3 Vier Punkte auf einem Kreis - Mathematik

Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut für Mathematik
WS 2005/2006
Seminar zur Geometrie
Dozent: PD. Dr. Epkenhans
Thema:
Vier Punkte auf einem Kreis
und
Die Berührkreise eines Dreiecks
(nach KOECHER / KRIEG: Ebene Geometrie, Berlin ²2000.)
Vier Punkte auf einem Kreis:
Die Berührkreise eines Dreiecks:
Verfasser:
Verfasser:
Andreas Schneider
Robert Siebers
Matrikel-Nr.: 6263675
Matrikel-Nr.: 6263356
Studiengang: LGG Mathe/Geschichte
Studiengang: LGG Mathe/Physik
5. Fachsemester
5. Fachsemester
Email:
[email protected]
Email:
[email protected]
Telefon:
0178-289505
Telefon:
02992/1600
Kapitel IV: Das Dreieck und seine Seiten
§ 3 Vier Punkte auf einem Kreis
Definition 1 (Vierecke)
Sind a, b, c, d  E paarweise verschieden und keine drei Punkte kollinear, dann nennt man
das geordnete Quadrupel (geordnetes 4-Tupel) a, b, c, d ein Viereck und a, b, c, d seine
Eckpunkte.
Einschub: Je nach Lage der Punkte zueinander sind folgende drei Fälle möglich:
Bemerkung 2
Bilden die Seiten eines Vierecks den Rand einer konvexen Menge, dann nennt man ein
solches Viereck konvex. Dies bedeutet, dass alle Verbindungsstrecken zweier Punkte der
gesamten Punktmenge im Viereck oder auf dem Rand liegen.
Beispiel: Im ersten Beispiel von Definition 1 bilden avb, bvc, cvd, dva den Rand einer
konvexen Menge.
Gegenbeispiel: Im unteren Beispiel liegen nicht alle Punkte der roten
Verbindungsgeraden in der Punktmenge des Vierecks, deshalb ist dieses nicht konvex.
Definition 3 (Sehnenvierecke)
Ein Viereck heißt Sehnenviereck oder Kreisviereck, wenn seine Ecken auf einem Kreis liegen.
2
Schulbezug: Das Sehnenviereck wird im Mathematikunterricht der 8. Klasse
mit folgender Definition eingeführt: „Wenn bei einem Viereck die Ecken auf einem
Kreis liegen, sind die Seiten Sehnen des Kreises. Ein solches Viereck heißt
Sehnenviereck.“1 Diese Einführung geschieht im Zusammenhang mit dem
Unterrichtsthema „Winkelbeziehungen in geometrischen Figuren“. Anwendung findet
diese Definition im Umfangswinkelsatz, auf dem teilweise im Folgenden noch
eingegangen wird.
Lemma 4
Sind a, b, c, d  E beliebig gegeben, dann ist

abcd:=
[a,b,c] |x-d|² - [b,c,d] |x-a|² + [c,d,a] |x-b|² - [d,a,b] |x-c|²
unabhängig von x  E.
Beweis:
 abcd:= [a,b,c] |x-d|² - [b,c,d] |x-a|² + [c,d,a] |x-b|² - [d,a,b] |x-c|²
Anwenden von III.1.4(1)2 (Definition vom Betrag und Abstand in E) liefert:
 abcd = [a,b,c] (|x|² - 2<x,d> + |d|²) - [b,c,d] (|x|² - 2<x,a> + |a|²) + [c,d,a] (|x|² - 2<x,b> + |b|²)
- [d,a,b] (|x|² - 2<x,c> + |c|²)
Nun wendet man II.1.6(8)3 (Eigenschaften der alternierenden Funktion) an:

