Mathematik 2011 ZKM 8

06 Mathematik
Lösung
2011 ZKM - MAC
Mathematik
Aufgaben Serie 8
Übungsserie
ändern!
1.
m
5/
8 km
ändern!
ändern!
— 0.724 km + 4 km 321 m
0.625 km — 0.724 km + 4.321 km
km —  m
(zuerst + (plus) rechnen!)
=
6 7/25 km
=
6.280
0.625 km + 4.321 km — 0.724 km =
6.280 km —  m
— 0.724 km =
6.280 km —  m
4.946 km
dies Zahl ist positiv
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
Alles in km
oder in m
—m
=
6.280 km
+ m
=
6.280 km —
m
=
+ 4.222 km
—
4.222 km
2.058 km
Mathematik 91
Mathematik
Aufgaben Serie 8
Übungsserie
2. Wie viele Stunden dauert es vom 30. Juli 2011 10:00 Uhr abends bis am
1. September 2011 9:00 Uhr morgens?
Hier wird das schrittweise Vorgehen gezeigt!
a. 22:00 Uhr – 24:00 Uhr
b. 30. Juli – 31. Juli
=
1d
c. 1. Aug. – 31. Aug.
=
31 d
d. 00:00 Uhr – 9:00 Uhr
=
2h
= 32 d =
768 h
=
9h
32  24h
779 h
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
3. Ein Schüler multipliziert statt mit 69 mit 96. Das Ergebnis ist dadurch 8270.1
zu gross. Wie lautete die ursprüngliche Aufgabe und welches wäre die
richtige Antwort?
unbekannte Zahl
69  
(96   ) ̶ (69   )
unbekannte Zahl Überschuss
= + (96   ) ̶ 8270.1
=
8270.1
27  
=
8270.1

