Slide 1
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 2
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 3
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 4
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 5
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 6
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 7
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 8
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 9
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 10
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 11
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 12
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 13
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 14
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 15
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 16
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 17
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 18
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 19
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 20
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 21
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 22
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 23
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 24
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 25
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 26
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 27
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 28
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 29
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 30
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 31
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 32
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 33
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 34
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 35
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36
Slide 36
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
Skiseminar Zaferna-Hütte Kleinwalsertal 2009
Institut für Numerische und
Angewandte Mathematik
Ultraschall-Tomographie
Einführung
• von jeher war es der Wunsch der Ärzte in den Menschen „hineinzuschauen“
zu können, ohne ihn „aufschneiden“ zu müssen
• dies gelang erstmals 1895 nach Entdeckung der Röntgenstrahlen
• parallel zur Röntgendiagnostik entwickelte sich die Ultraschalldiagnostik
Ultraschall-Tomographie
• heute einer der beliebtesten bildgebenden Verfahren in der Medizin
• findet Anwendung in fast allen medizinischen Bereichen
• risikoarmes, schmerzloses und kostengünstiges Verfahren
Anwendung in wichtigen und sensiblen Bereichen,
z.B. Schwangerschaftsvorsorge, Untersuchungen der Nieren und des Herzens
Alex Sawatzky
2
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
und Industrie
Alex Sawatzky
3
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall im physikalischen Sinne
Ultraschall (US)
• Schallwelle mit Frequenzen oberhalb des von Menschen wahrgenommenen
Bereiches
menschliches Mittelohr verhält sich wie ein low-pass Filter
Schallwellen
• mechanische Schwingungen, die sich in Raum und Zeit periodisch ausbreiten
• Ausbreitung streng an Medium gebunden, anders als z.B.
elektromagnetische Schwingungen
Welle entsteht durch Schwingungen von Teilchen des entsprechenden Mediums
Alex Sawatzky
4
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Natur
• Im Gegensatz zum Menschen, können viele Tiere Frequenzen im US-Bereich
wahrnehmen
• manche Tiere können die Ultraschalllaute sogar selbst erzeugen, z.B. Fledermäuse,
Delphine oder Wale
Alex Sawatzky
5
Ultraschall-Tomographie
Echoorientierung der Fledermäuse
Impuls-Echo Prinzip
• besitzen ein sehr hochentwickeltes Echoorientierungssystem
• nehmen Distanz, Struktur, … und Eigenbewegung reflektierender Objekte wahr
Entdeckung der Fledermaus-Orientierung
• 1793: Spallanzani entdeckt die Orientierung der Fledermäuse durch den Gehörsinn
konnte sich jedoch bis zu seinem Tode (1799) nicht erklären,
wie Fledermäuse mit den Ohren sehen können
• erst 1940 klären Griffin und Galambos das Prinzip der
Fledermaus-Orientierung auf
Alex Sawatzky
6
Ultraschall-Tomographie
Technische Entwicklung von Ultraschall - Echolot
! Technische Verwendung des Impuls-Echo Prinzips entwickelte sich völlig
unabhängig von der Entdeckung der Echoorientierung bei Tieren !
• 1912: nach Untergang der Titanic versucht Behm ein Eisberg-Ortungssystem zu
entwickeln
• Schallreflexionen haben sich für Eisbergortung nicht bewährt, aber der
Meeresboden reflektierte ausreichend stark
• 1913: Behm entwickelt den Echolot
Einrichtung zur Messung von Meerestiefen und Entfernungen und Richtungen
von Schiffen oder Hindernissen mit Hilfe reflektierter Schallwellen
Alex Sawatzky
7
Ultraschall-Tomographie
Einsatzgebiete des Ultraschalls
Metallurgie
• Qualitätskontrolle und zerstörungsfreie Werkstoffprüfung mit Ultraschall
Elektronik und Mikroelektronik
• Ultraschallschneiden und -schweißen, Ultraschallmikroskop
Leistungsultraschall
• bewusst gezielte Stoffveränderung oder -zerstörung, z.B. Ultraschallbohrer oder
Ultraschallzahnsteinentfernung
Medizin
• Diagnostik und Therapie mittels Ultraschall
…
Alex Sawatzky
8
Ultraschall-Tomographie
Piezoelektrische Effekt
• 1880: Brüder Jacques und Pierre Curie entdecken den piezoelektrischen Effekt
• Piezoeffekt beschreibt das Zusammenspiel vom mechanischen Druck und
elektrischer Spannung bestimmter Kristalle
• direkter Piezoeffekt: mechanische Verformung bestimmter Kristalle erzeugt
elektrische Ladung auf der Kristalloberfläche
• inverser Piezoeffekt: Kristalle verformen sich bei Anlegen
einer elektrischen Spannung
Alex Sawatzky
9
Ultraschall-Tomographie
Erzeugung von Ultraschall
• Ausnutzung des piezoelektrischen Effekts
• Wechselspannung verursacht periodische Verformung
piezoelektrischer Substanzen
Entstehung von mechanischen Schwingungen und damit Schallwellen
• Schallwellen verformen piezoelektrische Substanz
Entstehung einer messbaren Spannung an der Oberfläche des Materials
! Gleichzeitige Verwendung als Ultraschallsender und –empfänger möglich !