abcd
= ([a,b,x] + [b,c,x] + [c,a,x]) (|x|² - 2<x,d> + |d|²)
- ([b,c,x] + [c,d,x] + [d,b,x]) (|x|² - 2<x,a> + |a|²)
+ ([c,d,x] + [d,a,x] + [a,c,x]) (|x|² - 2<x,b> + |b|²)
- ([d,a,x] + [a,b,x] + [b,d,x]) (|x|² - 2<x,c> + |c|²)
[Nach ausmultiplizieren der Klammer lösen sich die farbig markierten alternierenden
Funktionen zusammen mit dem |x|² auf. Die restlichen lösen sich nach zyklischer
Vertauschung und der damit verbundenen Änderung des Vorzeichens ebenfalls mit dem |x|²
auf.]

abcd
= [a,b,c] (- 2<x,d> + |d|²) - [b,c,d] (- 2<x,a> + |a|²) + [c,d,a] (- 2<x,b> + |b|²)
- [d,a,b] (- 2<x,c> + |c|²)

abcd
= -2<[a,b,c]x,d> + [a,b,c]|d|² + 2<[b,c,d]x,a> - [b,c,d]|a|² - 2<[c,d,a]x,b> + [c,d,a]|b|²
1
ATHEN/ GRIESEL/ SPROCKHOFF: Mathematik heute für Realschulen. 8. Schuljahr, Hannover 1980, Seite 107.
KOECHER, Max/ KRIEG, Alois: Ebene Geometrie, Berlin 22000, Seite 91.
3
Ebd., S. 57.
2
3
+ 2<[d,a,b]x,c> - [d,a,b]|c|²

abcd
= -2<[a,b,c]x,d> + 2<[b,c,d]x,a> - 2<[c,d,a]x,b> + 2<[d,a,b]x,c> + [a,b,c]|d|²
-[b,c,d]|a|² + [c,d,a]|b|² - [d,a,b]|c|²

abcd
= -2<[b,c,x]a + [c,a,x]b + [a,b,x]c,d> + 2<[c,d,x]b + [d,b,x]c + [b,c,x]d,a>
- <[d,a,x]c + [a,c,x]d + [c,d,x]a,b> + 2<[a,b,x]d + [b,d,x]a + [d,a,x]b,c> + [a,b,c]|d|²
- [b,c,d]|a|² + [c,d,a]|b|² - [d,a,b]|c|²
Anwenden der Eigenschaften der reellen euklidischen Ebene (Symmetrie & Bilinearität):

abcd
= -2(<[b,c,x]a,d> + <[c,a,x]b,d> + <[a,b,x]c,d>) + 2(<[c,d,x]b,a> + <[d,b,x]c,a>
+ <[b,c,x]d,a>) – 2(<[d,a,x]c,b> + <[a,c,x]d,b> + <[c,d,x]a,b>) + 2(<[a,b,x]d,c>
+ <[b,d,x]a,c> + <[d,a,x]b,c>) + [a,b,c]|d|² - [b,c,d]|a|² + [c,d,a]|b|² - [d,a,b]|c|²

abcd
= -2<[b,c,x]a,d> -2<[c,a,x]b,d> -2<[a,b,x]c,d> + 2<[c,d,x]a,b> + 2<[d,b,x]a,c>
+ 2<[b,c,x]a,d> – 2<[d,a,x]b,c> -2<[a,c,x]b,d -2<[c,d,x]a,b> + 2<[a,b,x]c,d>
+ 2<[b,d,x]a,c> + 2<[d,a,x]b,c> + [a,b,c]|d|² - [b,c,d]|a|² + [c,d,a]|b|² - [d,a,b]|c|²
[Die farbig markierten Skalarprodukte heben sich gegenseitig auf (teilweise mit Hilfe der
zyklischen Vertauschung und der damit verbundenen Änderung des Vorzeichens ebenfalls
auf.]

abcd

abcd ist
= [a,b,c] |d|² - [b,c,d] |a|² + [c,d,a] |b|² - [d,a,b] |c|²
unabhängig von x  E

