Vektorrechnung 6. Klasse
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Vektorrechnung (in R² und R³) – 6. Klasse AHS: Folgendes sollten Sie – wenn nicht anders angegeben in der Ebene und im Raum – können: - Das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren berechnen können (dieses heißt so, weil das Ergebnis dieses Produkts ein Vektor ist) – in R³ - Ebene aufstellen können: in der Parameterform und in der Normalvektorform (= parameterfreie Form) – in R³ - Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene bestimmen können – in R³ - Die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen bestimmen können – in R³ - Die Lagebeziehung zwischen drei Ebenen bestimmen können – in R³ - Den Winkel zwischen zwei Vektoren bzw. zwei Geraden bzw. zwischen Gerade und Ebene bzw. zwischen zwei Ebenen bestimmen können - Die vektorielle Projektion berechnen können - Den Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck berechnen können - Das Volumen von Pyramiden und Parallelepiped berechnen können – in R³ - Den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen können - Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen können– in R³ - Den kleinsten Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen können – in R³ - Geometrische Anwendungsbeispiele lösen können! Das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren berechnen können – in R³ Das skalare Produkt zwischen zwei Vektoren haben wir bereits beim 5.-Klasse-Stoff kennen gelernt. Nun lernen wir das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren kennen. Dieses heißt so, weil das Ergebnis dieses Produkts ein Vektor ist! Manche sprechen auch von Kreuzprodukt. bx ax Die Formel für das vektorielle Produkt lautet: Seien a a y und b b y , so ist bz az a x b x a y .bz a z .b y a x b = a y x b y = (a x .bz a z .bx ) Die Formel wirkt kompliziert, aber in Worten a z b z a x .b y a y .bx lässt sie sich einfach merken. Um die erste Koordinate des Vektors zu erhalten, halten Sie zunächst die 1. Zeile zu und rechnen Sie dann das „Kreuzprodukt“ aus 2. und 3. Zeile. Um die zweite Koordinate des Vektors zu erhalten, halten Sie die 2. Zeile zu und rechnen Sie dann das „Kreuzprodukt“ aus 1. und 3. Zeile. Nun setzen Sie noch ein MINUS vor das Ergebnis. Um die dritte Koordinate des Vektors zu erhalten, halten Sie die 3. Zeile zu und rechnen Sie dann das „Kreuzprodukt“ aus 1. und 2. Zeile. Beispiel: A(-3/1/2), B(-1/0/4), C(2/5/2) Ges.: AB x AC Zunächst stelle ich die beiden Vektoren auf und dann berechne ich mittels Formel das vektorielle Produkt. 2 5 1.0 2.4 8 AB x AC = 1 x 4 = (2.0 2.5) 10 2 0 2.4 (1).5 13 8 Wenn Sie nun das Ergebnis 10 jeweils mit den beiden Vektoren AB und AC skalar 13 multiplizieren, werden Sie sehen, dass das Skalarprodukt jeweils 0 ist. 8 2 10 . 1 = -16 – 10 + 26 = 0 13 2 8 5 10 . 4 = -40 + 40 + 0 = 0 13 0 Was bedeutet dass? Das heißt, dass der – über das vektorielle Produkt berechnete Vektor – normal auf die beiden Vektoren besteht, aus denen er berechnet wurde. WICHTIG: Allgemein gilt, dass der Vektor, der aus dem Vektorprodukt zweier Vektoren berechnet wird, ein Normalvektor auf diese beiden Vektoren ist. na x b Dieses Wissen können wir im nächsten Unterkapitel gut gebrauchen. Ebene aufstellen können: in der Parameterform und in der Normalvektorform (= parameterfreie Form) – in R³ Eine Ebene im Raum ist durch einen Punkt P und zwei Richtungsvektoren a und b bestimmt (die Vektoren dürfen nicht parallel sein). Die Gleichung der Ebene enthält zwei Parameter, z.B. s und t. : X P s.a t.b Diese Form der Ebenengleichung wird Parameterform genannt. Beispiel: Stellen Sie die Gleichung der Ebene durch die Punkte P(1/1/3), Q(2/2/-2) und R(4/1/-3) in Paramterform auf! 1 PQ 1 5 3 PR 0 6 1 1 3 : X 1 t.1 s. 0 3 5 6 Wenn man die Gleichung parameterfrei macht, erhält man die Normalvektorform der Ebenengleichung. In diesem Beispiel ginge das so: x = 1 + t + 3s | ·2 y=1+t z = 3 – 5t – 6s 2x + z = 5 – 3t y=1+ t | ·3 Ich multipliziere die 1. Gleichung mit 2 und addiere die 3. Gleichung, damit das s verschwindet Nun schreibe ich die 2. Gleichung darunter, multipliziere diese mit 3 und addiere : 2x + 3y + z = 8 Dies ist die Normalvektorform der Ebene. Warum diese Darstellung der Ebene Normalvektorform heißt, klärt sich aus dem vorigen Unterkapitel. Um die Normalvektorform der Ebene zu bekommen, hätten wir den Normalvektor auch mittels des vektoriellen Produkts der beiden gegebenen Richtungsvektoren berechnen können. Als nächstes wird der berechnete Normalvektor und ein Punkt P der Ebene, den wir kennen, in die Normalvektorform der Ebene : n. X n.P eingesetzt und so erhalten wir direkt die Ebenengleichung. Ich rechne diese zweite Variante hier vor: 1 3 6 PQ x PR = 1 x 0 = 9 Nun habe ich den Normalvektor der Ebene erhalten. 5 6 3 Bevor ich ihn in die Ebenengleichung einsetze, darf ich ihn noch „verschönern“ 6 2 9 || 3 : 2x + 3y + z = ?? 3 1 Um die Zahl recht zu erhalten, setze ich einen gegebenen Punkt der Ebene, hier z.B. P(1/1/3) ein : 2x + 3y + z = 2.1 + 3.1 + 1.3 : 2x + 3y + z = 8 Wie Sie sehen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. Sie können also aus der Parameterform die Normalvektorform der Ebene über Gleichungssystemlösen berechnen oder mittels vektoriellem Produkt. Wählen Sie die Variante, die Ihnen lieber ist. Versuchen Sie es doch mit folgendem Beispiel selbst: Gegeben: A(-1/0/2), B(-3/0/4), C(2/2/2) Gesucht: Gleichung der Ebene durch A, B und C in Parameter- und in Normalvektorform Hier kommen Sie zur Lösung. Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene bestimmen können – in R³ Im Raum können eine Gerade und eine Ebene einander schneiden, sie können parallel liegen oder die Gerade kann in der Ebene liegen. Wie kann dies rechnerisch nachgewiesen werden? Dazu drei Beispiele: 5 3 a) Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen g: X 9 t. 5 und : 2x – 3y + 7z = 2 15 7 Wir spalten g auf und setzen in ein 2.(5 + 3t) – 3.(-9 – 5t) + 7.(15 + 7t) = 2 Wir lösen die Gleichung und berechnen t 10 + 6t +27 + 15t + 105 + 49t = 2 t=-2 Nun wissen wir bereits, dass die Gerade und die Ebene einander schneiden. Um S zu berechnen, setzen wir in die Geradengleichung t=-2 ein S(-1/1/1) 0 2 b) Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen g: X 3 t.1 und : 2x – 3y + 7z = 2 1 1 Ich gehe wie oben vor 2.(0 – 2t) -3.(-3 + t) + 7.(-1 + t) = 2 -4t + 9 – 3t -7 + 7t = 2 Da hier der Parameter t weg fällt, weiß ich schon, dass nur mehr in Frage kommt, dass die Gerade in der Ebene liegt oder, dass Gerade und Ebene parallel liegen. Wenn ich – wie bei diesem Beispiel – beim Lösen der Gleichung eine wahre Aussage erhalte (hier: 2 = 2), weiß ich, dass die Gerade in der Ebene liegt. Wenn ich eine f. A. erhalten hätte, hätte ich gewusst, dass die Ebene und die Gerade parallel sind. 2 5 c) Gesucht ist die Lagebeziehung zwischen g: X 1 c. 1 und der Ebene 3 2 4 7 3 : X 1 t.1 s.1 0 1 0 Im Unterschied zu den zwei Beispielen zuvor, ist nun die Ebene in der Parameterform gegeben. Nun gibt es 2 Möglichkeiten, dass Beispiel zu lösen: 1) Ich könnte die Geraden- und die Ebenengleichung „gleich setzen“ und zeilenweise aufspalten. Das führt zu einem Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten (hier: c, t und s). Wenn das Lösen des Gleichungssystems zu einer falschen Aussage führt, weiß ich, dass die Gerade und die Ebene parallel sind. Wenn das Lösen des Gleichungssystems zu einer w. A. führt, weiß ich, dass die Gerade und die Ebene zusammen fallen. Wenn ich für meine Parameter Zahlen erhalte, kann ich mir den Schnittpunkt ausrechnen. 2) Ich bevorzuge die Variante, die Ebene erst parameterfrei zu machen und dann mit der Geraden zu schneiden. Zum Parameterfreimachen der Ebene berechne ich den Normalvektor und setze den Punkt der Ebene (hier (4/-1/0)) ein, um die Normalvektorform der Ebene zu erhalten. 7 3 1 n 1 x1 3 : x – 3y + 4z = 1.4 -3.(-1) + 4.0 : x – 3y + 4z = 7 1 0 4 Als nächstes schneide ich die Gerade und die Ebene wie in den vorigen zwei Beispielen (2 + 5c) -3.(1 – c) + 4.(-3 – 2c) = 7 -13 = 7 Mein Parameter c ist weggefallen und ich habe eine f. A. erhalten Die Ebene und die Gerade sind parallel. Beispiele zum Selberrechnen: 1) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und der Ebene: 1 8 g : X 3 t. 4 : x 6 y 18 z 65 1 1 2) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ? 1 2 1 1 1 g: X 3 c. 2 : X 3 t.1 s.1 2 1 5 0 5 3) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ? 2 3 g: X 0 s. 2 : y + z = 9 7 2 Hier kommen Sie zu den Lösungen. Die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen bestimmen können – in R³ Zwei Ebenen können a) einander in einer Geraden schneiden b) zusammen fallen c) parallel liegen Wenn beide Ebenen in der Normalvektorform gegeben sind, ist leicht zu sehen, wie sie zueinander liegen: : 5x + 3y – 4z = 7 und : -10x – 6y + 8z = 3 liegen parallel zueinander (die Normalvektoren sind Vielfache voneinander, die Zahlen auf der rechten Seite sind aber nicht das gleiche Vielfache). : 5x + 3y – 4z = 7 und : -10x – 6y + 8z = -14 fallen zusammen, da sie auf der rechten und der linken Seite das gleiche Vielfache voneinander sind (nämlich das – 2-fache). : 5x + 11y – 4z = 7 und : x + 2y – 3z = 2 schneiden einander. Wie kann die Schnittgerade bestimmt werden? Zunächst eliminiere ich eine Variable, z.B. x: 5x + 11y – 4z = 7 x + 2y – 3z = 2 | .5 und subtrahiere y +11z = -3 Nun setze ich eine Variable (hier z.B. z) gleich einem Parameter (z.B. t) und rechne die andere Variable aus. z = t y = -3 – 11t Nun setze ich in die 2. Gleichung ein (ist hier besser, ich kann aber auch die 1. Gleichung nehmen) und berechne x x + 2.(-3 – 11t) – 3.t = 2 x = 2 + 6 +22t + 3t x = 8 + 25t Nun schreibe ich die drei Gleichungen untereinander x = 8 + 25t Darauf achten, dass die Zahlen mit bzw. ohne t untereinander stehen ! y = -3 – 11t z= t Das schaut doch sehr nach der Parameterdarstellung einer Geraden aus 8 25 g: X 3 t. 11 … das ist nun die gesuchte Schnittgerade 0 1 Aber was tue ich, wenn eine Ebene oder beide Ebenen in Parameterform gegeben sind? Ich würde beide in Normalvektorform bringen (mit Hilfe des vektoriellen Produkts) und dann so vorgehen wie oben. Beispiele zum Selberrechnen: Wie liegen die beiden Ebene zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade: 1) : 2x – 3y + 5z = 0 : x + 2y – z = 7 1 1 1 2) : X 3 t.1 s.1 5 0 5 : x – y = 3 3) : x – 5y + 2z = 5 : -3x + 15y – 6z = -15 Hier kommen Sie zu den Lösungen. Die Lagebeziehung zwischen drei Ebenen bestimmen können – in R³ Hier gibt es insgesamt acht Möglichkeiten. Die ersten fünf sind leicht zu