Kondensatoren
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Grundlagen der ET UniBw München WT 2008 Viel Spass 1 Zuerst ein paar Worte zu Plasmen… • Plasmen sind der sog. 4. Agregatzustand – Fest – Flüssig – Gasförmig • Dissoziiertes Gas – Moleküle werden in Atome aufgespalten – Plasma (99.9% des Universums) T • Elektronen lösen sich aus dem Atomverband • Elektrisch leitfähiges “Gas” entsteht • Ähnlich wie in der Festkörperphysik (Leiter, Halbleiter) Anwendungen: Materialherstellung/-bearbeitung, Umwelttechnik, Beleuchtung, Antriebe, Fusion…… 2 Schubmessungen bei JPL…wo WARP drive ernst genommnen wird • Modifiziertes Design wurde bei JPL getestet PositionCurves 0.06 24V TTL trigger position (a.u.) 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -20 -10 0 10 20 30 40 time (s) Schubmessungen in diesem Bereich (uN) werden in einer Vakuumkammer auf einem waagerechten Pendel ausgeführt, dessen Auslenkung mit Interferometrie bestimmt wird 3 Hurra, wir haben ein Triebwerk gebaut …und das alles durch Elektrotechnik 4 Mathe - Vektoren Wir bewegen uns im 3-D Raum Zeiger nach x,y,z = Ortsvektor k y x,y,z Länge des Vektors: k z Definiere Einheitsvektor: x2 y 2 z 2 k0 k k x 5 Mehr Vektoren • Kreuzprodukt Recht-Hand-Regel Komponentendarstellung Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben: Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R3 kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren: wobei sin(θ) der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels θ, der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor, und , die jeweilige Länge (Betrag) der Vektoren sind. 6 Meer Vektoren • Skalarprodukt Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt) ist eine mathematische Funktion. Es berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren nach der Formel Komponentendarstellung 7 Aus Blume, Theorie elektromagnetischer Felder, Verlag Hüthig 8 Integrale A=S (f(x1)+f(x2))/2) Dx y=f(x) x1 x2 x2 Linienintegral: I f ( x)dx F ( x) x2 x1 x1 9 Integrale z Flächenintegral: v y A Massefluß F F= ·v·A x Normalenvektor n A A‘ F lim DA v DA v n A Flächenvektor A=nA DA v A v DA F v dA DA A Durchströmte Fläche A‘=Acosa a v F v dA 0 A Quellenfrei F v dA A Geschlossene Fläche 10 Physikalische Größen usw. • Die Technik verwendet physikalische Gesetze … ….u.a. dargestellt in der Form von mathematischen Gleichungen in denen physikalische Größen miteinander verknüpft werden. Kraft = Masse x Beschleunigung Phys. Größe Formelzeichen Einheit Kraft F N (Newton) Masse m kg (kilogramm) Beschleunigung a m/s2 Grundgrößen Abgeleitete Größe(n) 11 Physikalische Größen usw. • Dimension und Einheit – l1=1km, l2 = 1 mile • Gleiche Dimension (Länge), verschiedene Einheit • Größengleichung und zugeschnittene Größengleichung – F=m a [N=kgm/s2] …macht Sinn – Bremsweg: x=(v/10)2 m (=) m2/s2 ….benutzbar 12 Inhalt 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Das statische elektrische Feld Bewegliche Ladungen im elektrischen Feld Zweipole Analyse linearer Netze Das statische Magnetfeld Zeitlich veränderbares Magnetfeld Induktion Literatur u.a. Bosse, Mecklenbräuker, Grundlagen der ET 13 Kapitel 1: Elektrostatik Was macht eine Ladung? 