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Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen Prolog Grundkurs WS 99/00 Christof Rumpf [email protected] Listenverarbeitung bisher member/2 append/3 delete/3 reverse/2 reverse/3 permute/2 sort/2 qs/2 partition/4 29.11.99 Listenelemente finden Listen konkatenieren Listenelemente löschen/einfügen Liste umkehren (naiv) Liste umkehren (mit Akkumulator) Liste permutieren (n!) Liste permutationssortieren (n!) Liste mit Quicksort sortieren (n log n) Liste in Teillisten partitionieren GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 2 deleteall/3 % deleteall(Term,Liste1,Liste2) deleteall(_,[],[]). Termination deleteall(X,[X|T1],L):Lösche X aus Kopf deleteall(X,T1,L). Lösche X aus Rest T1 deleteall(X,[H|T1],[H|T2]):Behalte Kopf H, X \= H, falls H X deleteall(X,T1,T2). Lösche X aus Rest T1 deleteall/3 löscht alle Vorkommen eines Terms aus einer Liste, während delete/3 genau ein Vorkommen eines Terms löscht und scheitert, wenn der Term nicht vorkommt. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 3 makeset/3 % makeset(Liste1,Liste2) makeset([],[]). makeset([H|T1],[H|T2]):deleteall(H,T1,L), makeset(L,T2). Termination. Behalte Kopf H. Löschen aller H aus T1 liefert L. Entferne alle Duplikate aus L. makeset/2 entfernt mit Hilfe von deleteall/3 alle Duplikate aus Liste1 und liefert Liste2 als Ergebnis. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 4 Verschachtelte Listen Als Listenelemente können beliebige Terme auftreten, also auch Listen. [1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6] Die Verarbeitung von Listen von Listen erfordert häufig doppelte Rekursion, sodaß bei einer Zerlegung nicht nur der Rest, sondern auch der Kopf rekursiv weiterverarbeitet wird. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 5 Verflachen von Listen Das Prädikat flatten/2 wandelt eine verschachtelte Liste in flache Liste um. ?- flatten([1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6],L). L = [1,2,3,a,b,x,y,c,4,5,6] yes 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 6 flatten/2 %flatten(VerschachtelteListe, FlacheListe) flatten([],[]). Leere Liste ist schon flach. flatten([H|T],FL):flatten(H,FH), flatten(T,FT), append(FH,FT,FL). Zerlege verschachtelte Liste. Verflache Kopf. Verflache Rest. Konkateniere verflachten Kopf und Rest zu Ergebnis. flatten(X,[X]):Term in flache Liste packen, X \= [], X \= [_|_]. falls Term keine Liste ist. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 7 Effizienz von flatten/2 flatten/2 hat nach dem zweiten rekursiven Aufruf einen Aufruf von append/3. Dies drückt die Performance ähnlich nach unten, wie wir es schon beim naiven reverse/2 gesehen haben. Verbesserung: flatten/3 mit Akkumulator! 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 8 flatten/3 flatten(VL,FL):flatten(VL,[],FL). flatten([],[],[]). flatten([],[H|Acc],FL):flatten(H,Acc,FL). flatten([H|T],Acc,FL):is_list(H), flatten(H,[T|Acc],FL). flatten([H|T1],Acc,[H|T2]):not is_list(H), flatten(T1,Acc,T2). 29.11.99 flatten/2 ruft flatten/3 auf. Initialisierung des Akkumulators. Termination. Falls verschachtelte Liste leer, verflache Kopf des Akkumulators. Falls Kopf von VL nichtleere Liste, nimm Rest von VL in Akkumulator und verflache H. Falls Kopf von VL keine Liste ist, übernimm den Kopf in flache Liste und verflache Rest von VL. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 9 is_list/1 Das Prädikat is_list/1 ist beweisbar, wenn das Argument eine leere oder nichtleere Liste ist. is_list([]). is_list([_|_]). Aus Effizienzgründen verzichten wir auf Korrektheit für is_list/1 , indem wir auf den rekursiven is_list/1 -Beweis für Restlisten nichtleerer Listen verzichten. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 10 (2) (5) (8) (11) (13) (16) (19) (21) (24) (27) (30) (34) (35) (38) (40) (41) (44) (47) (47) (44) (41) (40) (38) (35) (34) (31) (30) (27) (24) (21) (19) (16) (13) (11) (8) (5) (2) CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: CALL: EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): EXIT(N): 29.11.99 flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0098) flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0AB8) flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0C14) flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0D70) flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _0D70) flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _11E4) flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _1340) flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], _1340) flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], _17B4) flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], _1910) flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], _1A6C) flatten( [], [[4,[],5,6]], _1D00) flatten( [4,[],5,6], [], _1D00) flatten( [[],5,6], [], _1F94) flatten( [], [[5,6]], _1F94) flatten( [5,6], [], _1F94) flatten( [6], [], _2540) flatten( [], [], _269C) flatten( [], [], []) flatten( [6], [], [6]) flatten( [5,6], [], [5,6]) flatten( [], [[5,6]], [5,6]) flatten( [[],5,6], [], [5,6]) flatten( [4,[],5,6], [], [4,5,6]) flatten( [], [[4,[],5,6]], [4,5,6]) flatten( [c], [[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], [z,c,4,5,6]) flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], [y,z,c,4,5,6]) flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [b,x,y,z,c,4,5,6]) flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [],[1,2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? > > > > > > > > > > > > > > > > > > 11 Graphen Viele Probleme lassen sich graphentheoretisch modellieren. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt mit klar definierten Eigenschaften und Methoden. Bäume sind Graphen mit speziellen Eigenschaften. Wir nähern uns jetzt Bäumen an, indem wir von gerichteten Graphen über DAGs zu geordneten Bäumen kommen. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 12 Gerichteter Graph Ein gerichteter Graph G ist ein Tupel <N, E>, wobei N(odes) eine Menge von Knoten und E(dges) eine Menge E N × N von Kanten ist. a G1 = <{a,b,c,d,e}, {<a,b>,<a,c>, <b,d>,<d,c>, <d,e>,<d,a>}> 29.11.99 b c d e GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 13 Prolog-Repräsentation: Graph als Fakten: als Struktur: node(a). ... node(e). edge(a,b). ... edge(d,a). ([a,b,c,d,e], [(a,b),(a,c), (b,d),(d,c), (d,e),(d,a)]) 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 14 Transitive Hülle Die transitive Hülle eines Graphen G= <N, E> ist die Menge H(G) N × N, sodaß gilt: 1. E H(G) 2. <x, y> H(G) <y, z> H(G) <x, z> H(G) Die transitive Hülle liefert uns alle Verbindungen, die zwischen Knoten bestehen. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 15 Berechnung in Prolog Transitive Hülle für Faktenrepräsentation: closure(X,Y):- edge(X,Y). closure(X,Y):- edge(X,Z), closure(Z,Y) Transitive Hülle für Listenrepräsentation: closure(X,Y,E):- member((X,Y),E). closure(X,Y,E):- member((X,Z),E), closure(Z,Y,E). % E = [(N1,N2),...,(Ni,Nk)] 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 16 DAG Ein gerichteter azyklischer Graph (DirectedAcyclicGraph) G = <N, E> ist ein Graph, für den gilt: <x, y> H(G): x y Kein Knoten ist in H(G) mit sich selbst verbunden. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 17 Bäume Ein DAG G = <N, E> ist ein Baum, wenn gilt: x,y,z N: <x, z> E <y, z> E x = y Jeder Knoten in einem Baum hat maximal einen Vorgänger. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 18 Geordnete Bäume Ein geordneter Baum G = <N, E, O> ist ein Baum mit einer totalen Ordnungsrelation O N × N, sodaß gilt: x,y,z N: <x, y> E <x, z> E y z <y, z> O <z, y> O Die unmittelbaren Nachfolger eines Knotens stehen in einer linearen Ordnung. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 19 Beispiel Syntaxbaum Zwei Relationen: S NP Det unmittelbare Dominanz zwischen Mutter- und Tochterknoten VP N V NP Jeder Mann liebt Det N lineare Präzedenz zwischen Tocherknoten eine Frau 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 20 Lineare Repräsentation in Prolog als Struktur: s(np(det(jeder),n(mann)), vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau)))) als Liste: [s, [np, [det, [jeder]], [n, [mann]]], [vp, [v, [liebt]], [np, [det, [eine]], [n, [frau]]]]] 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 21 Univ Strukturen und Listen können ineinander überführt werden. Prolog stellt dazu das eingebaute Prädikat =.. (Univ) zur Verfügung. ?- det(ein) =.. L. L = [det,ein], yes ?- S =.. [det,ein]. S = det(ein), yes 29.11.99 ?- np(det(ein),n(mann)) =.. L. L = [np,det(ein),n(mann)] Allgemein: p(A1,...An) =.. [p,A1,...An] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 22 Listen vs. Strukturen Strukturen sind zwar für das menschliche Auge leichter zu überblicken, dafür sind Listenrepräsentationen allerdings flexibler zu verarbeiten. – Strukturen: Zugriff auf Argumente nur bei bekanntem Funktor und bekannter Stelligkeit möglich. – Listen: Zerlegung in Kopf und Rest für jede nichtleere Liste in gleicher Weise. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 23 Pretty Printing ?- pp(s(np(det(jeder),n(mann)), vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau))))) s np det jeder Ein Pretty-Printer für Bäume ist n ein Programm, das die lineare mann vp Repräsentation eines Baumes als v eingerückten Baum auf den liebt np Bildschirm ausgeben kann. det eine n frau 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 24 Handwerkszeug zum Drucken Wir benötigen ein paar eingebaute Prädikate, um einen Pretty-Printer implementieren zu können: write(Term) nl tab(Integer) Number is Expr 29.11.99 Schreibt Term auf den Bildschirm. Bewirkt einen Zeilenvorschub. Schreibt 0-n Leerzeichen. Führt Berechnungen durch. GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 25 pprint/1 pprint(Term):- pprint(Term,0). Initialisierung des Tab-Zählers. pprint(Term,N):tab(N), write(F), nl, N1 is N+3, pprintl(Args,N1). Baum drucken. Ausgabe des Mutterknotens. Tabulator erhöhen. Unterbäume drucken. pprintl([H|T],N):pprint(H,N), pprintl(T,N). pprintl([],_). Unterbäume drucken. Drucke eine Schwester. Drucke die anderen Schwestern. Termination. 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 26 Differenzlisten Eine Differenzliste ist ein Paar von Listen (L1,L2), wobei L2 ein Suffix von L1 repräsentiert. Die Elemente einer Differenzliste sind die nach Abzug von Suffix L2 verbleibenden Elemente in L1. Differenzliste ([E1,...,En|T],T) (L,[]) (L,L) 29.11.99 gewöhnliche Liste [E1,...,En] L [] GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 27 [1,2,3] als Differenzliste Für jede gewöhnliche Liste gibt es unendlich viele Darstellungen als Differenzliste, weil es beliebige Suffixe geben kann. [1,2,3] 29.11.99 ([1,2,3],[]) ([1,2,3,4,5],[4,5]) ([1,2,3,a,b|T],[a,b|T]) ([1,2,3|T],T) GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 28 Konkatenation von Diff-Listen Differenzlisten haben einen entscheidenden Vorteil gegenüber gewöhnlichen Listen: Man kann sie in konstanter Zeit konkatenieren. Genauer: in einem Schritt. ?- D1 = ([1,2,3|T1],T1), D2 =([4,5,6|T2],T2), append_dl(D1,D2,D3). D3 = ([1,2,3,4,5,6|T2],T2), yes 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 29 append_dl/3 append_dl((A,B),(B,C),(A,C)). 29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen 30