Lemma 5 (4-Punkte-Kriterium)
Sei a, b, c, d ein Viereck in E, so dass c und d auf derselben Seite von avb liegen und b und d
auf verschiedenen Seiten von avc liegen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
i)
a, b, c, d ist ein Sehnenviereck
ii)

iii)
 a-c,b-c =  a-d,b-d
iv)
 a-b,c-b +  a-d,c-d = 
abcd
=0
4
In der Zeichnung sind die genannten Winkel folgendermaßen abgekürzt:
 a-c,b-c = γ1 und  a-d,b-d = γ2 sowie  a-b,c-b = δ und  a-d,c-d =β
Beweis:
i)  ii)
Sei x = m und m ist definiert als der Mittelpunkt des Kreises auf dem a, b, c, d liegen.

abcd=
[a,b,c] |m-d|² - [b,c,d] |m-a|² + [c,d,a] |m-b|² - [d,a,b] |m-c|²
Wende nun wieder II.1.6(8)4 an. Da der Abstand von a, b, c, d zum Mittelpunkt gleich groß
ist, kann man |m-x|² ausklammern:

abcd
= ([a,b,m] + [b,c,m] + [c,a,m] - [b,c,m] - [c,d,m] - [d,b,m] + [c,d,m] + [d,a,m]
+ [a,c,m] - [d,a,m] - [a,b,m] - [b,d,m]) |m-x|²

abcd
=0

ii)  i)
Da a, b, c nicht kollinear  [a,b,c]  0
Sei nun x = 0. Dazu betrachten wir den Kreis durch a,b,c: 
abcd
= 0 = [a,b,c] |-d|² - [b,c,d] |-a|²
+ [c,d,a] |-b|² - [d,a,b] |-c|²
 [a,b,c] |d|² = [b,c,d] |a|² - [c,d,a] |b|² + [d,a,b] |c|²
 d liegt auf dem Kreis durch a, b, c

i)  iii)
Vor.: a, b, c, d Sehnenviereck  Nach Definition liegen dann auch a, b, c, d auf einem Kreis.
Dann verwende man Satz 2.25 über die Peripheriewinkel:
Setze Sehne = avb  γ 1 und γ2 sind konstant
 das  a, b, d kann auf das  a, b, c verschoben werden
 γ1 = γ2
4
5

Siehe Anmerkung 3.
Ebd., S.146.
5
Einschub: Den Spezialfall dieser Aussage ist der „Satz des Thales“. Dort sind alle
Winkel über der Kreissehne durch den Mittelpunkt 90° groß.
i)  iv)
Auch diese Aussage folgt direkt aus dem Satz über Peripheriewinkel mit der Sehne avc
 +  =

iv)  i)
Da  +  =  bzw.  =  -  gilt auf Grund der Eigenschaften des Sinus auch
sin  = sin 
Dann gilt auch wegen III.1.5(10)6:
sin  =
[ x, y ]
x y
mit x = a-b, y = c-b und  der Winkel zwischen x und y
Also auch hier:
[a, b, c]
a b c b
=
= (nach der Definition der alternierenden Funktion II.1.6(1)7)
[a  d , c  d ]
ad cd
=
[a  b, c  b]
a b c b
[ a , c, d ]
ad cd
Außerdem folgt aus dem Existenzsatz des Umkreises 2.1(3)8, dass  abc =  acd =:  .
Sei nun m bzw. n der Mittelpunkt des Umkreises des  a, b, c bzw.  a, c, d. Dann liegen m
und n auf den Kreisen um a und c mit dem Radius  , denn  abc =  acd. Würde nun m  n
6
Ebd., S. 93.
Ebd., S. 56.
8
Ebd., S. 144.
7
6
gelten, so würden b und d wegen  +  =  nach Bemerkung 2.109 auf derselben Seite von
avc liegen. Dies ist aber nach Voraussetzung ausgeschlossen.
 m = n und a, b, c, d liegen auf dem Kreis um m mit dem Radius  .

