p6 - user.phil.uni

Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
Prolog Grundkurs WS 99/00
Christof Rumpf
[email protected]
Listenverarbeitung bisher
member/2
append/3
delete/3
reverse/2
reverse/3
permute/2
sort/2
qs/2
partition/4
29.11.99
Listenelemente finden
Listen konkatenieren
Listenelemente löschen/einfügen
Liste umkehren (naiv)
Liste umkehren (mit Akkumulator)
Liste permutieren (n!)
Liste permutationssortieren (n!)
Liste mit Quicksort sortieren (n log n)
Liste in Teillisten partitionieren
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
2
deleteall/3
% deleteall(Term,Liste1,Liste2)
deleteall(_,[],[]).
Termination
deleteall(X,[X|T1],L):Lösche X aus Kopf
deleteall(X,T1,L).
Lösche X aus Rest T1
deleteall(X,[H|T1],[H|T2]):Behalte Kopf H,
X \= H,
falls H  X
deleteall(X,T1,T2).
Lösche X aus Rest T1
deleteall/3 löscht alle Vorkommen eines Terms aus einer
Liste, während delete/3 genau ein Vorkommen eines Terms
löscht und scheitert, wenn der Term nicht vorkommt.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
3
makeset/3
% makeset(Liste1,Liste2)
makeset([],[]).
makeset([H|T1],[H|T2]):deleteall(H,T1,L),
makeset(L,T2).
Termination.
Behalte Kopf H.
Löschen aller H aus T1 liefert L.
Entferne alle Duplikate aus L.
makeset/2 entfernt mit Hilfe von deleteall/3 alle
Duplikate aus Liste1 und liefert Liste2 als Ergebnis.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Verschachtelte Listen
Als Listenelemente können beliebige Terme
auftreten, also auch Listen.
[1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6]
Die Verarbeitung von Listen von Listen erfordert
häufig doppelte Rekursion, sodaß bei einer
Zerlegung nicht nur der Rest, sondern auch der
Kopf rekursiv weiterverarbeitet wird.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Verflachen von Listen
Das Prädikat flatten/2 wandelt eine
verschachtelte Liste in flache Liste um.
?- flatten([1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6],L).
L = [1,2,3,a,b,x,y,c,4,5,6]
yes
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
6
flatten/2
%flatten(VerschachtelteListe, FlacheListe)
flatten([],[]).
Leere Liste ist schon flach.
flatten([H|T],FL):flatten(H,FH),
flatten(T,FT),
append(FH,FT,FL).
Zerlege verschachtelte Liste.
Verflache Kopf.
Verflache Rest.
Konkateniere verflachten Kopf
und Rest zu Ergebnis.
flatten(X,[X]):Term in flache Liste packen,
X \= [], X \= [_|_]. falls Term keine Liste ist.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Effizienz von flatten/2
flatten/2 hat nach dem zweiten rekursiven
Aufruf einen Aufruf von append/3. Dies drückt
die Performance ähnlich nach unten, wie wir es
schon beim naiven reverse/2 gesehen haben.
Verbesserung: flatten/3 mit Akkumulator!
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GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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flatten/3
flatten(VL,FL):flatten(VL,[],FL).
flatten([],[],[]).
flatten([],[H|Acc],FL):flatten(H,Acc,FL).
flatten([H|T],Acc,FL):is_list(H),
flatten(H,[T|Acc],FL).
flatten([H|T1],Acc,[H|T2]):not is_list(H),
flatten(T1,Acc,T2).
29.11.99
flatten/2 ruft flatten/3 auf.
Initialisierung des Akkumulators.
Termination.
Falls verschachtelte Liste leer,
verflache Kopf des Akkumulators.
Falls Kopf von VL nichtleere Liste,
nimm Rest von VL in Akkumulator
und verflache H.
Falls Kopf von VL keine Liste ist,
übernimm den Kopf in flache Liste
und verflache Rest von VL.
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
9
is_list/1
Das Prädikat is_list/1 ist beweisbar, wenn
das Argument eine leere oder nichtleere Liste ist.
is_list([]).
is_list([_|_]).
