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3. Schulaufgabe aus der Mathematik am 24. April 2006
Name: ____________________, 12___
Punkte:
Note:
_
Hilfsmittel: zugelassener Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung, zugelassenes Tafelwerk
Arbeitszeit: 80 Minuten
Alle Aufgaben sind auf den Bögen zu lösen. Rechnungen und Ergebnisse auf dem Angabezettel werden nicht berücksichtigt.
Ergebnisse sind so weit wie möglich zu vereinfachen, insbesondere zu kürzen.
1.0 Wir betrachten die Funktionenschar fa(x) = 0,1(x² – 4)(x – a)² ; Da = IR; a  IR mit den Graphen Ga.
1.1 Für welche Werte von a hat der Ga einen Terrassenpunkt auf der x-Achse? Wo jeweils?
1.2 Von nun an sei a = 2:
1.2.1 Berechnen Sie Lage und Vielfachheit der Nullstellen von f2.
1.2.2 Berechnen Sie Lage und Art der Extrema von f2.
Hinweis: Eines hat die x-Koordinate x1 = –1.
[Mögliches Zwischenergebnis: f 2 x   0,4 x 3  1,2 x 2  1,6 ]
1.2.3 Berechnen Sie die Lage etwaiger Wende- und Terrassenpunkte von G2.
1.2.4 Zeichnen Sie G2 im Intervall [-3;4,5] in ein Koordinatensystem unter
Verwendung der Resultate von 1.2.1, 1.2.2 und 1.2.3.
1.2.5 Berechnen Sie den Inhalt der (endlichen) Fläche im dritten und vierten
Quadranten, die von G2, der positiven x-Achse und der Strecke zwischen dem
Tiefpunkt von G2 und dem Ursprung begrenzt wird.
2.0 Paul hat eine 660 cm lange Leiste gefunden (Fragen Sie bitte
nicht, wo er diese aufbewahrt hat!) und möchte daraus einen
Rahmen mit Querstreben (wie in der Abbildung) mit möglichst
großer Gesamtfläche nageln.
2.1 Stellen Sie die Gesamtfläche A(a) als Funktion der
Gesamtlänge a dar.
2.2 Berechnen Sie die Werte für die Gesamtlänge a und die
Gesamtbreite b so, dass die Gesamtfläche A möglichst
groß wird.
3.0 Ein Würfel hat auf je zwei Seiten die Zahlen 1, 2 und 3. Zweimal wird auf jeden Fall gewürfelt,
danach wird nur weitergewürfelt, wenn beim jeweils letzten Wurf eine höhere Zahl kam als vorher.
Die Zufallsgröße X ist die Würfelsumme.
3.1 Zeichnen Sie auf einer neuen Seite einen Baum zu diesem Wahrscheinlichkeitsexperiment.
3.2 Geben Sie bei jedem Pfad die Wahrscheinlichkeit als Bruch und den Zufallswert an.
3.3 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in Form einer Tabelle an.
3.4 Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).
3.5 Berechnen Sie die Varianz Var(X).
3.6 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X innerhalb der einfachen
Standardabweichung um den Erwartungswert E(X) liegt.
4.0 Ein Nachhilfeinstitut behauptet, bei 80 % seiner Schüler eine Verbesserung der Mathematiknote
erreichen zu können (Nullhypothese). Eine Klasse mit 20 Schülern nimmt geschlossen teil und hält
die Erfolgsquote für zu hoch (Gegenhypothese).
4.1 Bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese bei einem
Signifikanzniveau von 5 %.