Einschub: Im obigen Beispiel gilt  <  . Wäre n dann der untere Schnittpunkt, dann
läge d auf derselben Seite von avc wie b. Und das wäre ein Widerspruch zum
Peripheriesatz.
iii)  i)
Aus  a-c,b-c =  a-d,b-d folgt sin  a-c,b-c = sin  a-d,b-d 
[a  c, b  c]
ac bc

[a  d , b  d ]
ad bd
Bildet man nun den Kehrwert und multipliziert die letzte Gleichung mit ½ |a-b|, so erhält man
 abd =
a d bd a b
2 [a, b, d ]
=
a c bc a b
2 [ a , b, c ]
=  abc =: 
Seien nun m bzw. n die Mittelpunkte der Umkreise des Dreiecks  a, b, c bzw.  a, b, d.
Wegen der Gleichheit der Winkel liegen entweder m und c bzw. n und d jeweils auf der
gleichen Seite der Sehne avb oder beide auf verschiedenen Seiten von avb. Da c und d nach
Voraussetzung auf der gleichen Seite von avb liegen, liegen m und n auch auf der gleichen
Seite von avb. Damit folgt wieder m=n.

Schulbezug: Neben der bereits besprochenen Aussage i) in diesem Kriterium, sind für
den Schulalltag noch die Aussagen iii) und iv) interessant. Beide bauen in der Schule
9
Ebd., S. 147.
7
auf die Definition des Sehnenvierecks auf und werden im Umfangswinkelsatz
zusammengefasst: „ Zwei zu einer Kreissehne gehörende Unfangswinkel

haben dasselbe Winkelmaß, wenn ihre Scheitel auf derselben Seite der
Sehne liegen;

ergeben zusammen 180°, wenn ihre Scheitel auf verschiedenen Seiten
der Sehne liegen.“10
Sie gelten genauso wie in der hier besprochenen Vorgehensweise als
Verallgemeinerung des Thalessatzes.
Satz 6 (Satz von Miquel)
Wählt man in einem Dreieck a, b, c in E auf den Seiten bvc, cva bzw. avb Punkte a`, b` bzw.
c`, die von den Eckpunkten verschieden sind, dann schneiden sich die Kreise durch a, b`, c`
bzw. b, c`, a` bzw. c, a`, b` in einem Punkt, dem so genannten Miquel-Punkt der Punkte
a`, b`, c`.
Beweis
Der Beweis wird nur in einem Spezialfall geführt und wir nehmen dazu an, dass die Umkreise
der Dreiecke a, b`, c` und b, a`, c` sich in c` und einem Punkt p schneiden, so dass p und c auf
verschieden Seiten von a`vb` liegen.
 a, c`, p, b` und b, a`, p, c` sind Sehnenvierecke
 (Sehnenvierecke) α + α` = π = β + β`
[Diagonalen sind dann c`vb` bzw. c`va`]
 γ` = 2π- α` - β`
 γ`+ γ = 2π – α`- β`+ γ
[Vier-Punkte-Kriterium: Diagonale c`vb`  α + α` = π bzw. Diagonale c`va` β + β`= π]
 γ`+ γ = 2π + γ – (π – α) – (π – β)
 γ`+ γ = α + β + γ
10
ATHEN/ GRIESEL/ SPROCKHOFF: Mathematik heute für Realschulen. 8. Schuljahr, Hannover 1980, S. 109.
8
Nach dem Winkelsummensatz im Dreieck gilt dann:
 γ`+ γ = π
Nach dem 4-Punkte-Kriterium (iv)  i)):
 c, b`, p, a` liegen auf einem Kreis bzw. bilden ein Sehnenviereck
 p liegt auch auf dem Kreis durch c, a`, b`

