellung
Eine weitere Möglichkeit für die Problemfindung ist das Fehlerbild in den Vordergrund
zu stellen. Als Beispiel dient wieder der Elektromotor. Das Problem ist der Verschleiß
an Kommutator und den Bürsten
schleiß
VerVerschleiß
Kohle
Verschleiß
Kommutator
Verwendet man hier anstelle der Bauteile physikalisch/technischen Begriffe für die Ursachen von Verschleiß, so entsteht folgende mögliche Darstellung:
Die dargestellte Aufteilung hat den großen Vorteil, dass die Wirkreihenfolge klar erkennbar ist und eine spätere Bewertung der Ursachen den Verschleiß besser berücksichtigt.
Einbeziehung von Abhängigkeiten (Querbeziehungen)
Bei näherer Betrachtung der vorhergehenden Struktur wird schnell klar, dass es „Querbeziehungen“, bzw. weitere Abhängigkeiten gibt. Der Widerstand ist von der Temperatur und die Reibung von der Eigenerwärmung abhängig, usw.
Zu beachten ist hier der Unterschied zwischen (Quer-)Wirkungen und Wechselwirkungen! Im Gegensatz zu alleinigen Wirkungen zwischen den Parametern, beeinflusst eine
Wechselwirkung die Zielgröße (hier Verschleiß). Eine Wechselwirkung liegt vor, wenn
sich bei Variation von 2 Parametern die Zielgröße mehr verändert, als durch die Summe
der Einzeleffekte.
14
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Je nach Anzahl der Querverbindungen ergibt sich eine mehr oder weniger starke Vernetzung. Die Querverbindungen sollten deshalb grau dargestellt werden, damit die
Übersichtlichkeit nicht leidet.
Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass man ausgehend von den physikalischen Haupteinflüssen, jeden möglichen „Pfad“ durchgehen muss. Die Ursachen-Wirkungskette ist
sehr gut ersichtlich, z.B. erzeugt die Feder eine Anpresskraft und diese wiederum eine
Reibung. Eine Ausnahme sind reine Auflistungspfade, wie Material oder konstruktive
Merkmale.
Eine weitere Verbesserung der Analyse ergibt sich aus der Bewertung der Wirkstärken,
die auch durch die Strichstärken hervorgehoben werden können:
Die Wirkstärken, auch für die Querverbindungen, werden in den
Bewertungen 1,2,3, und 5 gestaffelt. Damit kann später eine Paretoauswertung gemacht werden, um die wichtigsten Einflüsse zu bestimmen. Das Ranking der Einflüsse
wird dabei auch wesentlich durch die der Querverbindungen bestimmt. Eine Staffelung
der Bewertung von 1, 3 oder 9 ist deshalb nicht zu empfehlen, da die 9 alle anderen
Bewertungen in den „Hintergrund“ stellen würde.
Wirkdiagramm
Physikalisch/technische Zusammenhänge mit vernetzten Abhängigkeiten.
Voraussetzung: Gute Kenntnisse der
Zusammenhänge.
Vorteil: Wirkstruktur für Analyse sehr
gut geeignet. Ermittlung von Wechselwirkungen möglich. Ableitung einer
DoE möglich. Geeignet zur Findung
bisher unbekannter Parameter.
Nachteil: Bei hohem Detaillierungsgrad und Vernetzung leidet die
Übersichtlichkeit.
Erfordert Moderator.
Ishikawa
Erste Übersicht der erwarteten
Einflüsse. Geordnete Darstellung des
Brainstormings.
Voraussetzung: keine besonderen.
Vorteil: Schnell erstellt, sehr
übersichtlich, keine Vorkenntnisse
der Methode erforderlich.
Nachteil: Nur eindimensionale
Darstellung ohne gegenseitige
Abhängigkeiten. Oft zu unterschiedlich genannte Begrifflichkeiten
erschweren die Erstellung einer DoE.
Übersicht über die wichtigsten Tools der Systemanalyse
P=0,001
Ventileinstellung f alsch
P=0,001
Regelung
f ällt aus
&
Zu hoher
Überdruck
P=0,001
Pumpe schaltet
nicht ab
Nachteil: Gegenseitige Abhängigkeiten werden nicht dargestellt.
Nicht geeignet zur Findung bisher
unbekannter Parameter.
Vorteil: Struktur der Fehlerursachen
gut überschaubar, auch ohne Angabe
der Ausfallwahrscheinlichkeiten.
Voraussetzung: Gute Kenntnisse
der Zusammenhänge.
Logische Verknüpfung von
Fehlerpfaden und Ereignissen.
P=0,001
Sicherheitsventil
versagt