14 1.0 Das statische elektrische Feld Wofür brauch ich das Zeuch • Beispiele für den Gebrauch von Elektrizität Stark vereinfachende Darstellung eines Helium-Atoms: Zwei Elektronen (gelb) umgeben einen Kern aus zwei Protonen (rot) und zwei Neutronen (grün). 15 1.0 Das statische elektrische Feld Definition 1) 2) +++++- 3) ++ ++ +- ++ ++ +- - F Q = Ladung [C] + e=1,6E-19 C Charles Augustin de Coulomb 1736-1806 16 17 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential, Spannung Der Effekt des elektrischen Feldes Ist vergleichbar mit dem Schwerefeld Jetzt brauchen wir nur noch negative Masse ….. F12 F12 r012 c Coulomb Gesetz Q1 Q1 Q2 Q2 r12 F21 r12 2 r012 c Q1 Q2 r12 3 r12 F12 1 Q1 Q2 F12 r012 ; Newtonsche Gravitationsgesetz 2 4 0 r12 F 12 0 8,85 10 M 1 C M 2 2 12 2 1 C r 2 2 012 rN m 4 9 109 N m2 12 Dielektrizitätskonstante 18 1.0 Das statische elektrische Feld Produktion des elektrischen Feldes Q1 Q2 r F1 F2 Q1Q2 F f 2 r Kraft auf Q1, produziert von Q2 Q1 Q2 r F2 Q1·E(Q2) fQ2 F1 Q1 2 r Feld produziert von Q2 Q2 fQ2 E2 2 r F=Q1E2 19 1.0 Das statische elektrische Feld Definition des elektrischen Feldes q Def.: Elektrische Feldstärke Q E rA Aufpunkt rA q Kraft auf Ladung q amOrt rA Ladung q = Ort der Wirkung = Ort, an dem Feld betrachtet wird = Ort, wo Kraft auf Probeladung q wirkt Quellpunkt rQ dim( F ) Fq rA dim( Masse ) dim( Länge) dim( Zeit ) 2 = Ort der Ursache = Ort der felderzeugenden Ladung dim( E ) dim( Masse ) dim( Länge) dim( Zeit ) 2 dim( Ladung ) 20 1.0 Das statische elektrische Feld E-Feld einer Punktladung r12 Q1 Q2 1 F12 r012 2 4 0 r12 Q2 Q1 rA Q1 Q , r1 rQ ; Q2 q , r2 rq rA ; r12 r2 r1 rA rQ rQA ; r012 r0QA rQ F12 FQq Fq rA 1 Qq r0QA 2 4 0 r QA E (rA ) Fq rA q 1 Qq 4 0 r 2 QA rA rQ 1 1 Q Q r0QA r0QA ; 2 3 q 4 0 r r 4 0 r r A Q A Q 21 1.0 Das statische elektrische Feld E-Feld einer Punktladung Wat is dat denn? Q1 22 1.0 Das statische elektrische Feld Produktion des elektrischen Feldes - Superposition Das Feld von mehreren Ladungen ist die Summe der Einzelfelder Ftot F1 F2 F3 n Fres F Q1 1 E2 E3 Q3 E1 Q2 Etot E1 E2 E3 n Eres E 1 23 1.0 Das statische elektrische Feld Ladungsverteilung, -dichten In einem festen Volumen/Fläche ergibt sich eine Ladungsdichte Eine Anzahl von Ladungsträgern produziert eine Ladungsverteilung Linienladung Q entlang einer Strecke l (gleichmäßig verteilt) Q1 Q2 Linienladungsdichte: Q/l falls Dichte bekannt: Q dl l Q3 Flächenladung Q auf einer Fläche A Q/ A Ortsabhängig Übergang nach DA: DQ / DA Flächenladungsdichte: falls Dichte bekannt: DQ dQ ( P) lim A0 DA dA Q dA A 24 1.0 Das statische elektrische Feld Ladungsverteilung, -dichten Eine Anzahl von Ladungsträgern produziert eine Ladungsverteilung In einem festen Volumen/Fläche ergibt sich eine Ladungsdichte Volumenladung Q in einem Volumen V Q1 Q2 Q3 Q /V Ortsabhängig Übergang nach DA: DQ / DV Volumenladungsdichte: DQ dQ ( P) lim DV 0 DV dV falls Dichte bekannt: Q dV V 25 1.0 Das statische elektrische Feld Arbeit im elektrischen Feld Arbeit im elektrischen Feld Nimmt Energie aus dem Feld auf