erkennen (dafür müssen die Ebenen in der Normalvektorform gegeben sein): a) Die drei Ebenen sind ident. Ist daraus ersichtlich, dass ihre Gleichungen proportional sind (also Vielfache voneinander). b) Zwei Ebenen sind ident, die dritte ist parallel dazu. Ist daraus ersichtlich, dass zwei Gleichungen proportional sind, bei der 3. Gleichung ist nur der Normalvektor proportional. c) Alle drei Ebenen sind parallel. Ist daraus ersichtlich, dass nur die Normalvektoren proportional sind. d) Zwei Ebenen sind identisch (d.h.: ihre Gleichungen sind proportional), die dritte Ebene schneidet die „beiden“ anderen Ebenen in einer Geraden. D.h., wir haben es eigentlich mit dem Schnitt zweier Ebenen zu tun. Das ergibt eine Gerade und wie diese berechnet wird, haben wir im vorigen Unterkapitel behandelt. e) Zwei Ebenen sind parallel (d.h.: nur ihre Normalvektoren sind proportional), die dritte Ebene schneidet die beiden anderen Ebenen jeweils in einer Geraden. Berechnung der Schnittgeraden siehe voriges Unterkapitel. 3 Fälle lassen sich nicht direkt aus der Angabe der Ebenengleichungen erkennen: f) Die drei Ebenen schneiden einander in einem Schnittpunkt S. Das entspricht dem Lösen von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Wird gleich vorgerechnet. g) Die drei Ebenen schneiden einander in einer Geraden. Wird gleich vorgerechnet. h) Je zwei Ebenen schneiden einander in einer Geraden. Beim Lösen des Gleichungssystems kommt es zu einer falschen Aussage. Um die jeweiligen Schnittgeraden zu bekommen, würden wir jeweils 2 Ebenen schneiden und dabei wie im vorigen Unterkapitel vorgehen. Gesucht ist die Lagebeziehung der drei Ebenen. 1: x – 3y + z = 7 2: 2x -z = 11 3: 4y – 3z = 1 Bei den folgenden Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind es kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln. Ich bringe, indem ich die 1. Gleichung mal 2 nehme und davon die 2. Gleichung subtrahiere, die Variable x zum Verschwinden: 1: 2x – 6y + 2z = 14 2: 2x -z = 11 – 6y + 3z = 3 Nun „verquicke“ ich diese Gleichung mit der noch nicht verwendeten 3. Gleichung und eliminiere z: 3: – 6y + 3z = 3 4y – 3z = 1 -2y = 4 y = -2 Aus 3 berechne ich z: 4.(-2) – 3z = 1 z = -3 Aus 2 berechne ich x: 2x –(-3) = 11 x = 4 Ich weiß, dass die drei Ebenen einander in einem Punkt S(4/-2/-3) schneiden. Gesucht ist die Lagebeziehung der drei Ebenen. 1: x – 8y – 14z = 3 2: 2x – 6y – 3z = 1 3: -3x + 4y – 8z = 1 Bei den folgenden Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind es kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln. Ich bringe, indem ich die 1. Gleichung mal 2 nehme und davon die 2. Gleichung subtrahiere, die Variable x zum Verschwinden: 1: 2x – 16y – 28z = 6 2: 2x – 6y – 3z = 1 -10y – 25z = 5 Indem ich die 2. Gleichung mit 3 multipliziere und die 3. Gleichung mit 2 multipliziere und die beiden neuen Gleichungen addiere, eliminiere ich ebenfalls x. 2: 6x – 18y – 9z = 3 3: -6x + 8y – 16z = 2 -10y – 25z = 5 Damit habe ich dieselbe Gleichung wie oben erhalten Die drei Ebenen schneiden einander daher in einer Geraden. Diese berechne ich wieder, indem ich in -10y – 25z = 5 z.B. z = t setze y = -0,5 – 2,5t Eingesetz in 1: 2x – 16y – 28z = 6 ergibt das 2x – 16.(-0,5 – 2,5t) – 28. t = 6 x = -1 – 6t Untereinander geschrieben lässt sich die Geradengleichung leicht ablesen: x = -1 – 6t y = -0,5 – 2,5t z= t 1 6 Schnittgerade g: X 0,5 t. 2,5 0 1 Nun wieder ein paar Beispiele zum Selberrechnen: Bestimmen Sie die Lagebeziehung der folgenden Ebenen: 1) 1: 3y – z = 7 2: 2x – 3y + 2z = -21 3: 3x + y = -21 2) 1: x + y + z = 1 2: 17x + y – 7z = 9 3: 4x + 2y + z = 3 3) 1: x + 2y – z = 2 2: 3x + 6y – 3z = 6 3: -x – 2y + z = 2 4) 1: 2x + 3y – 4z = -5 2: 5x – y + 3z = 7 3: x – 7y + 11z = 9 Hier kommen Sie zu den Lösungen. Den Winkel zwischen zwei Vektoren bzw. zwei Geraden bzw. zwischen Gerade und Ebene bzw. zwischen zwei Ebenen bestimmen können Die Formel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren lautet: cos a.b | a |.| b | a . b bedeutet, dass Sie die beiden Vektoren skalar multiplizieren sollen, | a | . | b | bedeutet, dass Sie zunächst den Betrag von a berechnen sollen, dann den Betrag von b (ergibt jedes Mal eine Zahl) und diese beiden Zahlen miteinander multiplizieren. Wollen Sie den Winkel zwischen zwei Geraden berechnen, müssen Sie für a bzw. für b die Richtungs- (oder die Normal)-Vektoren einsetzen. Vorgerechnetes Beispiel: 2 5 Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden g: X s. und der Geraden h: 3 3 1 3 X t. . 2 2 Berechnung: Setzen Sie für a und b die beiden Richtungsvektoren der Geraden ein. 5 3 . 5.(3) 3.2 9 3 2 cos 0,428086345 =115,35° oder 5² 3² . (3)² 2² 34 . 13 5 3 . 3 2 als spitzer Winkel (180°-115,35°): 64,65°. Auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/analygeo/index.htm „Rechner zur analytischen Geometrie des Raumes“ gibt es die Möglichkeit, Winkel zwischen Vektoren berechnen zu lassen. Wenn Sie einen Vektor in R² gegeben haben, geben Sie dort als die 3. Koordinate jeweils 0 ein. Probieren Sie es doch mit dem bereits durchgerechneten Beispiel! Wollen Sie den Winkel zwischen Gerade und Ebene berechnen, dann nehmen Sie den Richtungsvektor a der Geraden und statt b den Normalvektor n der Ebene und ziehen Sie den Winkel, den Sie erhalten von 90° ab. Vorgerechnetes Beispiel: Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene : 4x + y - 6z = 8 und der Gerade g: 1 0 X 2 t. 3 3 2 4 0 1 . 