Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die

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Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung
Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen
Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40
mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,2
Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,4 ist, n = 40
mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 16 Treffer.
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,4
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Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 ist, n = 40
mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 20 Treffer.
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,5
Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,6 ist, n = 40
mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 24 Treffer.
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,6
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Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8 ist, n = 40
mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 32 Treffer..
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,8
Beim Würfeln erwarten wir, dass bei 6000 Würfen die Zahl 6 etwa 1000 mal auftritt.
Das bedeutet nicht, dass die Zahl 6 tatsächlich 1000 mal auftritt. Der Erwartungswert
setzt unendlich viele Experimente voraus, deren Mittelwert er darstellt.
Zusammenfassend kann man sagen:
Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p ist, n mal
durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel n mal p Treffer.
Erwartungs- Bei einem n  stufigen Bernoulli  Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p
wert einer
gilt für den Erwartungswert E  X  der Zufallsvariablen X: Anzahl der Erfolge
BinomialE  X  n  p
verteilung:
Statt E  X  schreiben wir auch  (in der mathematischen Lit. üblich)
Damit ist der Erwartungswert einer binomial verteilten Zufallsgröße X
  np
Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden. Er kann mithilfe des
Binomischen Lehrsatzes erfolgen.
Bei Betrachtung der Histogramme fällt auf, das die mit der größten
Wahrscheinlichkeit auftretenden Ergebnisse dem Erwartungswert entsprechen.
Die Form der Histogramme ist ähnlich, sie entspricht der einer Glocke.
Für p = 0,5 liegen die Werte symmetrisch zum Erwartungswert.
Für p < 0,5 ist die Verteilung „linksschief“, für p > 0,5 dagegen „rechtsschief“.
In der Nähe des Erwartungswertes liegen die Ergebnisse mit den höchsten
Wahrscheinlichkeiten.
Die Höhe einer Säule entspricht der Wahrscheinlichkeit des zugehörigen
Ergebnisses, ihre Breite beträgt 1 Einheit. Da aber die Summe aller
Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperimentes immer 1 ist, ergibt die Summe
aller Säulenflächen ebenfalls den Wert 1.
Die Fläche der Säulen in einem bestimmten Intervall ist somit ein Maß für die
Wahrscheinlichkeit aller Erfolge, die in diesem Intervall liegen.
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Varianz und Standardabweichung einer binomial verteilten Zufallsgröße.
0.14
0.14
0.14
0.14
0.12
0.12
0.1
0.1
0.08
0.08
P ( k)
P ( k)
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
2
k
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
22
2
Binomialverteilung für n = 120 und p = 0,1
k
22
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,3
Beide Binomialverteilungen haben den gleichen Erwartungswert;
  n  p  120  0,1  12
  n  p  40  0,3  12
Obwohl beide Verteilungen den gleichen Erwartungswert haben sehen sie
unterschiedlich aus. Wir untersuchen die Streuung um den Erwartungswert.
Aus der beschreibenden Statistik ist die Varianz, bzw. die Standardabweichung als
Streumaß bekannt.
Der Ausdruck

