modul 5 : normalverteilung
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Aktuelles Fachgebiet Mathematik 2005/06 – 5 HFAB Seite 1 von 7 MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG Zentraler Grenzwertsatz: EINE STETIGE ZUFALLSGRÖßE, DIE SICH ALS SUMME SEHR VIELER UNABHÄNGIGER EINFLUSSGRÖßEN ERGIBT, VON DENEN KEINE DOMINIEREND IST, IST NÄHERUNGSWEISE NORMALVERTEILT . MAN SIEHT: Die relative Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) der Werte für die Zufallsvariable X ist umso höher, je näher sie am Mittelwert(Erwartungswert) µ liegen und umso kleiner, je weiter sie von µ entfernt sind . -> glockenförmiger Verlauf der Wahrscheinlichkeitsfunktion : Gauß´sche Glockenkurve f(x) Beispiel : Auf einer Hühnerfarm mit sehr vielen Hühnern werden eine Woche lang die einzelnen Eier abgewogen . Die Zufallsvariable X = Gewicht eines Eis in Gramm. Es stellt sich heraus, dass ein Ei im Durchschnitt 60 g wiegt, also µ = 60 und außerdem ist bekannt, dass die Standardabweichung = 5 g beträgt. Das Gewicht eines Eis ist von verschiedenen, nicht voneinander trennbaren Einflüssen abhängig z.B. Gewicht, Alter, Gesundheit, psychische Verfassung, Standort etc. des Huhns -> spricht für eine Normalverteilung der Zufallsvariablen (sehr großes oder sehr kleines Gewicht eher unwahrscheinlich, die meisten Gewichte nahe bei 60 g) 0,1 (Normal)Verteilung sieht also grafisch 0,08 so aus: 0,06 0,04 0,02 0 40 45 50 55 60 65 Gew icht X 70 75 80 Aktuelles Fachgebiet Mathematik 2005/06 – 5 HFAB Seite 2 von 7 MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG 1. EIGENSCHAFTEN DER NORMALVERTEILUNG: ist eine stetige Verteilung, geht von - bis + ist symmetrisch , Maximum bei µ , Wendepunkte bei µ- und µ+ Funktionsgleichung der Wahrscheinlichkeits(dichte)funktion ist f(x) = 1 2 e 1 x 2 2 festgelegt durch zwei Kenngrößen : µ ... Erwartungswert(Mittelwert) ² ..Varianz Daher auch kurz N(µ;²)-Verteilung genannt (oft genügt es zu sagen : Daten folgen einer Normalverteilung mit µ = ... und = ... um diese gut zu beschreiben) es gibt viele Normalverteilungen , je nach µ und ² der Flächeninhalt unter jeder Normalverteilungskurve ist immer = 1. Daraus folgt sofort: Eine schmale Glocke ( klein) ist hoch, eine breite Glocke ( groß) ist niedrig (analog zur Binomialverteilung ist also die Summe aller Wahrscheinlichkeiten = 100% = 1) die wichtigste ist N(0;1) – „Standardnormalverteilung“ hat µ = 0 und ² = 1 ( also auch gleich 1) eine standardnormalverteilte Variable wird mit z bezeichnet 2. BERECHNUNGEN MIT DER NORMALVERTEILUNG Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist für eine stetige Zufallsvariable nicht definiert . ( denn die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X genau einen bestimmten Wert x hat, ist gleich null) Begründung : Messen wir zum Beispiel das Gewicht von Hühnereiern. Die Wahrscheinlichkeit , dass ein Hühnerei genau den Wert 34 g = 34,000000 ... g besitzt, ist gleich null, da wir bei beliebig genauer Messung immer von genau 34 g abweichen werden. Wäre das nicht der Fall und die Wahrscheinlichkeit eine , wenn auch kleine Zahl, so würden die Wahrscheinlichkeiten aller Hühnereiergewichte etwa zwischen 30 und 90 g über alle Grenzen wachsen , also > 1 sein, da es in diesem Intervall ja unendlich viele Gewichte gibt ! Aktuelles Fachgebiet Mathematik 2005/06 – 5 HFAB Seite 3 von 7 MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG Es macht daher nur Sinn zu fragen , wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass eine Zufallsvariable einen Wert oder einer bestimmten Zahl x annimmt. Grundidee: Der Flächeninhalt in den Grenzen von - bis x unter der Glockenkurve gibt die Wahrscheinlichkeit P(X x) für die Zufallsvariable X an : P(X x) x x Dieser Flächeninhalt berechnet sich durch F(x) = 2 1 2 e 1 t 2 dt . (F(x) heißt Verteilungsfunktion) . Da dieses Integral jedoch nur näherungsweise