Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen
PaedDr. Ján Gunčaga, PhD.
Lehrstuhl für Mathematik und Physik
Pädagogische Fakultät
Katholische Universität in Ružomberok
Slowakei
[email protected]
Relationen
Beispiel. Ich bereite mich auf das Abitur vor. Dazu
mache ich diesen Plan:
M-Mathematik, P-Physik, E-Englisch, D-Deutsch,
M
P
E
G-Geschichte.
D
G
Mo
Di
Mi
Do Fr
Relationen
Menge T = {Mo, Di, Mi, Do, Fr}
Menge F = {M, P, E, D, G}
Relation R = {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P], [Mi,D],
[Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, M]} (die geordnete
Paare)
Relation ist jede Teilmenge des Kreuzproduktes
der beiden Mengen (R  TF).
Abbildungen
A
B
f
verboten
Abbildungen
Eine Relation f nennen wir die Abbildung f: A  B,
wenn jedes Element xA genau ein Element yB
zum Partner hat. Wir schreiben statt [x, y] f
y = f(x).
R – reelle Zahlen
Im Fall, wenn A  R und B = R, die Abbildung f ist
die Funktion.
Abbildungen
A
B
f
Surjektion
Abbildungen
A
C
g
Injektion
Abbildungen
A
D
h
Bijektion
Die Mengen A und D sind äquivalent, A  D.
Natürliche Zahlen
wie Kardinalzahlen
S - das Mengensystem
Kardinalzahl A= {X  S ; X  A}
A= D
Natürliche Zahlen sind Kardinalzahlen von allen
Mengen, die endlich und nicht leer sind.
2
a
b
1
2
…
Natürliche Zahlen
wie Kardinalzahlen
Operationen und Anordnungen
Wenn A  B=  (Durchschnitt), dann
A+B= A  B(Vereinigung).
Die Kardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich dem
Produkt der Kardinalzahlen von A und B:
A.B= A  B
Wenn A  B* und B*  B, B*  B (eigene
Teilmenge), dann A  B.
Natürliche Zahlen als
Peano - Menge
Das Männchen von Giuseppe Peano
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Ein Modell für Peano – Axiome
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Das Männchen von
Giuseppe Peano
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Das Männchen von
Giuseppe Peano
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•Das Männchen lebt an einer Zahlengerade von den natürlichen
Zahlen.
•Es kann nur auf den natürlichen Zahlen vorwärts gehen.
•Es kann einen Schritt nur zur nächsten natürlichen Zahl
machen.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
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Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
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Das Männchen kann immer einen Schritt vorwärts von einer
natürlichen Zahl zur nächsten natürlichen Zahl machen.
Axiom Nr. 1: Jede natürliche Zahl a hat genau einen
(mindestens und höchstens einen) Nachfolger a´ in
der Menge von natürlichen Zahlen.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
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Das Männchen kann keinen Schritt vorwärts von einer
natürlichen Zahl zur natürlichen Zahl 1 machen.
Axiom Nr. 2: 1 kann kein Nachfolger für eine
natürliche Zahl sein (1 ist also die kleinste natürliche
Zahl).
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
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Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
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2 Männchen stehen auf zwei verschiedenen natürlichen Zahlen.
Sie machen einen Schritt vorwärts.
2 Männchen stehen wieder auf zwei verschiedenen natürlichen
Zahlen.
Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene natürliche Zahlen
haben auch verschiedene Nachfolger.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
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Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
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Das Männchen hat einen Topf mit roter Farbe vor sich.
Es steht auf einer natürlichen Zahl.
Es malt diese natürliche Zahl rot an.
Es macht einen Schritt vorwärts und es steht auf einer natürlichen
Zahl.
Es malt diese natürliche Zahl auch rot an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
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Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, es macht einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Regel für Mahlen
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1. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese
natürliche Zahl an.
2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt
vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese
natürliche Zahl an.
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen,
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Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen,
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Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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a
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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a´
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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a´
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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a´
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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a
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a´
Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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a
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a´
Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
Regel für das Männchen
und Peano - Axiome
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
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a
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a´
Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1
enthält; es gilt für jede Zahl: aus aM folgt a´M;
ist die Menge N selbst (M=N).
M
Natürliche Zahlen als
Peano - Menge
Operationen und Anordnungen
Addition:
a) x + 1 = x´
b) x + y = (x + y)´
Multiplikation:
a) x . 1 = x
b) x . y´ = x . y + x
Wenn für die natürlichen Zahlen a, b gilt: b = a +x und
x ist eine natürliche Zahl, dann gilt auch: a  b.
Das Männchen ist müde!
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Danke für Ihre Aufmerksamkeit!