Der R + -Baum

Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
Diskrete Mathematik
R
(R/R+-Baum)
R
R
R
R
R
R
R
R
20
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
Übersicht über das Semester
Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken
•
räumliche Datenbanken
–
Zugriffsstrukturen zur Unterstützung der Suche
 R/R+ - Baum
 Quadtree
•
Softwaretechnologie (Dr. Gröger)
–
(fortgeschrittene) Klassendiagramme
–
Dynamische UML-Diagramme
–
Software-Demo: CASE-Tool „Together“
–
Korrektheit von Programme – Testen
–
Normen und Standards in GIS
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
Übersicht über das Semester
Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken
•
Internet: Protokolle, Dienste und Formate (Dr. Kolbe)
–
Offene Systeme, Rechnernetze und Internet
–
eXtensible Markup Language (XML)
–
XML Dokumenttyp-Definition, UML -> XML, Namespaces
–
XML-Schema
–
Geography Markup Language (GML 2)
Form: Vorlesung mit Übungsanteilen
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Nachteil des R-Baums
Übersicht
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Einordnung
MBR – minimum bounding rectangle
Idee des R-Baums
Neues laufendes Beispiel
R-Baum als B-Baum
Exkurs: B-Baum
•
Eigenschaften
•
Einfügen in einen B-Baum
•
Löschen in einem B-Baum
Der R-Baum als solcher
Einfügen in einen R-Baum
Strategien zum Spalten eines
Knotens
•
•
•
•
•
Suchen in einem R-Baum
Nachteil des R-Baums
Alternative: Der R+-Baum
R+-Baum
Suche im R+-Baum
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum Einordnung
•
Bisher:
–
Zerlegung des Objekts (->Trapezkarte)
–
Konstruktion einer Zugriffstruktur für das Objekt (->Trapezkarte)
•
Alternatives Vorgehen:
Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele
Rechtecke: Minimal Bounding Rectangle (MBR)
–
Verwaltung der Rechtecke
•
R-Baum
•
R+-Baum
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum MBR – minimum bounding rectangle
y
Außen
x
A 4x
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Nachteil des R-Baums
R-Baum Idee
•
•
•
•
•
•
In welcher Masche M liegt der Punkt P?
Neue Frage: In welcher Bounding Box einer Masche M liegt der Punkt P?
Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R1, ... Rn zu finden, die P
enthalten
–
Jedem Rechteck Ri entspricht eine Masche Mi
Prüfe, ob P in einer der Maschen M1, ... Mn vorkommt
•
Verwende dazu das Standardverfahren
Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke
Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im allgemeinen
Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen
A 1x
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Nachteil des R-Baums
R-Baum Beispiel
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R11
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02
03
R15
07
R13
04
05
R12
11 12
R16
08
R14
09
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06
13 14
01 02 03 04 06 09
05 07
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum R-Baum als B-Baum
•
•
Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften
Was ist denn ein B-Baum?
–
Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen
–
Aber: Jeder Knoten enthält mehr als einen Schlüssel
B-Bäume werden oft in kommerziellen Datenbanken für den schnellen Zugriff auf
Festplattenspeicher genutzt. Die inneren Knoten entsprechen dann den kleinsten
ansprechbaren Einheiten („Kacheln“ von 1 Kbyte oder mehr) der Festplatte.
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Exkurs
B
B
B
B
B
B
B
B
B
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Beispiel der Ordnung 2
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16 31
13 14 15 20 29 30 38 41
52 62 78 90
50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Allgemeines
Der B-Baum wurde nach seinem Entwickler R. Bayer benannt.
Die Suche eines Elementes in einem B-Baum unterscheidet
sich nur wenig von der Suche in anderen Such-Bäumen.
Das Einfügen und Entfernen von Elementen ist jedoch an
vielen Stellen anders als in Binär-Such-Bäumen.