3 6 2 cos 4 0 1 . 3 6 2 4.0 1.(3) (6).2 4² 1² (6)² . 0² (3)² 2² 15 53. 13 0,57 =124,85° Der gesucht Winkel ist ja nicht jener zwischen Richtungsvektor der Geraden und Normalvektor der Ebene, sondern zwischen Ebene und Gerade Vom berechneten Winkel müssen noch 90° subtrahiert werden Der gesuchte Winkel beträgt ca. 34,85° Wollen Sie den Winkel zwischen zwei Ebenen erhalten, setzen Sie für a bzw. für b die Normalvektoren der Ebenen ein. Vorgerechnetes Beispiel: Gesucht ist der Winkel zwischen der Ebene : 4x + y - 6z = 8 und der Ebene : 1 0 1 X 2 t. 3 s. 2 3 2 3 Für die Formel brauchen wir die die beiden Normalvektoren der Ebene, d.h. aus den beiden Richtungsvektoren der 2. Ebene berechne ich (mittels vektoriellem Produkt) den Normalvektor 0 1 3.3 2.2 13 3 x 2 = (0.3 2.1) 2 2 3 0.2 (3).1 3 Nun berechne ich mittels Formel den Winkel zwischen den beiden Normalvektoren: cos 4 13 1 . 2 6 3 4 13 1 . 2 6 3 4.(13) 1.2 (6).3 4² 1² (6)² . (13)² 2² 3² 68 53. 182 0,692 133,82° bzw. als spitzer Winkel (180° - 133,82°) 46,18° Die vektorielle Projektion berechnen können Formel für die Projektion des Vektors b auf a (hier b1 genannt): b1 Der Vektor im Nenner, von dem der Betrag zu bestimmen ist, ist jener Vektor, auf den projiziert wird! a .b |a| b b1 a Vorgerechnetes Beispiel: Geg.: A(2/1/-3), B(5/2/1), C(1/3/-2). Gesucht ist die Normalprojektion des Vektors AB auf AC ! 1 AC 2 1 3 AB = 1 4 a1= 3 1 1 . 2 4 1 6 3 2 4 6 AC 6 3 6 1,22 D.h.: Eine Normalprojektion des Vektors AB auf den Vektor AC hätte die Länge 1,22. Den Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck berechnen können Eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms lautet: AParallelogramm AB AD D.h. : Die beiden Vektoren AB und AD werden vektoriell multipliziert. Vom Ergebnis, einem Vektor, wird der Betrag bestimmt (= Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinaten). Den Flächeninhalt des Dreiecks erhält man, wenn man den Flächeninhalt des Parallelogramms halbiert. Die Formel würde daher lauten: 1 ADreieck . AB AC 2 Vorgerechnetes Beispiel: Gegeben: A(2/1/-3), B(5/2/1), C(1/3/-2). Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 3 1 7 ABx AC 1 x 2 7 4 1 7 1 1 1 ADreieck . AB AC = . (7)² (7)² 7² . 147 6,06 2 2 2 Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt ca. 6,06 AE. Das Volumen von Pyramiden und Parallelepiped berechnen können – in R³ Formel zur Berechnung des Volumens a) des Parallelepipedes (denken Sie an einen Quader, nur dass die Flächen Parallelogramme sind und der Körper schief sein darf): V c.(a b) wobei: a AB, b AD, c AE a und b werden vektoriell multipliziert. Das Ergebnis (= ein Vektor) wird mit c skalar mulitpliziert. Dadurch erhalten Sie eine Zahl. Wenn diese positiv ist, sind Sie fertig. Wenn die Zahl negativ ist, müssen Sie sie noch positiv machen (das bedeuten die Betragstriche), da eine Länge nicht negativ sein kann. b) der Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche: 1 V . c.(a b) wobei: 3 a AB, b AD, c AS c) des Tetraeders (besteht aus 4 Dreiecken): 1 V . c.(a b) wobei: 6 a AB, b AD, c AS Vorgerechnetes Beispiel: Pyramide mit Grundfläche = Parallelogramm A(-5/2/3), B(-1/-2/1), C(3/5/0), D, S(13/0,5/20,5). Gesucht ist das Volumen der Pyramide. 4 4 18 a AB 4 b AD BC 7 c AS 1,5 1 2 17,5 4 4 18 axb 4 x 7 4 2 1 44 18 18 1 1 1 V= . 1,5 . 4 .18.18 (1,5).( 4) 17,5.44 .1100 366,67 3 3 3 17,5 44 Das Volumen der Pyramide beträgt ca. 366,67 VE. Den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen können Formel für R²: d X 1 P.n0 Hessesche Normalvektorform (kurz HNF) X1 ist ein Punkt der Geraden, P ist jener Punkt, dessen Abstand von der Geraden ich wissen will und n0 ist der Einheitsvektor des Normalvektors auf die Gerade Vorgerechnetes Beispiel: Geg.: A(4/3), g: y= ½ x + 3 Gesucht ist der Normalabstand des Punktes von der Geraden Um den Normalvektor der Geraden ablesen zu können, bringe ich sie auf die implizite Form: 1 ½ x –y = -3 bzw. (damit ich mir die Brüche „erspare“) x – 2y = -6 n 2 n0 1 1 1 . . 1² (2)² 2 5 2 1 Für die Formel brauche ich auch einen Punkt der Geraden. X1(0/3) wäre ein möglicher Punkt (Sie können aber auch jeden anderen Punkt wählen, so lange er auf der Geraden liegt). Der Punkt, der in der Formel P heißt, ist bei mir A (da ich den Abstand von A von der Geraden wissen will): 4 X 1 A 0 4 1 1 1 1 4 d= . . .[( 4).1 0.(2)] (4) 1,8 5 5 5 0 5 2 A ist von der Geraden g ca. 1,8 LE entfernt. Formel für R³: d X 1 P . sin X1 ist ein Punkt der Geraden, P ist jener Punkt, dessen Abstand von der Geraden ich wissen will und kann ich mit Hilfe der Formel cos a.b (s. vorne) berechnen. | a |.| b | Vorgerechnetes Beispiel: Geg: Dreieck A(-1/2/-1), B(0/3/-2), C(-4/2/1) Gesucht ist die Länge der Höhe hc Wenn ich die Länge der Höhe hc suche, brauche ich den Abstand des Punkes C von der 4 Geraden durch A und B. Ich brauche daher z.B. BC 1 3 Außerdem kommt in der Formel der Winkel vor, in diesem Fall würde ich den Winkel zwischen BA und BC suchen. Mit der cos –Formel ergibt sich: cos 1 4 1. 1 1 3 3. 26 8 78 0,9058 Nun kann ich endlich in die Formel zur Abstandsberechnung einsetzen 4 d 1 . sin 25,07 16 1 9 . sin 25,07 2,16 3 Die Höhe hc ist also ca. 2,16 LE lang. Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen können – in R³ Formel: d X 1 P.n0 Hessesche Normalvektorform (kurz HNF) X1 ist ein Punkt der Ebene, P ist jener Punkt, dessen Abstand von der Ebene ich wissen will und n0 ist der Einheitsvektor des Normalvektors auf die Ebene Vorgerechnetes Beispiel: Geg: Pyramide A(-1/2/-1), B(0/3/-2), C(4/2/1), S(0/2/3) Gesucht ist die Länge der Höhe h Um den Normalvektor der Ebene zu bekommen, bilde ich wieder das vektorielle Produkt von 1 5 2 ABx AC 1 x 0 7 n 1 2 5 n0 2 2 1 . 7 . 7 2² (7)² (5)² 78 5 5 1 1 Statt X 1 P setze ich in die Formel z.B. AS 0 ein 4 1 2 1 1.2 0.(7) 4.(5) 18 . 7 2,04 h= 0 . 78 78 78 4 5 Die Pyramidenhöhe ist ca. 2,04 LE lang. Den kleinsten Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen können – in R³ Formel: d X 1 X 2 .(a b) 0 X1 und X2 sind Punkte der beiden Geraden; der Vektor von X1 nach X2 ist zu bilden. a und b sind Richtungsvektoren der beiden Geraden, die zunächst vektoriell multipliziert werden. Das Ergebnis (ein Vektor) wird auf die Länge 1 gebracht. Nun werden die beiden berechneten Vektoren skalar mulitpliziert. Der Betrag steht in diesem Fall nur, damit das Ergebnis auf jeden Fall positiv ist. Vorgerechnetes Beispiel: 2 2 0 2 Ges. ist der (kürzeste) Abstand der Geraden g1: X 2 s. 3 und g2: X 0 t. 2 . 1 1 1 3 2 Ich bilde den Vektor zwischen den beiden Punkten der beiden Geraden X 1 X 2 2 und 2 2 2 11 berechne das vektorielle Produkt der beiden Richtungsvektoren 3 x 2 8 1 3 2 Der normierte Vektor lautet 11 11 1 . 8 . 8 11² (8)² (2)² 189 2 2 1 Nun setze ich in die Formel ein 2 11 1 2.11 (2).( 8) (2).( 2) 2 . 8 0,145 d= 2 . 189 189 189 2 2 Der kürzeste Abstand der beiden gegebenen Geraden beträgt ca. 0,145 LE. Das war jetzt ein langer Teil. Ein paar Beispiele zum Selberrechnen: 2 6 1) Wo und unter welchem Winkel schneidet die Gerade g: X 0 t 2 die Ebene 5 3 : 3x 12 y 4 z 4 2) Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit A(1/5/-2), B(4/1/4) und C(4/2/2) als Grundfläche und S(3/-3/1) als Spitze. Berechnen Sie a) die Pyramidenhöhe b) das Volumen der Pyramide c) die Koordinaten des Fußpunktes der Höhe (TIPP: stellen Sie die Grundfläche [= Ebene] und die Höhe [= Gerade] auf und schneiden Sie die beiden!) d) die Koordinaten des an der Grundfläche gespiegelten Punktes S e) den Winkel zwischen Grundfläche und Seitenkante AS . 3) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden g: 3x + 2y = 7 und h: 3x + 2y = 5. Hier kommen Sie zu den Lösungen. Lernzielüberprüfung „Vektorrechnung 6. Klasse“ Sie haben für die Beispiele 2 ½ Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung verwenden. 1) Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Falls sie einander schneiden, berechnen Sie den Schnittpunkt; falls sie windschief sind, berechnen Sie den kürzesten Abstand der beiden Geraden: 1 3 1 6 a) g: X = 4 + t. 3 h: X = 3 + s. 1 5 6 0 4 5 4 6 4 b) g: X = 2 + t. 1 h: X = 10 + s. 7 3 0 1 4 c) Welche weiteren Möglichkeiten gibt es, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können ? ______________________________________________________________ 2) Die zwei Ebenen 1: 3x – 2y + 5z 0 7 und 2: 2x + 3y – 7z = 1 schneiden einander in einer Geraden. Geben Sie die Gleichung der Schnittgeraden an. 3) Berechnen Sie den Schnittpunkt der drei Ebenen: 1: 3x – 2y + 4z = 11 2: 2x – y – 3z = -9 3: -x + 3y + 2z = 11 4) A (-1/y/3), B(-2/-2/0), C, D(x/y/1) und S sind die Eckpunkte einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche ABCD und mit gleich langen Seitenkanten (d.h.: die Spitze befindet sich direkt über dem Mittelpunkt des Rechtecks), wobei das Rechteck in der Ebene : 2x – 5y + 6z = d liegt. Die Spitze der Pyramide liegt auf der Geraden g: 1 3 X = 4 + t. 3 . 5 6 a) Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von A, C, D und S. b) Welchen Winkel schließt die Grundfläche mit der Seitenfläche ADS ein? c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [Hilfe: Falls Sie a) nicht geschafft haben, rechnen Sie b) und c) mit folgenden Angaben weiter. Es sei A(-1/2/3), B(-2/-2/0), C(4/-2/-2), D(5/2/1) und S(2,5/-2,5/3,5)] Auswertung: Bsp. 1a 1b 1c 2 3 4a 4b 4c Ges. Punkte 4 7 2 4 4 8 4 5 38 Notenschlüssel: Ab 19 Punkten Bestanden 19 – 23 P.: Genügend 24 – 28 P.: Befriedigend 29 – 33 P.: Gut Klicken Sie hier, um zu den Lösungen zu gelangen. 34 – 38 P.: Sehr Gut Lösung zum Beispiel „Ebenengleichung“ Gegeben: A(-1/0/2), B(-3/0/4), C(2/2/2) Gesucht: Gleichung der Ebene durch A, B und C in Parameter- und in Normalvektorform 2 AB 0 || 2 1 0 1 3 AC 2 0 1 1 3 : X 0 t. 0 s. 2 ist die Parameterform der Ebene 2 1 0 Um zur Normalvektorform zu kommen, verwende ich das vektorielle Produkt und die Formel : n. X n.P - Sie können aber auch die Ebene „aufspalten“ und die Parameter s und t zum Verschwinden bringen. 1 3 2 AB x AC = 0 x 2 = 3 -2x + 3y – 2z = -2 [Die Zahl recht habe ich erhalten, 1 0 2 indem ich einen Punkt der Ebene, z.B. A für x, y und z in die linke Seite der Gleichung eingesetzt habe -2.(-1) + 3.0 – 2.2 = -2) Somit erhalte ich die Normalvektorform der Ebene : -2x + 3y – 2z = -2 Lösungen zu den Beispielen „Lagebeziehung Gerade - Ebene“ 1) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und der Ebene: 1 8 g : X 3 t 4 : x 6 y 18z 65 1 1 Ich spalte die Gerade auf und setze in die Ebene ein 1 + 8t + 6.