Sicherheitsventil öf f net
nicht
&
Behälter
berstet
Fehlerbaum
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
15
16
V r
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
ch
ä
(
ig o Ex
rim
t–
oE)
Einführung
Die Aufgabe ist es Versuche so zu kombinieren, dass die Zusammenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben
werden können. Es gibt Einflussgrößen, die gezielt variiert werden können, aber auch
oft auch Störgrößen, die zumindest im Versuchsumfeld kontrolliert einstellbar sein müssen.
Die Wirklichkeit soll durch ein vereinfachtes Modell beschrieben werden. Dabei sind
unter Umständen Nichtlinearitäten und Wechselwirkungen zu berücksichtigen. Die vereinfachten Modelle mit quadratischen und kubischen Ansätzen können jedoch oft den
realen Verlauf nicht vollständig wiedergeben. Es ist im Versuchsplan deshalb vorher
genau zu überlegen, für welchen Beobachtungsbereich das Modell gelten soll. Für ein
Feder-Masse-System, wie im
Bild rechts dargestellt, reicht im
Extrapolieren unzulässig!
vorderen Bereich ein quadrati6
scher Ansatz:
Der weitere Kurvenverlauf ist
damit aber nicht gültig. Ein Extrapolieren würde völlig falsche
Ergebnisse
liefern.
Dieses
Problem ist allzu oft der Grund
für das Scheitern einer DoE.
5
F = 100
4
y^ =
Zielgröße Y
y = a· + b·² + ….. + konst
3
2
m= 5
o = 3
b =6
F
Y = 2f (2 X1,2X2 2, ....X
n )
2 2
m ·o -   +  ·b
Beobachtungsbereich !
1
Einflussgrößen X
0
0
2
4
6
8
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
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Vollfaktorieller Versuchsplan
Ein vollfaktorieller Versuchsplan entsteht, wenn alle
möglichen Einstellungen der Faktoren miteinander
C
A
B
kombiniert werden. Die Anzahl der hierfür benötigten Versuche ist mit p=Anzahl der Faktoren und je
zwei Einstellungen: n  2 p
Bei 3 Faktoren ergeben sich also 8 Versuche. Allgemein erstellt man einen vollfaktoriellen Plan
(normiert -1 und 1) einfach auf folgende Weise:
Beginnend in der ersten Spalte wird alternierend -1,
1, -1 usw. geschrieben. In der nächsten Spalte
schreibt man mit doppelter Häufigkeit alternierend 1,-1, 1, 1,-1,-1 usw. In der dritten Spalte wiederum
mit doppelter Häufigkeit, wie in der vorhergehenden, bis alle Faktoren belegt sind. Der Versuchsplan lässt sich einfach durch die Tabellenfunktion
B
C
D
E
F
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2
1
-1
-1
-1
-1
-1
3
-1
1
-1
-1
-1
-1
4
1
1
-1
-1
-1
-1
5
-1
-1
1
-1
-1
-1
6
1
-1
1
-1
-1
-1
7
-1
1
1
-1
-1
-1
8
1
1
1
-1
-1
-1
9
-1
-1
-1
1
-1
-1
10
1
-1
-1
1
-1
-1
11
-1
1
-1
1
-1
-1
12
1
1
-1
1
-1
-1
13
-1
-1
1
1
-1
-1
14
1
-1
1
1
-1
-1
15
-1
1
1
1
-1
-1
16
1
1
1
1
-1
-1
17
-1
-1
-1
-1
1
-1
18
1
-1
-1
-1
1
-1
=(-1)^AUFRUNDEN(ZEILE()/2^(SPALTE()-1);0)
erzeugen (Formel in A1 eingeben und mit der Maus bei gedrückter Strg-Taste über den
Bereich ziehen). Der Vorteil des vollständigen Versuchsplans ist, dass sich alle Wechselwirkungen erklären lassen. So ist der Einfluss von A*B*C ebenso enthalten. Die Anzahl der Versuche nimmt mit der Anzahl der Faktoren jedoch schnell sehr stark zu, sodass ab ca. 5 Faktoren der Versuchsplan in der Praxis zu aufwendig wird. Es stellt sich
die Frage, wie man ihn vereinfachen kann. Die höchste Wechselwirkung hat in den
meisten Fällen einen nur untergeordneten Einfluss. Verzichtet man auf diese Aussage,
so kann man anstelle der Kombination, die A*B*C enthält, einen weiteren Faktor setzen
und man erhält einen teilfaktoriellen Versuchsplan(fraktional faktoriell).
Teilfaktorielle Versuchspläne
Allgemein werden die letzten oder der letzte Faktor durch das Produkt der vorhergehenden Spalten (Faktoren) gebildet. Im Beispiel 2 41 ergibt sich die Spalte D durch die
Multiplikation von A*B*C.
18
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Der Nachteil dieses Versuchsplanes ist, dass keine Dreifachwechselwirkungen mehr bestimmbar sind, und Zweifach1
wechselwirkungen mitei2
nander vermengt sind: AB
mit CD, AC mit BD und
3
C
AD mit BC, da die jeweili4
gen
Spaltenprodukte
iden5
tisch sind. Erst ab dem
6
Produkt mit mindestens 4
7
A
Spalten, z.B. F=ABCD
B
8
sind 2-fach Wechselwirkungen nicht mehr vermengt. Diese Pläne haben
eine so genannte Auflösung von mindestens V. Die
Anzahl der Versuche berechnet sich durch:
n  2 p q . Man bildet diesen Versuchsplan zunächst wie den vollfaktoriellen, jedoch mit
q Faktoren weniger. Die Einstellungen der fehlenden Faktoren q werden durch das Produkt aller vorhergehenden Spalten gebildet. Diese nennt man auch Generatoren. Auf
einen Blick gibt es bis 12 Faktoren folgende Übersicht:
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
n
p
4
8
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
D
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
2
22
3
23-1
vollst.
III
23
vollst.
16
32
64
128
4
5
6
7
24-1
25-2
26-3
27-4
24
25-1
26-2
vollst.
V
IV
25
vollst.
IV
III
8
9
10
11
12
27-3
28-4
29-5
210-6
211-7
212-8
IV
IV
III
III
III
III
26-1
27-2
28-3
29-4
210-5
211-6
212-7
VI
IV
IV
IV
IV
IV
IV
26
27-1
28-2
29-3
210-4
211-5
212-6
vollst.
VII
V
IV
IV
IV
IV
8-1
9-2
10-3
11-4
12-5
III
III
2
7
vollst.
2
VIII
2
VI
2
V
2
V
2
IV
Vollständige Pläne -> alle Wechselwirkungen
V+ Fraktionelle Pläne -> alle 2-fach Wechselwirkungen bestimmbar, Auflösung  V
IV Fraktionelle Pläne -> 2-fach Wechselw. vermengt, Haupteff. vermengt mit 3-fach WW
III Fraktionelle Pläne -> 2-fach Wechselw. vermengt, Haupteff. vermengt mit 2-fach WW !
Alle teilfaktoriellen Pläne mit einer Auflösung V oder höher sind unkritisch in der Auswertung. Der Aufwand nimmt jedoch auch hier schnell über 6 Faktoren zu, sodass dann
eher D-Optimale Versuchspläne zu empfehlen sind, bei denen immer alle Wechselwirkungen ermittelt werden können. Versuche mit Auflösung kleiner V werden eingesetzt
um die wichtigsten Einflüsse zu erkennen. Dies nennt man auch Screening. Auch hier
hat man aber mit D-Optimalen Versuchsplänen bei gleicher Anzahl Versuche immer
noch die Chance Wechselwirkungen aufzulösen (siehe folgende Kapitel).
Vor- und Nachteile der vollfaktoriellen Versuchspläne
+ Orthogonale Versuchsanordnung mit allen Wechselwirkungen (auch 3-fach, etc.)
+ Absolut beste Auswertbarkeit.
– Zu großer Aufwand bei Anzahl der Parameter > 4.
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
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Vor- und Nachteile der teilfaktoriellen Versuchspläne
+ Orthogonale Versuchsanordnung mit geringerem Versuchsaufwand als vollfaktoriell.
+ Bei 5 Faktoren bester Kompromiss für Auswertung, alle 2-fach Wechselwirkungen
auswertbar (Auflösung V).
– Je nach Typ sind Wechselwirkungen mehr oder minder vermengt
(Auflösung III und IV).
Plackett-Burman-Versuchspläne
Für Voruntersuchungen bzw. so genannte Screening-Versuche eignen sich besonders
Plackett-Burman-Versuchspläne (nur für 2 Stufen). Diese Versuchspläne sind von den
teilfaktoriellen abgeleitet. Es gibt feste Strukturen mit entweder 12, 20 und 24 Versuchen. Bis zu 11 Parameter sind mit dem Umfang von 12 theoretisch möglich. Darüber
hinaus ist der Sprung zum nächst höheren Versuchsumfang notwendig.
Plackett-Burman-Versuchspläne haben gegenüber den klassischen teilfaktoriellen Plänen (Auflösung III) den entscheidenden Vorteil, dass 2-fach Wechselwirkungen (WW)
nicht vollständig, sondern nur teilweise vermengt sind. Für Pläne mit 12 Versuchen
ergibt sich eine max. Korrelation von 0,333. Bei Plänen mit 20 Versuchen kommt eine
max. Korrelation von 0,6 vor. Unter Umständen ist diese Korrelation zu hoch für Auswertungen von Wechselwirkungen, insbesondere wenn hohe Streuungen vorliegen. Es
empfiehlt sich deshalb nur der Versuchsplan mit 12 Versuchen bei Verwendung von
max. 8 Parametern. Nach Auswertung mit Hilfe der schrittweisen Regression fallen
normalerweise eine große Zahl von 2-fach WW heraus. Dadurch bieten sich PlackettBurman-Versuchspläne dann an, wenn eine Auswertung vorher unbekannter weniger
Wechselwirkungen gemacht werden soll. Bei 8 Parametern wären max. 3 Wechselwirkungen auswertbar, bei 7 Parametern 4 Wechselwirkungen usw.
Vor- und Nachteile:
+ Orthogonale Versuchsanordnung mit wenigen Versuchsdurchläufen.
+ Wechselwirkungen sind nur zu 33% vermengt (Variante 12 Versuche).
Diese sind mit Hilfe der multiplen Regression noch auswertbar.
+ Geeignet für „Screening“ zum Darstellen der wichtigsten Einflüsse auf 2 Stufen.
– Bei Wechselwirkung nur Variante mit 12 Versuchen sinnvoll.
Taguchi Versuchspläne
Taguchi Pläne sind teilfaktorielle Versuchspläne, die
meist „gesättigt“ sind und extrem wenig Versuche
brauchen. Sie sind voll orthogonal und werden mit
dem Buchstaben L gekennzeichnet. Der teilfaktorielle Versuchsplan mit 7 Faktoren wird z.B. zu:
27-4
Faktoren
Anzahl Parameter
Lx(sp)
Anzahl Stufen
Anzahl Versuche
 L8(27)
Für 7 Faktoren werden hier nur 8 Versuche angesetzt. D.h. man kann hiermit nur die
Effekte der Faktoren selber und der Konstante bestimmen (gesättigt). Das Problem ist,
dass neben der Vermengung von verschiedenen Wechselwirkungen auch eine Vermengung von Faktoren mit Wechselwirkungen bestehen. Deshalb werden diese Pläne
nur empfohlen, wenn Wechselwirkungen auszuschließen sind. Weitere Beispiele sind:
20
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
L9 (34)
L4 (23)
A
B
C
1
1
1
2
2
1
2
3
2
4
2
A
B
C
D
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1
3
1
3
3
3
2
2
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
Anstelle der Normierung -1 .. 1 werden die Einstellungen durchnummeriert. Es gibt auch
Taguchi Versuchspläne mit 3 und 4 Stufen um nichtlineare Zusammenhänge darzustellen. Dabei sind Faktoren und Wechselwirkungen auch nicht mehr zu 100% vermengt,
jedoch ist die Auswertung für Wechselwirkungen und quadratische (bzw. kubische)
Terme kritisch (hohe Korrelation).
Taguchi Versuchspläne werden eingesetzt, um die wichtigsten Faktoren zu erkennen
(Screening). Folgende Übersicht zeigt die wichtigsten Varianten:
2 Stufen
3 Stufen
4 Stufen
5 Stufen
L4(23)
L9(34)
L16(45)
L25(56)
L8(27)
L18(2*37)
_
_
L12(211) *
L27(313)
_
_
L16(215)
L27(313)
_
_
L32(231)
L36(313)
_
_
* identisch mit Plackett-Burmann n=12
Vor- und Nachteile:
+ Orthogonale Versuchsanordnung mit extrem wenigen Versuchsdurchläufen
+ Teilfaktorielle Versuchspläne mit bis zu 5 Stufen verfügbar
+ Geeignet für „Screening“ zum Darstellen der wichtigsten Einflüsse
– Vermengung der Wechselwirkungen entsprechend Auflösung III bedeutet,
dass diese nicht ausgewertet werden können! (Ausnahme sind teilweise 3- und
4-stufige Versuchspläne, bei denen eingeschränkt Auswertungen möglich sind)
Fähigkeitskennzahlen
Fähigkeitskennzahlen dienen zur Beschreibung der aktuellen sowie der zukünftig zu
erwartenden Leistung eines Prozesses.
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
21
Allgemein versteht man unter einer Fähigkeitskennzahl das Verhältnis aus Toleranz zur
Streuung des Prozesses. Dabei bezieht man sich auf einen Bereich, bei dem 99,73%
innerhalb der Spezifikation liegen (3 bzw. 3s). Im Falle eines Herstellungsprozesses
handelt es sich um die Prozessfähigkeit Cp. Zur Berücksichtigung einer Mittelwertverschiebung (Abweichung von der idealen Prozesslage), wird der Wert Cpk eingeführt, der
immer schlechter oder gleich groß ist wie Cp (Cpk  Cp). In der Regel gilt ein Prozess als
fähig, wenn Cpk  1,33 ist.
Im folgendem werden für verschiedene Verteilungsformen die Beziehungen dargestellt:
Normalverteilung
Die Normalverteilung ist anzuwenden, wenn Abweichungen vom Sollwert durch zufällige Einflüsse vorliegen, die additiv wirken.
Cp 
C pu 
OTG  UTG
T

