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Moderne Experimente
der Kernphysik
Wintersemester 2011/12
Vorlesung 15 – 09.01.2012
Moderne Experimente der Kernphysik | Prof. Thorsten Kröll | Vorlesung 15
09.01.2012
1
Deformierte Kerne
Nilssonmodell
- deformiertes Schalenmodell Rotationen
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2
Deformierte Kerne – Parametrisierung der Oberfläche
• Entwicklung der Kernoberfläche nach Kugelflächenfunktionen (hier: nur
Quadrupolterm) im Laborsystem
• Wahl der Achsen des intrinsischen Koordinatensystems identisch zu den
Hauptträgheitsachsen der Ladungsverteilung (a21 = a2-1 = 0)
a0    cos 
a2  a2 
1
  sin 
2
prolat :
β  0, γ  0
oblat :
β  0, γ  60
triaxial :
β  0, γ  30
 – Quadrupoldeformation
 – Grad der Abweichung von axialer Deformation
prolat :
β  0, γ  0
oblat :
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β  0, γ  60
09.01.2012
3
Anisotroper harmonischer Oszillator
Deformation bricht sphärische Symmetrie!
Wir gehen vom 3-dim sphärischen (isotropen) harmonischen Oszillator (wx = wy = wz = w00)
über zu einem anisotropen harmonischen Oszillator mit Axialsymmetrie um z-Achse
(wx = wy  wz ):

wx  w y  w
wx  wy  wz  w
 
 
 w 1   
w  w0 1  13 
  0,95

w0  w00 1   
4
3
10
8
2
3
0

w2 x 2  w2 y 2
6
2
wz


m
  w2 x 2  y 2  w2z z 2
2m
2
2
2
wz2 z 2
V=m/2*w xi
H 
z
3
0
2
16
27


1
3 6
4
2
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
xi
Annahme: Kernmaterie ist inkompressibel ... Volumenerhaltung
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4
Qualitative Folgerungen für Einteilchenorbitale
Nukleonen, die sich in der x-y-Ebene bewegen haben eine höhere Energie (steileres
Potenzial) als solche, die sich in der z--Ebene (flacheres Potenzial) bewegen.
Einteilchenbild: Dies ist auch durch die kurzreichweitige
anziehende NN-Wechselwirkung verständlich, da Orbitale
in der z--Ebene mehr Überlapp mit der Dichteverteilung
des prolaten Kerns haben und daher mehr angezogen
werden.
Dies bedeutet folgendes:
• Aufspaltung der Einteilchenenergien
• Aufspaltung hängt von der Orientierung
des Drehimpulses ab
• Aufspaltung hängt also von K, der
Projektion von j auf die z-Achse, ab
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5
Nilsson-Modell
Schalenmodell mit einem anisotropen axialsymmetrischen harm. Oszi-Potenzial:
Hamiltonian
 
2
2
m 2 2
2
2 2
H 
  w x  y   wz z   C  L  S  D  L
2m
2
Dies kann man auch schreiben als:
 