Die Berührkreise des Dreiecks
Einleitung
Haben wir ein Dreieck a, b, c in E, so kann man an den drei verlängerten Seiten des Dreiecks
vier Kreise dranzeichnen, die dieses berühren: Den Inkreis mit Mittelpunkt i und die drei
Ankreise mit Mittelpunkt a*, b*, c*. Diese Mittelpunkte liegen, wenn sie zwei gegebene
Seiten berühren, auf den verlängerten Winkelhalbierenden.
Deshalb müssen z.B. die inneren Winkelhalbierenden im Punkt i und die Winkelhalbierenden
Wa*, Wb*, Wc* im Punkt a* bzw. b* bzw. c* schneiden.
1. Mittelpunkt und Radien
Dieser Punkt gibt eine weitere Charakterisierung der Winkelhalbierenden (siehe III.2.7), u,v
 E\{0}
1.1 Lemma:
Zwei nicht-parallele Geraden G und H seien gegeben. Dann sind für p  E äquivalent:
i)
p liegt auf einer Winkelhalbierenden von G und H
ii)
d  p, G  d  p, H 
iii)
Es gibt einen Kreis mit Mittelpunkt p, der G und H berührt.
Beweis:
i)  ii): Sei a = G  H und G = Ga,
u
und H = Ha,
v
mit linear unabhängigen u,v  E ,
u  v  1. Nach Lemma III.2.3 (Abstand des Punktes p  E von der Geraden Ga,u ist gleich
1
 p  a, u  bzw. 1  p  a, v ) gilt
u
v
9
d a, u    p  a, u und d a, v    p  a, v , da u  v  1.
Somit ist ii) äquivalent zu [p-a, u  v] = 0, welches aus der Proposition II.1.2 folgt, in der
gesagt wird, dass für x, y  K 2 , x  0 folgende Aussagen äquivalent sind:
i)  x,y  0
ii) Es gibt ein   K mit y= x.
ii)  iii ) : Man benutze die Proposition 1.2, in der gesagt wird, dass G eine Tangente an den
Kreis K ist und dass der Abstand d(p,G) von p und G gleich ρ ist.
Der Kreis, der die beiden Geraden G und H berührt, ist der zugehörige Inkreis mit Mittelpunkt
p, den man auf der Winkelhalbierenden zwischen G und H konstruieren kann. G und H sind
dann dementsprechend die zwei Tangenten an den Kreis mit Ausgangspunkt a. Diese beiden
Geraden haben somit den gleichen Abstand zum Mittelpunkt p, was gleichzeitig der Radius
des Kreises ist. □
a, b, c sei nun ein Dreieck in E. Der Flächeninhalt wird nun zur weiteren Abkürzung mit
 :
(1)
1
a, b, c
2
bezeichnet.
Entsprechend III.2.7 setzt man
 : a  b  b  c  c  a und
i :
1

(b  c a  c  ab  a bc .
Wobei σ der Umfang des Dreiecks abc ist und i der Schnittpunkt der drei inneren
Winkelhalbierenden ist. Weiterhin ist
 a : a  b  b  c  c  a und a*:=
1
a
( b  c a  c  a b  a  b c
Dies besagt, dass sich je zwei äußere und die zugehörige dritte innere Winkelhalbierende in
einem Punkt schneiden.
Durch zyklische Vertauschung werden  b ,  c und b*, c* definiert.
Die durch a verlaufende innere Winkelhalbierende schneidet sich mit den äußeren
Winkelhalbierenden in a* usw. (siehe Satz III.2.7).
Mit Lemma III.2.3 berechnet man den Abstand zu den Dreiecksseiten:
10
d (i, a  b)  d (i, b  c)  d (i, c  a) 
a, b, c

d (a*, a  b)  d (a*, b  c)  d (a*, c  a ) 