6s
6s
x  UTG
3s
C po 
mit
UTG
OTG
T
µ
OTG  x
3s
:
:
:
:
untere Toleranzgrenze
obere Toleranzgrenze
Toleranz = OTG-UTG
Mittelwert
C pk  MinC pu ; C po 
Ist der tatsächliche Mittelwert und die Standardabweichung bekannt, so ist µ und  anstelle von x und s einzusetzen. Der Cpk - Wert kann über
C pk  C p 1  z 
berechnet werden, mit
z
x  (OTG  UTG) / 2
(OTG  UTG) / 2
z
für mittigen Sollwert
xsoll  x
(OTG  UTG) / 2
für nicht mittigen Sollwert
Beispiele:
4
4
6
2
OTG-UTG = 8 
OTG-UTG = 8 
Cp = 1,33 Cpu = 1,33 Cpo = 1,33 Cpk = 1,33
Cp = 1,33 Cpu = 2,0 Cpo = 0,67 Cpk = 0,67
Siehe auch Kapitel: Die wichtigsten stetigen Verteilungen – Normalverteilung.
Der Vertrauensbereich ist definiert über:
(
√
)
mit  = n-1
22
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
(
√
(
)
)
Lognormalverteilung
Die Lognormalverteilung ist anzuwenden, wenn die Verteilung links einseitig begrenzt
ist, nur positive Werte vorkommen und Abweichungen vom Sollwert durch zufällige Einflüsse entstehen, die multiplikativ wirken.
Cp 
ln(OTG)  ln(UTG)
6 slog
C pu 
xlog  ln(UTG)
3 slog
C po 
ln(OTG)  xlog
C pk  MinC pu ; C po 
x log

1  n

  ln(xi ) 
n
 i 1


slog 
3 slog
1 n
ln( xi )  x log )2

n  1 i 1
Liegen die Einzelwerte nicht vor, so kann näherungsweise xlog und s log aus dem Mittelwert und der Standardabweichung der Normalverteilung mit
1  s2 
xlog  ln( x )  ln 1  2 
2  x 
 s2 
slog  ln 1  2 
 x 
berechnet werden.
Betragsverteilung 1. Art
Diese ist anzuwenden wie bei der Normalverteilung, jedoch wenn die Verteilung einseitig begrenzt ist und nur positive Werte vorkommen können. Der Fähigkeitsindex wird
über eine allgemeingültige Formel berechnet:
1
C pk  u1 p
3
p = Anteil außerhalb der oberen Spezifikationsgrenze und u die Verteilungsform
der standardisierten Normalverteilung.
Anstelle dieser Beziehung kann auch die weiter unten beschriebene Percentil-Methode
verwendet werden, was bei kleinen Überschreitungsanteilen p sinnvoll ist.
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
23
Betragsverteilung 2. Art (Rayleigh-Verteilung)
Die Anwendung dieser Verteilungsart ist z.B. für Unwuchten, oder für Merkmale aus
zwei Komponenten. Auch hier gilt die allgemeine Formel:
1
C pk  u1 p
3
speziell für Unwucht
pe
  OTG 
 
4  r 
2
Verteilungsfreie Percentil-Methode
Bei nicht bekannter Verteilung ist die so genannte Percentil-Methode zu verwenden.
Allgemein gilt:
Cp 
OTG  UTG
X 99,865%  X 0,135%
Für eine Normalverteilung entspricht der Nenner 6s. Für eine nicht normal verteilte
Form kann der Bezugsbereich ermittelt werden, wie in der ISO/TR 12783 beschrieben.
Analog zur Normalverteilung gilt:
X50%
X 50%  UTG
OTG  X 50%
und C po 
X 50%  X 0,135%
X 99,865%  X 50%
C pu 
C pk  MinC pu ; C po 
X0,135%
Verteilungsformen verschiedener Konstruktionsmerkmale
Die folgende Tabelle zeigt eine
Übersicht, für welche Konstruktionsmerkmale welche Verteilung vorkommt:
N
LN*
B1
B2
:
:
:
:
Normalverteilung
Lognormalvertlg.
Betragsnormal 1. Art
Betragsnormal 2. Art
Siehe auch Kapitel:
Die wichtigsten stetigen
Verteilungen.
99,73%
X99,865%
24
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Stati ti ch H
oth
t
t
Einführung
In einem Hypothesentest soll anhand einer Stichprobe eine Aussage
auf die Datenkennwerte der Grundgesamtheit gemacht werden. Typische Formulierungen sind:
-
Die Nullhypothese Ho behauptet:
Es besteht Gleichheit
(z.B. die Mittelwerte zweier Stichproben sind gleich, oder
der Mittelwert einer angelieferten Charge entspricht der Vorgabe des Kunden,
oder der Verbrauch zweier Fahrzeuge ist gleich, etc. ).
-
Die Alternativ-Hypothese H1 behauptet:
Es gibt einen Unterschied
(z.B. die Mittelwerte zweier Stichproben sind ungleich, oder
die angelieferte Ware ist fehlerhaft, etc.).
Aussagen hierzu sind mit einer unvermeidbaren Unsicherheit behaftet, die statistisch
über eine Irrtumswahrscheinlichkeit bewertet wird.
Bei der Durchführung eines statistischen Tests können zwei Arten von Fehlern gemacht
werden:
1. Die Nullhypothese Ho ist richtig und wird abgelehnt!
 diesen Fehler bezeichnet man als Fehler 1. Art, oder den -Fehler,
oder das Produzentenrisiko.
2. Die Nullhypothese Ho wird angenommen, obwohl sie falsch ist!
 diesen Fehler bezeichnet man als Fehler 2. Art, oder den b-Fehler,
oder das Konsumentenrisiko.
Insgesamt gibt es folgende vier Situationen:
Wirklichkeit
H
H1
H
richtig
b-Fehler (2. Art)
H1
-Fehler (1. Art)
richtig
o
Entscheidung
o
Ho : Nullhypothese; H1 oder HA : Alternativhypothese
Merke:
- Der -Fehler beschreibt das Risiko einen „Effekt“ anzunehmen, den es gar nicht gibt.
- Der b-Fehler beschreibt das Risiko einen „Effekt“ zu übersehen.
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
25
Bestimmung des -Fehlers am Beispiel Mittelwertvergleich
Es ist die Nullhypothese Ho zu prüfen : die Mittelwerte zweier Stichproben sind gleich.
Der Abstand der Mittelwerte wird normiert
auf eine gemeinsame Standardabweichung sd
x1  x2
t pr 
x1
x1  x2
sd
sd 
s12  s22 (für gleiche Stichn
probenumfänge,
n = n 1 = n 2)
x2
Mit Hilfe der t-Verteilung (Studentverteilung) erhält
man den gesuchten Wert für den -Fehler.
 /2
t-Verteilung
  2 ∙ VertlgStudent( -tpr; f )
Hinweis: Die Fläche /2
lässt sich nicht in das
obere Diagramm übertragen, wie oft zu sehen ist.
Freiheitsgrad f = n 1 + n 2 - 2
für gleiche Standardabw. der
Stichproben.
tpr
Der pvalue
Man legt für den Fehler 1. Art einen zulässigen Grenzwert für  fest, in der Regel 5%.
Den tatsächlich vorhandenen Wert nennt man den pvalue.
Merke: „If pvalue is low, Ho must go“
26
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Übersicht über die Test-Statistiken
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
i wichtig t
t tig
V rt i
27
g
Normalverteilung
Die Normalverteilung stellt die häufigste und gängigste Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung dar. Sie tritt auf, wenn zufällige Ereignisse auf einen Prozess wirken. Viele
natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die
Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben
(vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken).
200
20
Häufigkeit
150
15
100
10
50
5
0
Relative Häufigkeit
%
h 
1
2 
e
1  x x 
 

2 s 
2
x : Variable Merkmal
µ : Mittelwert
 : Standardabweichung
0
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0. 0
0. 2
0. 4
0. 6
0. 8
1. 0
Merkmal
Summenwahrscheinlichkeit
99. 9
x
%
H 
96
90


1
2 
e
1  x x 
 

2 s 
2
dx
80
60
Integral ist hier nicht lösbar
40
20
10
x
3
1
0. 3
0. 1
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0. 0
0. 2
0. 4
0. 6
0. 8
1. 0
Merkmal
Im oberen Histogramm werden die Daten in passende Klassen eingeteilt und gezählt,
wie viele sich darin befinden. Die Gaußkurve stellt die ideale Wahrscheinlichkeitsdichte
für dieses Histogramm dar und beschreibt den Verlauf, wenn man „unendlich“ viele Daten hätte. Im sogenannten Wahrscheinlichkeitsnetz unten kann man im Maßstab der YAchse ablesen wie viele Daten in Summe von links bis zu einem Wert x vorliegen. Dies
ist die Fläche unter der Gaußkurve. Der Mittelwert liegt im Wahrscheinlichkeitsnetz bei
50% (hier bei x=0).
x
1 n
 xi
n i 1
28
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Der Vertrauensbereich des Mittelwertes ist:
̅
√
̅
̅
t1-/2 : Quantile der Studentvertei√
Der zweite Parameter der Normalverteilung ist die Standardabweichung s:
s
1 n
xi  x 2

n  1 i 1
Vertrauensb. : s
n 1
 12 / 2, n 1
lung für Signifikanz  wenn die
wahre Standardabweichung nicht
bekannt ist. Vertrauensbereich
90%  1-/2 = 0,95
ss
n 1
 2 / 2, n 1
Da für die quadrierten Abweichungen der Mittelwert benötigt wird, der aus den gleichen
Daten stammt, muss man für eine Stichprobe einen sogenannten Freiheitsgrad abziehen (der Mittelwert ist aufgrund einer begrenzten Stichprobe fehlerbehaftet). Deshalb
steht im Nenner n-1 statt nur n.
Die Bestimmung der Häufigkeiten der Punkte im Wahrscheinlichkeitsnetz erfolgt näherungsweise mit:
H
2i 1
100%
2n
mit
i = Ordnungszahl der sortierten Werte
Die Steigung der Geraden ist durch die Streuung (Standardabweichung) der Daten bestimmt. x  s liegt im Bereich von 16% bis 84%.
Beide Darstellungsformen haben ihre Vorteile. Im Histogramm können Mischverteilungen gut erkannt werden, wenn mehrere Gipfel vorliegen (siehe nächstes Kapitel).
Im Wahrscheinlichkeitsnetz sieht
Man jeden Datenpunkt und Abweichungen von der Geraden
sind Abweichungen von der
Normalverteilung.
 