(3 + 4t) – 18.(-1 + t) = 65 1 + 8t + 18 + 24t + 18 – 18t = 65 14 t = 28 t = 2 Nun setze ich t=2 in g ein und erhalte den Schnittpunkt S(17/11/1) 2) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ? 1 2 1 1 1 g: X 3 c. 2 : X 3 t.1 s.1 2 1 5 0 5 Ich mache die Ebene parameterfrei 1 1 15 1 1 x 1 = 15 || 1 : -x + y = -4 10 5 0 0 Nun spalte ich die Gerade auf und setze in die Ebene ein -(1 + 2c) + (-3 + 2c) = -4 -1 – 2c -3 + 2c = -4 -4 = -4 w. A. Die Gerade liegt in der Ebene. 3) Die Gerade g hat welche Lage zur gegebenen Ebene ? 2 3 g: X 0 s. 2 : y + z = 9 7 2 Ich spalte die Gerade auf und setze in die Ebene ein 0 + 2s + 7 – 2s = 9 7=9 f. A. die Gerade und die Ebene liegen parallel. Lösungen zu den Beispielen „Lagebeziehung Ebene - Ebene“ 1) : 2x – 3y + 5z = 0 : x + 2y – z = 7 Ich eliminiere eine Variable: : 2x – 3y + 5z = 0 : x + 2y – z = 7 -y + 7z = -14 7z = 7t – 14 z = -2 + t | .2 und die beiden Zeilen subtrahieren Ich setze y=t und berechne z Ich setze z und y in die 2. Gleichung ein x + 2.t – (-2 + t) = 7 x = 5 – t Nun schreibe ich alle drei Gleichungen untereinander x=5– t y= t z = -2 + t Nun kann ich meine Gerade „ablesen“ 5 1 X 0 t.1 … Schnittgerade 2 1 1 1 1 2) : X 3 t.1 s.1 5 0 5 : x – y = 3 Ich mache parameterfrei (siehe bei den Lösungen „Lagebeziehung Gerade – Ebene“ das 2. Beispiel) : -x + y = -4 Wenn ich die beiden Ebenen vergleiche, sehe ich: : -x + y = -4 | .(-1) : x – y = 4 : x – y = 3 Die linken Seiten sind gleich, die rechten verschieden Die beiden Ebenen sind parallel. 3) : x – 5y + 2z = 5 : -3x + 15y – 6z = -15 ist das -3fache von Die beiden Ebenen fallen zusammen (sind identisch). Lösungen zu den Beispielen „Lagebeziehung 3 Ebenen“ Bestimmen Sie die Lagebeziehung der folgenden Ebenen: 1) 1: 3y – z = 7 2: 2x – 3y + 2z = -21 3: 3x + y = -21 Bei den Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind es kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln. 2.1 + 2: 2x + 3y = -7 3.3: 9x + 3y = -63 -7x = 56 x = -8 3 y = -21 – 3.(-8) y = 3 1 z = 3.3 – 7 z = 2 Die drei Ebenen schneiden einander in S(-8/3/2). 2) 1: x + y + z = 1 2: 17x + y – 7z = 9 3: 4x + 2y + z = 3 Bei den Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind es kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln. 1 – 2: 2.2 – 3: -16x + 8z = -8 30x – 15y = 15 Das kann ich vereinfachen zu 2x – z = 1 Das kann ich vereinfachen zu 2x – z = 1 Da ich zwei identische Gleichungen erhalten habe, weiß ich, dass sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden. Um diese zu erhalten, setze ich x = t z = 2t – 1 y = 1 – t – (2t – 1) = 2 – 3t Ich schreibe die neuen Gleichungen untereinander x= t y = 2 – 3t z = -1 + 2t 0 1 X 2 t. 3 … Schnittgerade 1 2 3) 1: x + 2y – z = 2 2: 3x + 6y – 3z = 6 3: -x – 2y + z = 2 Die Gleichungen der 1. und der 2. Ebene sind proportional, d.h. die Ebenen 1 und 2 sind identisch. Bei der 3. Ebene ist nur der Normalvektor proportional zu den beiden anderen Vektoren, nicht aber die ganze Gleichung Die Ebene 3 ist parallel zu den beiden anderen – identischen – Ebenen. 4) 1: 2x + 3y – 4z = -5 2: 5x – y + 3z = 7 3: x – 7y + 11z = 9 Bei den Ebenen sehe ich, dass die Normalvektoren keine Vielfachen voneinander sind es kann sich nur um Fall f), g) oder h) handeln. 1 – 2.3: I 17y – 26z = -23 2 – 5.3: II 34x – 52y = -38 Das kann ich vereinfachen zu 17y – 26z = -19 Wenn ich die I. und die vereinfachte II. Gleichung miteinander vergleiche, sehe ich, dass die linken Seiten proportional sind, die rechten Seiten aber nicht das entsprechende Vielfache die drei Ebenen schneiden einander in drei (parallelen) Schnittgeraden. Diese müsste ich jetzt noch ausrechnen, falls diese gefragt sind. Wenn nicht, reicht die obige Antwort. Lösungen zu den Beispielen „Winkel, Abstand, Fläche, Volumen etc.“ 2 6 1) Wo und unter welchem Winkel schneidet die Gerade g: X 0 t 2 die Ebene 5 3 : 3x + 12y – 4z = -4 ? Zur Schnittpunktberechnung „spalte ich g auf und setze in ein“ 3.(2 + 6t) + 12.(0 + 2t) – 4.(-5 + 3t) = -4 30t = -30 t = -1 Für t in die Gerade -1 einsetzen S(-4/-2/-8) Für die Winkelberechnung setze ich in die Formel cos a.b ein, wobei a der | a |.| b | Richtungsvektor der Geraden ist und statt b der Normalvektor n der Ebene eingesetzt wird 6 3 2 .12 3 4 18 24 12 30 cos 70,75° 0,32967 7.13 91 6² 2² 3² . 3² 12² (4)² Der gesuchte Winkel ist aber nicht jener zwischen Normalvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden, sondern jener der Geraden und der Ebene, daher muss ich den erhaltenen Winkel noch von 90° abziehen. Der gesuchte Winkel lautet daher 19,25°. 2) Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit A(1/5/-2), B(4/1/4) und C(4/2/2) als Grundfläche und S(3/-3/1) als Spitze. Berechnen Sie a) die Pyramidenhöhe Zur Bestimmung der Pyramidenhöhe nehme ich die Formel „Abstand eines Punktes von einer Ebene“: d X 1 P.n0 2 Statt X 1 P setze ich AS 8 . Zur Bestimmung des Normalvektors der Ebene 3 3 3 2 berechne ich ABx AC 4 x 3 6 = n 6 4 3 2 6 3 2 1 n0 = . 6 49 7 3 2 2 1 4 48 9 35 5 In die Formel eingesetzt ergibt das: h 8 . 6 . 7 7 3 3 7 Die Pyramidenhöhe beträgt 5 LE. b) das Volumen der Pyramide Die Formel für eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche (= Tetraeder) lautet: 1 V . c.(a b) wobei a AB, b AC, c AS . Bei a) haben wir bereits alles 6 2 2 1 1 35 5,83 ausgerechnet, was wir brauchen V . 