Aus Effizienzgründen verzichten wir auf
Korrektheit für is_list/1 , indem wir auf den
rekursiven is_list/1 -Beweis für Restlisten
nichtleerer Listen verzichten.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
10
(2)
(5)
(8)
(11)
(13)
(16)
(19)
(21)
(24)
(27)
(30)
(34)
(35)
(38)
(40)
(41)
(44)
(47)
(47)
(44)
(41)
(40)
(38)
(35)
(34)
(31)
(30)
(27)
(24)
(21)
(19)
(16)
(13)
(11)
(8)
(5)
(2)
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
CALL:
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
EXIT(N):
29.11.99
flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[],
_0098)
flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[],
_0AB8)
flatten(
[3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[],
_0C14)
flatten(
[[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[],
_0D70)
flatten(
[a,b,[x,y,z],c],
[[4,[],5,6]],
_0D70)
flatten(
[b,[x,y,z],c],
[[4,[],5,6]],
_11E4)
flatten(
[[x,y,z],c],
[[4,[],5,6]],
_1340)
flatten(
[x,y,z],
[[c],[4,[],5,6]],
_1340)
flatten(
[y,z],
[[c],[4,[],5,6]],
_17B4)
flatten(
[z],
[[c],[4,[],5,6]],
_1910)
flatten(
[],
[[c],[4,[],5,6]],
_1A6C)
flatten(
[],
[[4,[],5,6]],
_1D00)
flatten(
[4,[],5,6],
[],
_1D00)
flatten(
[[],5,6],
[],
_1F94)
flatten(
[],
[[5,6]],
_1F94)
flatten(
[5,6],
[],
_1F94)
flatten(
[6],
[],
_2540)
flatten(
[],
[],
_269C)
flatten(
[],
[],
[])
flatten(
[6],
[],
[6])
flatten(
[5,6],
[],
[5,6])
flatten(
[],
[[5,6]],
[5,6])
flatten(
[[],5,6],
[],
[5,6])
flatten(
[4,[],5,6],
[],
[4,5,6])
flatten(
[],
[[4,[],5,6]],
[4,5,6])
flatten(
[c],
[[4,[],5,6]],
[c,4,5,6])
flatten(
[],
[[c],[4,[],5,6]],
[c,4,5,6])
flatten(
[z],
[[c],[4,[],5,6]],
[z,c,4,5,6])
flatten(
[y,z],
[[c],[4,[],5,6]],
[y,z,c,4,5,6])
flatten(
[x,y,z],
[[c],[4,[],5,6]],
[x,y,z,c,4,5,6])
flatten(
[[x,y,z],c],
[[4,[],5,6]],
[x,y,z,c,4,5,6])
flatten(
[b,[x,y,z],c],
[[4,[],5,6]],
[b,x,y,z,c,4,5,6])
flatten(
[a,b,[x,y,z],c],
[[4,[],5,6]],
[a,b,x,y,z,c,4,5,6])
flatten(
[[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[],
[a,b,x,y,z,c,4,5,6])
flatten(
[3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[],
[3,a,b,x,y,z,c,4,5,6])
flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[], [2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6])
flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6],
[],[1,2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6])
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Differenzlisten, Graphen
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11
Graphen
Viele Probleme lassen sich graphentheoretisch
modellieren. Ein Graph ist ein mathematisches
Objekt mit klar definierten Eigenschaften und
Methoden.
Bäume sind Graphen mit speziellen
Eigenschaften. Wir nähern uns jetzt Bäumen an,
indem wir von gerichteten Graphen über DAGs zu
geordneten Bäumen kommen.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Gerichteter Graph
Ein gerichteter Graph G ist ein Tupel <N, E>, wobei
N(odes) eine Menge von Knoten und E(dges) eine
Menge E  N × N von Kanten ist.
a
G1 = <{a,b,c,d,e},
{<a,b>,<a,c>,
<b,d>,<d,c>,
<d,e>,<d,a>}>
29.11.99
b
c
d
e
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Differenzlisten, Graphen
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Prolog-Repräsentation: Graph
als Fakten:
als Struktur:
node(a).
...
node(e).
edge(a,b).
...
edge(d,a).
([a,b,c,d,e],
[(a,b),(a,c),
(b,d),(d,c),
(d,e),(d,a)])
29.11.99
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Differenzlisten, Graphen
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Transitive Hülle
Die transitive Hülle eines Graphen G= <N, E> ist
die Menge H(G)  N × N, sodaß gilt:
1. E  H(G)
2. <x, y>  H(G)  <y, z>  H(G)
 <x, z>  H(G)
Die transitive Hülle liefert uns alle Verbindungen,
die zwischen Knoten bestehen.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
15
Berechnung in Prolog
Transitive Hülle für Faktenrepräsentation:
closure(X,Y):- edge(X,Y).
closure(X,Y):- edge(X,Z), closure(Z,Y)
Transitive Hülle für Listenrepräsentation:
closure(X,Y,E):- member((X,Y),E).
closure(X,Y,E):- member((X,Z),E),
closure(Z,Y,E).
% E = [(N1,N2),...,(Ni,Nk)]
29.11.99
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Differenzlisten, Graphen
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DAG
Ein gerichteter azyklischer Graph
(DirectedAcyclicGraph) G = <N, E> ist ein Graph, für
den gilt:
<x, y>  H(G): x  y
Kein Knoten ist in H(G) mit sich selbst
verbunden.