68,27%
 2
95,45%
 
99,73%
 
99,9937%
 
99,999943%
 
99,9999998%
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
29
Boxplot
Der Boxplot, auch Box-Whisker-Plot genannt, ist eine spezielle Darstellung der Häufigkeitsverteilung und im Besonderen der Normalverteilung.
Ein Boxplot soll schnell einen Eindruck darüber vermitteln, in welchem Bereich die Daten liegen und wie sie sich verteilen. Der große Vorteil ist hierbei, der geringere „Platzbedarf“ der Darstellung gegenüber einem Histogramm (siehe Abbildung unten). Damit
können nebeneinander mehrere Verteilungen leicht verglichen werden.
In der Mitte des Boxplots befindet sich eine Linie mit dem Mittelwert, oder dem so genannten Zentralwert bzw. Median. Innerhalb des Bauches befinden sich 50% aller Werte, die durch das sogenannte obere und untere Quartil begrenzt sind. Die obere und
untere Begrenzungs-Linie beschreibt nennt man Antennen, oder Whiskers. Diese sind
nicht einheitlich definiert. In der Regel werden vorkommende Max- und Min-Werte als
Grenze verwendet. Sinnvoll ist hier aber auch ein 98%-, oder 99%-Bereich. Mögliche
Ausreißer bestimmen dann nicht mehr so stark diese Grenzlinien.
Wenn eine Normalverteilung vorliegt, ist der 50%- und 99%-Bereich symmetrisch zum
Mittelwert.
Ausreißer
außerhalb 1,5 · Quartil
oberes Quartil
unteres Quartil
Punkte außerhalb eines Bereiches 1,5 · Quartil werden in der Regel gesondert dargestellt. Sie werden auch als „milde“ Ausreißer bezeichnet. Punkte außerhalb des Bereiches 3 · Quartil werden als „extreme“ Ausreißer angesehen Anstelle dieser Definition
ist aber auch ein Grubbs-Test möglich. Hinweis: Die Darstellung im Bild oben ist nicht
maßstabsgerecht. Gleiche Anteile gelten für Punkte nach unten.
Für den Fall anderer Verteilungen ist es vorteilhaft die tatsächliche Datenlage bzw. deren Häufigkeiten zu berücksichtigen. Zur Bestimmung der Grenzlinien findet dabei meist
die sogenannte Percentil-Methode Anwendung (z.B. beschrieben in der ISO/TR 12783).
Hierdurch wird die Schiefe der Verteilung gut sichtbar.
30
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Weibull - Verteilung
Die von dem Schweden Waloddi Weibull entwickelte Verteilung ist eine universelle Verteilung, mit der die unterschiedlichsten Fragestellungen behandelt werden können. Am
verbreitesten ist aber die Darstellung von Lebensdauerfragen. Im folgenden Beispiel
wurde eine Gruppe von 30 Kugellagern bis zum Ausfall getestet (Schwingvorgänge).
Durch eine entsprechende Klassierung ergibt sich ein Histogramm (Häufigkeiten der
Ausfälle innerhalb einer Klasse):
Histogramm Versuchsergebnisse
Weibull Dichtefunktion
.. 240, 260, 420, 480, 490, 500, 510, 540, 580, 680, 720, ….
Klasse 500 ± 125
Klasse 750 ± 125
In der rechten Darstellung wird die sogenannte Weibull-Dichtefunktion als Kurve darüber gelegt. Typisch für Lebensdaueruntersuchungen ist, im Gegensatz zu Normalverteilung, der nicht symmetrische Verlauf. Laufzeiten beginnen ab > 0 und es gibt einige
Bauteile, die überproportional lange halten.
Eine andere Darstellung ist die Summenhäufigkeit. Alle Häufigkeiten werden von links
nach rechts aufsummiert. Erst die rechte Grafik stellt die eigentliche Verteilungsform
dar.
Weibull Dichtefunktion
Summenhäufigkeit
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
31
H
In der Praxis ist es interessanter, für eine definierte Laufzeit die Summe der Ausfälle zu
nennen. Hier ohne Klassierung, ergibt die rechte Darstellung unmittelbar diese Ausfallmenge (Integral der Dichtefunktion links).
Fläche in
derDichte
-fkt.
Summe aller
Wahrscheinlichkeiten bis t
t
t
Letztlich erreicht man durch ein mehrfaches Logarithmieren der Achsen eine WeibullGerade und das Integral der Dichtefunktion ist eine mathematisch leicht zu handhabende Funktion, die es für die Normalverteilung nicht gibt. Zeitabhängige Ausfallmechanismen erscheinen als Gerade. Abweichungen von der Geraden können als unterschiedliche Ausfallursachen interpretiert werden. Für Lebensdauer und Zuverlässigkeit ist die
Weibull-Verteilung weltweiter Standard.
H
H  1 e
t 
 
