Ohm

FOURIER-Transformation
ein hilfreiches Werkzeug
in der digitalen Messtechnik
Zeit- und Frequenzraum
mathematische Grundlagen
Anwendungsbeispiele
Beitrag zur Lehrveranstaltung 856-150
„PCs zur Messwerterfassung und Messdatenverarbeitung“
24. November 2000, J. Theiner
Einführung
Charakterisierung periodischer Signale
Periodisches Signal: Sinus/Cosinus-Funktion = harmonische Welle
Amplitude
BIAS
Periodendauer
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
2
Periodenlänge
U0
Z0 
I0
Uo
Io

J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
3
Einführung
Darstellung von Wechselstromgrößen
AC = ao. ei (.t + )
AC = ao.cos(.t + )
t
Imaginärteil

t
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
Realteil
4
Einführung
Wie kommt man vom Zeigerdiagramm zur Winkelfunktion?
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
5
Wechselströme
Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Amplitudenverhältnis
ACSchaltkreis
V
A
t

Periodenlänge
Periodenlänge
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
6
Wechselströme
der Wechselstromwiderstand - die Impedanz
In Wechselstromkreisen gilt für die Beziehung von Spannung UAC und Strom IAC das
Ohm‘sche Gesetz, wobei der Widerstand durch eine frequenzabhängige Größe, die
Impedanz ZAC, dargestellt wird.
U AC  Z AC  I AC
Die Impedanz Z bestimmt das Amplitudenverhältnis von Strom und Spannung in
einem Messkreis.
Die Impedanz Z bewirkt meist auch eine Phasenverschiebung zwischen Strom und
Spannung.
In der Wechselstromtechnik wird der Leitwert Y, der „Kehrwert“ der Impedanz, fast
ebenso häufig verwendet, um die Eigenschaften von Systemen zu beschreiben.
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
7
Wechselströme
komplexe Darstellung von AC-Größen
Durch die Darstellung von periodische Signalen UAC und IAC im Frequenzraum können
viele Beziehungen vereinfacht modelliert werden.
Besonders lassen sich die Impedanz und der Leitwert eines Messkreises durch
komplexe Frequenzfunktionen Z() oder Y() beschreiben.
In dieser Darstellung zeigt der Realteil den physikalisch messbaren Anteil des Signals
zu jeder Zeit t, der Imaginärteil (Blindanteil) hat physikalisch keine Bedeutung.
U AC  U 0  exp  j    t  U 
 U 0  cos  t  U   j  sin   t  U 
Z AC 
I AC  I 0  exp  j    t   I 
 I 0  cos  t   I   j  sin   t   I 
U AC  Z AC  I AC
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
U AC
I AC