W=+ DW=Ds·F·cosj Ds j F Benötigt Energie W=- Skalarprodukt Nice applet: http://www.slcc.edu/schools/hum_sci/physics/tutor/2220/e_fields/java/ 26 1.0 Das statische elektrische Feld Arbeit im elektrischen Feld DW=Ds·F·cosj DW= FxDx+FyDy+FzDz DW= Q (ExDx+EyDy+EzDz) Now imagine…..E=f(Ds) Ds j F (Fx,Fy,Fz) (Dx,Dy,Dz) E rA Fq rA Q N N v 1 v 1 W DWv Q Ev Dsv E N W Q ( E xv Dxv E yv Dyv E zv Dzv ) v 1 27 1.0 Das statische elektrische Feld Arbeit im elektrischen Feld N W Q Ev Dsv v 1 Für große Genauigkeit N und Ds b b Linienintegral W Q E ds a a xb yb zb xa ya za W Q( Ex ( x, y, z )dx E y ( x, y, z )dy Ez ( x, y, z )dz ) 28 1.0 Das statische elektrische Feld Arbeit im elektrischen Feld - Beispiel rA Q1 q q rb rb ra ra Wab q E (r ) dr q E (r ) dr rb E (r ) rb 1 4 0 Wab q E (r )dr q ra Q 2 f ( r ) E ( r ) E ( r ) E (r ) , ra ra , rb rb r Q 4 0 rb ra 1 Q ( 1) dr q r2 4 0 r rb ra qQ 1 1 Wab 4 0 ra rb Energieaufnahme oder –abnahme ? 29 1.0 Das statische elektrische Feld Arbeit im elektrischen Feld - Wegunabhängigkeit ra Waab rb qQ 1 1 q E ( r ) dr q E ( r ) dr 4 0 ra rb ra ra 0, da E dr q E dr ( ra ra ) qQ 1 1 4 0 ra rb Q rb Wabb rb qQ 1 1 q E ( r ) dr q E ( r ) dr 4 rb 0 ra ra rb E dr Waa b Wabb Wab Im elektrostatischen Feld E (r ) ist die Arbeit Wab 0, da E dr ( rb rb ) qQ 1 1 4 0 ra rb (auf beliebigem Weg) bei Verschiebung einer Ladung von der Wahl des Weges ra rb unabhängig 30 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential, Spannung Annahme: W(a→b)>W(a→b) b b Das wäre super: Energie umsonst, E E Doch leider….. a a E ds 0 = wirbelfrei E befindet sich in einem Gleichgewichtszustand, ohne jede Energiezufuhr. STATISCHES FELD 31 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential, Spannung Elektrische Spannung = Arbeit zwischen rA und rB, die bei der Verschiebung der Ladung q geleistet wird, dividiert durch die Ladung q r QA rb rb U ab Wab q qE (r ) dr ra rb U ab E (r ) dr q ra Wab qU ab 1.Linienintegral über elektrische Feldstärke E 2.Definiert durch 2 Punkte 3.Wegunabhängig 4.Skalar mit Zählpfeil von ra nach rb 32 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential, Spannung Wab=Quab m 2 kg 1V (Volt ) 1 2 sC dim( Masse ) dim( Länge) 2 dim( Spannung ) dim( Zeit ) 2 dim( Ladung ) Guiseppe Anastasio Volta 1745-1827 Erfinder der Batterie 33 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential, Spannung Potential: V ( ra ) U ra rp Wra rp q rp E (r ) dr ra Definition: Das elektrische Potential V(ra) (Aufpunkt) ist die Spannung Urarp zwischen diesem Ort ra und einem Bezugspunkt rp, dem das Potential V(rp) = 0 zugeordnet wird Skalar: Einheit [V] Spannung=80kV Potential=20kV Potential = 0 Potential=100kV Spannung=100kV 34 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential, Spannung V (ra ) U ra rp Potential: Potential V (ra ) in der Umgebung einer Punktladung Q am Ort rQ q rp E (r ) dr rA rA Q im Ursprung Q V (rA ) rA Q 4 0 rp rA E (r ) dr ra 1 V rA r r3 Q 4 0 r r 3 Q rp rA dr r E rp (Festlegung V ( rp ) 0 ) rp V (rA ) Wra rp dr Q 4 0 (r rQ ) dr Q r dr 4 0 r3 rp rA r Q 1 1 p dr ( 1) 4 0 r rA r2 nur vom Betrag r abhängig V ( rA ) rQ 0 1 