4.2 Berechnen Sie das Risiko 1. Art.
4.3 Worin besteht bei diesem Test der Fehler 2. Art?
Lösungsblatt zur 3. Schulaufgabe aus der Mathematik am 24. April 2006
1.0 Wir betrachten die Funktionenschar fa(x) = 0,1(x² – 4)(x – a)² ; Da = R; a  R mit den Graphen Ga.
1.1 Für welche Werte von a hat der Ga einen Terrassenpunkt auf der x-Achse? Wo jeweils?
TEP auf x-A.  3-fache Nullstelle fa(x) = 0,1(x – 2)(x + 2)(x – a)(x – a)  a = 2
1.2 Von nun an sei a = 2 f2(x) = 0,1x4 – 0,4x³ + 1,6x – 1,6:
1.2.1 Berechnen Sie Lage und Vielfachheit der Nullstellen von f2.
aus der Produktform: N1,2,3(2/0), N4(-2/0)
1.2.2 Berechnen Sie Lage und Art der Extrema von f2.
Hinweis: Eines hat die x-Koordinate x1 = –1. T(-1/-2,7)
1.2.3 Berechnen Sie die Lage etwaiger Wende- und Terrassenpunkte von G2.
W(0/-1,6); TEP(2/0)
1.2.4 Zeichnen Sie G2 im Intervall [-3;4,5] in ein Koordinatensystem unter
Verwendung der Resultate von 1.2.1, 1.2.2 und 1.2.3.
1.2.5 Berechnen Sie den Inhalt der (endlichen) Fläche im dritten und vierten
Quadranten, die von G2, der positiven x-Achse und der Strecke zwischen dem
Tiefpunkt von G2 und dem Ursprung begrenzt wird.
2
 0,1x
1
4
 0,4 x 3  1,6 x  1,6dx 
2,7  1
 1,89
2
2.0 Paul hat eine 660 cm lange Leiste gefunden (Fragen Sie bitte nicht, wo er diese
aufbewahrt hat!) und möchte daraus einen Rahmen mit Querstreben (wie in der
Abbildung) mit möglichst großer Gesamtfläche nageln.
2.1 Stellen Sie die Gesamtfläche A(a) als Funktion der Gesamtlänge a dar.
A(a) = 165a – ¾a²
2.2 Berechnen Sie die Werte für die Gesamtlänge a und die Gesamtbreite b so, dass die
Gesamtfläche A möglichst groß wird. 110  82,5
3.0 Ein Würfel hat auf je zwei Seiten die Zahlen 1, 2 und 3. Zweimal wird auf jeden Fall gewürfelt,
danach wird nur weitergewürfelt, wenn beim jeweils letzten Wurf eine höhere Zahl kam als vorher.
Die Zufallsgröße X ist die Würfelsumme d.h. die Summe der gewürfelten Zahlen.
3.1 Zeichnen Sie auf einer neuen Seite einen Baum zu diesem Wahrscheinlichkeitsexperiment.
3.2 Geben Sie bei jedem Pfad die Wahrscheinlichkeit als Bruch und den Zufallswert an.
3.3 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in Form einer Tabelle an.
xi
2
3
4
5
6
7
8
9
P(X = xi)
1/9
1/9
7/27
5/27
5/27
7/81
4/81
1/81
3.4 Berechnen Sie den Erwartungswert E(X). 128/27
3.5 Berechnen Sie die Varianz Var(X). 2048/81 – μ² = 2048/729
3.6 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X innerhalb der einfachen
Standardabweichung um den Erwartungswert E(X) liegt.
P(3,06 < X < 6,42) = 7/27 + 5/27 + 5/27 = 17/27
4.0 Ein Nachhilfeinstitut behauptet, bei 80 % seiner Schüler eine Verbesserung der Mathematiknote
erreichen zu können (Nullhypothese). Eine Klasse mit 20 Schülern nimmt geschlossen teil und hält
die Erfolgsquote für zu hoch (Gegenhypothese).
4.1 Bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese bei einem
Signifikanzniveau von 5 %. A1 = {0;1;2;...;12}
4.2 Berechnen Sie das Risiko 1. Art. 0,03214
4.3 Worin besteht bei diesem Test der Fehler 2. Art?
Dass sich ohne Verdienst des Instituts die Schüler zufällig so stark verbessern.