U 0 exp  j    t  U 

I 0 exp  j    t   I 

U0
 exp  j  U   I 
I0
8
Frequenzdarstellung
Zeit  Frequenz
Periodische Signale können innerhalb ihrer Periodendauer t einen beliebigen Verlauf x(t)
haben. Es muss aber immer gelten x(t) = x(t + i.t).
Grundsätzlich lässt sich diese Betrachtung auch auf ein unendlich langes Zeitintervall
t erweitern.
Jede periodische Funktion lässt sich auch durch ein Frequenzspektrum gleichwertig und
vollständig darstellen.
Theoretisch lässt sich ein Frequenzspektrum durch einen Funktionensatz fi(t) (i=0..n, n  )
erhalten, die dem Sturm-Liouville-Theorem genügen.
Aufgrund der besonderen mathematisch-physikalischen Bedeutung betrachten wir immer die
Spektren der harmonischen Funktionen Sinus und Cosinus, die gemeinsam einen
vollständigen, orthogonalen Funktionensatz bilden:
fi (t )  cosi  0  t 
J. Theiner
gi (t )  sin i  0  t 
FOURIER-Transformation und
Spektren
9
Frequenzdarstellung
x(t)  y(f) - die Fourier-Transformation
In einer endlichen Periode t, in der n Messwerte in Intervallen  aufgezeichnet sind,
kann dieses Signal durch eine Fourier-Reihe der folgenden Form exakt dargestellt
werden.
n
x (t )   ai  cosi  0  t   bi  sin i  0  t 
i 0
ai und bi sind die sogenannten Fourier-Koeffizienten, die sich als Frequenzspektrum interpretieren lassen.
Betrachtet man eine einzelne Wechselstromgröße, so ist die Phasenlage im
Frequenzraum meist unbedeutend.
Betrachtet man das Verhältnis zweier oder mehrerer AC-Größen, so bekommt die
relative Phasenlage Bedeutung.
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
10
Frequenzdarstellung
x(t)  y(f) - die Fourier-Transformation
Signalverlauf
FT oder FFT
Zeit
J. Theiner
Signalspektrum
Frequenz
FOURIER-Transformation und
Spektren
11
Frequenzdarstellung
Darstellung von Impedanzspektren
Da Impedanzen als komplexe Funktionen zwei Funktionswerte für jede Frequenz
haben, kann der Funktionsverlauf nicht vollständig in einem x/y-Diagramm erfasst
werden.
Spektrale Darstellungen werden im allgemeinen über einer logarithmischen
Frequenzachse aufgetragen.
Die Darstellung von zwei Amplitudenspektren, die den Real- und den Imaginärteil
der Impedanz abbilden, wird eher selten genutzt.
Große Bedeutung hat die Darstellung im sogenannten BODE-Diagramm, einer
Kombination des Spektrums der Magnitude und des Phasenwinkels über einer
logarithmischen Frequenzachse.
Am häufigsten wird das NYQUIST-Diagramm (Ortskurve) gezeigt. Dabei ist die
Spur der Impedanzfunktion in der komplexen Zahlenebene abgebildet, die meist
durch Frequenzangaben zu einzelnen Messpunkten ergänzt wird.
Für spezielle Auswertungen sind noch andere graphische Darstellungen gebräuchlich.
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
12
Impedanzverhalten
einfache elektronische Bauelemente
Ohm‘scher Widerstand: ein Widerstand R hat
nur einen Realteil und führt zu
keiner Phasenverschiebung.
ZR  R
Kondensator: Eine Kapazität C hat als
Impedanz keinen Realteil.
ZC  
j
C
Für die Kombination von Impedanzen und Leitwerten gelten dieselben Gesetze wie für
Widerstände im Gleichstromkreis.
Mehrere Baugruppen mit Einzelimpedanzen Zi in Serienschaltung summieren sich zu
einer Gesamtimpedanz Z.
Mehrere Elemente mit Leitwerten Yi in Parallelschaltung summieren sich zu einem
Gesamtadmittanz Y.
1
Z ser   Z i
Z par 
i
Y par
1
Yser 
Y par   Yi
Z ser
i
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
13
Impedanzverhalten
... und daraus aufgebauter Schaltgruppen
Serienschaltung von R und C
Bei niedrigen Frequenzen geht der Betrag der
Realteil von Z
Impedanz gegen unendlich.
-Imaginärteil von Z
Für hohe Frequenzen geht der Beitrag der Kapazität
gegen Null. Die Impedanz nähert sich dem Verhalten
eines Ohm‘schen Widerstandes.
Diese Schaltung eignet sich als Ersatzschaltbild für die
Anordnung bei einer Leitfähigkeitsmessung. R stellt
dabei den Elektrolytwiderstand dar.
Z  R
j
C
Z  R2 
1
2  C 2
Die dabei eingesetzten Frequenzen sind so zu wählen,
dass der Betrag 1/.C gegenüber der Messgröße R
vernachlässigbar ist
typische Messfrequenzen: 1 bis 10 kHz
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
14
Impedanzverhalten
... und daraus aufgebauter Schaltgruppen
Parallelschaltung von R und C
Das Frequenzverhalten der Parallelschaltung ist
deutlich komplizierter.
Y par  YR  YC
1
 j  C
R
1