Q 4 0 rA V (rp ) 0 V (rA ) 1 Q 4 0 rA rQ V (rp ) 0 rp V (rp ) 0 35 1.0 Das statische elektrische Feld Produktion des elektrischen Feldes - Superposition Das Feld von mehreren Ladungen ist die Summe der Einzelfelder Etot E1 E2 E3 n n Eres (rA ) E (rA ) 1 Q1 E2 E3 Q2 1 rp rp rA rA 1 Q 1 4 0 rA r n n 3 (rA r ) rp Vres (rA ) Eres (r ) dr E (r ) dr Eres (r ) dr 1 rA V ( rA ) rA Q3 E1 n Vres ( r ) V ( r ) 1 36 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential-E-feld Dr dr 0 rp V (r1 ) E (r ) dr DV dV 0 dV E (r ) dr r1 rp V (r2 ) E (r ) dr r2 Potentialdifferenz: rp rp r2 rp r2 r1 rp r1 DV V (r2 ) V (r1 ) E (r ) dr E (r ) dr E (r ) dr E (r ) dr r2 rp E (r ) dr E (r ) dr r rp 1 r2 r1 D r E (r ) dr E r1 Dr r1 vgl .: X 2 X1DX f ( x ) dx f ( x1 )Dx X1 37 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Potential-Spannung Zerlegung rb rp rb rp rp ra ra rp ra rb U ab E (r ) dr E (r ) dr E (r ) dr E (r ) dr E (r ) dr V (ra ) V (rb ) Vorzeichenumkehr U ab V (ra ) V (rb ) Spannung = Potentialdifferenz 38 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Maschengleichung U13 V1 3 U21 U32 U12 U32 U13 Eds V1 V3 1 V3 1 U 31 Eds V3 V1 U13 3 V2 3 2 Eds 0 1 Eds Eds Eds U 1 3 2 3 3 2 Eds Eds Eds U 1 2 13 U 32 U 21 13 U 23 U12 MASCHE: U 0 1 39 1.0 Das statische elektrische Feld bewegte Ladung im E-Feld, Äquipotentiallinien q Wir erinnern uns dunkel……… ra Q Waab rb qQ 1 1 q E ( r ) dr q E ( r ) dr 4 rb 0 ra ra ra 0, da E dr E dr ( ra ra ) qQ 1 1 4 0 ra rb Äquipotentialflächen (-linien) sind Flächen (Linien) auf denen das Potential V einen konstanten Wert hat: V ( r ) konst. E-Feldlinien schneiden Äquipotentialflächen senkrecht Metalle (sehr gute Leiter) enthalten kein E-Feld (sonst Ausgleichströme) überall gleiches Potential auch an Oberfläche = Äquipotentialfläche, aus der E-Feldlinien senkrecht austreten 40 1.0 Das statische elektrische Feld Größen, Einheiten (wo ist meine…) • Strom I = Ladungstransport/Zeit – 1A=1 C/1s André Marie Ampère (1775 - 1836) • Arbeit W=Q·u – 1J= 1C · 1V • Feld E=u/d [V/m] • Leistung P=W/t= u·I – 1W= 1V·1A 41 1.0 Das statische elektrische Feld 1.5 Der elektrische Dipol +Q F a x Drehmoment M = Kraft x Kraftarm E M=x·Q·E=b·sina·Q·E b -F b·Q=p (elektrisches Dipolmoment) -Q M +Q E M F p -Q M=pxE 42 1.0 Das statische elektrische Feld 1.5 Dipol – Kräfte auf… +Q 1) Fx Q( E ( x0 b) E ( x0 ) E p -Q 2) 3) Ex ( x0 ) Ex ( x0 b) Ex ( x0 ) b x +Q E x0 x0+b E Ex Ex Fx Qb p x x Flieg,Dipol,flieg 43 1.0 Das statische elektrische Feld 1.5 Dipol – Potential im Fernfeld +Q r1 a r r2 b Potential in Umgebung Punktladung 1) V (rA ) 1 4 0 rA rQ V (rp ) 0 2) Q VQ (r1 ) Q 4 r1 VQ (r 2 ) Q 4 r2 3) V (r ) Q Q 4 Q 4 r1 Q 4 r2 1 1 r1 r2 b r1 r cos a 2 b r2 r cos a 2 -Q 4) VQ / Q (r ) bQ cos a 2 4 r r>>b 1 1 r2 r1 b cos a b cos a 2 b r1 r2 r2 r1 r 2 2 r cos a 4 44 1.0 Das statische elektrische Feld Elektrische Materialeigenschaften, Dielektrizitätskonstante Versuch: n Ladungen Q Q1 Q1·E(Q2) 1) Vakuum, 2) isolierendes, homogenes Medium Messung von F qE Q1 Q1·E(Q2) Beobachtung: Abschwächung der Kraft F und damit des Feldes relative Dielektrizitätskonstante r E r Q2 + r