Ultraschall-Tomographie

Slide 1

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 2

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 3

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 4

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 5

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 6

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 7

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 8

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 9

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 10

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 11

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 12

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 13

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 14

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 15

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 16

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 17

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 18

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 19

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 20

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 21

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 22

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 23

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 24

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 25

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 26

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 27

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 28

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 29

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 30

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 31

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 32

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 33

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 34

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 35

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36


Slide 36

Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009

Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik

Ultraschall-Tomographie

Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik

Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens

Alex Sawatzky

2

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
und Industrie

Alex Sawatzky

3

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches

menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter

Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums

Alex Sawatzky

4

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen

• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale

Alex Sawatzky

5

Ultraschall-Tomographie

Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem

• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr

Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können

• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf

Alex Sawatzky

6

Ultraschall-Tomographie

Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen

Alex Sawatzky

7

Ultraschall-Tomographie

Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall

…

Alex Sawatzky

8

Ultraschall-Tomographie

Piezoelektrische Effekt

• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt

elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung

Alex Sawatzky

9

Ultraschall-Tomographie

Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung

piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen

• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials

! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !

Alex Sawatzky

10

Ultraschall-Tomographie

Ultraschall in der Medizin

Alex Sawatzky

11

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Therapie mittels Ultraschall

Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen

• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen

Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend

Alex Sawatzky

12

Ultraschall-Tomographie

Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall

Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar

Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …

Alex Sawatzky

13

Ultraschall-Tomographie

Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus

• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark

akustische Impedanz

• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit

liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren

Alex Sawatzky

14

Ultraschall-Tomographie

Schallgeschwindigkeit im Gewebe

Problem der Tiefenbestimmung

• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten

• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung

• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich

Alex Sawatzky

15

Ultraschall-Tomographie

Reflexion und akustische Impedanz

Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle

• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt

Alex Sawatzky

16

Ultraschall-Tomographie

A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr

Alex Sawatzky

17

Ultraschall-Tomographie

B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert

• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild

Alex Sawatzky

18

Ultraschall-Tomographie

M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen

• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes

Alex Sawatzky

19

Ultraschall-Tomographie

Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen

• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg

• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler

Alex Sawatzky

20

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

21

Ultraschall-Tomographie

Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie

• Untersuchungsobjekt ist im Streifen

platziert

• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem

• Felder sind rechtwinklig zur
platziert

-Achse und auf der Oberfläche des Streifens

• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger

Alex Sawatzky

22

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung

•

lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen

• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit

für

beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt

ausgesendeten Impulses an Quelle

rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)

Alex Sawatzky

23

Ultraschall-Tomographie

Praktische Annahmen

• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit

unterscheidet sich nur gering von

,

klein
• Funktion

verschwindet außerhalb des Streifens

• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.

Alex Sawatzky

24

Ultraschall-Tomographie

Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum

inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung

•

konstante Wellenzahl

rekonstruiere die Funktion

aus den gegebenen Messwerten

Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist

Alex Sawatzky

25

Ultraschall-Tomographie

Born-Approximation

• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz

die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“

• Born-Approximation , d.h. ersetze

Alex Sawatzky

durch

liefert

, ergibt

26

Ultraschall-Tomographie

Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung

• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion

Alex Sawatzky

27

Ultraschall-Tomographie

Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•

durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet

und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle

Alex Sawatzky

28

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion

• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar

,

in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen

• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen

Alex Sawatzky

29

Ultraschall-Tomographie

Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie

Alex Sawatzky

30

Ultraschall-Tomographie

Motivation

Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren

Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen

Alex Sawatzky

31

Ultraschall-Tomographie

CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)

• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte

Alex Sawatzky

32

Ultraschall-Tomographie

Mathematische Modellierung

• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich

• Untersuchung im Frequenzbereich

Alex Sawatzky

33

Ultraschall-Tomographie

Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben

• Kosinus-Transformation

beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist

Alex Sawatzky

34

Ultraschall-Tomographie

Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren

• Linearkombination der Werte von

für verschiedene Argumente bestimmt

• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius

• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar

Alex Sawatzky

bandbeschränkte

35

Ultraschall-Tomographie

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

Viel Spaß im Schnee und Ski heil!

Alex Sawatzky

36