2

a, b, c
a
=
und
2
a
Damit folgt aus dem Lemma der
Satz: a,b,c sei ein Dreieck in E. Es gibt genau vier Kreise, die alle drei Dreiecksseiten
berühren: Der Inkreis und die drei Ankreise. Der Inkreis hat den Mittelpunkt i und den
Radius  i 
a 
2
a
2

. Der Ankreis, der a gegenüber liegt, hat den Mittelpunkt a* und den Radius
.
Beweis: Man zeige, dass es nicht mehr als vier Berührkreise geben kann. Dazu benutzt man
das vorherige Lemma. Nach dem Lemma liegt der Mittelpunkt eines Berührkreises auf den
Winkelhalbierenden. Nun liegt i auf keiner äußeren Winkelhalbierenden und a* nicht auf
Wa*. Daraus folgt, dass sich je zwei innere und die dritte äußere bzw. alle drei äußeren
Winkelhalbierenden nicht in einem Punkt schneiden. Daraus folgt dann, dass i, a*, b*, c*
genau die Mittelpunkte der Berührkreise sind. □
Die Berührkreise
2. Der Satz von Leipniz
Seien a, b, c  E. Sind  ,  ,   R mit       1 und ist p : a  b  c, dann gilt für
alle x  E :
11
 a  x   b x  c x  p  x  a  p   b p  c p .
2
(1)
2
2
2
2
2
2
Beweis: Da die Behauptung translationsinvariant ist, darf x=0 angenommen werden:
 a   b   c        p  2 a  b  c, p =  a   b   c  p
2
2
2
2
2
2
2
2
1
Der besondere Fall       , also p = s, wobei s der Schwerpunkt des Dreiecks ist,
3
ergibt
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
ax  bx  cx  sx  as  bs  c p
3
3
3
3
3
3

1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
ax  bx  cx  sx  as  bs  c p
3
3
3
3
3
3
 a  x  b  x  c  x  3s  x  a  s  b  s  c  p
2
2
2
2
2
2
2
Dies wird von H. Dörrie als der Satz von Leibniz bezeichnet.
Daraus folgt direkt das
Korollar A: Das Minimum der Funktion
E  R, x   a  x   b  x   c  x wird für x:= p : a  b  c, angenommen.
2
2
2
In den weiteren Anwendungen sei a, b, c stets ein Dreieck in E mit Umkreismittelpunkt m und
Umkreisradius ρ. Im Satz setze man x = m. Dann ist die linke Seite von (1) gerade
 2  p  m . Setzt man dies für die rechte Seite ein, folgt:
2
 a  x   b x  c  x  p  x  2  p m
2
2
2
2
2
  a  x   b x  c  x  2  p m  p  x
2
2
2
2
Die letzte Zeile ist das Korollar B:
 a  x   b x  c  x  2  p m  p  x
2
2
2
2
2
Weiter gilt das Korollar C:
 a  b   b  c   c  a   2  p  m
2
2
2
2
Dazu wählt man in Korollar B der Reihe nach x = a, b, c bzw. p, multipliziert mit α, β, γ bzw.
1 und addiert die entstehenden Gleichungen.
Beweis:
12
 a a   ba  c a  2  p m  p a
2
x = a:
(a)
=
2
2
2
 b  a   c  a   2   p  m   p  a
2
2
2
2
 a b   bb  c b  2  p m  p b
2
x = b:
2
2
2
=  a  b   c  b   2   p  m   p  b
2
(b)
2
2
2
2
2
2
(c)
=  a  c   b  c   2   p  m   p  c
x = p:
(d)
2
2
2

2
2
 a c   bc  c c  2  p m  p c
x = c:
2

2
 a  p   b p  c  p  2  p m  p  p
2
2
2

2
2
2
Addiere jetzt (a), (b), (c), (d):
 b  a   c  a   a  b   c  b   a  c   b  c   a  p   b  p   c  p
2
2
2
2
2
2
2
2
=  2   p  m   p  a +  2   p  m   p  b +  2   p  m   p  c +
2
2
2
2
2
2
2  p  m