s2  h  x1   x1  x

2

 h  x2   x2  x

2

 h  x3   x3  x

2

 ...  h  xn   xn  x

2
wurde als Varianz einer Stichprobe bezeichnet.
Die Werte h  x1  ;h  x 2  ;h  x3  ;... ;h  xn  stellen relative Häufigkeiten dar.
Für die Standardabweichung galt s  s2
Analog hierzu definieren wir für Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Varianz
Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte x1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ;...; x n
und
annehmen kann und den Erwartungswert  hat, so heißt
Standard2
2
2
abweichung: V  x   P  X  x1    x1     P  X  x 2    x 2     ...  P  X  xn    xn   
die Varianz der Zufallsvariablen X.
Die Quadratwurzel aus der Varianz einer Zufallsgröße heißt
Standardabweichung   V  x 
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Speziell für Binomialverteilungen gilt:
Varianz
Bei einem n  stufigen Bernoulli  Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit
und
p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit 1  p und der Zufallsgröße
Standardabweichung X: Anzahl der Erfolge gilt für die Varianz: V  X   n  p  1  p 
für
und für die Standardabweichung:
  n  p  1  p 
Binomialverteilungen:
Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden.
Für die oben abgebildeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gilt:
Binomialverteilung für n  120 und p  0,1 Binomialverteilung für n  40 und p  0,3
Erwartungswert :
  n  p  120  0,1  12
Erwartungswert :
  n  p  40  0,3  12
S tan dardabweichung :
S tan dardabweichung :
  n  p  1  p   120  0,1 0,9  3,286
  n  p  1  p   40  0,3  0,7  2,898
Bei der ersten Verteilung ist die Streuung etwas größer als bei der zweiten.
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Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen
Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert der mit der größten
Wahrscheinlichkeit.
In der Umgebung des Erwartungswertes befinden sich die Anzahlen der Erfolge mit
den höchsten Wahrscheinlichkeiten.
Je mehr die Anzahl der Erfolge sich vom Erwartungswert unterscheiden, desto
geringer wird deren Wahrscheinlichkeit.
Wir interessieren uns zunächst für die nähere Umgebung des Erwartungswertes
und die in diesem Bereich auftretenden Wahrscheinlichkeiten.
Dazu soll folgende Verteilung als Beispiel dienen:
0.07
0.065
0.06
0.055
0.05
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
Binomialverteilung für n  200 und p  0,24
Erwartungswert :
  n  p  200  0,24  48
S tan dardabweichung :
  n  p  1  p   200  0,24  0,76  6,04
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Wahrscheinlichkeit einer Sigma- Umgebung.
Um den Erwartungswert 48 werden drei Umgebungen eingezeichnet;
1. eine   Umgebung der Breite   6
2. eine 2  Umgebung der Breite 2  12
3. eine 3  Umgebung der Breite 3  18
In diesen Bereichen ist die Wahrscheinlichkeit zu untersuchen.
P(X)
3    18
3    18
2    12
2    12
1   6
1   6
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
µ
Dazu benötigen wir zunächst eine kumulierte Wahrscheinlichkeitstabelle für den
interessierenden Bereich.
Binomialverteilung für n  200 und p  0,24
k
PX  k
k
PX  k
k
PX  k
k
P X  k
k
P X  k
k
P X  k 
28
29
30
31
32
33
34
0,000
0,001
0,001
0,002
0,004
0,007
0,011
35
36
37
38
39
40
41
0,017
0,026
0,038
0,055
0,077
0,106
0,140
42
43
44
45
46
47
48
0,182
0,230
0,284
0,344
0,407
0,473
0,539
49
50
51
52
53
54
55
0,603
0,665
0,722
0,774
0,819
0,859
0,892
56
57
58
59
60
61
62
0,918
0,940
0,957
0,969
0,979
0,986
0,990
63
64
65
66
67
68
69
0,994
0,996
0,998
0,998
0,999
0,999
1,000
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Wahrscheinlichkeit der einfachen Sigma- Umgebung.
Zu bestimmen ist P      X     
mit   48 und   6 wird     48  6  42 und     48  6  54 und damit
P  42  X  54   P  X  54   P  X  41  0,859  0,140  0,719
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,719 (71,9%) liegt die Anzahl der Erfolge im
Intervall [ 42 ; 54 ]. Das entspricht etwa der einfachen Sigma- Umgebung vom
Erwartungswert.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
Wahrscheinlichkeit der einfachen   Umgebung  0,719
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Wahrscheinlichkeit der doppelten Sigma- Umgebung.
Zu bestimmen ist P    2  X    2 
mit   48 und   6 wird   2  48  12  36 und   2  48  12  60 und damit
P  36  X  60   P  X  60   P  X  35   0,979  0,017  0,962
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,962 (96,2%) liegt die Anzahl der Erfolge im
Intervall [ 36 ; 60 ]. Das entspricht etwa der doppelten Sigma- Umgebung vom
Erwartungswert.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
Wahrscheinlichkeit der doppelten   Umgebung  0,962
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Wahrscheinlichkeit der dreifachen Sigma- Umgebung.
Zu bestimmen ist P    3  X    3 
mit   48 und   6 wird   3  48  18  30 und   3  48  18  66 und damit
P  30  X  66   P  X  66   P  X  29   0,998  0,001  0,997
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,997 (99,7%) liegt die Anzahl der Erfolge im
Intervall [ 30 ; 66 ]. Das entspricht etwa der dreifachen Sigma- Umgebung vom
Erwartungswert.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
Wahrscheinlichkeit der dreifachen   Umgebung  0, 997
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Umgebungsradius.
Der Umgebung des Erwartungswerts wird ein Radius zugeordnet. Darunter
verstehen wir den beidseitigen Abstand vom Erwartungswert. Eine Grafik soll das
erläutern.
Radius r
Radius r
r
 r

