STIMMEN ZUR LOGIK

PS Formale Logik (Wintersemester 2005/2006)
Handout zur Sitzung vom 6. November 2007
3. Weitere logisch äquivalente Ausdrücle
„Zwei logische Ausdrücke … heißen logisch äquivalent …, wenn sie die gleiche
Wahrheitswertentwicklung besitzen“ (ZOGLAUER 21999, 47). Die Möglichkeit, logisch äquivalente
Ausdrücke durch einander zu ersetzen, kann zur Vereinfachung von komplexen aussagenlogischen
Verknüpfungen beitragen. Einige logisch äquivalente Ausdrücke wurden bei der Erörterung von
Konjunktion und Bijunktion bereits genannt; hier einige weitere:
¬pq
≡
pq
¬ (p  q)
≡
¬p ¬q
Erstes De Morgansches Gesetz
¬ (p  q)
≡
¬p ¬q
Zweites De Morgansches Gesetz
4. Bindungsstärke von Junktoren
(nach HOYNINGEN-HUENE, 66)
Gemäß herrschenden Konventionen werden aussagenlogische Symbole von einigen Junktoren
stärker gebunden als von anderen, so dass in den entsprechenden Formeln Klammern eingespart
werden können.
Die Bindungsstärke von Junktoren steigt in dieser Reihenfolge:
↔, →, , , 
Es ist also beispielsweise zulässig zu schreiben:
p→q↔ r
statt
(p → q) ↔ r
pq→r
statt
(p  q) → r
pq
statt
( p)  q usw.
Da die Rangfolge der Bindungsstärken von ‚’ und ‚’ umstritten ist, empfiehlt es sich allerdings,
sie durch Klammern voneinander abzugrenzen.
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Übung: Formalisieren Sie mit Operationen der Aussagenlogik …
1. … den Satz vom (Nicht-)Widerspruch:
2. … das exklusive ‚oder’:
3. … den Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
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5. Analyse komplexer aussagenlogischer Verknüpfungen
Komplexe
aussagenlogische
Verknüpfungen
bestehen
aus
mehreren
aussagenlogischen
Verknüpfungen. Zusammengehörige Elemente werden dabei durch Klammern umfasst. Derartige
Verknüpfungen lassen sich folgendermaßen analysieren:
1.
Eine komplexe aussagenlogische Verknüpfung wird schrittweise in ihre Elemente zerlegt.
2.
Die Elemente werden in der Reihenfolge steigender Komplexität auf einer Wahrheitstafel
angeordnet. Durch die Zuweisung von Wahrheitswerten zu den einfacheren Elementen
werden auch die Wahrheitswerte der komplexeren Elemente bestimmt. Dadurch können
schließlich die Wahrheitswerte der ursprünglichen komplexen aussagenlogischen
Verknüpfung als dem letzten Element der Wahrheitstafel bestimmt werden.
Beispiel: Gegeben sei folgende komplexe aussagenlogische Verknüpfung: ¬ p  (q  p). Welche
Wahrheitswerte kann sie in Abhängigkeit von p und q annehmen?
1.
Schrittweise Zerlegung:
1. Schritt: ¬ p, (q  p);
2. Schritt: p, q
2.
Anordnung auf einer Wahrheitstafel:
p
q
¬p
qp
¬ p  (q  p)
w
w
f
w
f
w
f
f
w
f
f
w
w
f
f
f
f
w
w
w
¬ p  (q  p) ist also nur dann wahr, wenn sowohl p als auch q falsch sind.
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Übung: Analysieren Sie auf einem mit Ihrem Namen versehenen Beiblatt folgende komplexe
aussagenlogische Verknüpfungen:
a)
¬ (p  ¬ p)
b)
((p  q)  p) q
c)
((p  q)  ¬ q)  ¬ p
d)
¬ p  (p  q)