Q2 + E + r ++- Q2 + E (dimensionslos) EVakuum EMedium EVakuum FVakuum FMedium FVakuum r r Q1 Q1·E(Q2) E 45 1.0 Das statische elektrische Feld Elektrische Materialeigenschaften, Dielektrizitätskonstante Q Beispiel: Feld EVakuum 0 0 r 1 4 0 E einer Punktladung im Vakuum und im Medium E Q 1 Q r0 EMedium Vakuum r0 r² r 4 0 r r² Dielektrizitätskonstante des Vakuums Dielektrizitätskonstante des Mediums 46 1.0 Das statische elektrische Feld Elektrische Materialeigenschaften, Dielektrizitätskonstante Argon 1,000504 Olivenöl 3 Gummi ~3 Wasser 81 47 1.0 Das statische elektrische Feld Produktion des elektrischen Feldes - Flußdichte Wie kommt da eine Feldstärke hin? Ladung schwebt im Raum Lichtfluß (D) Helligkeit (E) Ladung produziert (?) einen elektrischen Fluß Medium Fluß produziert abhängig von dem umgebenden Medium ein Feld E-Feld, d.h. andere Ladungen erfahren eine Kraft D E Elektrische Flußdichte Elektrische Feldkonstante/ DIELEKTRIZITÄTSZAHL 48 1.0 Das statische elektrische Feld Prod. E-Feld, Zusammenhang D, Q Ladung innerhalb einer Kugel Kugeloberfläche Ak fängt den gesamten kugelsymmetrischen Fluß ein, ist daher unabhängig von dem Radius der Kugel, hängt nur von Q ab. Beispiel: Punktladung Q im Vakuum und im Medium DVakuum 0 EVakuum 0 Q 1 Q 1 Q r0 r0 : D Medium 0 r E Medium r 4 0 r ² 4 r² 4 r² DVakuum DMedium D nur von Ladung , nicht von Mediumabhängig D 0 As² N As Ladung r E m² N As m² Fläche 49 1.0 Das statische elektrische Feld Prod. E-Feld, Zusammenhang D, Q Ladung innerhalb einer Kugel D zeigt radial nach außen Fluss dA zeigt radial nach außen Hüllfläche Kugelfläche D dA 1 Q r0 dAr0 4 r² r0 r0 1 1 Q dA 4 r² aus dem Integral , weil konst . 1 Q 4 r² Q dA 4 r² Q Kugelfläche 4 r² 4 r ² 50 1.0 Das statische elektrische Feld Prod. E-Feld, Raumladungsverteilung Allgemeiner: beliebige Hülle lim DA DAV N D DAv 0 N v 1 DV V DAV Q D dA Q A Q=SQv oder (r) …man kann auch sagen: für jede Ladungsänderung dQ im Innern muss man ein dQ auf einer aüßeren einschließenden (leitenden) Fläche verteilen, damit innerhalb des Leiter kein Feld ist 51 1.0 Das statische elektrische Feld Prod. E-Feld, Raumladungsdichte Qeingeschlossen DQ i Q=SQv oder (r) Raumladungsdichte DVi DQi i lim DVi 0 DV i Volumen V Qeing . lim DQi 0 n n DQ i 1 i n lim DVi 0 n DV dV i 1 D dA Qeingeschlossen Hüllfläche i i VolumenV dV VolumenV 52 1.0 Das statische elektrische Feld Prod. E-Feld, D auf Leitern Ladung Qeing. - auf elektrischen Leiter gebracht - verteilt sich auf Oberfläche 1.kein -Feld (bzw. -Feld) im Leiterinneren (sonst Ausgleichströme) 2.Leiteroberfläche ist Äquipotentialfläche 3.-Vektoren und -Vektoren stehen auf Flächenelementen dAi der Oberfläche E D dAi D dA Q Es gilt weiter: eing . Hüllfläche Leiteroberfläche Beispiel: Ladung Qeing. auf leitender Vollkugel r0 r0 1 Qeing . Kugeloberfläche damit: D Qeing . 4 r ² D dA D r dA r 0 D 0 dA D dA D dA konst . 