Jedem Umgebungsradius lässt sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zuordnen.
Im oben angeführten Beispiel gehört zu einer einfachen Sigma- Umgebung (r = 6)
eine Umgebungswahrscheinlichkeit von etwa 0,719, zur doppelten SigmaUmgebung ( r = 12) eine von etwa 0,962 und zur dreifachen Sigma- Umgebung
(r = 18) eine von etwa 0,997.
Umgekehrt gehört zu jeder Umgebungswahrscheinlichkeit ein bestimmter Radius.
Der Umgebungsradius bei fest vorgegebener Umgebungswahrscheinlichkeit
(90%, 95%, 99%) lässt sich wie folgt bestimmen:
P(X)
r  ? 
r  ? 
r  ? 
99%
95%
r  ? 
r  ? 
90% r  ? 
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
µ
Liegt für die Binomialverteilung eine Tabelle mit den kumulierten
Wahrscheinlichkeiten vor, lässt sich das Problem durch Einschachtelung lösen.
Für die zwei Sigma- Umgebung, (im obigen Beispiel r = 12), war die
Umgebungswahrscheinlichkeit etwa 96,2%.
Für die 90% Wahrscheinlichkeit ist der Umgebungsradius geringer. Ansatz mit r = 10.

r   r  X    r P  X    r   P  X    r  1
48 10
38  X  58
0,957  0,038  0,919
48
39  X  57
0,940  0,055  0,885
9
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Der gesuchte Radius liegt zwischen den Werten 9 und 10. Da es sich bei der
Binomialverteilung um eine diskrete Verteilung handelt, muss man sich für den
Radius entscheiden, der der gewünschten Wahrscheinlichkeit am nächsten liegt.
In diesem Fall ist das der Radius r = 9. Teilt man diesen Wert durch Sigma, dann
lässt sich der Radius als vielfaches von Sigma darstellen.
r
9

 1, 49  r  1, 49 
 6,04
In einer 1, 49  Umgebung liegen etwa 88,5% aller Erfolge.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
Radius der 90%  Umgebung r  9  1,49   P   9  X    9  0,885
Für die 95% Wahrscheinlichkeit wird der Ansatz mit r = 12 versucht.

r   r  X    r P  X    r   P  X    r  1
48 12
36  X  60
0,979  0,017  0,962
48 11
37  X  59
0,969  0,026  0,943
Der gesuchte Radius liegt zwischen den Werten 11 und 12.
Der Radius r = 11 liegt der gewünschten Wahrscheinlichkeit am nächsten.
r
11

 1,82  r  1,82 
 6,04
In einer 1,82  Umgebung liegen etwa 94,3% aller Erfolge.
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0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
Radius der 95%  Umgebung r  11  1,82   P    11  X    11  0,943
Für die 99% Wahrscheinlichkeit wird der Ansatz mit r = 14 versucht.

r   r  X    r P  X    r   P  X    r  1
48 14
34  X  62
0,990  0,007  0,983
48 15
33  X  63
0,994  0,004  0,99
Der gesuchte Radius hat den Wert r = 15
r
15

 2, 48  r  2, 48 
 6,04
In einer 2,48  Umgebung liegen etwa 99% aller Erfolge.
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68
Radius der 99%  Umgebung r  15  2,48   P    15  X    15   0,99
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Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Histogramme von Binomialverteilungen sind für nicht zu kleine n glockenförmig.
Mit größer werdendem n tritt die Glockenform immer deutlicher hervor.
Die Histogrammform nähert sich mit größer werdendem n immer mehr der
Gaußschen Verteilungskurve, auch Glockenkurve genannt.
Die gesamte Fläche zwischen der Kurve und der waagerechten Achse
hat den Wert 1. Das gilt ebenso für die Summe aller Säulenflächen.
  x  
1
Funktionsgleichung der Glockenkurve: f  x  
2  
e
2
2 2
Approximation der Binomialverteilung durch die Gaußsche Normalverteilung
Dies ermöglicht es für große n, Wahrscheinlichkeiten in einem bestimmten Intervall
näherungsweise zu bestimmen.
Die Fläche, die die Normalverteilung mit der x  Achse einschließt,
b
b
lässt sich über das Integral  f  x   
1
  x  
e
2
2 2
berechnen.
2  
Die Berechnung der Fläche mit dem Integral ist recht mühsam, deshalb gibt es
Tabellen in denen die Wahrscheinlichkeit von Sigma- Umgebungen aufgelistet sind.
a
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a
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Für Sigma- Umgebungen gilt folgender Zusammenhang:
P  f(x)
f x 
  x  
1
2  
e
2
2 2
68,3%
  1 