8 . 6 . 35 6 6 6 3 3 Das Volumen der Pyramide ist daher 5,83 VE groß. c) die Koordinaten des Fußpunktes der Höhe (TIPP: stellen Sie die Grundfläche [= Ebene] und die Höhe [= Gerade] auf und schneiden Sie die beiden!) Die Ebene, in der das Dreieck ABC liegt, lautet: 2x + 6y + 3z = 26 [den Normalvektor der Ebene habe ich ja in a) schon berechnet, um die Zahl rechts zu bekommen, habe ich A eingesetzt; ich hätte natürlich auch B oder C nehmen können, da ja alle drei Punkte in der Ebene liegen]. Die Gerade besteht aus dem Punkt S und der Normalvektor der Ebene ist gleichzeitig der Richtungsvektor der Geraden, auf der die 3 2 Höhe liegt h: X 3 s. 6 . 1 3 Als nächstes schneide ich die Gerade mit der Ebene 2.(3 + 2s) + 6.(-3 + 6s) +3.(1 + 3s) = 26 49s = 35 s= 5 31 9 22 setze ich in h ein F / / 7 7 7 7 Hinweis I: Zur Probe könnte ich noch kontrollieren, ob der von mir berechnete Fußpunkt F wirklich in der Ebene liegt. Hinweis II: Wenn ich sowieso den Fußpunkt berechnen muss, hätte ich dies als erstes tun können und die Länge der Höhe nicht mittels der Formel wie in a), sondern indem ich den Vektor FS aufstellen und die Länge des Vektors berechne. 10 7 30 100 900 225 1225 35 FS h= 5 Wir erhalten auch hier die 7 49 49 49 49 7 15 7 Länge der Pyramidenhöhe mit 5 LE. d) die Koordinaten des an der Grundfläche gespiegelten Punktes S Die an der Ebene gespiegelte Spitze, liegt auf der in die andere Richtung verlängerte Höhe und zwar in der gleichen Entfernung wie die Spitze von der Ebene entfernt ist oder m.a.W.: Der Vektor von der Spitze zum Fußpunkt ist der gleiche Vektor wie jener vom Fuß´punkt zum gespiegelten Punkt 0S * 0 F SF 31 10 41 7 7 7 9 30 39 41 39 37 0S * S* / / 7 7 7 7 7 7 22 15 37 7 7 7 e) den Winkel zwischen Grundfläche und Seitenkante AS . Für die Winkelberechnung setze ich in die Formel cos a.b ein, wobei a der | a |.| b | Richtungsvektor der Seitenkante ist und statt b der Normalvektor n der Ebene eingesetzt wird 2 2 8 . 6 3 3 4 48 9 35 cos 0,5698 2² (8)² 3² . 2² 6² 3² 77 . 49 77 .7 124,74° Der gesuchte Winkel ist aber nicht jener zwischen Normalvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden, sondern jener der Geraden und der Ebene, daher muss ich vom erhaltenen Winkel noch 90° abziehen (wenn ein spitzer Winkel, also kleiner als 90° wäre, müsste ich 90° minus dem berechneten Winkel rechnen, wenn ein stumpfer Winkel ist, also zwischen 90° und 180° liegt, muss ich den berechneten Winkel minus 90° rechnen). Der gesuchte Winkel lautet daher 34,74°. 3) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden g: 3x + 2y = 7 und h: 3x + 2y = 5. Die beiden Geraden sind parallel (haben den gleichen Normalvektor). Ich kann daher die Frage auch so lesen: Wenn ich einen beliebigen Punkt der einen Geraden nehme, welchen (Normal-)Abstand hat dieser dann von der anderen Geraden? Zur Berechnung „Abstand eines Punktes von einer Geraden in R²“ kenne ich die Formel: d X 1 P.n0 - wobei X1 ein Punkt der Geraden ist, P jener Punkt, dessen Abstand von der Geraden ich wissen will und n0 ist der Einheitsvektor des Normalvektors auf die Gerade. Ich berechne also zunächst einen Punkt der Geraden g, z.B. liegt P(1/2) auf g ! 0 Als nächstes brauche ich einen Punkt von h, ich nehme z.B. X1(1/1) X 1 P 1 3 Der n von h lautet , 2 3 2 n0 (= der Normalvektor dividiert durch seine Länge)= . 13 0 3 1 0.3 1.2 2 All dies in die Formal eingesetzt ergibt: d . . 0,55 13 13 1 2 13 Der Abstand der beiden Geraden ist also ca. 0,55 LE. Lösung zur Lernzielüberprüfung „Vektorrechnung 6. Klasse“ 1) Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Falls sie einander schneiden, berechnen Sie den Schnittpunkt; falls sie windschief sind, berechnen Sie den kürzesten Abstand der beiden Geraden: 1 3 1 6 a) g: X = 4 + t. 3 h: X = 3 + s. 1 Ich schneide g und h. 5 6 0 4 1 + 3t = 1 + 6s -4 + 3t = 3 – s 6 – 5t = -4s Aus den ersten beiden Gleichungen berechne ich s und t. Ich erhalte s=1 und t=2. Nun setze ich s=1 und t=2 in die nicht verwendete Gleichung ein -4 = -4 w.A. Die beiden Geraden schneiden einander. Um S zu erhalten, setze ich s oder t in die Geradengleichung ein S(7/2/-4) 5 4 b) g: X = 2 + t. 1 3 0 5 + 4t = 6 + 4s -2 – t = 10 + 7s 6 4 h: X = 10 + s. 7 1 4 Ich schneide g und h. -3 = 1 – 4s Hier kann ich s gleich berechnen s=1. Nun setze ich s z.B. in die 2. Gleichung ein t= -19. Wenn ich s und t nun in die nicht verwendete 1. Gleichung einsetze, erhalte ich -71 = 10, also eine offensichtlich falsche Aussage Die beiden Geraden sind windschief. Zur Berechnung ihres kürzesten Abstandes verwende ich die Formel: d X 1 X 2 .(a b) 0 1 Ich bilde den Vektor zwischen den beiden Punkten der beiden Geraden X 1 X 2 12 und 4 4 4 4 berechne das vektorielle Produkt der beiden Richtungsvektoren 1 x 7 16 0 4 32 Der normierte Vektor lautet 4 4 1 .16 .16 4² 16² 32² 36 32 32 1 1 4 1 324 9 Nun setze ich in die Formel ein d= 12 . .16 36 4 36 32 Der kürzeste Abstand der beiden gegebenen Geraden beträgt 9 LE. c) Zwei Geraden im Raum können außerdem noch parallel sein oder zusammen fallen. 2) Die zwei Ebenen 1: 3x – 2y + 5z = 7 und 2: 2x + 3y – 7z = 1 schneiden einander in einer Geraden. Geben Sie die Gleichung der Schnittgeraden an. 1: 3x – 2y + 5z = 7 .3 2: 2x + 3y – 7z = 1 .2 13x + z = 23 z = 23 – 13 x Nun setze ich x=t z = 23 – 13t Nun setze ich in die 1. (oder 2.) Gleichung ein 3t – 2y +5.