Alex Sawatzky
10
Ultraschall-Tomographie
Ultraschall in der Medizin
Alex Sawatzky
11
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Therapie mittels Ultraschall
Anwendungsgebiete
• Schmerzlinderung bei (chronisch) schmerzhaften Erkrankungen
Muskulatur, Gelenke, Wirbelsäule sowie Nervenreizungen
• Unterstützung von Selbstheilungsprozessen
• Zertrümmerung von Gallen- und Harnsteinen
Mechanische und thermische Wirkung im Gewebe
• Schalldruck erzeugt Vibrationen im Gewebe
• Schallaufnahme durch körpereigenen Gewebe
schmerzlindernd, durchblutungsfördernd und muskelentspannend
Alex Sawatzky
12
Ultraschall-Tomographie
Medizinische Diagnostik mittels Ultraschall
Sonographie
• bekannteste bildgebende diagnostische Ultraschallverfahren in der Medizin
• Untersuchung von organischem Gewebe in der Human- und Veterinärmedizin
• aussagekräftig, kostengünstig, risikofrei sowie leicht und schnell anwendbar
Untersuchung zahlreicher Organe und Körperregionen
• Echokardiographie
Ultraschalluntersuchung des Herzens
• Bauchraum mit Nieren, Blase, Milz, Leber, …
• Schwangerschaftsvorsorge
• Beurteilung des Blutflusses
Dopplersonographie
• …
Alex Sawatzky
13
Ultraschall-Tomographie
Impuls-Echo Prinzip in der Sonographie
• Ultraschallkopf sendet kurze, gerichtete Impulse aus
• Gewebeschichten reflektieren Schallwellen unterschiedlich
stark
akustische Impedanz
• Ultraschallkopf empfängt Echos nach gewissen Zeit
• Laufzeit reflektierter Signale und Schallgeschwindigkeit
liefert die Tiefe der reflektierten Struktur
• Stärke der Reflexion wird auf dem Monitor dargestellt
A-Mode, B-Mode, M-Mode oder Dopplerverfahren
Alex Sawatzky
14
Ultraschall-Tomographie
Schallgeschwindigkeit im Gewebe
Problem der Tiefenbestimmung
• Ausbreitung mechanischer Schallwellen streng an Medium gebunden
unterschiedliche Materialien haben verschiedene Schallgeschwindigkeiten
• Mensch besteht aus verschiedenen Gewebearten
Problemlösung
• Gewebearten besitzen auf Grund ihrer Zusammensetzung
ähnliche Schallgeschwindigkeiten (ca. 1500 m/s)
maßstabsgetreue Abbildung möglich
Alex Sawatzky
15
Ultraschall-Tomographie
Reflexion und akustische Impedanz
Reflexion
• Ablenkung einer Schallwelle an der Grenzfläche zweier Medien
Akustische Impedanz
• Widerstand des Mediums, der der Ausbreitung von Wellen entgegenwirkt
• Impedanzunterschied angrenzender Medien bestimmt die Echointensität
Echointensität um so größer, je größer Impedanzunterschied und Intensität auftreffenden Welle
• Luft sehr starker Reflektor
Ultraschallkopf wird mittels Gel angekoppelt
Alex Sawatzky
16
Ultraschall-Tomographie
A - Scan Mode
• A-Mode (A = Amplitude) einfachste Umsetzung des Impuls-Echo Prinzips
• Echointensitäten werden als „Peaks“ dargestellt