  1 
x
P     X      0,683  68,3%  einfache   Umgebung
P  f(x)
f x 
1
2  
  x  
e
2
2 2
95,4%
  2

  2
x
P    2    X    2    0,954  95,4%  doppelte   Umgebung
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P  f(x)
f x 
  x  
1
2  
e
2
2
2
99,7%

 3
  3
x
P    3    X    3    0,997  99,7%  dreifache   Umgebung
Für %- Umgebungen gilt folgender Zusammenhang:
P  f(x)
f x 
1
2  
  x  
e
2
2 2
90%
  1,64  

  1,64  
x
P    1,64    X    1,64    0, 899  89,9%  90%  Umgebung
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P  f(x)
f x 
1
2  
  x  
e
2
2 2
95%
  1,96  

  1,96  
x
P    1,96    X    1,96    0,95  95% 95%  Umgebung
P  f(x)
f x 
1
2  
  x  
e
2
2 2
99%
  2,58  

  2,58  
x
P   2,58    X    2,58    0,99  99% 99%  Umgebung
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In der Literatur hat man sich auf folgende Umgebungswahrscheinlichkeiten geeinigt:
Radius
Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit
Radius
der Umgebung
der Umgebung
der Umgebung
der Umgebung
1 
0,68
0,90
1,64  
2
0,955
0,95
1,96  
3
0,997
0,99
2,58  
Da die Histogrammform der Binomialverteilung sich nur für entsprechend große n der
Form der Normalverteilung immer mehr nähert, gilt folgendes Kriterium für die
Verwendung der Intervallwahrscheinlichkeiten der Normalverteilung.
Falls die Bedingung   n  p  1  p   3 erfüllt ist Laplace- Bedingung ,
liefert die Näherung durch die Normalverteilung hinreichend genaue
Intervallwahrscheinlichkeiten.
Bislang war für jede Binomialverteilung mit einem bestimmten n und einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit p jeweils eine Tabelle mit den kumulierten
Wahrscheinlichkeiten nötig, um Umgebungswahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Falls nun die Werte einer Binomialverteilung die Laplace- Bedingung erfüllen,
dürfen Tabellenwerte der Normalverteilung benutzt werden.
Die Laplace- Bedingung ist in jedem Fall vorher zu überprüfen.
Für den Fall, dass der Umgebungsradius in Einheiten von Sigma angegeben wird,
gilt folgender Zuammenhang:
P  X  x
f x 
  z
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
  z
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1
2  
  x  
e
2
2 2
x
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Der Umgebungsradius vom Erwartungswert wird als Vielfaches in Einheiten von
Sigma ausgedrückt. Dabei ist z der Faktor, mit dem Sigma zu multiplizieren ist.
Die Wahrscheinlichkeiten solcher Sigma- Umgebungen sind in der folgenden Tabelle
in Abhängigkeit vom Faktor z dargestellt.
Der wesentliche Unterschied zur Darstellung der Wahrscheinlichkeiten in einer
Binomialverteilung, wie sie bisher verwendet wurde, ist, dass in der Normalverteilung
die Werte auf der x- Achse als kontinuierlich angesehen werden können.
Bei der Normalverteilung handelt es sich um diskrete Werte für k.
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Wahrscheinlichkeiten für   Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen
P  P    z    X    z    falls   3 Laplace- Bedingung
z
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
P
0,008
0,016
0,024
0,032
0,040
0,048
0,056
0,064
0,072
0,080
0,088
0,096
0,103
0,111
0,119
0,127
0,135
0,143
0,151
0,159
0,166
0,174
0,182
0,190
0,197
0,205
0,213
0,221
0,228
0,236
0,243
0,251
0,259
0,266
0,274
0,281
0,289
0,296
0,303
0,311
0,318
0,326
0,333
0,340
0,347
0,354
0,362
0,369
0,376
0,383
z
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
P
0,390
0,397
0,404
0,411
0,418
0,425
0,431
0,438
0,445
0,451
0,458
0,465
0,471
0,478
0,484
0,491
0,497
0,503
0,510
0,516
0,522
0,528
0,535
0,541
0,547
0,553
0,559
0,565
0,570
0,576
0,582
0,588
0,593
0,599
0,605
0,610
0,616
0,621
0,627
0,632
0,637
0,642
0,648
0,653
0,658
0,663