T 
b
H : Ausfallhäufigkeit
t : Laufzeit/strecke
T : charakt. Lebensdauer (engl. )
b : Formparameter (engl. b)
Steigung der Geraden
63,2%
b
Formparameter
Steigung
T
charakteristische
Lebensdauer
x1000
32
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
ha t
rz ich i
3-parametrige Weibull .................................... 134
4M Methode ..................................................... 14
4-parametrige Normalverteilung .................... 125
4-parametrige Weibull-Verteilung .................. 135
5-parametrige Normalverteilung .................... 125
5-parametrige Weibull-Verteilung .................. 136
6-3-5 Methode .................................................. 10
Abbruchkriterium, Weibull-Test ...................... 142
abhängige Größen, Wirkdiagramm .................. 19
Abhängigkeiten, Wirkdiagramm ....................... 15
Abknicken Wöhler .......................................... 162
Abstandsdaten, Clusteranalyse ....................... 79
Abstandsmatrix, Clusteranalyse ...................... 81
Abweichung vom Zielwert ................................ 54
Abweichungen von Normalverteilung ............ 123
adjustiertes Bestimmheitsmaß ......................... 61
agglomerative Verfahren .................................. 79
Ähnlichkeitsmerkmale, Clusteranalyse ............ 79
Aktivierungsenergie, Arrhenius ...................... 165
Aktivsummen.................................................... 18
alternative Ausfallmechanismen .................... 135
alternative Ausfallursachen ............................ 125
Alternativhypothese.......................................... 99
Alternativhypothese, Hypothesentests ........... 102
Alternativhypothese, Teststärke ..................... 102
Alterungseffekt ............................................... 131
ANALYSE SixSigma ........................................ 11
Analysis of Variance ......................................... 40
Anderson-Darling Test, Normalv. ................... 106
Anderson-Darling Test, Weibull ..................... 106
ANOVA 40, 62, 176
ANOVA - Grundprinzip ..................................... 40
ANOVA Messsystemanalyse ........................... 89
Anteilskombinationen, DoE .............................. 48
Antennen Box-Plot ......................................... 122
Anwärterprognose ..................................144, 147
Appraiser Variation........................................... 88
Approximierung, Weibull 3-parametrig........... 134
äquidistante Stufen D-Optimal ......................... 47
Arcus-Sinus-Funktion ....................................... 70
Arrhenius-Modell ............................................ 164
attributive Messmittelfähigkeit .......................... 91
Auflösung Versuchspläne ................................ 43
Auflösungsvermögen, Shainin ......................... 39
Auftretenswahrscheinlichkeit FMEA ..........26, 27
ausfallfreie Zeit .......................................134, 148
Ausfallmerkmal............................................... 137
Ausfallrate ...................................................... 146
Ausfallrate momentane .................................. 126
Ausfallrate, Arrhenius ..................................... 164
Ausfallursachen verschiedene ....................... 135
Ausfallwahrscheinlichkeit ............................... 132
Ausfallwahrscheinlichkeiten
System ....................................................... 150
Ausgleichsgerade............................................. 38
Ausgleichsgerade Messmittelprüfung .............. 39
Ausgleichsgerade, Weibull ............................. 134
Ausreißer ........................................................ 122
Ausreißer PLS .................................................. 77
Ausreißertest .................................................. 115
Ausreißertest Regression, Grubbs ................... 64
Ausreißertest, Grubbs .................................... 115
Ausreißertest, mehrere .................................. 115
Ausreißertest, Pearson .................................. 115
Aussagewahrscheinlichkeit .................... 152, 155
Aussagewahrscheinlichkeit, Trennschärfe .... 103
Aussagewahrscheinlichkeit, Weibull .............. 133
Aussortierung Histogramm ............................ 123
Auswahlkriterien, Versuchspläne ..................... 53
Auswertung, DoE ............................................. 40
B10 - Weibull-Kennwert................................... 146
Bartlett-Test ................................................... 112
Batteriezellen ................................................. 167
Baumstruktur Clusteranalyse ........................... 82
Baumstruktur, FTA ........................................... 29
Baureihe, Schichtlinie .................................... 168
Bauteilbelastung Wöhler ................................ 160
Bauteilspannung, Wöhler ............................... 159
Bayes-Methode .............................................. 154
Bayessche Statistik ........................................ 151
Bedeutung FMEA............................................. 27
Belastung Wöhler........................................... 160
Belastungsgrenze, Wöhler ............................. 159
Belastungszeit ................................................ 139
Beschleunigungsfaktor, Arrhenius ................. 164
Bestätigungsversuch, Komponententausch .... 33
Bestimmtheitsmaß ........................................... 61
Bestimmtheitsmaß, adjustiertes ....................... 61
Bestimmtheitsmaß, diskrete Regression ......... 73
Bestimmtheitsmaß, Weibull ........................... 134
Bestimmtheitsmaß, Weibull ........................... 137
Bestpunkt Optimierung .............................. 64, 66
Beta-Binomialverteilung ......................... 132, 133
Beta-Verteilung .............................................. 174
betragsnormale Verteilung ............................. 124
. 94
Betragsnormalverteilung, Toleranzsimulation
Betragsverteilung 1. Art ................................... 84
Betragsverteilung 2. Art ................................... 85
Betriebsfestigkeit, Lognormalverteilung ......... 127
Bewertungseinfluss Matrix ............................... 17
Bewertungszahlen FMEA ................................ 27
Beyer
154
Beziehungen, Matrixdiagramm ........................ 22
Beziehungen, Systemanalyse ......................... 13
................. 89
Bezugsgröße, Messsystemanalyse
Biegeversuche ............................................... 124
bimodale Verteilung ............................... 125, 135
Binomial-Koeffizient ....................................... 117
Binomialsatz ................................................... 152
Binomial-Test ................................................. 108
Binomialverteilung.................................. 132, 172
Blockschaltbild ............................................... 150
Bonddrähte .................................................... 167
Bondverbindungen ......................................... 167
Bowker-Verfahren ............................................ 92
Boxplot 122
Brainstorming ................................................... 10
Bravais 55
Bravais, Korrelation nach ................................. 55
Bremsbeläge .................................................. 131
Bremsscheibe Beispiel Weibull ...................... 134
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Bruch
126
Bruchursachen ............................................... 124
CAD-Modell ...................................................... 95
Cauchy-Verteilung.......................................... 174
CCC
46
CCD
46
CCF
46
Central Composite Design ............................... 46
Chancen, Logit-Modell ..................................... 70
charakteristische
Lebensdauer,
Vertrauensbereich .......................................... 134
Chargeneinfluss Ausfallursachen .................. 125
chemische Reaktion, Arrhenius ..................... 164
chemischer Faktor in DoE ................................ 48
City-Block Distanz ............................................ 79
Clusteranalyse ................................................. 79
Clusterzentrum ................................................. 79
Cm, Cmk 86
Coffin-Manson-Modell .................................... 165
Cohen's Kappa ................................................. 92
CONTROL SixSigma ....................................... 11
Correlation Loading Plot................................... 77
Cp, Cpk 83, 86
Critical to Quality .............................................. 23
CTQ
23
Data Mining ...................................................... 79
Datenreduktion, Clusteranalyse ....................... 79
Datenreduktion, PCA ....................................... 74
Dauerfestigkeit ............................................... 161
Dauerfestigkeit, Wöhler .................................. 159
DEFINE SixSigma ............................................ 11
Dendrogramm .................................................. 82
Design-Scorecard ............................................ 11
Determinante .................................................... 47
Devianz-Test .................................................... 73
DFSS
9
Diagonalmatrix ................................................. 73
DieToleranz ...................................................... 54
Differenzdevianz .............................................. 73
DIN 25424 ........................................................ 29
DIN 55303 ..............................................126, 142
DIN EN 61649 ................................................ 152
diskrete Gage R&R .......................................... 92
diskrete Messmittelfähigkeit ............................. 91
diskrete Regression ......................................... 68
diskrete Verteilungen ..................................... 172
Distanzmatrix, Clusteranalyse ......................... 81
DMADV SixSigma .............................................. 9
DMAIC SixSigma ............................................... 9
DoE
41, 166
doppellogarithmisch, Wöhler .......................... 159
D-Optimal Vorteile ............................................ 47
D-Optimal, Mischungspläne ............................. 50
D-Optimal, Versuchsanzahl ............................. 52
D-Optimale Versuchspläne .............................. 47
Dreifachwechselwirkung .................................. 43
Duncan 88
Effekt, grafische Darstellung ............................ 58
Effekt, sichere Ermittlung ................................. 51
Eigenerwärmung, Beispiel Wirkdiagramm ....... 15
Eigenschwingform .......................................... 167
Eigenvektor ...................................................... 74
33
Eigenwert ......................................................... 74
Eigenwerte ....................................................... 74
Eigenwertproblem ............................................ 74
Ein-/Ausschalten ............................................ 166
Einflussgrößen DoE ......................................... 41
Eingriffsgrenzen, Regelkarten ................... 96, 97
Eintrittswahrscheinlichkeit
diskrete Regression ..................................... 70
Elastomer, Temperaturabhängigkeit .............. 164
elektronische Bauteile, Temperatureinfluss ... 164
Elementar-Miner .................................... 160, 163
Ellipsen, Korrelations Ladungen ...................... 77
Entdeckungswahrscheinlichkeit FMEA ............ 28
Entwicklungsphase ........................................ 166
Entwicklungsstände ....................................... 151
Equipment Variation......................................... 88
erfolgsorientiertes Wirkdiagramm .................... 14
Erfüllungsgrad Optimierung ............................. 65
erklärte Abweichung, ANOVA .......................... 40
Ersatzteile, Weibull-Verlauf ............................ 148
Erwartungswert, Poisson ............................... 173
Erwartungswert, Weibull ................................ 146
Erweiterungsmöglichkeit D-Optimal................. 48
euklidische Distanz .......................................... 79
euklidsche Distanz ........................................... 81
exakter Test nach Fisher ............................... 117
Exklusiv-Oder, FTA .......................................... 30
Exponentialform, Weibull ............................... 138
Exponentialfunktion........................................ 137
Exponentialgleichung ..................................... 138
Exponential-Verteilung ........................... 131, 175
Extrem-Verteilung .......................................... 175
Extremwert-Verteilungen ............................... 135
Fähigkeitskennzahl .......................................... 83
Fahrzeugalter ................................................. 168
Faktoren, kategoriale ....................................... 50
Farbspektrum ................................................... 66
Fault Tree Analysis .......................................... 29
Faustformel, Arrhenius................................... 165
Fehlende Daten, Weibull ............................... 148
Fehlentscheidung, Hypothesentests .............. 102
Fehler 1. Art, DoE-Wiederholungen................. 51
Fehler 1. Art, Hypothesentests ........................ 99