• Interpretation erfordert ausgeprägtes medizinisches Fachwissen
und gute räumliche Vorstellung
• heute nahezu keine Bedeutung mehr
Alex Sawatzky
17
Ultraschall-Tomographie
B - Scan Mode
• B-Mode (B = Brightess) ist eine Weiterentwicklung der A-Mode
• jeder Echointensität wird ein Helligkeitswert zugeordnet
je stärker die Echointensität, desto heller der zugeordnete Grauwert
• Richtung und Laufzeit der Schallimpulse, Echointensitäten
ergeben ein 2-D real-time Schnittbild
Alex Sawatzky
18
Ultraschall-Tomographie
M - Scan Mode
• M-Mode (M = Motion) stellt Bewegungen anatomischer Strukturen dar
sehr gut zur Darstellung von schnellen Bewegungen geeignet, z.B. Herzklappenbewegungen
• Darstellung der zeitlichen Veränderung eines B-Bildes
Alex Sawatzky
19
Ultraschall-Tomographie
Dopplerverfahren
Doppler-Effekt
• Veränderung der wahrgenommenen Frequenz von Wellen bei
sich zueinander relativen Bewegung der Quelle und Empfänger
Doppler-Verfahren
• Darstellung der Frequenzänderungen der Echos gegenüber ausgestrahlten Signale
z.B. Reflexion an festen Bestandteilen des Blutes oder am bewegten Herzen
• Ermittlung von Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit des Objekts
z.B. Farb-Doppler Darstellung: rot – Bewegung auf den Schallkopf zu
blau – Bewegung vom Schallkopf weg
• Entdeckung und Beurteilung von Verengungen der
Blutgefäße sowie Herzfehler
Alex Sawatzky
20
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Analyse der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
21
Ultraschall-Tomographie
Vereinfachter Aufbau der Ultraschall-Geometrie
• Untersuchungsobjekt ist im Streifen
platziert
• Ultraschall-Scanner besteht aus festen Feldern von Schallwandlern
linear angelegt im 2D-Problem und flächenüberdeckend im 3D-Problem
• Felder sind rechtwinklig zur
platziert
-Achse und auf der Oberfläche des Streifens
• Schallwandler dienen gleichzeitig als Sender und
Empfänger
Alex Sawatzky
22
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Ausbreitung der Ultraschallwellen genügt der Wellengleichung
•
lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ultraschallwellen
• Dirac -Distribution modelliert eine Quelle mit Ortskoordinate
• Elementarwelle mit
für
beschreibt den Verlauf eines zum Zeitpunkt
ausgesendeten Impulses an Quelle
rekonstruiere Schallgeschwindigkeit aus den gegebenen Messwerten
an den Receivern (Inverses Problem der Wellengleichung)
Alex Sawatzky
23
Ultraschall-Tomographie
Praktische Annahmen
• Untersuchungsobjekt ist vom homogenen Medium mit bekannter und konstanter
Ausbreitungsgeschwindigkeit
umgeben
• Ausbreitungsgeschwindigkeit
unterscheidet sich nur gering von
,
klein
• Funktion
verschwindet außerhalb des Streifens
• Sender und Receiver sind auf der Oberfläche des Streifens platziert, d.h.
