Mechanik deformierbarer Medien
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Mechanik deformierbarer Medien Elastomechanik fester Körper Inhalt • • • • Hookesches Gesetz Elastische und plastische Verformung Biegung eines Balkens Die „Neutrale Faser“ Vereinfachung des Kraftgesetzes: FederModell für kleine Auslenkungen Resultat: Elastizität F F l l l Dehnungselastizität l / 2 l l / 2 d d d Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F Dehnung – Hookesches Gesetz Formel E E Δl l F A SI Einheit Anmerkung 1 N / m2 Dehnung 1 N / m2 Elastizitätsmodul Dehnung, relative Längen Änderung 1 1N/ m2 Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche) Versuch zum Zusammenhang zwischen atomarem Aufbau und Elastizität • Ausglühen erhöht die Anzahl der Fehlstellen, der Draht wird spröde • „Recken“ ordnet das Gefüge, der Draht wird wieder elastisch Beispiele für Elastizitätsmoduli Formel E l l Einheit Erläuterung N m2 Spannung 1 Dehnung, relative Längenänderung 1 Elastizitätsmodul, Beispiele: Material E N 1 2 m E N/m 2 Fe 2 1011 Al 7 1010 Glas 6 1010 Holz (Esche) 1 1010 Gummi 1 10 9 Die Poisson-Zahl • Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt. • Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder PoissonZahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5. Die Poisson-Zahl l / 2 l / 2 l d d d Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft d l d l ist die Poisson-Zahl, 0,2 0,5 F Versuch zur Querkontraktion • Querkontraktion eines elastischen Seils Anwendung • Federkraft • Reversible elastische Verformung von festen Stoffen • Gegensatz zu nicht reversibler Verformung – Plastische Verformung, Fließen, Viskosität Dehnung eines Stahldrahts Spannung Hookescher Bereich Dehnung Versuch zum Verlauf der Dehnung • Dehnung eines Stahldrahts bis zum Bruch Biegung eines Balkens • Definition der „neutralen Faser“ • Bauprinzip: Röhrenknochen Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material • sowohl bei Dehnung • als auch bei Verdichtung „Hookesches Gesetz“ bei Dehnung und Verdichtung (vgl. mit der Verformung einer Ziehharmonika): Biegung eines Balkens b l Elastizitätsmodul des Materials: E a Last Auslenkung h F Biegung eines einseitig eingespannten Balkens: Die Höhe a geht mit der dritten Potenz in die Auslenkung ein. Die „Neutrale Faser“ • Linie, deren Länge bei entsprechender Dehnung und Verdichtung konstant bleibt Biegung eines Balkens, einseitig eingespannt Oberhalb der neutralen Faser wird das Material gestreckt Unterhalb der neutralen Faser wird das Material gestaucht F „Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert Versuch zur Balkenbiegung • Ein „Balken“ wird hochkant und quer dazu eingespannt. Hochkant ist die Durchbiegung viel geringer. Auslenkung eines Balkens bei Biegung 4 F l3 h E b a3 F l3 h 4 E b a3 1m Einseitige Lagerung 1m Beidseitige Lagerung h 1m Durchbiegung F a 1N Last 1m Höhe l b 1m Länge 1m Breite E 1 N/m2 Elastizitätsmodul Die Höhe a geht mit der dritten Potenz in die Auslenkung ein Versuch zur „Neutralen Faser“: • Die Neutrale Faser wird im polarisierten Licht an einem in der Mitte belasteten, zweiseitig eingespannten Glasbalken gezeigt. Unter Spannung stehende Bereiche drehen die Polarisationsebene • Man erkennt, dass das Gebiet um die „Neutrale Faser“ im Innern des Balkens ohne Spannung bleibt. Hohler Balken, einseitig eingespannt Oberhalb der neutralen Faser wird das Material gestreckt Unterhalb der neutralen Faser wird das Material gestaucht F „Neutrale Faser“: Mittellinie, bleibt bei der Biegung in der Länge unverändert Versuch: Biegung eines hohlen und eines ausgefüllten Stabes von gleicher Materialmenge. • Der Versuch zeigt, der Hohlstab ist viel stabiler Hohlbalken • Bei vorgegebener Materialmenge erreicht man mit einem innen hohlen, hohen Profil die geringste Durchbiegung • Das (fehlende) Material im ausgehöhlten Bereich, nahe der „Neutralen Faser“, hätte ohnehin wenig zur Biegesteifigkeit beigetragen In der Natur tragen Röhrenknochen zur Leichtbauweise der Vögel bei Zusammenfassung • Die charakteristische Eigenschaft des festen Zustands ist seine Elastizität bei Zugspannung • Hookesches Gesetz im Bereich elastischer Verformung: Die Kraft ist proportional zur Auslenkung – Proportionalitätskonstante: Elastizitätsmodul – Biegung eines Balkens (a3) – Kraft tangential zur Fläche: Scherung, Torsion • Bei zunehmender Belastung: – Fließen – Bruch • Poissonsche Zahl: Beziehung zwischen den unterschiedlichen Modulen Finis