 2  b  a   c  a   c  b
2
2
2
=
 2   p  m   2   p  m   2   p  m   2  p  m
2
2
2
=       2   p  m   p  m   p  m   2  p  m
2
2
2

=  2  ( p  m      )   2  p  m = 2  2  p  m
2

2
 2  b  a   c  a   c  b

2
2
2
= 2
2
 pm
 b  a   c  a   c  b   2  p  m
2
2
2
2
2


2
□
Ist x = a in Korollar B und wird Korollar C benutzt, folgt Korollar D:
p  a   1     a  b    b  c   1     c  a
2
2
2
2
Beweis:
 a a   ba  c a  2  p m  p a
2
2
2
2
  ba  c a  2  p m  p a
2
  ba  c a  p a  2  p m
2
2
2
2
2
2
2
2
13
2
  b  a   c  a  p  a   a  b   b  c   c  a
2
2
2
2
2
  b  a   a  b   c  a   b  c   c  a = p  a
2
2
2
2
2
 p  a   1     a  b    b  c   1     c  a
2
2
2
2
2
2
□
Betrachtet man nun den Fall, dass γ = 0 ist, d.h. p liegt auf der Geraden durch a und b, so gilt
Korollar E: a, b  E ,  ,   R mit     1 , p  a   b , so gilt für alle x  E :
 a  x   b  x  p  x   a  b
2
2
2
2
Beweis: Der Fall a = b ist trivial. Deshalb sei a  b und c wird so gewählt, dass a, b, c ein
Dreieck darstellt. Ist γ = 0 in Korollar D, so erhält man:
p  a   1     a  b    0  b  c  0  1     c  a
2
2
2
2
 pa     a b  2 ab .
2
2
2
Aquivalent folgt p  b      a  b   2 a  b . Dies wird in (1) eingesetzt.
2
2
2
Bemerkung: Wegen Korollar C liegt der Punkt p  a  b  c mit       1 genau
dann auf dem Umfang des Dreiecks a, b, c, wenn  a  b   b  c   c  a  0 ist.
2
2
2
3. Folgerungen
a, b, c sei ein Dreieck in E, s, h, m, i seien die ausgezeichneten Punkte. Eine wichtige Rolle
spielt dann die Bewegungsinvariante
1
9
 :  a ,b ,c : ( a  b  b  c  c  a ) .
2
2
2
1
Ist       , also p= s, dann ergibt Korollar 2C
3
(1)
2  s  m  .
2
Beweis:
14
1 1
1 1
1 1
2
2
2
2
  a b    bc    c a  2  p m
3 3
3 3
3 3

1
2
2
2
2
(a b  b  c  c  a )= 2  p  m
9

1
2
2
2
2
(a b  bc  c a )  p m  2
9
 s  m   2
2
□
Mit Korollar 2B folgt daraus:
(2)
a  x  b  x  c  x  3 s  x  3
2
2
2
2
1
Beweis: Für       , also p = s, in Korollar 2B ergibt dies
3
1
1
1
2
2
2
2
2
a  x  b x  c  x  2  s m  s  x .
3
3
3
Benutzt man Formel (1), so folgt
1
1
1
2
2
2
2
ax  bx  cx   sx
3
3
3
 a  x  b  x  c  x  3  3 s  x □
2
2
2
2
Ist x = s in (2), so gilt
(3)
a  s  b  s  c  s  3
2
2
2
Aus dem Korollar 2D erhält man dann 9 s  a  2 a  b  b  c  2 c  a , also
2
(4)
2
2
2
3 s  a  b  c  6 .
2
2
1
Beweis: Man setze in Korollar 2D       , also p = s:
3
1 1
1 1
1 1
2
2
2
2
s  a   1    a  b    b  c  1    c  a
3 3
3 3
3 3
 sa =
2
1 2
1 1
1 2
2
2
2
  ab    bc    ca
3 3
3 3
3 3
15
 sa =
2
2
1
2
2
2
2
 ab   bc   ca
9
9
9
 9s  a  2a b  b  c  2c  a
2
2
2
2
In weiteren Anwendungen wird für p der Mittelpunkt eines Berührkreises gewählt.
Satz von Euler
a, b, c sei ein Dreieck in E. Dann gilt:
i  m   2  2  i und
2
a * m   2  2  a
2
Beweis: Beide Fälle werden simultan behandelt mit
  a  b    b  c  c  a ,
 
