Stetige Verteilungen

Stetige Verteilungen
Das Uhrenbeispiel
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Interpretationen
Mittelwert und Streuung
Ende
Das Uhrenbeispiel
die Tick -Tack – Uhr
die Summ - Uhr
Menü
Das Uhrenbeispiel
die Tick -Tack – Uhr
auf einem Ziffernblatt
mit 60 Unterteilungen
(zwischen 0 und 59)
springt ein Sekundenzeiger
von Sekunde zu Sekunde
die Summ - Uhr
auf einem Ziffernblatt
mit 60 Unterteilungen
läuft ein Sekundenzeiger
stetig um
Uhr
Menü
die Tick – Tack – Uhr
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufälligen Blick auf diese Uhr
der Sekundenzeiger genau auf 20 steht?
1
es gibt die Möglichkeiten
0 bis 59,
k   davon,
u (k ) daher
20 W
ist eine
60
W k  20   u (20) 
1
60
der Sekundenzeiger höchstens auf 39 steht
 1Möglichkeiten 0 bis 59,
es gibt kdie
weil es die 0 gibt
0 bis 3960
sind 40 davon, daher
U k  
U 39  u (0)  u 1    u 39 
40
60
der Sekundenzeiger zwischen 21 und 50 steht
k
k
es U
gibt
die
Möglichkeiten
0 bis 59,
k    u i   1
21 bis 50 isind
30i davon,
daher
0
0 60
W 21  k  50  u (21)  u 22    u 50  
Uhr
Menü
30
60
die Summ - Uhr
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufälligen Blick auf diese Uhr
der Sekundenzeiger genau auf 20 steht?
die überstreichbare Fläche geht von 0 bis 60,
20 ist ein Punkt davon, daher ???
0
W x  20   ?????

der Sekundenzeiger höchstens auf 40 steht
die überstreichbare Fläche geht von 0 bis 60,
höchstens 40 heißt zwischen 0 und 40,
das sind 40/60 dieser Fläche, daher
der Sekundenzeiger zwischen 20 und 50 steht
die überstreichbare Fläche geht von 0 bis 60,
20 bis 50 sind 30 Einheiten dieser Fläche, daher
Uhr
40
W ( x  40)  U 40  
60
W 20  x  50
30
 U 50  U 20 
60
Menü
die Summ - Uhr
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufälligen Blick auf diese Uhr
der Sekundenzeiger genau auf 20 steht?
was ist jetzt u(20) ?????
0
W x  20   ?????

der Sekundenzeiger höchstens auf 40 steht
x
U x  
für x  0,60
60
der Sekundenzeiger zwischen 20 und 50 steht
40
W ( x  40)  U 40  
60
W 20  x  50
30
 U 50  U 20 
60
Uhr
Menü
die Dichtefunktion u(x)
was ist jetzt u(20) ?????
mittlereWa hrscheinli chkeit
23 20

W23,20 U23  U20 60 60 1




3
3
3
60
wir ziehen jetzt das Intervall auf die
Länge 0 zusammen und schauen
was geschieht:
Ux  x   Ux 


u x  lim
x 0
wir wissen:
U(x) ist die Verteilungsfunktion
und
gibt die Wahrscheinlichkeit an,
dass der Zeiger
zwischen 0 und x steht
bei uns ist U(x) = x / 60
x
he, das kennen wir schon, das ist:
und daher:
x
dU( x )
u(x) 
dx
Ux    u t dt
0
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stetige Verteilung
f(x) ist eine
Wahrscheinlichkeitsdichte
im reellen Intervall [a, b]
F(x) ist die Verteilungsfunktion
d.h. jeder beliebige reelle Wert
zwischen a und b ist für x möglich.
f(x) hat einen Wert, der nicht als
Wahrscheinlichkeit interpretiert
werden kann
F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an,
dass die Zufallsvariable einen Wert
zwischen a und x annimmt.
oder höchstens x beträgt
Interpretationen
diskrete Verteilung
k stammt aus einer abzählbaren
Menge {0, …, b} mit n Elementen
f(k) gibt die Wahrscheinlichkeit
an, dass genau k Ereignisse
eintreffen
stetige Verteilung
x stammt aus einem reellen
Intervall [a, b]
f(x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte und
kann nicht als Wahrscheinlichkeit
interpretiert werden.
f(x) ist die 1. Ableitung der
Verteilungsfunktion F(x).
F(k) gibt die Wahrscheinlichkeit
an, dass zwischen 0 und k
Ereignisse eintreffen
F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit
an, dass der Wert der
Zufallsvariable zwischen a und x
liegt
F(k) ist die Summe aller
Einzelwahrscheinlichkeiten f(i),
wobei i von 0 bis k läuft
F(x) ist das Integral über f(x) mit
der Normierung:
F(a) = 0 und F(b) = 1
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Mittelwert und Streuung
diskrete Verteilung
stetige Verteilung
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
Mag. Wolfgang Streit