4 r ² ( = Oberflächenladungsdichte des Leiters; Einheit As ) m² 53 1.0 Das statische elektrische Feld Prod. E-Feld, D auf Leitern Allgemeiner Satz: Bei allen beliebig geformten Leitern gilt: D Oberfläche ( OF ) DOF DOF Einheitsvektor Oberfläche 54 1.0 Das statische elektrische Feld Influenz – Erklärung D E-Feld mit Leiter -+-+-+-+-+ + +-+-+-++ +-+-+-++ +-+-+-++ +-+-+-++ +-+-+-+- +++ +++ +++ +++ ++ Leiter feldfrei d.h. inneres + äußeres =0 Daussen Leiter Q A Ladungstrennung möglich durch Trennen der Leiterteile 55 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität - Basis Plattenkondensator d +Q b -Q a Metallflächen sind i.A. auf konstantem Potential: Äquipotentialflächen +Q d D -Q D bzw. E senkrecht auf Leiter! Falls das nicht der Fall wäre, würden Ladungen bewegt kein statisches E-Feld D dA DA Q Q D A 56 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität Plattenkondensator d +Q b D dA DA Q D Q A -Q E D / 0 a +Q d D -Q Kapazität [C]=1Farad=1F=1As/V Q E 0 A d u Ed Q 0 A Q A C 0 u d 57 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität-allgemein C Q+ a Q u Qb C D dA A b E ds a Max I~110kA Q~90C U~100MV C~900nF t=800µs Energie? W=8.8GJ ~200 l Öl Durchschnittlicher Blitz ~10 l Heizöl 58 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität-Plattenkondensator Plattenkondensator d +Q b -Q a a=10 cm b=10 cm d=1 cm Inhalt=Luft C=? A C 0 88.54 pF d u 200V Q Cu 88.54 pF 200V 1, 77 108 C Das sind mal eben 1.215·1011 Elementarladungen 59 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität – linearität im Plattenkondensator y Q+ 10V 7.5V 5V 2.5V 0V Ey E Qy E dy E y j0 j y 0 Q y jy E y yu 0 A d 60 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität - Kugelkondensator Kapazität ? Q Q 1 1 Q dr u D 2 2 r0 r 44 4 0 r2 r1 r1 für r1 ≤ r ≤ r2 Q r2 r1 u Q E4 rr 04 r 2 1 2 r2 D r1 +Q r2 } 0 Q dr Q 1 1 uSpannung ?2 4 0 r 4 0 r2 r1 r1 Q r2 r1 1 2 u 4 0 r1r2 0 r2 rr Q C 4 u r2 r1 61 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität - Kugelkondensator r1 r2 r1r2 Q C 4 0 u r2 r1 Vergleiche mit: 1 ... 4 0 r1 r1 Q A 1 C 0 r2Plattenkondensator u Für r2>>r1 d C=40r1 Ergibt effektive A=4·r1r2 Kapazität einer Kugel 62 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität - Koaxialleitung 1 2 3 4 1. Seele beziehungsweise Innenleiter. 2. Isolation beziehungsweise Dielektrikum zwischen Innenleiter und Kabelschirm. 3. Aussenleiter (hier einmal ausgeführt). 4. Schutzmantel 63 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität - Koaxialleitung l D r1 D II Endflächen r D · dA=0 r2 D dA D 2 rl Q Für r>r1 und r>r2 SQ=0 E Q 2 0lr 64 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität – Koaxialleitung - Potentialverteilung r2 ur1,r 2 Qln E 2 0l r1 2 lr 0 2 Q 0l C ur1,r 2 ln(r2 / r1 ) Q u jr jr 2 u 2 0l r2 r E r r2 10V r2 Eds E dr r Ds Q l 0V r dx Q r2 ln x 2 0l r 6V r1 0V 2V r2 Inhomogenes Feld 65 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 Die Kapazität – Doppelleitung Hausaufgabe: Feld- und Potentialverteilung für 2 parallele Leitungen P Q r1 r2 -Q r0 l a a r0 u P ,0 r0 ur1,0 a ln ur1 u0 2 0l r1 ur 2,0 a Q ln ur 2 u0 2 0l r2 l Q Q a a ln ln 2 0l r1 r2 r0 ar2 u1,2 ln 0l r1 C 0 pF 5.25 (a 10cm, r0 1mm) 2 a l ln m r0 a Q 66 1.0 Das statische elektrische Feld 1.6 die Kapazität – beliebige ebene Elektrodenanordnung • Elektrische Felder- hervorgerufen durch zwei entgegengesetzt