=
8270.1 : 27

=
306.3
Es kann nichts mehr subtrahiert werden:
Minuszeichen fällt weg.
(Keine negative Zahl!)
Ursprüngliche Aufgabe:
69  306.3 =
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
21134.7
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Mathematik
Aufgaben Serie 8
Übungsserie
4. Eine Klasse verkauft Schokoladenkäfer für einen Wohltätigkeitszweck. Zum
Erlös einer Vierergruppe hat Valeria 1/4 Linda 1/3, Roger 1/5 und Laurin 65 Fr.
beigesteuert. Wie viel hat die Gruppe eingenommen?
 15
 20
1/ 1/ , 1/
4, 3
5 ---
Gleichnamig!
Rest: 13/60
 15
13/
60
: 13
 60
13/
60
1/
60
60/
60
 20
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
15/
60
+
20/
60
+ 12/60
=
47/
60
 12
= 65 Fr. (Laurin)
---------- 65 Fr.
---------5 Fr.
---------- 300 Fr.
Die Gruppe hat
 12
: 13
 60
300 Fr. eingenommen
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
5. In einem grossen Kuhstall werden 56 Kühe eingestellt. Das vorhandene Futter
reicht für 105 Tage. Nach 8 Wochen und 1 Tag kommen ein paar Kühe hinzu,
sodass der Vorrat nun für 6 Tage weniger ausreicht. Wie viele Kühe kamen
hinzu?
8 Wochen + 1 d = 57 d
105 d – 57 d
:8
7
=
48 d
48 d ---------- 56 K
6 d ---------- 448 K
42 d ---------- 64 K
48 d
8
:7
– 6d =
42 d
!!
64 K – 56 K = 8 K
Es kamen 8
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
Kühe dazu.
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
6. Zwei Kanister fassen zusammen 42.25 I. Im kleineren Kanister sind 5/8
weniger drin als im grösseren. Wie viele Liter fasst jeder Kanister?
grosser
Kanister
kleiner
Kanister
7
l
7
x - 3 /9 = 4 /9
x = 9 /9
Zusammen: 9/9 + 4/9 = 13/9
Man kann auch zuerst den gossen Kanister
ausrechnen:
Kleiner Kanister:
: 13
4
13/
---------- 42.25 l
1/ ---------3.25 l
9
4/ ---------- 13.00 l
9
9
: 13
4
Grosser Kanister: 42.25 l – 13.00 l = 29.25 l
Kleiner Kanister = 13
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
l
9/
9
---------- 29.25 l
42.25 l – 29.25 l = 13.00 l
Grosser Kanister = 29.25
l
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
Antenne:
1/ des gesamten Gebäudes
7
7. Auf einer Infotafel für Touristen
wird der Umriss eines
Wolkenkratzers gezeigt
• (Abbildung).
Ersichtlich sind eine Antenne, die
1/
der gesamten Gebäudehöhe
ausmacht,
nur Haus:
6/ des gesamten Gebäudes
7
½a
•
7
und vier Rechtecke, die halb so
breit wie hoch sind
und deren Höhe sich im Vergleich
zum nächstunteren Rechteck
jeweils halbiert.
•
Der Umriss des Wolkenkratzers —
ohne Antenne — beträgt 585.2 m.
•
Wie hoch ist der ganze
Wolkenkratzer?
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
Gebäude total: 7/7
•
a=2b
¼ b+½ b + ¼ b = b
a
b
b= ½ a
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
Zur Erinnerung:
Höhe des Hauses:
16x + 8x + 4x + 2x = 30x
2x
1/
2x
Antenne
= 1/7
= 6/7
= 7/7
Haus
1x
1x
Gebäude
8x
4x
2x
8x
Es sind total x = 76 x
Der Umriss beträgt 585.2 m.
• Wie hoch ist der Wolkenkratzer mit Antenne?
Wie lang ist ein „x“?
x = 585.2 m : 76 = 7.7m
2x
x
1/
4x
Wir betrachten nur den Umriss!
Die oberste Plattform ist die Einheit „x“.
Wir schreiben alle „x“ an. Länge immer 2  Breite!
2x
2x
---------- 321.0 m
38.5 m
7 ---------7/ ---------- 269.5 m
7
1/
7
:6
7
16x
:6
7
6/
16x
30  7.7m = 231m = 6/7 Höhe
Die Höhe des ganzen Gebäudes mit
Antenne beträgt 269.5
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
m.
8x
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Übungsserie
8. Herr Schmitt hat als Abgrenzung zu seinem Nachbarn Schmid einen geraden
Zaun von 198 m mit 25 Pfosten in regelmässigen Abständen erstellt. Da die
Kinder von Herrn Schmid den Zaun regelmässig demolieren, entschliesst sich
Herr Schmitt, den Zaun stärker zu bauen und verkürzt die Abstände zwischen
den einzelnen Pfosten um je 1/3. Wie viele Pfosten mehr benötigt Herr
Schmidt?
25 Pfosten
= 198 m
1.A
2.A
3.A
4.A
usw.
24 Abstände (erster Pfosten!!)
24.A
8.25 m
198 m : 24 Abstände = 8.25 m/Abstand
8.25 m : 3 = 2.75 m
2/
3
8.25m : 3
= 5.5 m
8.25 m
2  2.75 m = 5.5 m
Abstand =
198 m : 5.5 m/Abstand = 36 Abstände
Bei 36 Abständen braucht es 37 Pfosten!
37 Pfosten — 25 Pfosten =
2/
3
1/
= 1/3 Abst.
= 2.75 m
3
(+ erster Pf.)
12 Pfosten zusätzlich
diese hat er schon
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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Übungsserie
9.
Zeichne das Dreieck ABC, Winkel α 31°, β 33°, Strecke AB 12 cm.
Halbiere den Winkel γ und zeichne eine Senkrechte durch C auf AB.
Zwischen der Senkrechten und der Winkelhalbierenden ist ein neuer
Winkel Ω entstanden.
Wie gross ist er?
Auf den folgenden Folien ist das Vorgehen Schritt für Schritt erklärt
und dargestellt.
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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Übungsserie
1. Zeichne die Strecke AB = 12 cm
A
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
12 cm
B
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Übungsserie
2. Miss mit dem Transporteur bei A den Winkel α = 31° ab, und zeichne
durch A eine Gerade.
α = 31°
A
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
B
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Übungsserie
3. Miss mit dem Transporteur bei B den Winkel β = 33° ab, und zeichne
durch B eine Gerade.
4. Dies ergibt Punkt C und den Winkel γ.
C
γ
α = 31°
A
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
β = 33°
B
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Übungsserie
5. Bilde die Winkelhalbierende von Winkel γ. (P1) ; (γ1)
C
γ
γ1
α = 31°
A
β = 33°
P1
B
Winkelhalbierende von γ
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
6. Zeichne mit den Geodreieck eine Senkrechte zu AB durch den Punkt C.
Es entstehen die Winkel γ2 und der Winkel Ω (Omega).
7. Bei der Strecke AB sind 2 Schnittpunkte entstanden: durch die Senkrechte
der Punkt P2 und daneben von der Winkelhalbierenden der Punkt P1
Dies ergibt zwei Dreiecke:
1. Dreieck: A – P1 – C
2. Dreieck: A – P2 – C
C
γ
γ2
γ1
α = 31°
A

Winkel Ω
P1
Ω
P2
Senkrechte zu AB
β = 33°
B
Winkelhalbierende von γ
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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Übungsserie
8. Du weisst: Die drei Winkel in einem Dreieck sind zusammen immer 180°.
9. Berechne zuerst die Winkel γ:
180° - (α) 31° - (β) 33°(γ)
= 116°
C
γ = 116°
γ2
γ1
α = 31°
A

P1
Ω
P2
Senkrechte zu AB
β = 33°
B
Winkelhalbierende von γ
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
10. Die Hälfte des Winkel γ = γ1
116° : 2
= 58°
C
γ = 116°
γ2
γ
58°1
α = 31°
A

P2
Ω
P1
Senkrechte zu AB
β = 33°
B
Winkelhalbierende von γ
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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Aufgaben Serie 8
Übungsserie
rechter Winkel bei P1
11. Winkel γ2 =
180°- 90°- 31° = 59°
12. Der Unterschied beträgt:
59°- 58°
= 1°
= Winkel Ω
Der Winkel Ω beträgt 1°
C
γ = 116°
γ259°
γ
58°1
α = 31°
A
1°

P2
Ω
P1
Senkrechte zu AB
β = 33°
B
Winkelhalbierende von γ
ZKM© Aufnahmeprüfungen Gymnasien,
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ENDE