1

(  b  c a  c  a b  a  b c) ,   1
Nach 1(2) und 1(3) gilt dann für
Mit  
  i und   a * .

1
1
ca ,  
 bc ,  
a  b gilt   a  b  c und       1 .



Dann impliziert Korollar 2C
 2 (  2    m
2
)  a  b  b  c  c  a  (  a  b  b  c    c  a )
=      a  b  b  c  c  a     2 
a b  bc  ca
a, b, c
 
mit     i ,  m   a , wenn Satz 1 betrachtet wird. Mit 2.1(3) folgt die Behauptung.
4. Der Satz von Feuerbach
a, b, c sei ein Dreieck in E. Dann berühren der Inkreis und die drei Ankreise den
Feuerbachkreis. Es gilt:
(1)
f  i   f  i ,
f  a *   f  a
Dabei ist f der Mittelpunkt des Feuerbachkreises und ρf der zugehörige Radius.
16
Beweis: Aufgrund von Lemma 1.5 reicht es, (1) zu beweisen. Man wendet Korollar 2C auf
das Mittendreieck a`
1
1
1
b  c , b` c  a , c` a  b und ρ = i bzw. ρ* = a an. Dann
2
2
2
erhält man m´= f, ´  f und aus i  a´ b´c ´mit  
a


,   b ,   c , α+β+γ=1.



Dann liefert Korollar 2C
 2f  i  f
(2)
2

1

2
( a b 
1
1
1
2
2
2
a  b   b c  b  c   c a  c  a ).
4
4
4
Sei A : b  c , B : c  a , C : a  b . Dann wird die rechte Seite von (2) zu
1
((  A  B  C )( A  B  C )C 2  ( A  B  C )( A  B  C ) A 2  ( A  B  C )(  A  B  C ) B 2
4
1

( A 4  B 4  C 4  2 A 2 B 2  2 A 2 C 2  2 B 2 C 2  2 ABC 2  2 AB 2 C  2 A 2 BC )
4
Nach der Formel von Heron und (1) in III.3.2 ist dies
1
ABC
 2 
 2 

( ABC 2  AB 2 C  A 2 BC )  
 
 
2
2
2
 
 
2
Wegen
2
f 
 2f  c  f
2
1
ABC

2
8
   i2  2  i  f .
nach
2.1(3)
Aus
f 
i 
und
1
  i
2
2

nach
Satz
1
nach Satz 3 erhält
erhält
man
man damit
i  f   f  i .
Damit ergibt sich aus 1 a*  a´ b´c´,  



,    c ,    b , α+β+γ=1.
a
a
a
Analog folgt aus Korollar 2C
 2f  a *  f
2

1
4
( c  a  b   b c  b  c   c  c  a ).
2
2
a
2
2
=
1
4

2
a
(( A  B  C )(  A  B  C )C 2  ( A  B  C )( A  B  C ) A 2  ( A  B  C )(  A  B  C ) B 2 )
1
4
2
a
( A 4  B 4  C 4  2 A 2 B 2  2 A 2 C 2  2 B 2 C 2  2 ABC 2  2 AB 2 C  2 A 2 BC )
2
 2 
ABC
 
 
   a2  2  f  a .
2 a
a 
Damit hat man dann auch f  a *   f   a .
17
Der Satz von Feuerbach
18