2
2
m 2 2
4 4
H 
  w0 r  C  L  S  D  L  mw02 r 2 
Y20 ,  
m
2  
35
2

Schalenmod ell mit H.O. Potential
Hdef
Quadrupoloperator
Qˆ 2  r 2Y20 , 
.... Störungsrechnung
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6
Energien des deformierten harmonischen Oszillators
oblat
prolat
Neue Schalenabschlüsse bei
Achsenverhältnissen
2:1 (Superdeformation) bzw.
3:1 (Hyperdeformation???)
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7
Klassifikation von Nilsson Orbitalen
Da H von  unabhängig ist, sind die Projektionen von Bahndrehimpuls L und
auch Spin S Erhaltungsgrößen
Im Nilsson-Modell werden die Eigenwerte von Lz und Sz mit L und S bezeichnet.
K  LS
Die Eigenwerte des Nilsson-Hamiltonian werden für große Deformationen
folgendermaßen bezeichnet:
K Nnz L
Für große Deformationen sind die Energien:
• unabhängig von L, da die Terme L•S und L2 vernachlässigbar sind
• abhängig von nz
• unabhängig von K (im Gegensatz zum Verhalten bei kleinem )
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8
Mittlere Deformationen
Im mittleren Deformationsbereich kann man die Wellenfunktionen und Energien nicht
einfach annähern, sondern muss den Hamiltonian vollständig diagonalisieren!
K Nnz L
ACHTUNG:
• Bis auf K sind die anderen Quantenzahlen nur näherungsweise gut bei großen
Deformationen.
• Da nur K und die Parität  gute Quantenzahlen sind, verbietet das Pauli-Prinzip
die Kreuzung von Orbitalen mit gleichem K.
• Daher kommt es zu vermiedenen Kreuzungen bzw. Zustandsabstoßung.
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9
Nilsson Diagramm für N  20
Achtung,
andere Nomenklatur!
*
[NnzLK]
*
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“Vermiedene Kreuzung”
[110 1/2] und [101 1/2]
bzw.
[220 1/2] und [211 1/2]
haben jeweils gleiche
K-Quantenzahl und dürfen
sich daher nicht kreuzen.
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10
Nilsson Diagramm für die 50-82 Schale
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11
Nilsson Diagramm für die 82-126 Schale
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Konfigurationsmischung
N11 j1K1 r 2Y20 N2 2 j2 K2
Die nichtdiagonalen
Matrixelemente der
Quadrupolwechselwirkung sind
groß zwischen Zuständen, die
sich im Drehimpuls j um 2
Einheiten unterscheiden und die
die gleiche Spinrichtung haben.
Beispiele: 50-82 Schale:
d5/2  s1/2
g7/2  d3/2
Ein Intruderorbital mischt nicht!!
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13
Die Ursache für Deformation Konfigurationsmischung
N11 j1K1 r 2Y20 N2 2 j2 K2
Theoretische Untersuchungen zeigen:
• pn Quadrupolwechselwirkung stark
• pp und nn Quadrupolwechselwirkung erheblich schwächer
Proton-Neutron-Quadrupolwechselwirkung verursacht Deformation!!
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Erweiterung des Modells der Einteilchenbewegung
Nilsson Modell
H.O. + L2
+
L•S
Entartung
Quantenzahlen
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15
Kernrotation
Phänomenologische Betrachtung
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Programm
• Experimentelle Beobachtung
”Rotationsbanden”
- Fusions-Evaporations-Reaktionen
- Coulombanregung
Kern mit vielen Valenzprotonen und –neutronen ist deformiert
(p-n Quadrupol-Restwechselwirkung)
• Phänomenologische Betrachtung der Kernrotation
• Kopplung an intrinsischen Zustand (Coriolis WW)
Wie kann man das deformierte Schalenmodell testen?
Betrachte Anregungen deformierter Kerne und suche nach
Hinweisen auf die Einteilchenstruktur, z.B. Effekte der Intruderorbitale
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Kerneaktionen
Zeitskala in Sekunden
Transfer,Knockout
Lgr
“grazing collision”
Kerne “streifen”
sich gerade
L<Lkrit
Kerne fusionieren
zu Compoundkern
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Wirkungsquerschnitt für Kernreaktionen
Drehimpuls ist mit Stoßparameter b korreliert!
L=bxp
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Rotation in Fusionsreaktionen
Yrast – energetisch niedrigster
Zustand bei gegebenen Drehimpuls
Anregungsenergie und Drehimpuls wird
Durch Emission von Teilchen
(Neutronen bevorzugt, da keine
Coulombschwelle) und Gammaquanten
abgegeben
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Berechnung von Wirkungsquerschnitten
Berechnung mit statistischem Modell
Verwendung eines Monte Carlo Codes, z.B. PACE (im LISE-Paket)
(a) Kern wird gebildet mit Anregungsenergie E* und Drehimpuls L*
(a1) Spaltung ODER (a2) Bildung von Compoundkern
Wenn (a2)
(b) Energie/Drehimpuls verteilt sich auf Nukleonen in Compundkern
(Thermalisierung)
Solange (E*>0, L*>0){
(c) Emission eines Teilchens mit Energie E’ und Drehimpuls L’
Emissionswahrscheinlichkeit f(E’,L’,Barriere(?), Phasenraum, ...)
E* = E* - E’
L = L* - L’
}
(d) Grundzustand ist erreicht
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Wahl der Einschussenergie
124Sn(48Ca,xn)AYb
Klassische Abschätzung:
R( 48Ca)  1.2  481/ 3 fm  4.4 fm
R(124Sn)  1.2 1241/ 3 fm  6 fm
Z1Z 2 e 2 20  50 1.44 MeV fm
 VC 

 138.5 MeV
R
10.4 fm
124  48
 E Lab  VC
 192 MeV
124
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Wirkungsquerschnitte in [mb] aus PACE-Rechnung
124Sn(48Ca,xn)AYb
Strahlenergie (Labor) in [MeV]
200
180
160
170
190
A=169
0
3.7
0
14.5
0
A=168
17.9
241
0
204
88.6
A=167
329
200
0
18
447
A=166
390
0.9
0
0
75.2
A=165
5.7
0
0
0
0
... 180 MeV ist optimal für 4n-Kanal (höchster Wirkungsquerschnitt).
Bei 170 MeV ist der 4n-Kanal allerdings “sauberer” (weniger 5n-Reaktionen)
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23
Ausgabe PACE (I)
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24
Ausgabe PACE (II)
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25
Ausgabe PACE (III)
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26
Ausgabe PACE (IV)
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Typisches Rotationsspektrum
124Sn(48Ca,4n)168Yb
Gamma-Energie
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Anregungsspektrum von
168Yb
Rotationsbanden
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Anregungsspektrum von
168Yb
• Fragen:
- Rotationsbanden?
– Warum gibt es viele Rotationsbanden in
168Yb?
– Warum ist das Spektrum nicht das eines perfekten Rotors?
– Wie kann man das Nilsson Modell hiermit testen?
• Zunächst:
–Betrachtung des idealen Rotors als Referenz
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Ideale Rotationsspektren
Klassisch:
E rot
L2

2
Quantenmechanik:
E rot
: Trägheitsmoment
J J  1 2

2
192Hg
E2
2
E  E J  2   E J   2 J  3

2
4
E ( J  2  J , J  J  2) 
 const.