0,668
0,673
0,678
0,683
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z
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
P
0,688
0,692
0,697
0,702
0,706
0,711
0,715
0,720
0,724
0,729
0,733
0,737
0,742
0,746
0,750
0,754
0,758
0,762
0,766
0,770
0,774
0,778
0,781
0,785
0,789
0,792
0,796
0,799
0,803
0,806
0,810
0,813
0,816
0,820
0,823
0,826
0,829
0,832
0,835
0,838
0,841
0,844
0,847
0,850
0,853
0,856
0,858
0,861
0,864
0,866
z
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
P
0,869
0,871
0,874
0,876
0,879
0,881
0,884
0,886
0,888
0,890
0,893
0,895
0,897
0,899
0,901
0,903
0,905
0,907
0,909
0,911
0,913
0,915
0,916
0,918
0,920
0,922
0,923
0,925
0,927
0,928
0,930
0,931
0,933
0,934
0,936
0,937
0,939
0,940
0,941
0,943
0,944
0,945
0,946
0,948
0,949
0,950
0,951
0,952
0,953
0,954
21.01.2007 22:15:00
z
2,01
2,02
2,03
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
P
0,956
0,957
0,958
0,959
0,960
0,961
0,962
0,962
0,963
0,964
0,965
0,966
0,967
0,968
0,968
0,969
0,970
0,971
0,971
0,972
0,973
0,974
0,974
0,975
0,976
0,976
0,977
0,977
0,978
0,979
0,979
0,980
0,980
0,981
0,981
0,982
0,982
0,983
0,983
0,984
0,984
0,984
0,985
0,985
0,986
0,986
0,986
0,987
0,987
0,988
z
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
P
0,988
0,988
0,989
0,989
0,989
0,990
0,990
0,990
0,990
0,991
0,991
0,991
0,991
0,992
0,992
0,992
0,992
0,993
0,993
0,993
0,993
0,993
0,994
0,994
0,994
0,994
0,994
0,995
0,995
0,995
0,995
0,995
0,995
0,995
0,996
0,996
0,996
0,996
0,996
0,996
0,996
0,996
0,997
0,997
0,997
0,997
0,997
0,997
0,997
0,997
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Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten und Sigma- Umgebungen.
An einigen Beispielen soll gezeigt werden, wie mit dieser Tabelle zu arbeiten ist.
Zu beachten ist, dass die zu dem Wert z gehörige Umgebung immer symmetrisch
zum Erwartungswert liegt.
1. Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch mit n = 500 und p = 0,33.
Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im
Intervall [ 150 ; 180]. Es soll mit einer Genauigkeit von drei Stellen hinter dem
Komma gerechnet werden.
n  500 p  0,33    500  0,33  165
  n  p  500  0,33  165
n  500

p  0,33
  n  p  1  p   165  0,67  110,55  10,514  3
P 150  X  180   P 149,5  X  180,5 
*)
 Radius um den Erwartungswert: r    149,5  165  149,5  15,5
r
15,5
z
 1, 474  r  z    1, 474  

110,55
P 150  X  180   P    z    X    z     P    1, 474    X    1, 474   
z  1, 474  Tabellenwert: 0,858
P 150  X  180   0,858
85,8% 
Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 150 ; 180 ] beträgt
etwa 85,8%
P 150  X  180 
 0,855
150
85,5%
165
180
Warum sind die Intervallgrenzen um jeweils 0,5 zu vergrößern, wenn mit den
Tabellenwerten der Normalverteilung die Intervallwahrscheinlichkeit bestimmt wird?
Bei P 150  X  180  P 149,5  X  180,5  war das der Fall.
Die Daten der verwendeten Tabelle basieren auf der Normalverteilung. Würde man
den Radius r = 165 – 150 = 15 wählen, so wäre dieser um 0,5 zu klein. Er würde nur
die halbe Fläche der Säule von k = 150 bzw. von k = 180 berücksichtigen.
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Die folgende Grafik soll das erläutern.
r=4
r=4
µ
Der gewählte Radius r = 4 ist zu klein. Er berücksichtigt auf jeder Seite vom
Erwartungswert eine halbe Säule zu wenig, so dass die gewählte Umgebung nicht
vollständig erfasst wird.
r = 4,5
r = 4,5
µ
Der gewählte Radius r = 4,5 berücksichtigt auf jeder Seite vom Erwartungswert eine
halbe Säule mehr, so dass die gewählte Umgebung vollständig erfasst wird.
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2. Bestimmen Sie die 90% - Umgebung vom Erwartungswert
für n = 550 und p = 0,36
  n  p  550  0,36  198
n  550