1
 j  C
R
R

1 j   R C

Z par
J. Theiner
Z
R  1  j    R  C 
2
1    R  C 
Z Re 
Z Im
R
2
1    R  C 
  R2  C

2
1    R  C 
FOURIER-Transformation und
Spektren
Z 
R
1    R  C 
2
Z  arctan    R  C 
15
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
16
Uo
Io
IB
UB
U0
Z0 
I0
J. Theiner
IB UB
sin   
I0 U0
FOURIER-Transformation und
Spektren
17
Messtechnik
•
Zweielektrodentechnik
wird gern verwendet, um Beiträge und Störungen durch elektronische Schaltung
zu vermeiden.
•
Dreielektrodentechnik
mit schnellen und phasentreuen Potentiostaten
•
direkte Aufzeichnung von U vs. t und I vs. t oder
•
Auswertung der LISSAJOU-Darstellungen
vor allem für niedrige Frequenzen bis zu einigen Hz, mit Oszilloskop oder
schneller Messwerterfassung auch für höhere Frequenzen möglich
•
Widerstandsmessbrücken
•
Phasensensitive Detektoren (Lockin-Amplifier)
•
Digitale Messanlagen auf Basis von FOURIER-Transformations-Methoden
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
18
Messtechnischer Ansatz
Messzelle/
Potentiostat
Sollsignal
Usoll oder Isoll
analoge Schaltung
J. Theiner
Systemantwort
IAC oder UAC
Ermittlung
der Impedanz oder
des Leitwertes
FOURIER-Transformation und
Spektren
digitale Verarbeitung
19
Störfrequenz ca. 1/10 der Signalfrequenz
und 1/5 der Amplitude
(ein ähnliches Bild ergibt sich auch für
eine DC-Drift)
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
20
Störfrequenz ca. 10-fache Signalfrequenz
und 1/10 der Amplitude
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
21
Störsignale in Form von
„weißem Rauschen“
ca. 2 % der Spannungsamplitude,
ca. 20 % der Stromamplitude
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
22
doppelt logarithmisches FFT-Spektren des Stromsignales mit
niedriger Störfrequenz, höherer Störfrequenz und weißem Rauschen
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
23
komplexe Funktionensätze
F f  Re( F ) f  j  Im( F ) f
Eine Beziehung zwischen komplexen Funktionen A und B kann durch eine sogenannte
Transferfunktio HAB beschrieben werden.
Uf  Zf If
B f  H AB, f  Af
MagU , f  Mag Z , f  Mag I , f
U , f  Z , f  I , f
Mag B , f  Mag H , f  Mag A, f
B , f  H , f   A, f
Die Transferfunktion ist mathematisch identisch mit der Impedanz oder dem Leitwert.
Die Ergebnisse der FOURIER-Transformation können daher direkt in Form der
Transferfunktion zur Darstellung der Impedanz herangezogen werden.
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
24
Häufige Darstellungen in der Messtechnik
In der Akustik und Wechselstrommesstechnik sind logarithmische Darstellungen weit
verbreitet.
Für die Frequenzachse wird der Begriff Oktave für die Verdoppelung der Frequenz
verwendet (wie auch im Sprachgebrauch der Musik).
Die Amplitudenachse (Magnitude, Real- oder Imaginärteil oder einer AC-Größe) wird
eine Angabe in dB (Dezibel) verwendet.
Dezibel skaliert das Verhältnis einer Leistung in Relation zu einem Bezugszustand.
N
N [dB ]  10  lg
N0
OHM´sches Gesetz:
J. Theiner
N U I
U2