und nur mit viel Aufwand berechnet werden könnte , und es noch dazu viele verschiedene Normalverteilungen (je nach µ und ) gibt, die das erforderlich machen würden, verwendet man besser die Standardnormalverteilung (sie ist tabelliert) und „standardisiert“ die anderen Normalverteilungen z (z)= 1 2 e 1 u2 2 du Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung z Die Integrationsergebnisse für die Funktion (z)= 1 2 e 1 u2 2 du wurden tabelliert . Man muss nur die Transformation von der gegebenen Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung durchführen und dann in der Tabelle nachsehen : TRANSFORMATIONSFORMEL : z x Unter dem z-Wert wird in der Tabelle nachgesehen. Der Tabellenwert ist dann (z), also die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X x ist ! Aktuelles Fachgebiet Mathematik 2005/06 – 5 HFAB Seite 4 von 7 MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG 65 F(65) = 1 2 e 1 t 60 2 5 2 dt 0,1 0,08 f(x) Beispiel : Das Gewicht eines Hühnereis sei normalverteilt mit µ = 60 g und Standardabweichung = 5 g . Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei ein Gewicht von höchstens 65 g besitzt, also P(X 65) so müsste man 0,06 0,04 0,02 0 40 45 50 55 60 65 Gew icht X ausrechnen und damit den nebenan abgebildeten Flächeninhalt bestimmen . TABELLE : WERTE (z) der NORMALVERTEILUNGSFUNKTION 70 75 80 Aktuelles Fachgebiet Mathematik 2005/06 – 5 HFAB Seite 5 von 7 MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG Bestimmen Sie nun (zuerst standardisieren und dann in Tabelle nachsehen) a) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei weniger als 70 g wiegt ! b) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei weniger als 72 g wiegt ! c) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei weniger als 60 g wiegt ! d) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei mehr als 70 g wiegt ! e) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei weniger als 50 g wiegt ? e) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei zwischen 65 g und 72 g wiegt ! f) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei weniger als 10 g vom Mittelwert abweicht ? g) Eier mit weniger als 48 g haben mindere Qualität und können daher nicht verkauft werden . Wie viel % aller Eier sind minderwertig ? Aktuelles Fachgebiet Mathematik 2005/06 – 5 HFAB Seite 6 von 7 MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG h) Berechnen Sie die Masse , die nur von 5 % aller Hühnereier überschritten wird ! i) In welchem Intervall [µ-a;µ+a] um den Mittelwert liegt die Masse von 95 % aller Eier ? j) Weicht das Gewicht eines Hühnereis um 2 Standardabweichungen nach unten bzw. nach oben ab, so bezeichnet man diese Abweichung als signifikant und das entsprechende Ei als klein bzw. groß . Ab welchem Gewicht gilt ein Ei als groß und bis zu welchem Gewicht wird man es als klein bezeichnen ? Beispiel: Ein Intelligenztest sei mit µ = 100 und = 10 konstruiert . a) Wie viel % aller getesteten Personen erreichen einen geringeren IQ als 115 ? b) Wie viel % aller getesteten Personen erreichen einen höheren IQ als 115 ? c) Wie viel % aller getesteten Personen erreichen einen IQ von höchstens 85 ? d) Wie viele einen IQ von höchstens 95 ? e) Wie viele Getestete haben einen IQ von über 95 ? f) Welcher Prozentsatz aller Getesteten hat einen IQ , der zwischen 90 und 120 liegt ? g) Welcher Prozentsatz einen IQ , der zwischen 90 und 110 liegt ? Aktuelles Fachgebiet Mathematik 2005/06 – 5 HFAB Seite 7 von 7 MODUL 5 : NORMALVERTEILUNG h) Welchen IQ benötigt man, um zu den intelligentesten 5 % zu gehören ? i) In welchem Intervall um den Mittelwert liegen 90 % aller IQ-Werte ? j) Wie viel % aller getesteten weichen höchstens um 20 % vom Mittelwert ab ? Beispiel : Diese Gesetzmäßigkeit gilt für alle Normalverteilungen . Weisen Sie sie anhand der tabellierten Standardnormalverteilung nach !