p  0,36
  n  p  1  p   198  0,64  126,72  11,257  3
P    z    X    z     0,90
Der dazugehörige z- Wert wird aus der Tabelle abgelesen für P  0,90
z  1,64  Umgebungsradius: r  z    1,64  126,72  18, 46
  z    198  18, 46  179,54  180
  z    198  18, 46  216, 46  216
Das Intervall soll symmetrisch zum Erwartungswert   198 liegen.
Wir wählen: P 180  X  216 
Es ist zu prüfen, ob das Intervall  180...198...216  der Forderung (90%) entspricht.
P 180  X  216   P 179,5  X  216,5 
r
18,5
r  18,5  
 r  1,64    z  0,1,64
 11,257
P 180  X  216   0,899
Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 180 ; 216 ] beträgt
etwa 90%
90%
179,5
180
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190
216 216,5
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3. Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
für die Ergebnisse außerhalb von Umgebungen um den Erwartungswert.
a) n  300 p  0,56 bestimmen Sie P  X  162
b) n  240 p 
1
bestimmen Sie P  X  80 
3
zu a)
n  300
p  0,56

  n  p  300  0,56  168
  n  p  1  p   168  0,44  73,92  8,598  3
Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für das Intervall [0 ; 161].
Aus der Tabelle kann nur die Wahrscheinlichkeit für ein um den Erwartungswert
symmetrisches Intervall abgelesen werden, dieses enthält die Werte
[162 .... 168 ... 174 ]. Daran anschließend folgt das
Intervall [175 .... 300], welches aus Symmetriegründen die gleiche Größe wie
[0 ; 161] hat. Es gilt folgender Ansatz:
[ { 0 ... 161 } {162 ... 168 ... 174 } { 175 ... 300}]
1
P  X  162   P  X  161  1  P 161,5  X  174,5  
2
r
6,5
Radius : r  168  161,5  6,5   z 
 0,756  r  0,756  

73,92
mit z  0,76 wird
P 161,5  X  174,5   P    z    X    z     0,553
und damit wird
1
1
P  X  162   1  0,553    0, 447  0,2235
2
2
Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 162 Erfolge ist etwa 22,4%
P  X  162   0,224  22,4%
162
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zu b)
1
  n  p  240   80
n  240
3

1
p
2
160
  n  p  1  p   80  
 7,303  3
3
3
3
0;7979,5;80,581;240
1
1  P  79,5  X  80,5  
2
r
0,5
Radius : r  80  79,5  0,5   z 
 0,068  r  0,07  

160
3
mit z  0,07 wird
P  X  80  
P  79,5  X  80,5   P    z    X    z     0,056
und damit wird
P  X  80   0,5  1  0,056   0,5  0,944  0,472
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 80 Erfolge ist etwa 47,2%
P  X  80   0,472  47,2%
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4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit einer nicht symmetrischen Umgebung
vom Erwartungswert. n = 180, p = 0,55, [ 89 ... 104 ].
n  180 p  0,55 bestimmen Sie P  89  X  104
  89...93  94...99...104  105...109 
1
Ansatz: P  89  X  104   P  89  X  109  P  94  X  104 
2
  n  p  180  0,55  99
n  180

p  0,55
  n  p  1  p   99  0, 45  44,55  6,675  3
P  89  X  109   P  88,5  X  109, 5 
r
10,5
z
 1,57  r  1,57  

6,675
P  89  X  109   0,884
r  10,5 
P  94  X  104   P  93,5  X  104,5 
r
5,5
z
 0,82  r  0,82  

6,675
P  94  X  104   0,588
r  5,5 
1
0,884  0,588  0,736
2
Die Wahrscheinlichkeit der Erfolge im Intervall [89 ; 104] ist etwa 73,6%
P  89  X  104  
P  89  X  104   0,736  73,6%
89
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