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Eigenschaften I
Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n:
–
Ein B-Baum ist nicht binär
–
Ein B-Baum ist ausgeglichen
–
Alle Blätter haben das gleiche Niveau
–
Jeder Knoten enthält höchstens 2n Elemente
–
Jeder Knoten außer der Wurzel enthält mindestens n Elemente
–
Jeder innere Knoten hat m+1 Nachfolgeknoten, wobei m die Anzahl der
Schlüssel des inneren Knotens ist
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Eigenschaften II
Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n:
–
Die m Elemente eines Knotens werden in aufsteigender Reihenfolge gespeichert:
x1 < x2 < ... < xm
–
Für jeden i-ten Teilbaum Si eines Knotens gilt:
Die Elemente seiner Knoten sind größer als xi und kleiner als xi+1 (ganz links und
ganz rechts analog)
–
Bei einigen Varianten des B-Baums stehen alle Informationen in den Blättern
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
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52 62
52 62 78 90
50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
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61 > 49  rechter Ast
61
Einfügen eines Elements mit dem Wert 61
52 62 78 90
50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
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61 > 49  rechter Ast
Einfügen eines Elements mit dem Wert 61
52 62 78 90
61
52 < 61 < 62  2. Ast von links
50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
61 > 49  rechter Ast
Einfügen eines Elements mit dem Wert 61
52 62 78 90
52 < 61 < 62  2. Ast von links
59 < 61  Einfügen
50 51 55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 95
61
A 31x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
61 > 49  rechter Ast
Einfügen eines Elements mit dem Wert 61
52 62 78 90
52 < 61 < 62  2. Ast von links
59 < 61  Einfügen
50 51 55 59 61 63 66 71 75 80 82 86 91 95
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
61 > 49  rechter Ast
Einfügen eines Elements mit dem Wert 61
52 62 78 90
52 < 61 < 62  2. Ast von links
59 < 61  Einfügen
50 51 55 59 61 63 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
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64 > 49  rechter Ast
64
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 78 90
50 51 55 59 61 63 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
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64 > 49  rechter Ast
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 78 90
64
62 < 64 < 78  3. Ast von links
50 51 55 59 61 63 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
64 > 49  rechter Ast
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 78 90
62 < 64 < 78  3. Ast von links
63 < 64 < 66  Einfügen
50 51 55 59 61 63 66 71 75 80 82 86 91 95
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
49
52 62 78 90
64 > 49  rechter Ast
62 < 64 < 78  3. Ast von links
63 < 64 < 66  Einfügen
50 51 55 59 61 63 64 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
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52 62 78 90
64 > 49  rechter Ast
62 < 64 < 78  3. Ast von links
63 < 64 < 66  Einfügen
50 51 55 59 61 63 64 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
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Problem: Speicherüberlauf
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 78 90
Lösung: Knoten sprengen
50 51 55 59 61 63 64 66 71 75 80 82 86 91 95
A 31x
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
Setze das mittlere
Element um eine
Position nach oben
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 78 90
Bilde zwei neue
Zweige
50 51 55 59 61 63 64 66
A 31x
71 75 80 82 86 91 95
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
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Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 66 78 90
50 51 55 59 61 63 64
A 31x
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 66 78 90
50 51 55 59 61 63 64
A 31x
71 75 80 82 86 91 95
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
Problem: Speicherüberlauf
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 66 78 90
Lösung: Knoten sprengen
50 51 55 59 61 63 64
A 31x
71 75 80 82 86 91 95
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49
Setze das mittlere
Element um eine
Position nach oben
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62 66 78 90
Bilde zwei neue
Zweige
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A 31x
71 75 80 82 86 91 95
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Einfügen
49 66
Einfügen eines Elements mit dem Wert 64
52 62
50 51 55 59 61 63 64
A 31x
78 90
71 75 80 82 86 91 95
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen
•
•
Suche des Knotens, der das zu löschende Element enthält
Falls Knoten gefunden, unterscheiden wir folgende Fälle:
1. Löschen in einem Blatt: Entfernen des Elements
a) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= n
b) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n  „Unterlauf“ bereinigen
2. Löschen in einem inneren Knoten: Eintrag durch das nächstgrößere oder
nächstkleinere Element im Baum ersetzen (rechtester Eintrag im linken
Unterbaum oder linkester im rechten (vgl. AVL-Bäume).
a) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= n
b) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n  „Unterlauf“ bereinigen
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen in einem Blatt
14 49 66
Löschen des Elements mit dem Wert 75
52 62
Element suchen
78 90
Element gefunden: Löschen
49 50 51 54 55 59 63 64 71 75 80 82 86 91 95 97
A 17x
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen in einem Blatt
14 49 66
Löschen des Elements mit dem Wert 75
52 62
Speicherunterlauf
78 90
Über Vater- und Nachbarknoten (nächstgrößeres
Element) ausgleichen
49 50 51 54 55 59 63 64 71
A 17x
80 82 86 91 95 97
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen in einem Blatt
14 49 66
Löschen des Elements mit dem Wert 75
52 62
49 50 51 54 55 59 63 64 71
A 17x
78 90
80 82 86 91 95 97
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen in einem Blatt
14 49 66
Löschen des Elements mit dem Wert 75
52 62
80 90
49 50 51 54 55 59 63 64 71 78
A 17x
82 86 91 95 97
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen in einem inneren Knoten
14 49 66
Löschen des Elements mit dem Wert 90
52 62
Element suchen
80 90
Element gefunden: Löschen
49 50 51 54 55 59 63 64 71 78
A 17x
82 86 91 95 97
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen in einem inneren Knoten
14 49 66
Speicherunterlauf
Löschen des Elements mit dem Wert 90
52 62
80
Ersetzen durch nächstgrößeres Element
49 50 51 54 55 59 63 64 71 78
A 17x
82 86 91 95 97
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
B-Baum Löschen in einem inneren Knoten
14 49 66
Löschen des Elements mit dem Wert 90
52 62
80 91
49 50 51 54 55 59 63 64 71 78
A 17x
82 86
95 97
Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
Zurück zum R-Baum
R
R
R
R
R
R
R
R
R
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum ...als solcher
•
Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste umschließende Rechteck,
welches das Objekt O umschließt
•
Jeder innere Knoten hat m Paare (R,T), R ist das kleinste umschließende
Rechteck des Teilbaums T
•
Ordnung beim R-Baum: (m, M) - Jeder Knoten außer der Wurzel enthält
zwischen m  M/2 und M Einträgen
•
Die Wurzel hat mindestens zwei Einträge sofern sie kein Blattknoten ist
Beachte:
•
Rechtecke können sich überlappen
•
Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab
•
Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor
•
R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden
17
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum ...als solcher
01
R11
15 16
02
03
R15
07
R13
04
05
R12
11 12
R16
08
R14
09
10
06
13 14
01 02 03 04 06 09
05 07
08 10
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum Einfügen
•
•
•
Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen R-Baum
Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt?
–
Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt
–
Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch Einfügen von R
minimal vergrößert würde
–
Füge (R,O) schließlich als Blatt ein
–
Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum
Besonderheit gegenüber B-Baum:
–
Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten
–
Verschiedene Strategien zum Spalten eines Knotens
Animiertes Beispiel der Ordnung (2,3)
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens
Minimierung der Gesamtfläche
Minimierung des Durchschnitts
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum Punktsuche
Welche (R,O) enthalten den Punkt P?
•
Beginne an der Wurzel
•
innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die P enthalten
•
Blattknoten: Suche alle (R,O), die P enthalten
•
Fertig!
•
Achtung: Ggf. muss in mehreren Teilbäumen gesucht werden!
Animiertes Beispiel
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R-Baum Bereichssuche
Welche (R,O) schneiden das Rechteck Q?
•
Beginne an der Wurzel
•
innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die Q schneiden
•
Blattknoten: Suche alle (R,O), die Q schneiden
•
Fertig!
Animiertes Beispiel
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
Nachteil des R-Baums
•
•
•
Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich
Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist
Abhilfe: R+-Baum
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
Alternative: Der R+-Baum
•
•
•
Alle inneren Rechtecke sind disjunkt
Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren Blättern vorkommen
Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem Vaterknoten
umschlossen wird
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
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B
4
I
5
A
7
C
D
3
1 2 3
J F
9
G
E
H
8
A E
A 34x
4 5
D E H
6 7
B D I
B C D
8 9
E G
F J
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
2
1
B
C
I
D
1 2
A
J F
G
E
A 34x
H
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
2
1
B
4
C
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A
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1 2 3
J F
G
E
4
H
A E
A 34x
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
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J F
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E
4 5
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A E
A 34x
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
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B
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C
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A
D
3
1 2 3
J F
G
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A E
A 34x
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
6
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B
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A
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C
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3
1 2 3
J F
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
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G
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4 5
D E H
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B C D
8
E G
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
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B
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1 2 3
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4 5
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B C D
8 9
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Geoinformation III
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Aufbau
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Nachteil des R-Baums
R+-Baum Suche
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