Zur Auflösung der Klammer siehe oben, Punkt 4!
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14. Tautologien der Aussagenlogik
„Eine Aussageform heißt Tautologie, wenn sie für jede Belegung mit Wahrheitswerten einen
wahren Ausdruck liefert. Man sagt auch: Der Ausdruck ist allgemeingültig (oder tautologisch)“
(ZOGLAUER 22002, 46). In der letzten Spalte der Wahrheitstafel einer Tautologie findet sich nur
der Wahrheitswert w. Tautologische Aussagen werden durch das vorangestellte Zeichen ‚├ ’
gekennzeichnet.
Einige wichtige Tautologien (siehe auch ZOGLAUER 21999, 60f.):
├
¬ (p  ¬ p)
├
(p  ¬ p)
├
((p  q)  p) q
Satz vom (Nicht-)Widerspruch
„Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ (nach ZOGLAUER)
Modus ponens:
„Wenn die Aussage ‚wenn p, dann q’ wahr ist und auch die Aussage p
wahr ist, dann ist auch q wahr.“
Beispiele: „Wenn die Straße nass ist, wenn es regnet, und es regnet,
dann ist die Straße nass.“ – „Wenn Sokrates sterblich ist, wenn er ein
Mensch ist, und Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich.“
├
((p  q)  ¬ q)  ¬ p
Modus tollens:
„Wenn die Aussage ‚wenn p, dann q’ wahr ist und die Aussage q nicht
wahr ist, dann ist die Aussage p nicht wahr.“
Beispiel: „Wenn der Mensch keinen freien Willen hat, wenn der
Mensch völlig determiniert ist, und der Mensch einen freien Willen
hat, dann ist der Mensch nicht völlig determiniert.“
├
p  (q  p)
Paradoxie der Implikation:
„Wenn die Aussage p wahr ist, dann ist die Aussage p wahr, wenn die
Aussage q wahr ist.“
Beispiel: „Wenn Sherlock Motschmichler ein Mensch ist, dann ist
Sherlock Motschmichler ein Mensch, wenn der Mars ein Planet ist.“
├
¬ p  (p  q)
Paradoxie der Implikation:
„Wenn die Aussage p nicht wahr ist, dann ist die Aussage q wahr,
wenn die Aussage p wahr ist.“
Beispiel: „Wenn es nicht zutrifft, dass Sherlock Motschmichler ein
Mensch ist, dann ist der Mars ein Planet, wenn Sherlock
Motschmichler ein Mensch ist.“
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15. Die aussagenlogische Formalisierung umgangssprachlicher Aussagen
Die Vorgehensweise bei der aussagenlogischen Formalisierung umgangssprachlicher Aussagen sei
an einem Beispiel erläutert. Gegeben ist die umgangssprachliche Aussage: „Kräht der Gockel auf
dem Mist, ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist.“
1. Schritt: Überprüfen, ob die Gesamtaussage wahrheitsfunktional ist. D.h.: Sind die Teilaussagen
kontextstabil und extensional miteinander verknüpft? Sonst lässt sich die Aussage nicht
formalisieren (z.B. „Glaubt der Bauer, dass der Gockel auf dem Mist kräht …“)
2. Schritt: Auflisten der Teilaussagen; in diesem Fall:
p
„Der Gockel kräht auf dem Mist.“
q
„Das Wetter ändert sich.“
q
„Das Wetter bleibt wie es ist.“, d.h.: „Das Wetter ändert sich nicht.“
3. Schritt: Ermitteln der Verknüpfung unter Absehen von intensionalen Aspekten

Grobstruktur: Subjunktion (Wenn der Gockel auf dem Mist kräht, dann…):
p→r

Feinstruktur: Disjunktion aus q und  q als Hinterglied der Subjunktion
p → q  q
Literatur:
Hoyningen-Huene, P. (1998): Formale Logik. Eine philosophische Einführung. Stuttgart
Zoglauer, Th. (22002): Einführung in die formale Logik für Philosophen. Göttingen
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