Konstante Differenz der
Gammaenergien ist ein
Hinweis auf Rotation!
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Axialsymmetrischer Kern
Warum kann axialsymmetrischer Kern quantenmechanisch nicht um seine
Symmetrieachse rotieren?
1
3
2
Hamiltonian
3
2
R
 1 2
H rot  
H rot   Erot 
mit R  i
M
R
I

J

3
K=
Axialsymmetrie
bedeutet:

 0  R  3  Achse
 3
... also, Rotation um
Symmetrieachse mit keinem
Drehimpuls verbunden!
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Adiabatische Näherung
Annahme:
Durch die langsame kollektive Bewegung wird die intrinsische Bewegung nicht gestört!!
Ψ  Φkollektiv   χ intrinsisc h
H  H koll  H int  H ww
=0 in adiabatischer Näherung
Die Adiabatenhypothese geht von folgender Annahme aus:
ωkoll  ωint
 1MeV
~
40
MeV  6 MeV
A1 / 3
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Wellenfunktion in Labor und intrinsischem System
z
• Quantisierungsache im intrinsischen System fällt mit der
Symmetrieachse zusammen:
• intrinsischer Drehimpuls J mit Projektion  auf
Symmetrieachse
• Rotationsdrehimpuls R
• Totaler Drehimpuls I = R + J
M
R
I

J
 K
• Projektion von I auf intr. Quantisierungsachse: K
• Projektion von I auf Quantisierungsachse im Labor: M
Gute Quantenzahlen: I, M, K
Struktur der Wellenfunktion:
I *
1,2 ,3     ,,  
IMK  IMK  DMK
I *
1,2 ,3   IM ei3I z e
DMK
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i2 I y i1I z
e
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IK
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Axial symmetrischer prolater gg-Kern
M
R
I
J
Alle Nukleonen zu J=0 abgepaart,
also insgesamt intrinsisch J=0 (K=0)
IMK 
K=

2I  1 I *
I K
DMK   K   1 DMI *K   K
8

J=0, =K=0
IMK  0
für ungerade I
 Nur Zustände mit geradem I möglich

Falls K0:
• minimales I = K
• gerade und ungerade I:
I = K, K+1, K+2, K+3 ...
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Trägheitsmomente von Kernen
Trägheitsmoment eines starren Rotationsellipsoiden
rigid
2
 Kugel 1     AMR02 1  13  
5
1
3

Rlang  Rkurz
R0
Trägheitsmoment eines wirbelfreien flüssigen
Rotationsellipsoiden („Oberflächenwelle“)
irr. flow 
2
AMR02 2  rigid 2
5
Trägheitmoment von Kernen
liegt zwischen den
betrachteten Extremen
Grund:
PaarungsWW produziert
superfluide Phase aus
korrelierten Cooper-Paaren
Anschaulicher Vergleich: Rotation eines hartgekochten bzw. rohen Eis
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Übergangswahrscheinlichkeit in Rotationsbande
Ti f
8   1  E 


2 
2  1!!   c 
2  1
B , J i  J f 



1
B , I i  I f  
I i Mˆ   I f
2 Ii  1
2
Reduzierte Übergangswahrscheinlichkeit
1

 1,22  109 E5 B E 2, I i  I f 
Für einen axial symmetrischen Rotor:
Matrixelemente im Laborsystem hängen mit denen im intrinsischen System
über die Drehmatrizen zusammen:
2
 M int E 2, 
M lab E 2,     D

Anfangs- und Endzustand haben gleiche intrinsische Struktur und damit gleiches K
I i K Mˆ E 2,   I f K  2 I i  1 I i K 20 I f K K er 2Y20 K

 

~ Quadrupolmoment Q
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Quadrupolmoment eines deformierten Kerns
eQkoll 
B E 2, I i 0  I f 0 
16
K er 2Y20 K
5
5 2 2
e Q I i 020 I f 0
16
2
1

 1,22  109 E5 B E 2, I i  I f 
Zusammenhang zum Deformationsparameter :
3
eQ0 
ZeR02  1  0,16   
5
Die Messung der Übergangswahrscheinlichkeiten (z.B. über Coulombanregung) oder
der Lebensdauern von Rotationszuständen ergibt ein direktes Maß für die
Deformation des rotierenden Kerns!!
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38
B(E2)-Werte in einer Rotationsbande
Beispiel: Grundzustandsbande eines gg-Kerns (K=0)
B E 2, I i 0  I f 0 
5 2 2
e Q I i 020 I f 0
16
2
1

2 0 2 0 00  0,44721
2,0
B(E2;I -> I-2) / B(E2; 2 ->0)
 1,22  109 E5 B E 2, I i  I f 
4 0 2 0 2 0  0,53452
1,5
6 0 2 0 4 0  0,56097
8 0 2 0 6 0  0,57394
1,0
10 0 2 0 8 0  0,58168
0,5
0,0
2
4
6
8
10
I
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ClebschGordanKoeffizienten
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•
•
•
3
8
39