2 und - Universität Innsbruck

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Algebraische und transzendente Zahlen –
- zum Beispiel 𝟐 und π
(„Wurzel aus 2“ und „Pi“)
π-Tag Universität Bozen-Bolzano
13. März 2015
Franz Pauer
Universität Innsbruck
Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik
2 und π
1
1
Quadrat
Kreis
Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik
2
2 und π
π
2
1
1
Franz Pauer, Universität Innsbruck, Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik
3
2 und π
Zahlengerade
0
Addieren
A‘
A
1
0‘
0
A+B 1
B
Multiplizieren
0
C C∙D
1
D
C‘
1‘
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4
2 und π
0
1
2
B
A
A
B
0
1
2
3
π
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5
2 und π
(0, 2)
(0,1)
(- 2, 0)
1 (1,0)
( 2, 0)
2+ 2<π<2+2=4
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6
2 und π
(0,1)
𝟐
(𝟐,
1
𝟐
)
𝟐
(1,0)
Für n=4: 3.061467458 < π < 3.313708500
Für n=1000: 3.141591362 < π < 3.141595238
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7
2 und π
1995 Bailey- Borwein- Plouffe:
π=
lim
n -> ∞
n=2:
n=5:
n=6:
n = 100 :
n
∑
k=0
1
16𝑘
4
2
1
1
.(8𝑘+1
- 8𝑘+4 - 8𝑘+5 - 8𝑘+6)
3.141587390
3.141592653
3.141592654
3.141592654
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8
2 und π
b
a
1
b
a
=
r
1
r
, also b = a.r
Der Umfang des Kreises mit Radius r ist das r-fache des Umfangs des Kreises
mit Radius 1, also 2rπ.
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9
2 und π
𝒏
r
𝒏
𝒏−𝟏
r
𝒏
𝒏−𝟐
r
𝒏
𝟐
𝒏
𝟏
𝒏
r
r
r
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10
2 und π
Gauss:
1 + 2 + …… + 100 = ?
100
𝑘=1 𝑘
Kurzschreibweise:
100
𝑘=1 𝑘
=?
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) =
= 50 ∙ 101 = 5050
𝑛−1
𝑘=1 𝑘
= 1 + 2 + … + (n – 2) + (n – 1) =
= [1+(n-1)] + [2+(n-2)] + … + [(
=
[𝑛 − 1]
2
[𝑛 − 1]
2
+
[𝑛+ 1]
)]
2
=
∙n
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11
2 und π
𝒌+𝟏
r
𝒏
𝒌
𝒏
r
𝟏
𝒏
𝒌
r
2𝒏rπ
𝑛 −1 k
𝑘 = 1 n² 2r²
π=
2 𝑟²π
n²
2𝑟²π
𝑛 −1
𝑘 = 1 𝑘 = n²
Fläche eines Kreises mit Radius r:
∙
(𝑛 𝑛 −1 )
2
lim r² π (1 −
n →∞
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= r²π (1 1
)
n
1
)
n
= r² π
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2 und π
Bruchzahlen (rationale Zahlen): Quotienten von ganzen Zahlen;
3
−7
718
93995
zum Beispiel:
,
,
7,18
=
,
93,995
=
,…
4
13
100
1000
Alle Zahlen, die durch Ziffern dargestellt werden können, sind Bruchzahlen (rationale Zahlen).
𝟐 ist keine Bruchzahl:
𝑎
Wäre 2 = b , wobei a und b ganze Zahlen sind und nicht beide
durch 2 teilbar, dann:
𝑎²
2 = b² , a² = 2b²
a² durch 2 teilbar, also a = 2c
4c² = 2b² , 2c² = b²
b² durch 2 teilbar, also auch b. Widerspruch!
π ist keine Bruchzahl: Beweis viel schwieriger (Lambert, 1761)
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13
2 und π
𝟐 kann nicht durch Ziffern dargestellt werden (nur Bruchzahlen können
durch Ziffern dargestellt werden), wie dann?
a, b, c, d Bruchzahlen
a+b 2=c+d 2
a – c = (d – b) 2
𝑎 −𝑐
Wäre d – b ≠ 0, wäre 2 = d −b eine Bruchzahl (Widerspruch).
Also: d = b und a = c.
„Die Bruchzahlen a, b sind durch die reelle Zahl a + b 𝟐 eindeutig
bestimmt.“
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2 und π
(a + b 2) ± (c + d 2) = (a + c) ± (b + d) 2
(a + b 2) ∙ (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2
Wenn (a, b) ≠ (0, 0):
(a + b 2) ∙ (a - b 2) = a² - 2b² ≠ 0
Denn:
Wenn b = 0: a² - 2b² = a² ≠ 0
𝑎
𝑎
Wenn b ≠ 0: Wäre a² - 2b² = 0, wäre (b)² = 2, also 2 = (b) eine Bruchzahl.
𝑎
𝑏
Also: 1/(a + b 2) = a² −2b² - a² −2b²
2
„Addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert (außer durch 0) man Zahlen
der Form a + b 𝟐, erhält man wieder solche.“
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2 und π
Darstellung am Computer:
a + b 2 durch (a, b)
z.B.: -2 +
5
2
2 durch (-2,
5
)
2
(a, b) ± (c, d): = (a ± c, b ± d)
(a, b) ∙ (c, d): = (ac + 2bd, ad + bc)
1/(a, b): = (
𝑎
−𝑏
,
)
a² −2b² a² −2b²
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Rechnen mit 2 im Computeralgebrasystem MAPLE
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Mathematik
17
Rechnen mit 2 im Computeralgebrasystem MAPLE
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Mathematik
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2 und π
Reelle (bzw. komplexe) Zahlen, die Nullstellen von Polynomfunktionen mit
rationalen Koeffizienten sind, heißen algebraische Zahlen. Reelle (bzw.
komplexe Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendente Zahlen.
Das heißt: für eine algebraische Zahl a gibt es Bruchzahlen (rationale Zahlen)
c0, c1, c2, … , cn
so, dass nicht alle = 0 sind und
c0 + c1a + c2a2 + … + cnan = 0
ist.
2
Beispiel: 2- 2 = 0 (c0 = 2, c1=0, c2=-1), 2 ist eine algebraische Zahl.
Beispiel:
3
5 ist eine algebraische Zahl.
Beispiel: Jede Bruchzahl ist eine rationale Zahl.
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2 und π
Carl Lindemann (1882): π ist eine transzendente Zahl.
Das heißt: Für alle natürlichen Zahlen n und alle rationalen Zahlen
c0, c1, c2, … , cn mit
c0 + c1 π + c2 π 2 + … + cn πn = 0
folgt,
dass c0= c1= c2= … = cn = 0 ist.
Charles Hermite (1873): Die Eulersche Zahl e ist eine transzendente Zahl.
e=
lim 1
𝑛→∞
1 𝑛
+
𝑛
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑘=0 𝑘!
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