Fehler 2. Art, DoE-Wiederholungen................. 51
Fehler 2. Art, Hypothesentests ........................ 99
Fehler der Regression ..................................... 62
Fehleranteil Binomial-Test ............................. 108
Fehleranzahl Poisson .................................... 173
Fehlerbaumanalyse ....................................... 150
Fehlerbild ....................................................... 127
Fehlerbild, Wirkdiagramm ................................ 15
Fehlerfolge, FMEA ........................................... 25
Fehlerfortpflanzungsgesetz ............................. 93
fehlerhafte Einheiten, Binomial ...................... 172
fehlerhafter Einheiten, Regelkarten ................. 97
fehlerorientiertes Wirkdiagramm ...................... 14
Fehlerquadrate, Minimierung Weibull ............ 132
Fehlerquote, Beispiel ..................................... 104
Fehlerquote, Hypothesentest ......................... 104
Fehlervermeidung ............................................ 10
Fehlfunktion, FMEA ......................................... 25
Felddatenauswertung .................................... 144
34
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Fertigungsfehler ............................................. 131
Fettmenge ...................................................... 167
Feuchtigkeit .................................................... 166
Fischgräten-Diagramm..................................... 13
Fisher Test exakt............................................ 117
Fisher-Verteilung ............................................ 175
Flugzeugindustrie ............................................. 29
Flüssigkeiten, Faktor in DoE ............................ 48
FMEA 25, 31
FMEA, Zuv-Indikatoren .................................. 166
Freiheitsgrade, diskrete Regression ................ 70
Freiheitsgrade, Modell-ANOVA ........................ 61
Frühausfälle ................................................... 131
FTA
29
F-Test 111
Funktionsansatz Regression ............................ 56
Funktionsansatz Verschleißhochrechnung .... 157
F-Wert, ANOVA ................................................ 40
Gage R&R ........................................................ 92
Gamma-Verteilung ......................................... 176
Garantiezeit
Weibull-Verlauf außerhalb ......................... 148
Gegenüberstellung, Matrixdiagramm ............... 22
Gegenwahrscheinlichkeit ................................. 70
General Electric .................................................. 9
Generator für Parameter, DoE ......................... 43
Geometrie-Einfluss, Systemanalyse ................ 20
geometrische-Verteilung ................................ 174
Geradenabschnitte ......................................... 137
Geräteeinfluss, Messmittelfähigkeit ................. 91
Geräusche ...................................................... 167
Gesamtabweichung, ANOVA ........................... 40
Gesamtsystem-Zuverlässigkeit ...................... 150
Gesamtvarianz, PCA........................................ 74
gesättigter Versuchsplan.................................. 44
gestutzte Verteilung ....................................... 123
gewichtete Regression ..................................... 72
Gewichtung, Bewertungsmatrix ....................... 22
Gewichtung, Optimierung................................. 65
Glasproben ..................................................... 126
gleichzeitiger Test .......................................... 139
Grad, Mischungsplan ....................................... 49
Grafische Darstellung Wechselwirkung ........... 59
Grubbs-Test ................................................... 122
Grundgesamtheit,
Weibull-Vertrauensbereich
133
Grundstufe, kategoriale Faktoren .................... 50
Gruppe in Normalverteilung ........................... 123
Gruppenbildung Histogramm ......................... 123
Gruppierung, Clusteranalyse ........................... 79
gültige Daten .................................................. 126
gut/schlecht Beurteilung ................................... 68
Güte des Regressionsmodells ......................... 59
Gütezahl Reproduzierbarkeit ........................... 62
Haibach 160
Häufigkeitsverteilung ...................................... 122
Boxplot ....................................................... 122
Hauptachse, PCA ............................................. 74
Hauptachsen .................................................... 74
Haupteffekte, Mischungsplan ........................... 49
Hauptkomponenten .......................................... 74
Hauptkomponentenanalyse .......................74, 75
Herstellungsgrenzwert ..................................... 54
Herstellungsprozess ........................................ 83
Heterogenitätsmaß .......................................... 79
hierarchisch agglomeratives Verfahren ........... 80
hierarchische Analyse ...................................... 25
hierarchische Methoden................................... 79
Histogramm .................................... 120, 122, 129
historische Daten ....................................... 64, 67
Hochrechnung Schichtlinie ............................ 168
House of Quality .............................................. 23
hypergeometrische Verteilung ............... 117, 174
Hypothesentest ................................................ 99
Hypothesentests-Übersicht ............................ 119
IDOV
9
IMPROVE SixSigma ........................................ 11
Inbetriebnahme .............................................. 169
Inclusions, D-Optimal ....................................... 53
Inspektion ....................................................... 142
Intensitäts-Beziehungs-Matrix ......................... 17
Intervallzensierte Daten ......................... 142, 147
Ishikawa 13, 20
ISO 22514 ........................................................ 90
Isoplot 39
Kälte
166
kammförmige Verteilung ................................ 123
kategoriale Faktoren ........................................ 50
kategoriale Merkmale Clusteranalyse .............. 82
Kerbwirkung ................................................... 124
Kick-Off Meeting .............................................. 11
Klassierung .................................................... 120
Klassierung, diskrete Regression .................... 69
Klassierungsfehler Histogramm ..................... 123
Kleppmann ....................................................... 70
Kleppmann, DoE-Wiederholungen .................. 51
K-Means-Verfahren.......................................... 79
Koeffizient, Regression .................................... 56
Kollektiv (Lastwechsel-) ................................. 159
Kolmogoroff-Smirnow .................................... 107
Kolmogoroff-Smirnow-Anpassungstest ......... 105
Kombination Weibull-Wöhler ......................... 161
Kombinationen Parameter ............................... 17
Kommutator, Verschleißbeispiel .................... 157
Kompensationseffekt, Fehlerfortpflanzung ...... 93
Komponente, PLS ............................................ 77
Komponenten in DoE ....................................... 48
Komponenten, Mischungspläne ...................... 48
Komponententausch ........................................ 33
Komponenten-Zuverlässigkeiten im System . 150
Konkurrierende Ausfallmechanismen ............ 135
Konstruktionsmerkmale, Verteilungen ............. 85
Konsumentenrisiko, Hypothesentests ............. 99
Kontingenztafel ...................................... 115, 117
Koordinatensystems, PCA ............................... 74
Korrektur des Prozesses.................................. 96
Korrelation, historische Daten .......................... 67
Korrelation, kategoriale Faktoren ..................... 50
Korrelations Ladungen ..................................... 77
Korrelationsdiagramm, Shainin ........................ 38
Korrelationskoeffizient................................ 61, 79
Korrelations-Ladungen..................................... 75
Korrelationsmatrix ............................................ 24
Korrelationsmatrix, Clusteranalyse .................. 79
Korrelationsrechnung ....................................... 55
korrelierende Daten ......................................... 67
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
korrelierende Daten, PLS ................................. 76
Kreuzvalidierung .............................................. 78
Kriterium Bewertungsmatrix ............................. 23
kritischer Verschleißpunkt .............................. 158
Krümmung Weibull-Kurve .............................. 137
KS-Test 105
kubischer Ansatz, DoE-Modell ......................... 41
kubisches Modell .............................................. 46
Kunde 54
Kundenanforderung QFD ................................. 23
Kunststoff Temperaturabhängigkeit ............... 164
Kurvendiagramm .............................................. 58
Kurvenpaare, Wechselwirkungen .................... 59
Kurzzeitfähigkeitsuntersuchung ....................... 86
Kurzzeitfestigkeitsbereich .............................. 159
Labortests ...................................................... 139
Lack of Fit ......................................................... 61
Ladungs-Vektor PLS ........................................ 76
Laplace-Verteilung ......................................... 176
Larson-Nomogramm ...................................... 152
Lastkollektiv,
Raffungstest ............................................... 163
Lastpunkte, Wöhler ........................................ 162
Lastwechsel Wöhler ....................................... 159
Lastwechselzahl Wöhler ................................ 160
Latent Variables ............................................... 75
Laufstrecke ..................................................... 144
Laufstreckenverteilung ................................... 145
Laufzeiten, Sudden Death ............................. 139
Lauster 154
Least-Square-Methode, Weibull .................... 132
Lebensdauerende, Verschleiß ....................... 158
Lebensdauerhochrechnung ........................... 157
Lebensdauertest, Sudden-Death ................... 139
Lebensdauerversuche...................................... 11
Lebensdauerversuche, Zuv-Indikatoren ........ 166
Leitfaden-Tabellen ......................................... 178
Levene’s Test ................................................. 111
Likelihood-Funktion .......................................... 72
lineare Regression ........................................... 56
lineares Modell, Multiple Regression ............... 57
linearisierte Weibull-Skalierung ...................... 132
Linearitätstest ................................................. 114
linkszensierte Daten ...............................142, 147
Log Likelihood .................................................. 72
Logarithmieren Normalverteilung ................... 123
logarithmischer Maßstab Weibull ................... 131
Logistik-Verteilung.......................................... 176
logistische
Verteilungsfunktion ...................................... 71
logistische Regression ................................... 176
Logit-Modell ................................................70, 71
Lognormalverteilung................ 85, 127, 135, 171
Lognormalverteilung, Prozessfähigkeit ............ 84
lokales Optimum .............................................. 80
Lötstellen ........................................................ 167
Mann Test ...................................................... 110
Maschine, Einfluss Wirkdiagramm ................... 14
Maschinenfähigkeitsuntersuchung ................... 86
Maßkette 93
Material, Einfluss Wirkdiagramm ..................... 14
Materialeigenschaften ...................................... 54
35
Materialeinfluss Wöhler.................................. 161
Material-Einfluss, Systemanalyse .................... 20
mathematisches Modell D-Optimal .................. 48
Matrixdiagramm ............................................... 22
Matrix-Struktur ................................................. 13
Matrizenform Regression ................................. 57
Maxima Optimierung ........................................ 64
Maximum-Likelihood .............................. 143, 151
Maximum-Likelihood, Weibull ........................ 132
Maximum-Likelihood-Methode . 72, 125, 126, 142
Max-Likelihood-Methode ............................... 137
MEASURE SixSigma ....................................... 11
Median Box-Plot ............................................. 122
Median, Vorzeichentest ................................. 111
Median, Weibull ............................................. 146
Median-Rang ................................................. 132
mehrparametrige Normalverteilung ............... 124
mehrparametrige Verteilung .......................... 135
Mensch, Einfluss Wirkdiagramm ..................... 14
Messaufbau ..................................................... 60
Messfehler, Einfluss auf Regression ............... 62
Messmittelfähigkeit .......................................... 87
Messmittelfähigkeit diskret ............................... 91
Messmittelprüfung, Shainin ............................. 39
Messprozess .................................................... 91