( 23 – 13t) = 7 y=54 – 31t Dann schreibe ich die drei Gleichungen untereinander: x = + 1t y = 54 – 31t z = 23 – 13t 0 1 Schnittgerade: X = 54 + t. 31 [Wenn Sie eine andere Schnittgeradengleichung 23 13 erhalten, muss Ihr Ergebnis nicht falsch sein; sie haben ja vielleicht andere Variablen ersetzt. Überprüfen Sie doch sicherheitshalber, ob der von Ihnen errechnete Punkt der Geraden auf den beiden Ebenen liegt. Wenn ja, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie ein richtiges Ergebnis haben, recht groß]. 3) Berechnen Sie den Schnittpunkt der drei Ebenen: 1: 3x – 2y + 4z = 11 2: 2x – y – 3z = -9 3: -x + 3y + 2z = 11 Ich rechne die 3. Gleichung mal 2 und addiere sie zur 2. Gleichung 5y + z = 13 Ich rechne die 3. Gleichung mal 3 und addiere sie zur 1. Gleichung 7y + 10z = 44 Nun rechne ich die 1. neue Gleichung mal 10 und subtrahiere davon die 2. neue Gleichung 43y = 86 y = 2 Nun setze ich in die 1. neue Gleichung ein z=3 Wenn ich y=2 und z=3 (z.B.) in die 3. Gleichung einsetze, erhalten ich x=1 S(1/2/3) [Zur Probe kann ich den berechneten Punkt in alle Ebenengleichungen einsetzen und überprüfen, ob ich immer eine w.A. erhalte] 4) A (-1/y/3), B(-2/-2/0), C, D(x/y/1) und S sind die Eckpunkte einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche ABCD und mit gleich langen Seitenkanten (d.h.: die Spitze befindet sich direkt über dem Mittelpunkt des Rechtecks), wobei das Rechteck in der Ebene : 2x – 5y + 6z = d liegt. Die Spitze der Pyramide liegt auf der Geraden g: 1 3 X = 4 + t. 3 . 5 6 Das Beispiel ist zugegebenermaßen etwas schwieriger, es war aber Beispiel bei einer Zulassungsprüfung an einer AHS. a) Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von A, C, D und S. Zunächst berechne ich das fehlende d der Ebene. Ich weiß ja, dass B in der Ebene liegt, also setze ich den Punkt in die Ebene ein 2.(-2) – 5.(-2) + 6.0 = d d=6 Die Ebenengleichung lautet vollständig: : 2x – 5y + 6z = 6 Nun kann ich A einsetzen und die fehlende Koordinate berechnen: 2.(-1) – 5y + 6.3 = 6 y=2 A(-1/2/3) Nun setze ich D in die Ebenengleichung ein 2x – 5y + 6.1 = 6 Da ich hiermit eine Gleichung mit 2 Unbekannten habe, kann ich x und y noch nicht berechnen. Ich weiß aber 5 5 (wenn ich die Gleichung umforme), dass x= y ist D( y/y/1) 2 2 Ein möglicher Weg zu D zu kommen, ist, daran zu denken, dass die Vektoren AB und AD aufeinander normal stehen, ihr Skalarprodukt daher 0 sein muss. 5 y 1 1 2 5 13 AB . AD = 4 . y 2 = -1.( y+1) -4.(y-2) – 3.(-2) = - y +13 2 2 3 2 13 Wenn ich nun - y +13 = 0 setze y=2 x=5 D(5/2/1) 2 Da der Mittelpunkt des Rechtecks über BD bzw. über AC bestimmt werden kann, kann ich damit die Koordinaten von C berechnen: 3 1 1 x 2 y 3 z MBD( /0/ ) MAC( / / ) 2 2 2 2 2 1 x 3 = 2 2 2 y 0= 2 1 3 z = 2 2 x=4 y= -2 z = -2 C(4/-2/-2) Leider sind wir immer noch nicht fertig. Wir wollen ja auch noch die Koordinaten der Spitze berechnen. Von der Spitze wissen wir, dass sie auf der Höhe liegt (also auf jener Geraden, die – weil es sich hier um eine gerade Pyramide handelt – durch M durchgeht und deren Richtungsvektor dem Normalvektor der Grundfläche entspricht). Wir stellen daher die Geradengleichung der Höhe auf und schneiden diese dann mit der gegebenen Geraden, da ja laut Angabe die Spitze auch auf dieser Geraden liegen soll. 3 2 1 3 2 Höhe h: X = 0 + s. 5 Nun schneide ich h mit g: X = 4 + t. 3 . 6 5 6 1 2 3 1 1 + 2s = 1 + 3t Aus der 1. und der 2. Gleichung berechne ich s= und t= 2 2 2 0 – 5s = -4 + 3t 1 + 6s = 6 – 5t Zur Kontrolle kann ich s und t in die 3. Gl. einsetzen w.A. 2 Um den Schnittpunkt (= die Spitze) zu erhalten, kann ich entweder s in die Höhe oder t in 5 5 7 die andere Geradengleichung einsetzen S( /- / ) 2 2 2 b) Welchen Winkel schließt die Grundfläche mit der Seitenfläche ADS ein? Ich verwende die Formel cos a.b , wobei ich statt der beiden Vektoren a und | a |.| b | b die Normalvektoren der beiden Ebenen einsetze. Den Normalvektor der Grundfläche 2 kenne ich: n1 5 . Den Normalvektor der Seitenfläche ADS muss ich mir erst 6 berechnen. Am leichtesten geht dies über das vektorielle Produkt. Ich stelle daher AD 7 6 2 9 9 und AS auf und bilde AD x AS = 0 x 4 2 2 27 1 2 Nun setze ich die beiden Normalvektoren in die cos-Formel ein 2 9 5 . 4 6 27 200 0,863 149,67° bzw. (als spitzer Winkel) cos 65. 826 53690 Der Winkel zwischen der Grundfläche und der Seitenfläche ADS beträgt ca. 30,33°. c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. Sie können entweder die „Vektorrechnungs-Formeln“ für die Pyramide verwenden (s. gleich unten) oder auch die Formel für das Volumen einer Pyramide mit einem Rechteck G.h a.b.h als Grundfläche, die lautet V= wobei a die Länge des Vektors AB und b die 3 3 Länge des Vektors AD ist. h kann ich aus der Länge des Vektors MS berechnen (da es sich um eine gerade Pyramide handelt). Probieren Sie das doch! Mittels „neuer“ Formel, ginge die Berechnung folgendermaßen: 1 V . c.(a b) wobei a AB, b AD, c AS 3 7 7 2 1 6 2 8 . 1 9 1 9 28 90 12 130 V . . 4 x 0 . . 20 43, 3 3 2 3 2 3 3 3 2 24 1 1 2 2 Das Pyramidenvolumen beträgt ca. 43,33 VE. Ende des Lernpfades „Vektoren 6. Klasse“. http://www.2bw.eu/workroom/inhalte/mathematik.htm führt zurück auf die LernpfadÜbersicht-Seite.