29.11.99
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Differenzlisten, Graphen
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Bäume
Ein DAG G = <N, E> ist ein Baum, wenn gilt:
x,y,z  N: <x, z>  E  <y, z>  E  x = y
Jeder Knoten in einem Baum hat maximal einen
Vorgänger.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Geordnete Bäume
Ein geordneter Baum G = <N, E, O> ist ein Baum
mit einer totalen Ordnungsrelation O  N × N,
sodaß gilt:
x,y,z  N: <x, y>  E  <x, z>  E  y  z
 <y, z>  O  <z, y>  O
Die unmittelbaren Nachfolger eines Knotens
stehen in einer linearen Ordnung.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Beispiel Syntaxbaum
Zwei Relationen:
S
NP
Det
unmittelbare Dominanz
zwischen Mutter- und
Tochterknoten
VP
N
V
NP
Jeder Mann liebt Det N
lineare Präzedenz
zwischen Tocherknoten
eine Frau
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Lineare Repräsentation in Prolog
als Struktur:
s(np(det(jeder),n(mann)),
vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau))))
als Liste:
[s, [np, [det, [jeder]], [n, [mann]]],
[vp, [v, [liebt]],
[np, [det, [eine]], [n, [frau]]]]]
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Univ
Strukturen und Listen können ineinander überführt
werden. Prolog stellt dazu das eingebaute Prädikat
=.. (Univ) zur Verfügung.
?- det(ein) =.. L.
L = [det,ein], yes
?- S =.. [det,ein].
S = det(ein), yes
29.11.99
?- np(det(ein),n(mann)) =.. L.
L = [np,det(ein),n(mann)]
Allgemein:
p(A1,...An) =.. [p,A1,...An]
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Listen vs. Strukturen
Strukturen sind zwar für das menschliche Auge
leichter zu überblicken, dafür sind Listenrepräsentationen allerdings flexibler zu verarbeiten.
– Strukturen: Zugriff auf Argumente nur bei
bekanntem Funktor und bekannter Stelligkeit
möglich.
– Listen: Zerlegung in Kopf und Rest für jede
nichtleere Liste in gleicher Weise.
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Pretty Printing
?- pp(s(np(det(jeder),n(mann)),
vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau)))))
s
np
det
jeder
Ein Pretty-Printer für Bäume ist
n
ein Programm, das die lineare
mann
vp
Repräsentation eines Baumes als
v
eingerückten Baum auf den
liebt
np
Bildschirm ausgeben kann.
det
eine
n
frau
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GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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Handwerkszeug zum Drucken
Wir benötigen ein paar eingebaute Prädikate, um
einen Pretty-Printer implementieren zu können:
write(Term)
nl
tab(Integer)
Number is Expr
29.11.99
Schreibt Term auf den Bildschirm.
Bewirkt einen Zeilenvorschub.
Schreibt 0-n Leerzeichen.
Führt Berechnungen durch.
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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pprint/1
pprint(Term):- pprint(Term,0). Initialisierung des Tab-Zählers.
pprint(Term,N):tab(N), write(F), nl,
N1 is N+3,
pprintl(Args,N1).
Baum drucken.
Ausgabe des Mutterknotens.
Tabulator erhöhen.
Unterbäume drucken.
pprintl([H|T],N):pprint(H,N),
pprintl(T,N).
pprintl([],_).
Unterbäume drucken.
Drucke eine Schwester.
Drucke die anderen Schwestern.
Termination.
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Differenzlisten, Graphen
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Differenzlisten
Eine Differenzliste ist ein Paar von Listen (L1,L2),
wobei L2 ein Suffix von L1 repräsentiert. Die
Elemente einer Differenzliste sind die nach Abzug
von Suffix L2 verbleibenden Elemente in L1.
Differenzliste
([E1,...,En|T],T)
(L,[])
(L,L)
29.11.99
gewöhnliche Liste
[E1,...,En]
L
[]
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Differenzlisten, Graphen
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[1,2,3] als Differenzliste
Für jede gewöhnliche Liste gibt es unendlich viele
Darstellungen als Differenzliste, weil es beliebige
Suffixe geben kann.
[1,2,3] 



29.11.99
([1,2,3],[])
([1,2,3,4,5],[4,5])
([1,2,3,a,b|T],[a,b|T])
([1,2,3|T],T)
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Differenzlisten, Graphen
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Konkatenation von Diff-Listen
Differenzlisten haben einen entscheidenden Vorteil
gegenüber gewöhnlichen Listen: Man kann sie in
konstanter Zeit konkatenieren. Genauer: in einem
Schritt.
?- D1 = ([1,2,3|T1],T1),
D2 =([4,5,6|T2],T2),
append_dl(D1,D2,D3).
D3 = ([1,2,3,4,5,6|T2],T2), yes
29.11.99
GK Prolog - Verschachtelte Listen,
Differenzlisten, Graphen
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append_dl/3
append_dl((A,B),(B,C),(A,C)).
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GK Prolog - Verschachtelte Listen,
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