Messsystemanalyse ............................. 87, 89, 90
Messung, Einfluss Wirkdiagramm ................... 14
Messunsicherheit ....................................... 89, 90
Messunsicherheit verringern ............................ 91
Methode, Einfluss Wirkdiagramm .................... 14
Methodenauswahl ............................................ 22
MFU
86
milde Ausreißer .............................................. 122
Mindestanforderung, Success Run ................ 154
Mindestzuverlässigkeit ................................... 154
Mindeszuverlässigkeit .................................... 155
Mind-Mapping .................................................. 10
Minimum Optimierung ...................................... 65
MIS
169, 170, 171
Mischungspläne ............................................... 48
Mischungspläne Auswertung von .................... 75
Mischverteilung .............................. 123, 124, 135
Mischverteilung, Weibull ................ 135, 136, 148
Mittelwerttest, Normalverteilt ......................... 108
Mittelwerttest, verteilungsfrei ......................... 110
Mittelwertvergleich ......................................... 100
Mittelwertverschiebung .................................... 83
Mitwelt, Einfluss Wirkdiagramm ....................... 14
ML-Methode ..................................................... 72
MnP
168
Mock
133
Modell-ANOVA ................................................. 62
Modellgleichung ............................................... 57
Modellgleichung grafisch ................................. 58
Modellschätzer, diskrete Regression ............... 71
Modellschwäche .............................................. 61
Modellterm ....................................................... 57
Monate nach Produktion ................................ 168
Montageeinfluss, Komponententausch............ 33
Monte-Carlo-Simulation ................................... 95
Month in Service ............................................ 169
Mood’s Median Test....................................... 109
36
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Morphologischer Kasten .................................. 10
MR
75
MSA
88
MSA 4 92
MTTF
146
Multiple Regression..................................57, 178
Multivariate Datenauswertung ......................... 74
Mult-Variations-Karte ....................................... 37
Näherungsformel............................................ 132
ndc
89
n-dimensionaler Versuchsraum ....................... 48
Netzwerkanalyse .............................................. 17
Nicht quantitative Zielgrößen ........................... 66
Nicht schadhafte Teile............................143, 147
nichtlineare Größen.......................................... 57
nichtlineare Zusammenhänge .......................... 54
nichtlinearer Weibull-Verlauf .......................... 137
Nichtlinearitäten, DoE-Modell .......................... 41
Nichtlinearitäten, Mischungspläne ................... 49
NIPALS 76
Normalverteilung ............................................ 120
Normalverteilung zensorisiert ........................ 126
Normalverteilung, Prozessfähigkeit ................. 83
Normalverteilung, Shapiro-Wilk Test ............. 105
Nullhypothese ..........................................99, 149
Nullhypothese, Alt gegen Neu ......................... 36
Nullhypothese, ANOVA .................................... 40
Nullhypothese, Hypothesentests ................... 102
Nullhypothese, Regressionssteigung ............... 63
Nullhypothese, Weibull-Vergleich .................. 149
Null-Modell ....................................................... 73
number of distinct categorie ............................. 89
Nutzungsbeginn .....................................169, 170
Nutzungszeit ..................................145, 169, 170
Oberflächenanalyse ......................................... 66
Objektdistanz, Clusteranalyse ......................... 79
OEG
96
one leave out .................................................... 78
optimale Einstellung ......................................... 65
Optimierung mehrere Zielgrößen ..................... 64
Ordnungszahl ................................................. 132
orthogonal ........................................................ 44
orthogonale Versuchsanordnung ..................... 44
OWG
96
paarweiser Vergleich........................................ 34
Palmgren-Miner .............................................. 159
Parameter ........................................................ 54
Paretoauswertung ............................................ 16
Pareto-Verteilung ........................................... 177
Partial Least Squares ....................................... 75
partitionierende Methoden ............................... 79
Passivsummen ................................................. 18
PCA
74, 75
Pearson, Korrelation nach ............................... 55
Percentil-Methode ............................................ 85
Boxplot ....................................................... 122
Perlschnurverfahren ....................................... 162
PFU
86
physikalische Ursache, Wechselwirkung ......... 59
physikalische Zusammenhänge ....................... 58
Placket-Burman-Versuchspläne ...................... 44
plötzlicher Tod ................................................ 139
PLS
75
Poisson-Verteilung ......................................... 173
Polynom Regression ........................................ 56
Positionsabhängigkeit, Multi-Vari-Karte ........... 37
Power, DoE-Wiederholungen .......................... 51
Power, Teststärke .......................................... 102
p-Regelkarte .................................................... 97
Principal Component Analysis ................... 74, 75
Priorisierung-Bewertung .................................. 22
Probit, diskrete Regression .............................. 71
Problemanalyse ............................................... 14
Problemorientierte Darstellung ........................ 15
Produktentstehungsprozess .............................. 9
Produkt-FMEA ................................................. 25
Produktionsmonate, Schichtlinie .................... 168
Produzentenrisiko, Hypothesentests ............... 99
produzierte Fahrzeuge ................................... 171
Prognose
Wahrscheinlichkeiten ................................... 70
Prognose - Regressionsmodell ........................ 76
Project Charter ................................................. 11
Prozessdaten Toleranzsimulation .................... 94
Prozessdokumentation .................................... 11
Prozessfähigkeit ............................................... 83
Prozessfähigkeitsuntersuchung ....................... 86
Prozessfähigkeitswert ...................................... 94
Prozess-FMEA ................................................. 25
Prozessparameter............................................ 54
Prozessregelkarte ............................................ 96
Prozessschwankung ................................ 19, 166
Prozessstreuung .............................................. 83
Prozessthemen, Wirkdiagramm ....................... 19
Prozessüberwachung ...................................... 11
Prozessveränderungen, Schichtlinie ............. 168
Prüfereinfluss, Messmittelfähigkeit .................. 91
Prüfintervall .................................................... 142
Pseudo Bestimmtheitsmaß .............................. 73
Pugh-Matrix ...................................................... 10
Pumpen 158
pure Error ......................................................... 62
p-value 63, 73, 78, 90, 100, 106, 108, 111,
116, 118, 177
QFD
23
QFD-Häuser ..................................................... 23
quadratische Terme ......................................... 57
qualitative Größen............................................ 50
qualitative Merkmale, Regelkarten .................. 97
qualitative Zielgröße......................................... 68
Qualitätsaussage ........................................... 153
Qualitätsregelkarte ........................................... 97
Qualitätsverständnis ........................................ 54
Quartil 122
Querbeziehung ................................................ 15
Querverbindung ......................................... 16, 21
Quote, diskrete Regression ............................. 70
Raffungsfaktor................................................ 155
Arrhenius ................................................... 165
Raffungsfaktor Bestimmung .......................... 163
Raffungstest ................................................... 166
Randgipflige Verteilung .................................. 123
Randhäufung Histogramm ............................. 123
Randsummen, Kontingenztafel ...................... 117
Rangfolge, Bewertungsmatrix .......................... 22
Rangfolge, U-Test .......................................... 110
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Rangkorrelation ................................................ 55
Rangkorrelationskoeffizient .............................. 55
Rangordnung paarweiser Vergleich ................. 35
Rangzahl, Sudden-Death ............................... 139
Rayleigh-Verteilung ..................................85, 177
Reaktionsgeschwindigkeit .............................. 164
reaktives Feld ................................................... 18
Rechner-Simulation....................................10, 95
Rechteckverteilung......................................... 123
Rechtskrümmung, Weibull ............................. 134
Rechtszensiert ............................................... 146
Redundanz ..................................................... 150
Regression, Linearitätstest ............................ 114
Regressionsansatz PLS ................................... 76
Regressionskoeffizienten, diskrete Regr. ........ 72
Reibleistung ................................................... 167
Reihenfolge, Alt gegen Neu ............................. 35
relative Häufigkeiten, diskrete Regression....... 70
Reproduzierbarkeit, Gütezahl Regression ....... 62
Residuen Messmittelprüfung ........................... 39
Residuen, Regression ...................................... 61
Residuen-Darstellung....................................... 60
Residuen-Matrix PLS ....................................... 76
Residuen-Vektor PLS....................................... 76
Restdicke, Verschleißbeispiel ........................ 158
Risiko, Hypothesentests................................. 102
Risikobewertung FMEA.................................... 25
Risikoprioritätszahl ........................................... 25
RMS-Error ........................................................ 64
robuste Entwicklung ....................................... 166
Rossow, Häufigkeiten nach ........................... 128
RPZ
26
Scamper 10
Schädigung, Wöhler ....................................... 159
Schädigungsgrad messbar ............................ 157
Scherkräfte ..................................................... 167
Schichteinfluss, Multi-Vari-Karte ...................... 37
Schichtlinie, Korrektur .................................... 171
Schichtlinien, Nutzungszeit ............................ 170
Schichtlinien, Produktionsdatum .................... 168
schiefe Verteilung ........................................... 123
Schnittstellen-Analyse, FMEA .......................... 25
schrittweise Regression ................................... 44
schwächstes Glied ......................................... 135
schwarz/weiß ................................................... 68
Score Plot ......................................................... 77
Scores 77
Score-Werte ..................................................... 74
Screening .............................................43, 44, 45
S-FMEA 25
Shainin 3
Shapiro-Wilk-Test........................................... 105
Shewhart 97
Sicherheitsanalysen ......................................... 29
sicherheitsrelevant ........................................... 25
Signal-Rausch-Verhältnis................................. 64
Signifikanzniveau, Alt gegen Neu .................... 36
Signifikanzniveau, DoE-Wiederholungen......... 51
SixSigma 9
Sollwert, Optimierung ....................................... 64
Spaltenprodukte, teilfaktorielle DoE ................. 43
Spannweite, Messsystemanalyse .................... 87
37
Spätausfälle ................................................... 131
SPC
96
Spearman ........................................................ 55
Spezifikation ..................................................... 83
sprödbrechend ............................................... 135
Sreening 52
Stahlbauteile, Festigkeit ................................. 161
Stakeholderanalyse ......................................... 11
Standardabweichung aus Toleranz ................. 94
Standardabweichung, Gesamtmodell .............. 64
Standardabweichung, Regelkarten .................. 96
Standardisieren, Datenspalten ........................ 64
Stärken-/Schwächen-Analyse .......................... 10
Startcluster ....................................................... 80
Statistische Tests ............................................. 99