geladenen Elektroden – Feldlinien via Elektrodenanordnung D dA Q b E ds j (a) j (b) V V A Q a Q/2 Q/2 Q = Q Q = Q Q C Q Q 2 2 C C1 C2 u u u u u u 1 u 1 1 1 1 3 3 3 C Q Q Q Q C C1 C2 C3 67 1.0 Das statische elektrische Feld die Kapazität –mit geschichtetem Dielektrikum + + + + + + a Da b Db D dA Q - eing Da D A Db D A D Q D A ; Da Db D Ea Da a D a Q ; A Eb Db b D b ; Allgemeiner Satz: Die Normalkomponente von D an einer Grenzfläche ist stetig: Dna=Dnb (Hier nur Normalkomponente) da db U12 Ea d a Eb db d a db Q Q ; a b Aa A b D D 1 Ca U 12 1 1 1 Q C Ca Cb oder C 1 Cb Ca Cb ; Ca Cb (vgl. Serienschaltung von Kondensatoren) 68 1.0 Das statische elektrische Feld die Kapazität –mit geschichtetem Dielektrikum + + + + + + a Da Eb b Db - U Ea Eb 12 E d 2 E dr E d U 12 1 Die Tangentialkomponente von E an einer Grenzfläche ist stetig: Eta=Etb (Hier nur Tangentialkomponente) Da a Ea a E Db b Eb b E Da 1a Q1a Q ; Q1a Aa Da ; Db 1b 1b ; Q1b Ab Db ; Aa Ab Aa a Ab b Q1 Q1a Q1b U12 U12 d d Ca C Q1 Ca Cb U 12 Cb (vgl. Parallelschaltung von Kondensatoren) 69 1.0 Das statische elektrische Feld Kräfte und Energie im elektrischen Feld – Energie Kondensator Kondensator C ist mit Ladung Q (+Q auf Leiter1; -Q auf Leiter2) auf Spannung + + 1 + + + + dQ U12 - Q U C 2 aufgeladen. Um wieviel erhöhe ich die gespeicherte Energie bei Aufladung? Wieviel Energie ist gespeichert je Ladung Test: Aufladung um dQ b dWc a Verschiebung : Man erinnere sich: Wab Q E ds Q(j (a) j (b)) Q dWc dQ U 12 Arbeit an dQ Q Q 1 Q2 dQ ; Wc dQ ; C C C 2 0 dQ U 12 neg . Ladung dQ Q2 C U 2 Q U Wc 2C 2 2 70 1.0 Das statische elektrische Feld Kräfte und Energie im elektrischen Feld - Energiedichte Einführung der Energiedichte am Beispiel des Plattenkondensators: Energie Volumen Q U Wc 2 V Ad Energiedichte Wc 1 Q U 1 wel D E V 2 Ad 2 Allgemein gilt für die Energiedichte wel Plattenkondensator d A im E-Feld: E D D2 E 2 wel ; 2 2 2 71 2. Bewegte Ladungen 2.1. Beweglichkeit µ, elektrischer Strom I, elektrische Stromdicht j Definition der Beweglichkeit - + - Kraft des Feldes E + + - + - + - N Teilchen i=1bis N - - - qi Fi Ri qi E ri vi 0; vi E ri Reibungskraft i E; Signum ( q ) qi Beweglichkeit qi qi vi i ri E Driftgeschwindigkeit m m2 Vs V s m ; Geschwindigkeit el. Feldstärke 72 2. Bewegte Ladungen 2.1. Beweglichkeit µ, elektrischer Strom I, elektrische Stromdichte j vi qi E ri qi qi i E ; Strom = Teilchenfluß V Signum ( q ) dx Positiver Teilchenstrom dx=v+·dt + + + vx h A b Wieviele Teichen fliegen durch A? dN=n+·A ·vx · dt Strom I=dQ/dt=q+ ·dN/dt=q+ ·n+ ·A ·v+ 73 2. Bewegte Ladungen 2.1. Beweglichkeit µ, elektrischer Strom I, elektrische Stromdichte j Strom I=dQ/dt=q+ ·dN/dt=q+ ·n+ ·A ·v+ Technische Stromrichtung = positive Ladungsträger Negative Stromrichtung = Elektronen 74 2. Bewegte Ladungen 2.1. Beweglichkeit µ, elektrischer Strom I, elektrische Stromdichte j j=I/A j+=q+ ·n+ ·v+ j=j++j- j-=-e ·ne ·ve DA j I lim j DA DA 0 N DA j j DA [j]=A/m2 I j dA I j dA 0 A stationär A I j dA A Geschlossene Fläche 75 2. Bewegte Ladungen 2.1. Beweglichkeit µ, elektrischer Strom I, elektrische Stromdichte j I j dA 0 A Stationär – alles was reinkommt geht auch raus A dQ j dA dt Nichtstationär – wenn was rausgeht hat man drin weniger Beispiele: zeitlich veränderbarer Strom Aufladung Kondensator 76 2. Bewegte Ladungen 2.1. Beweglichkeit µ, elektrischer Strom I, elektrische Stromdichte j A j dA dQ d dt dt D d A A Für zeitlich konstantes A A dQ D j dA d A dt t A Eine Zeitänderung in der elektrischen Flußdichte wird zur „Stromdichte“ Verschiebungsstromdichte dD/dt D i ( j ) dA t A Leitungs- und Verschiebungsstrom 77 2. Bewegte Ladungen 2.1. Beweglichkeit µ, elektrischer Strom I, elektrische Stromdichte j D i ( j ) dA t A D 0 ( j ) dA t A Beispiel Kondensator: AD j j D i AD j A j t dD/dt Aj Hüllfläche 78 2. Bewegte Ladungen Stromzählpfeile j dA I>0 I j dA A j dA I<0 79 2. Bewegte Ladungen Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz qi vi E ri qi qi i E ; Signum ( q ) U v~E l I v~ j A U~I Proportionalitätskonstante R U=R·I Georg Simon Ohm (* 16. März 1789 in Erlangen; † 6. Juli 1854 in München) war ein deutscher Physiker 80 2. Bewegte Ladungen Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz j+=q+ ·n+ ·v+ und v E ve e E j-=-e ·ne ·ve j+=(q+ ·n+ ·µ++ e ·ne ·µe)E j E n Leitfähigkeit allgemein qi ni i i 1 LOKALES OHMSCHES GESETZ m 1 1 S As 3 V s m m m m Spezifischer Widerstand 1 81 2. Bewegte Ladungen Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz Widerstand von so einem homogenen Leiter l E A j U I j A E A E A Mit E=U/l A I U l 1 l l U I I A A R 82 2. Bewegte Ladungen Leistung und Leistungsdichte Wabi qi U ab Arbeit W an Ladung q von a nach b kleine Schritte dWi qi dU qi E dri Leistung=Arbeit/Zeit dWi dri Pi qi E qi E vi dt dt Verschiedene Teilchen ji pi ni Pi ni qi E vi ni qi vi E ji E n n i 1 i 1 p pi Leistungsdichte n ji E ji E j E i1 j j j2 p jE j E 83 2. Bewegte Ladungen Leistung und Leistungsdichte 1 2 l E Q A E=U/l 2 U W Q E d s QU 1 DQ I Dt DW DQ U I Dt U wichtig DW P UI Dt 84 2. Bewegte Ladungen Leistung – ein bisschen allgemeiner 1 2 l E Q U A DW P UI Dt U u (t ) Dt dt dQ / dt i (t ) DQ dQ P p (t ) DW dW dW dQ p(t ) u (t ) u (t ) i(t ) dt dt [ P] VA W (Watt ) t2 W p(t ) dt t1 85 2. Bewegte Ladungen Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz Skript Grundlagen der ET (Prof. Mentel, Bochum) 86 2. Bewegte Ladungen Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz Skript Grundlagen der ET (Prof. Mentel, Bochum) 87 2. Bewegte Ladungen Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands Kupfer a20 in [1/K] = 0,0039 Skript Grundlagen der ET (Prof. Mentel, Bochum) 88 2. Bewegte Ladungen Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz U=R·I I Farbe 1.Ring 1.Ziffer 2.Ring 2.Ziffer 3.Ring 3.Ziffer 4.Ring Multiplik ator 5.Ring Toleranz (%) 6.Ring TK (ppm) schwarz - 0 0 1 200 braun 1 1 1 10 +/- 1 100 rot 2 2 2 100 +/- 2 50 orange 3 3 3 1k 15 gelb 4 4 4 10 k 25 grün 5 5 5 100 k +/- 0,5 blau 6 6 6 1M +/- 0,25 violett 7 7 7 10 M +/- 0,1 grau 8 8 8 100 M +/- 0,05 weiß 9 9 9 1G U 56 kOhm, +/- 1% Toleranz gold 0,1 silber 0,01 5 10 89 2. Bewegte Ladungen/Gleichstrom Elektrischer Widerstand - Leistung U=R·I I P=U·I P=R·I2 U P=U2/R 56 kOhm, +/- 1% Toleranz 90