Z
 Z I2
U2
N (U ) 
U2
Z
2
U  !
N [dB ]  10  lg    20  lg U [V ]
 U0 
Z [dB]  U [dB]  I [dB]
FOURIER-Transformation und
Spektren
25
Messung ganzer Spektren
Mit Hilfe der FOURIER-Transformation (im Allgemeinen FFT) können ganze
Impedanzspektren innerhalb eines Messzyklus erfasst werden.
Voraussetzung ist ein Funktionsgeneratorsignal, das im untersuchten Frequenzbereich
für jeden Messpunkt eine definierte Signalamplitude liefert (Breitbandsignal).
Es ist zu beachten, dass die FFT-Messpunkte in einer linearen Skala als Vielfache der
niedrigsten erfassten Frequenz f0 erhalten werden. Da die Impedanzspektren im
Allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse ausgewertet werden, ergibt
sich eine sehr ungleiche Verteilung der Messpunkte
Beispiel:
• Messung von N=1.024 Punkten in 400 msec
• f0=2,5 Hz und fmax=N/2*f0 = 1.280 Hz
wegen eines analogen Tiefpassfilters (Anti Aliasing Filter) am Messeingang kann
das Spektrum nur über 400 Frequenzpunkte ausgewertet werden:
• erste Dekade bis 10 Hz: 4 Messwerte
zweite Dekade bis 100 Hz: 36 Messwerte
dritte Dekade bis 1000 Hz: 360 Messwerte
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
26
Messung ganzer Spektren
Um ein FFT-Messgerät anzusteuern, ist eine Funktion sinnvoll, bei der das SinusSignal für jeden registrierten Frequenzpunkt mit der gewünschten Amplitude
generiert.
Eine solche Funktion kann nur digital generiert werden, steht aber fallweise auf ein
Messgerät abgestimmt zur Verfügung.
Bei quasi-zufälliger Gleichverteilung der Signalamplituden im Frequenzspektrum
spricht man von „weißem Rauschen“ (white noise, random noise).
Ein solches Signal lässt sich rein rechnerisch erzeugen, indem die Signalamplituden
zu jedem diskreten Zeitpunkt durch einen Zufallszahlengenerator im gewünschten
Amplitudenintervall erzeugt werden.
Auch analoge Rauschgeneratoren sind nach Stand der Technik verfügbar.
Auch ein „Gerätebrumm“ hat oft die Charakteristik eines Rauschens, doch werden
dabei durch spezifische Trägheiten des Gerätes „Färbungen“, das heißt starke
Frequenzabhängigkeiten der Amplitude erzeugt.
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
27
Signalspektren
Aus der Spektroskopie kennen wir die Beziehung zwischen Frequenz und Energie, die
allgemein gültig ist.
Neben „monochromatischen“ sind „weiße“ Signale von Bedeutung, die aus vielen
Einzelfrequenzen etwa gleicher Amplitude zusammengesetzt sind.
Aus der Akustik kommt in die Wechselstrommesstechnik die Bezeichnung einer rosa
(pink) Frequenzverteilung bei Breitbandsignalen.
Die dabei gewählte Amplitudenverteilung im Frequenzspektrum gewährleistet, dass bei
jeder Frequenz die gleiche Leistungsdichte „angeboten“ wird.
Die Signalamplitude nimmt dabei um 3 dB pro Oktave ab.
U 2  f 0 
 3dB   20  lg 0
U0  f0 
 0,15  lg
100,15 
J. Theiner
U 0 2  f 0 
U0  f0 
U 0 2  f 0 
2
 0,7079 
U0  f0 
2
FOURIER-Transformation und
Spektren
28
FFT-Spektrum von „white noise“
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
29
Andere Breitbandfunktionen
Eine gängige Methode, eine definierte Frequenzverteilung mit Hilfe eines SinusGenerators zu erzeugen, ist eine Frequenzmodulation.
X (t )  sin 2    f t   t 
f (t )  f 0  k  t  t0 
f (t )  f max  k  t  t1 
Eine „rosa“ (pink)
Amplitudenverteilung
ist auch hier möglich
und kann gut
demonstriert werden:
X (t ) 
sin 2    f t   t 
f (t )
f0
J. Theiner
FOURIER-Transformation und
Spektren
30