Steigung Weibull .................................... 131, 161
Steigung Wöhler ............................................ 162
Steigungstest ................................................. 114
Sterbekurve .................................................... 137
stetige Verteilungen ....................................... 120
Stichprobe, kleine .......................................... 117
Stichprobe, unvollständiger Test ................... 139
Stichprobe, Weibull-Vertrauensbereich ......... 133
Stichprobengröße, Alt gegen Neu ................... 36
Stichprobengröße, Binomialansatz ................ 152
Stichprobengröße, DoE ................................... 51
Stichprobengröße, Hypothesentests ............. 103
Stichprobengröße, Mindestzuv. Vorkenntnisse
155
Stichprobengröße, Regelkarten ....................... 97
Stichprobengröße, Teststärke ....................... 102
Stichprobenkenngröße..................................... 96
Stichprobenüberwachung ................................ 11
stochastische Fehler ...................................... 131
Strategie
Taguchi ........................................................ 54
Streuung
Taguchi ........................................................ 54
Streuung Modell-ANOVA ................................. 61
Streuungen, Toleranzberechnung ................... 93
Streuungszerlegung ......................................... 40
Streuungszerlegung, Modell-ANOVA .............. 62
STR-Statistik .................................................. 115
Struktur Clusteranalyse.................................... 79
Strukturanalyse, FMEA .................................... 25
Student-Verteilung ......................................... 177
Stufenabstände D-Optimal .............................. 47
Success-Run .................................................. 151
Sudden Death Testing ................................... 139
Sum of Squares ............................................... 61
Summenhäufigkeit, Lognormal ...................... 127
Summenhäufigkeit, Normalvertlg. .................. 120
Summenhäufigkeit, Weibull ................... 129, 132
Symmetrie ...................................................... 111
Systemanalyse ........................................... 13, 17
systematische Fehler ....................................... 37
systematische Untersuchung ........................... 13
Systemelemente, FMEA .................................. 25
Systemzuverlässigkeit ........................... 150, 158
Tabellenfunktion Vollfaktoriell .......................... 42
Taguchi Methoden ........................................... 54
Taguchi Versuchspläne ............................. 44, 52
38
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
.................................................... 89
Teilevariation
teilfaktorielle Versuchspläne ......................42, 44
Teilmenge, Weibull-Verlauf ............................ 148
Teiloptimum ...................................................... 65
Temperaturabhängigkeit, Coffin-Manson....... 165
Temperatureinfluss, Lebensdauer ................. 164
Temperaturwechsel........................................ 166
Testbedingungen Weibull .............................. 161
Teststärke ...................................................... 102
Testzeit, Sudden-Death ................................. 140
Tetraeder, Mischungsplan ............................... 49
textliche Benennungen, Parameter DoE.......... 50
theoretische
Lebensdauer,
Verschleißhochrechnung ............................... 158
Toleranz Bezug auf .......................................... 83
Toleranz-Addition ............................................. 93
Toleranzberechnung ........................................ 93
Toleranzbereich, Regelkarte ............................ 96
Toleranzkette, Simulation................................. 94
Top-Event, FTA ................................................ 29
träges Feld ....................................................... 18
Transformation diskrete Regression ................ 70
Transformation, Weibull-Gerade .................... 137
Trennschärfe ..........................................102, 103
TRIZ
10
Tschebyscheff Distanz ..................................... 79
t-Test, 2 Stichproben ...................................... 108
t-Test, Korrelationskoeffizient .......................... 55
t-test, Vorgabewert ......................................... 109
t-Verteilung ..................................................... 177
Überlappung, Alt gegen Neu ............................ 36
Überschreitungsanteil, Prozessfähigkeit .......... 84
UEG
96
Umgebungsbedingungen ................................. 54
Unabhängigkeit korrelierende Daten ............... 55
Unabhängigkeitstest....................................... 116
Unabhängigkeitstest, Korrelation ..................... 55
uncontrolled factors .......................................... 18
Unempfindlichkeit ............................................. 54
unerklärte Abweichung, ANOVA ...................... 40
Unfälle, Abnahme Grundgesamtheit .............. 137
ungeordnete Daten .......................................... 79
ungeplante Versuche ....................................... 67
universelle Verteilung ..................................... 129
unsymmetrische Verteilung ............................ 123
unterscheidbare Kategorien ............................. 89
Unterzielgrößen ................................................ 18
unvermeidlichen Schwankungen ..................... 54
unvollständiger Test ...............................139, 151
u-Regelkarte ..................................................... 98
Ursachen-Wirkungsdiagramm ...................13, 15
U-Test 110
UWG
96
Variable Importance in the Projection .............. 78
Variablenselektion ............................................ 78
Varianz (erklärte) .............................................. 77
Varianz des Effektes ........................................ 51
Varianz, diskrete Regression ........................... 71
Varianz, Modell-ANOVA................................... 61
Varianzanalyse .........................................40, 113
Varianztest ..................................................... 111
VDA 5 90
VDI/VDE 2645 .................................................. 86
Verfahren 1, Messsystemanalyse .................... 87
Verfahren 2, Messsystemanalyse .................... 87
Verfahren 3, Messsystemanalyse .................... 88
Vergleich Neu gegen Alt .................................. 35
Vergleich von Verteilungen ............................ 149
vermengte Wechselwirkungen ......................... 43
Vermengung Histogramm .............................. 123
Vermengung, DoE ........................................... 44
Versagensmechanismen ............................... 125
Verschleiß, Beispiel Wirkdiagramm ................. 15
Verschleiß-Ausfallverhalten ........................... 134
Verschleißgrad ............................................... 157
Versuchsanzahl, DoE Überblick ...................... 52
Versuchsanzahl, D-Optimal ............................. 47
Versuchsanzahl, Hypothesentests ................ 103
Versuchsanzahl, kategoriale Faktoren ............ 50
Versuchsanzahl, Mischungspläne ................... 50
Versuchsanzahl, teilfaktoriell ........................... 43
Versuchsanzahl, Vollfaktoriell .......................... 42
Versuchspläne, Auswahlkriterien ..................... 53
Versuchspläne, Einführung .............................. 41
Versuchspläne, Parameterbestimmung........... 17
Versuchspläne, Übersicht ................................ 53
Versuchspunkte D-Optimal .............................. 48
Versuchswiederholungen, DoE ....................... 51
Verteilungsformen, Konstruktionsmerkmale .... 85
Verteilungsfreie Prozessfähigkeit .................... 85
verteilungsunabhängiger Test 2 Stichproben 110
Vertrauensbereich, Binomial .......................... 172
Vertrauensbereich, Kurvendiagramm .............. 58
Vertrauensbereich, Lack of Fit ......................... 62
Vertrauensbereich, Maschinenfähigkeit ........... 86
Vertrauensbereich, Minimierung D-Optimal..... 47
Vertrauensbereich, Mittelwert ........................ 121
Vertrauensbereich, Mittelwert Poisson .......... 173
Vertrauensbereich, Prozessfähigkeit ............... 84
Vertrauensbereich, Success Run .................. 153
Vertrauensbereich, t-Test .............................. 109
Vertrauensbereich, Varianzanalyse ............... 113
Vertrauensbereich, Vergleich Verteilungen ... 149
Vertrauensbereich, Weibull ............................ 133
Vertrauensbereich, Weibull-Parameter.......... 133
Vertrauensgrenze .......................................... 133
Vertrauensgrenze, WeiBayes ........................ 151
Verzugszeit .................................................... 171
Vibration 166
Vierfeld-Tabelle .............................................. 117
VIP
78
VoC
23
Voice of Customer ........................................... 23
vollständige Daten ......................................... 146
Vorinformationsfaktor ..................................... 155
Vorkenntnisse Zuverlässigkeit ....................... 154
Vorschädigung ............................................... 136
Vorschädigung, Weibull-Verlauf .................... 148
Vorzeichenrangtest ........................................ 111
Vorzeichentest ............................................... 111
Vorzugsrichtung, Daten ................................... 67
Wahrscheinlichkeit diskrete Regression .......... 69
Wahrscheinlichkeit, Alt gegen Neu .................. 36
Wahrscheinlichkeitsbereich Wöhler ............... 161
Wahrscheinlichkeitsdiagramm, Weibull ......... 132
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Wahrscheinlichkeitsdichte, Binomial .............. 172
Wahrscheinlichkeitsdichte, Normalv. ............. 120
Wahrscheinlichkeitsnetz................................. 120
Wahrscheinlichkeitsverhältnisse ...................... 70
Wald-Test ......................................................... 73
Warngrenzen .................................................... 96
Wechselwirkung ...................................21, 52, 68
Wechselwirkung Messsystemanalyse ............. 89
Wechselwirkung, eindeutige Ermittlung ........... 47
Wechselwirkung, grafische Darstellung ........... 59
Wechselwirkung, höhere .................................. 47
Wechselwirkung, Regressionsmodell .............. 57
WeiBayes ...............................................151, 156
Weibull in Schichtlinien .................................. 169
Weibull-Dichtefunktion ................................... 129
Weibull-Parameter ......................................... 132
Weibull-Verteilung .......................................... 129
Whiskers 122
Whitney Test .................................................. 110
Wichtung PLS .................................................. 76
Wichtungsvektor PLS ....................................... 76
Wiederholbarkeit, Gütezahl Regression .......... 62
Wiederholungen, DoE ...................................... 51
Wiederholungen, Komponententausch ............ 33
Wilcoxon 111
Wilcoxon Test................................................. 110
Wilk
105
Wirkreihenfolge ................................................ 15
Wirkstärke ........................................................ 16
Wirkungen ........................................................ 21
Wirkungen, Systemanalyse ............................. 17
39
Wöhler, Raffungstest ..................................... 163
Wöhlerdiagramm.................................... 159, 160
Wöhlergerade ................................................ 162
Wölbungstest ................................................. 115
Wunschfunktion, Optimierung .......................... 65
Zeichentest .................................................... 111
zeitabhängige Ausfälle ................................... 131
Zeitfestigkeitsbereich, Wöhler ................ 159, 161
zeitlicher Einfluss, Multi-Vari-Karte .................. 37
Zeitraffung,Lebensdauer ................................ 164
zensiert 126, 142
zensorisiert ..................................................... 142
zensorisierte Normalverteilung ...................... 126
zentral zusammengesetzter Versuchsplan ...... 46
Zentralwert Box-Plot ...................................... 122
Zentrumspunkt, DoE ........................................ 46
Zielgröße 54
Zielgröße, Systemanalyse ............................... 20
zufällige Verteilung
Toleranzberechnung .................................... 95
Zufallsausfälle ................................................ 131
Zufallsgrößen multiplikativ ............................. 127
Zugversuche .......................................... 124, 125
Zusatzversuche, D-Optimal ....................... 47, 51
Zuverlässigkeits-Indikatoren .......................... 166
zweigipflige Verteilung ................................... 123
²-Anpassungstest ......................................... 107
²-Homogenitätstest....................................... 115
²-Mehrfeldtest ............................................... 116
²-Verteilung .................................................. 175
40
Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmethoden
Taschenbuch
der statistischen Qualitätsund Zuverlässigkeitsmethoden
Auflage 1
© 2013 C. Ronniger