Alex Sawatzky
24
Ultraschall-Tomographie
Untersuchung der Ultraschall-Tomographie in Frequenzbereich
• Ausgangspunkt ist die Modellierung der Ultraschall-Tomographie in Zeitbereich
• Inverse Fouriertransformation der Wellengleichung bezüglich der Zeit führt zum
inversen Problem der inhomogenen Helmholtzgleichung
•
konstante Wellenzahl
rekonstruiere die Funktion
aus den gegebenen Messwerten
Vorteil der Untersuchung im Frequenzbereich
• Helmholtzgleichung besitzt gegenüber Wellengleichung eine Dimension weniger
Methode im Frequenzbereich schneller, obwohl eine Schar von Lösungen zu bestimmen ist
Alex Sawatzky
25
Ultraschall-Tomographie
Born-Approximation
• benutze die Modellierung im Frequenzbereich
• sei
• Ansatz
die „incoming wave“, also die Lösung der Helmholtzgleichung für
mit der „scattered wave“
• Born-Approximation , d.h. ersetze
Alex Sawatzky
durch
liefert
, ergibt
26
Ultraschall-Tomographie
Bildrekonstruktion aus der Rückstreuung
• benutze für die Rekonstruktion die Daten
• Fourier-Analyse liefert folgende Rekonstruktion
Alex Sawatzky
27
Ultraschall-Tomographie
Bestimmungsbereich der Fourier-Transformierten
• hauptsächlich sind hohe Frequenzanteile von
• erfasster Frequenzbereich von
•
durch die Reflexionsdaten bestimmt
ist im Bild rechts abgebildet
und
sind Wellenzahlen gemäß der unteren und oberen Frequenzgrenze der
Elementarwelle
Alex Sawatzky
28
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion
• Rekonstruktionsproblem bei Wavelets mit niederfrequenten Anteilen, z.B.
eindeutig lösbar
,
in der Praxis erzeugten Wavelets enthalten im Allgemeinen keine niedrigen Frequenzen
• Wavelets enthalten Frequenzen mit
• nur außerhalb der Kugeln um
mit dem Radius
bestimmbar
• Rekonstruktion von
nicht eindeutig bestimmt
• Approximationsfehler groß, wenn exakte Fourier-Transformation von sich in der
Nullumgebung konzentriert
• Problem der niederfrequenten Anteilen entfällt, wenn zusätzlich Transmissionswerte
vorliegen
Alex Sawatzky
29
Ultraschall-Tomographie
Reflektoren in der
Ultraschall-Tomographie
Alex Sawatzky
30
Ultraschall-Tomographie
Motivation
Bildgebung in der Seismik
• Präsenz der Reflektoren, seien sie bekannt oder unbekannt, verbessern die
Bildgebung aus Reflexionsdaten außerordentlich
unabhängig von der geometrischen Form der Reflektoren
Vorhaben
• Ausnutzung dieser wohlbekannten Tatsache in der medizinischen Bildgebung
• Untersuchung des Rekonstruktionsproblems bei Existenz eines externen Reflektors
zeigen, dass bei Existenz eines ebenen Reflektors die niederfrequenten Anteile der Wavelets nicht
benötigt werden, um das Rekonstruktionsproblem aus Reflexionsdaten eindeutig zu bestimmen
Alex Sawatzky
31
Ultraschall-Tomographie
CARI (Clinical Amplitude/Velocity Reconstructive Imaging)
• sonographische Verfahren zur Erkennung von Brustläsionen
Idee
• Vervollständigung der Reflexionsmessungen durch einen akustischen Reflektor
Aufbau
• Scanner besteht aus zwei Plexiglasscheiben
• Brust zwischen den Platten fixiert
• obere Platte mit Ultraschallwandlern versehen
• untere Platte ist ein akustischer Reflektor, z.B.
eine einfache Metalplatte
Alex Sawatzky
32
Ultraschall-Tomographie
Mathematische Modellierung
• Untersuchung erfolgt wie im Fall ohne Reflektoren
• Modellierung des Reflektors geschieht durch eine Neumann-Randbedingung
• Untersuchung im Zeitbereich
• Untersuchung im Frequenzbereich
Alex Sawatzky
33
Ultraschall-Tomographie
Rekonstruktion aus der Streuung mit Reflektoren
• Born-Approximation und Fourier-Analyse ergeben
• Kosinus-Transformation
beachte, dass die Kosinus-Transformation invertierbar ist
Alex Sawatzky
34
Ultraschall-Tomographie
Konsequenzen für die Rekonstruktion mit Reflektoren
• Linearkombination der Werte von
für verschiedene Argumente bestimmt
• Argumente enthalten niederfrequente Anteile
• auch in den beiden Kreisen um
mir dem Radius
bestimmbar
• Existenz eines Reflektors , bei bekannter Position, bestimmt alle Frequenzen von
innerhalb des Kreises mit Radius
• Ist die Position des Reflektors bekannt, dann ist eine wesentlich
Funktion durch Messwerte aus der Rückstreuung bestimmbar
Alex Sawatzky
bandbeschränkte
35
Ultraschall-Tomographie
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Viel Spaß im Schnee und Ski heil!
Alex Sawatzky
36